비유클리드 기하학

Non-Euclidean geometry
세 가지 지오메트리 유형 각각에서 공통 수직을 갖는 선의 거동

수학에서 비유클리드 기하학은 유클리드 기하학을 규정하는 것과 밀접하게 관련된 공리에 기초한 두 개의 기하학으로 구성됩니다.유클리드 기하학이 미터법과 아핀 기하학의 교차점에 있기 때문에 비유클리드 기하학은 평행 공식을 대안으로 대체하거나 미터법을 완화함으로써 발생한다.전자의 경우, 전통적인 비유클리드 기하학인 쌍곡 기하학과 타원 기하학을 얻는다.미터법 요건이 완화되면, 평면 대수와 연관된 아핀 평면이 있는데, 이것은 비유클리드 기하학이라고도 불리는 운동학적 기하학을 발생시킨다.

메트릭 지오메트리의 본질적인 차이는 평행선의 특성입니다.유클리드의 다섯 번째 가설인 평행 가설은 Playfair의 가설과 같습니다. 이 가설은 2차원 평면 내에서 주어진 선 l과 A에 대해, l 에 있지 않지만, 정확히 하나의 선이 A를 통해 l과 교차하지 않는다는 것입니다.반대로 쌍곡선 기하학에서는 A를 통과하는 선이 l을 교차하지 않는 무한히 많은 반면, 타원 기하학에서는 A를 통과하는 선이 l을 교차합니다.

이러한 지오메트리의 차이를 설명하는 또 다른 방법은 2차원 평면에서 두 개의 직선이 모두 세 번째 선(같은 평면에서)에 수직인 것으로 간주하는 것입니다.

  • 유클리드 기하학에서 선은 서로 일정한 거리를 유지하며(어떤 점에서든 한 선에 수직으로 그려진 선이 다른 선과 교차하고 교차점을 연결하는 선분의 길이가 일정하게 유지됨을 의미), 평행이라고 합니다.
  • 쌍곡선 기하학에서, 그것들은 공통의 수직이 있는 교차점에서 멀어질수록 거리가 커지면서 서로 "커브"됩니다. 이러한 선들은 종종 초평행선이라고 불립니다.
  • 타원형 기하학에서 선들은 서로 "곡선"을 그리며 교차합니다.

역사

배경

그리스 수학자 유클리드의 이름을 딴 유클리드 기하학은 알려진 가장 오래된 수학의 일부를 포함하고 있으며, 이것으로부터 벗어난 기하학은 19세기까지 합법으로 널리 받아들여지지 않았다.

결국 비유클리드 기하학의 발견으로 이어진 논쟁은 유클리드가 원소를 쓰자마자 시작되었다.요소에서 유클리드는 제한된 수의 가정(23개의 정의, 5개의 공통 개념, 5개의 가정)으로 시작하며 작품에서 다른 모든 결과(제안)를 증명하려고 합니다.가장 악명 높은 가설은 종종 "유클리드의 다섯 번째 가설" 또는 단순히 평행 가설로 언급되는데, 유클리드의 원래 공식은 다음과 같다.

같은 면의 내부 각도가 두 직각보다 작도록 직선이 두 직선에 떨어질 경우, 무한히 생성된 직선은 두 직각보다 작은 각도에서 만난다.

다른 수학자들은 이 성질을 더 간단한 형태로 고안해냈다.그러나 이 전제의 형태에 관계없이 유클리드의 다른 전제보다 더 복잡해 보인다.

1. 어떤 점부터 어떤 점까지 직선을 긋는다.

2. 유한한 직선을 일직선으로 연속적으로 작성한다.

3. 중심과 거리가 있는 원을 기술한다[반경].

4. 모든 직각은 서로 같다.

적어도 천 년 동안 기하학자들은 다섯 번째 공식의 이질적인 복잡성에 시달렸고, 그것이 나머지 네 개의 정리로 증명될 수 있다고 믿었다.이븐 알-하이탐 (알하젠, 11세기),[1] 오마르 카이얌 (12세기), 나시르 알-돈 알-투시 (13세기), 조반니 지롤라모 사체리 (18세기)를 포함한 많은 사람들이 모순으로 증거를 찾으려 했다.

람베르트 사변형사체리 사변형을 포함한 사변형에 대한 이븐 알-하이탐, 카이얌, 알-투시의 이론은 "쌍곡선타원 기하학의 처음 몇 개의 이론"이었다.이러한 정리들은 플레이페어의 공리와 같은 대안적 가설과 함께 비유클리드 기하학의 후기 발전에 중요한 역할을 했다.다섯 번째 가설에 도전하려는 이러한 초기 시도는 위텔로, 리바이스 벤 거슨, 알폰소, 존 왈리스, [2]사체리를 포함한 후기 유럽 기하학자들 사이에서 상당한 영향을 끼쳤다.그러나 비유클리드 기하학을 공식화하려는 이러한 초기 시도들은 기본적으로 평행 가설과 동등한 가정을 포함하는 평행 가설의 잘못된 증거를 제공했다.그러나 이러한 초기 시도는 쌍곡선과 타원 기하학의 초기 특성을 제공했습니다.

예를 들어, 카이얌은 그가 "철학자 원리"(아리스토틀)에서 공식화한 동등한 가정으로부터 그것을 도출하려고 했다."두 개의 수렴 직선이 교차하며 두 개의 수렴 직선이 [3]수렴하는 방향으로 갈라지는 것은 불가능합니다."Khayyam은 Saccheri 사변형의 꼭대기 각도가 취할 수 있는 세 가지 경우를 고려했고, 그에 대한 많은 이론들을 증명한 후, