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피타고라스 타일링

Pythagorean tiling
피타고라스 타일링
1665년 Jacob Ochterbolt, The Door의 스트리트 뮤지션.넬슨이[1] 관찰한 바와 같이 이 그림의 바닥 타일은 피타고라스 타일링에 설정되어 있다.

피타고라스 타일링 또는 두 개의 정사각형 테셀레이션은 두 개의 서로 다른 크기의 정사각형으로 유클리드 평면의 타일링으로, 각 정사각형은 다른 크기의 정사각형 네 개를 네 면에 닿게 한다.피타고라스 정리의 많은 증거들이 그것의 이름을 [2]설명하면서 그것에 기초하고 있다.[1]바닥 타일의 무늬로 흔히 쓰인다.이를 위해 사용될 때는 홉스코치 패턴이나[3]바람개비 패턴으로도 알려져 있지만,[4]관계없는 패턴인 수학적 바람개비 타일링과 혼동해서는 안 된다.[5]

이 타일링은 각 사각형 주위에 4방향 회전 대칭이 있다.두 정사각형의 옆 길이 비율이 황금 비율과 같은 불합리한 숫자일 때, 그 교차점은 피보나치 단어와 유사한 재귀 구조를 가진 주기적 시퀀스를 형성한다.3차원으로의 이 타일링의 일반화도 연구되었다.

위상 및 대칭

피타고라스 타일링은 두 개의 서로 다른 크기의 독특한 타일링으로, 일방적(두 개의 사각형이 공통적인 면을 가지고 있지 않음)과 등간격적(동일한 크기의 각 두 사각형은 타일링의 대칭에 의해 서로 매핑될 수 있음)이다.[6]

지형학적으로 피타고라스 타일링은 정사각형 및 일반 옥타곤으로 잘린 사각 타일링과 동일한 구조를 가지고 있다.[7]피타고라스 타일링의 작은 사각형들은 잘린 사각형 타일의 사각형처럼 네 개의 큰 타일에 인접해 있는 반면, 피타고라스 타일링의 큰 사각형은 잘린 사각형 타일링의 옥타곤처럼 크고 작은 8개의 이웃에 인접해 있다.그러나 잘린 사각 타일링이 거울 반사 아래 대칭인 반면 피타고라스의 타일링은 그렇지 않기 때문에 두 기울기는 대칭의 집합이 다르다.수학적으로 이것은 잘린 사각 타일링이 각 타일 중앙을 중심으로 이음대칭이 있는 반면, 피타고라스 타일링은 해당 점을 중심으로 더 작은 주기적 대칭 집합을 가지고 있어 p4 대칭을 부여한다고 설명될 수 있다.[8]치랄무늬로, 번역과 회전만으로 거울상 위에 덧씌우는 것이 불가능하다는 뜻이다.

균일 타일링은 각 타일이 정규 다각형이고 모든 꼭지점이 타일링의 대칭에 의해 다른 모든 꼭지점에 매핑될 수 있는 타일링이다.일반적으로 균일 기울기는 가장자리 대 가장자리를 만족하는 타일을 추가로 가져야 하지만 이 요건을 완화하면 8개의 균일 기울기가 추가로 발생한다.4개는 무한 사각형 또는 정삼각형에서 형성되며, 3개는 정삼각형과 정육각형에서 형성된다.남은 것은 피타고라스 타일링이다.[9]

피타고라스 정리 및 보급

알 나이트리지와 타빗 이븐 쿠라(왼쪽)와 헨리 페리갈(오른쪽)이 교정에서 사용하는 5부작의 보급.

이 타일링은 9세기 이슬람 수학자 알 나일리지와 타빗 이븐 쿠라, 그리고 19세기 영국의 아마추어 수학자 헨리 페리갈에 의해 피타고라스 정리의 증명 근거로 사용되어 왔기 때문에 피타고라스 타일링이라고 불린다.[1][10][11][12]타일을 형성하는 두 사각형의 면이 숫자 a와 b인 경우, 합치된 사각형의 해당 점 사이의 가장 가까운 거리는 c이다. 여기서 c는 a와 b가 있는 직각 삼각형의 하이포텐 사용 길이이다.[13]예를 들어, 왼쪽에 있는 그림에서 피타고라스 타일링의 두 칸은 옆 길이 5와 12단위를 가지며, 겹치는 사각 타일링의 옆 길이는 피타고라스 3중(5,12,13)을 기준으로 13이다.

측면 길이 c의 정사각형 격자를 피타고라스 타일링에 겹쳐놓음으로써, 그것은 측면 c의 단일 정사각형 안에 a와 b의 불균등한 두 개의 측면의 정사각형을 5조각으로 분할하는 데 사용될 수 있는데, 이것은 두 개의 작은 정사각형이 큰 정사각형과 동일한 면적을 가지고 있다는 것을 보여준다.마찬가지로, 두 개의 피타고라스 기울기를 덧씌우는 것은 두 개의 불평등 사각형을 다른 두 개의 불평등 정사각형으로 6조각으로 분할하는 데 사용될 수 있다.[10]

주기적 단면

측면 길이가 황금비를 이루는 두 개의 정사각형에서 틸팅으로 생성된 주기적 시퀀스

피타고라스의 타일링은 그 자체로 주기적이지만(이것은 번역 대칭의 사각 격자를 가지고 있다), 그것의 단면은 1차원 주기적 시퀀스를 생성하는 데 사용될 수 있다.[14]

주기적 시퀀스에 대한 "Klotz 구조"(Klotz는 블록을 나타내는 독일어 단어)에서는 두 개의 정사각형으로 된 피타고라스 타일링을 형성하고, 두 개의 측면 길이 사이의 비율을 비이성적인 숫자 x로 만들기 위해 크기를 선택한다.그런 다음 사각형의 측면에 평행한 선을 선택하고, 선이 교차하는 사각형의 크기에서 이진수 값의 순서를 형성한다: 0은 큰 사각형의 교차, 1은 작은 사각형의 교차점에 해당한다.이 순서에서 0과 1의 상대적 비율은 x:1이 될 것이다.이 비율은 0초와 1초의 주기적인 순서에 의해 달성될 수 없는데, 이는 비이성적이기 때문에 순서는 주기적인 것이기 때문이다.[14]

x가 황금비로 선택되면, 이러한 방법으로 생성된 0과 1의 순서는 피보나치 단어와 동일한 재귀 구조를 가지고 있다: "01"과 "0"(즉, 연속된 두 개의 기둥이 없음) 형식의 기호로 분할될 수 있고, 이 두 기둥이 더 짧은 문자열 "0"과 "1"로 일관되게 대체되면 다른 기둥이 된다.동일한 구조 결과.[14]

관련결과

켈러의 추측에 따르면, 정사각형 모양의 평면에 어떤 타일링도 가장자리에서 가장자리로 만나는 두 개의 정사각형을 포함해야 한다.[15]피타고라스의 타일링에 있는 사각형들 중 어느 것도 최첨단을 맞추지는 못하지만,[6] 이 사실은 타일의 크기가 다르기 때문에 모두 서로 일치하지는 않기 때문에 켈러의 추측에 위배되지 않는다.

피타고라스의 타일링은 두 개의 다른 크기의 정육면체들에 의해 유클리드 공간의 3차원 타일링으로 일반화될 수 있는데, 이것은 또한 일방적이고 동등하다.아틸라 볼츠케이가 이것을 로저스 필링의 3차원 타일링이라고 부른다.그는 세 개 이상의 어떤 차원에서도 두 개의 다른 크기의 하이퍼큐브에 의해 공간을 타일링하는 독특한 일방적이고 동등한 방법이 있다고 추측한다.[16]

번즈와 릭비는 코흐 눈송이를 포함한 몇 개의 프로토타일들을 발견했는데, 그것은 두 개 이상의 다른 크기의 프로토타일 사본만을 사용하여 비행기에 타일을 붙이는 데 사용될 수 있다.[17]Danzer, Grünbaum, 그리고 Shephard의 앞선 논문은 두 가지 크기로 결합되었을 때만 비행기를 타일로 묶는 볼록한 펜타곤이라는 또 다른 예를 제공한다.[18]피타고라스 타일링은 두 개의 다른 크기의 정사각형을 사용하지만, 이 정사각형은 하나의 크기의 정사각형만을 사용하여 평면을 타일링하는 것이 가능하기 때문에 유사성에 의해서만 타일링되는 이들 원자와 같은 성질을 가지지 않는다.

적용

피타고라스 타일링의 초기 구조 적용은 플로어 조이스트들을 위한 몇 가지 다른 잠재적인 패턴들 중 그것을 고려했던 레오나르도 다 빈치의 작품에 나타난다.[19]이 타일링은 오래 전부터 바닥 타일이나 다른 유사한 무늬에도 장식적으로 사용되어 왔으며, 예를 들어 제이콥 오히터벨트의 그림 '문 위의 스트리트 뮤지션' (1665)에서 볼 수 있다.[1]폴리크라테스 궁전에서 비슷한 타일을 보는 것이 피타고라스에게 그의 정리에 대한 독창적인 영감을 제공했을지도 모른다는 의견이 제기되어 왔다.[13]

참조

  1. ^ a b c d 넬슨, 로저(2003년 11월),"그림과 비행기 tilings고, 교정쇄"(PDF), 수학 호라이즌스, 11(2):5–8, doi:10.1080/10724117.2003.12021741, S2CID 126000048.Haunsperger, 디애나, 케네디, 스티븐(2007년), 더 에지는 유니버스에서:Reprinted.. 수학 호라이즌스 Spectrum시리즈, 수학 협회는 미국의,를 대신하여 서명함의 10년을 기념하며 295–298, 아이 에스비엔 978-0-88385-555-3.또한 참조하 Alsina, Claudi, 넬슨, 로저(2010년),Charming 교정: 우아한 수학, Dolciani 수학적 박람회로 여행, 42vol., 수학 협회는 미국의,를 대신하여 서명함. 168–169, 아이 에스비엔 978-0-88385-348-1.
  2. ^ Wells, David (1991), "two squares tessellation", The Penguin Dictionary of Curious and Interesting Geometry, New York: Penguin Books, pp. 260–261, ISBN 0-14-011813-6.
  3. ^ "How to Install Hopscotch Pattern Tiles", Home Guides, San Francisco Chronicle, retrieved 2016-12-12.
  4. ^ Editors of Fine Homebuilding (2013), Bathroom Remodeling, Taunton Press, p. 45, ISBN 978-1-62710-078-6 {{citation}}: 일반 이름(도움말)을 가지고 있다.이 바닥 타일 패턴을 보여주는 도식도는 42페이지에 앞서 나와 있다.
  5. ^ Radin, C. (1994), "The Pinwheel Tilings of the Plane", Annals of Mathematics, 139 (3): 661–702, doi:10.2307/2118575, JSTOR 2118575
  6. ^ a b Martini, Horst; Makai, Endre; Soltan, Valeriu (1998), "Unilateral tilings of the plane with squares of three sizes", Beiträge zur Algebra und Geometrie, 39 (2): 481–495, MR 1642720.
  7. ^ Grünbaum, Branko; Shephard, G. C. (1987), Tilings and Patterns, W. H. Freeman, p. 171.
  8. ^ 그룬바움 & 셰퍼드(1987), 42페이지.
  9. ^ 그룬바움 & 셰퍼드(1987), 페이지 73–74.
  10. ^ a b Frederickson, Greg N. (1997), Dissections: Plane & Fancy, Cambridge University Press, pp. 30–31.
  11. ^ Aguiló, Francesc; Fiol, Miquel Angel; Fiol, Maria Lluïsa (2000), "Periodic tilings as a dissection method", American Mathematical Monthly, 107 (4): 341–352, doi:10.2307/2589179, JSTOR 2589179, MR 1763064.
  12. ^ 그룬바움 & 셰퍼드(1987), 페이지 94.
  13. ^ a b Ostermann, Alexander; Wanner, Gerhard (2012), "Thales and Pythagoras", Geometry by Its History, Undergraduate Texts in Mathematics, Springer, pp. 3–26, doi:10.1007/978-3-642-29163-0_1. 특히 15-16페이지를 보라.
  14. ^ a b c Steurer, Walter; Deloudi, Sofia (2009), "3.5.3.7 The Klotz construction", Crystallography of Quasicrystals: Concepts, Methods and Structures, Springer Series in Materials Science, vol. 126, Springer, pp. 91–92, doi:10.1007/978-3-642-01899-2, ISBN 978-3-642-01898-5.
  15. ^ 2차원 기울기에 대한 그의 추측의 진실은 켈러에게 이미 알려져 있었지만, 그 이후 8차원 이상에 대해서는 거짓임이 증명되었다.이 추측과 관련된 결과에 대한 최근 조사는 을 참조하십시오.
  16. ^ Bölcskei, Attila (2001), "Filling space with cubes of two sizes", Publicationes Mathematicae Debrecen, 59 (3–4): 317–326, MR 1874434. 또한 도슨(1984)을 참조하십시오. 도슨(1984)은 "로저스"로 인정받았지만 Richard K의 1960년 논문을 인용했다. 가이: .
  17. ^ Burns, Aidan (1994), "78.13 Fractal tilings", Mathematical Gazette, 78 (482): 193–196, doi:10.2307/3618577, JSTOR 3618577. Rigby, John (1995), "79.51 Tiling the plane with similar polygons of two sizes", Mathematical Gazette, 79 (486): 560–561, doi:10.2307/3618091, JSTOR 3618091.
  18. ^ 의 그림 3.
  19. ^ Sánchez, José; Escrig, Félix (December 2011), "Frames designed by Leonardo with short pieces: An analytical approach", International Journal of Space Structures, 26 (4): 289–302, doi:10.1260/0266-3511.26.4.289, S2CID 108639647.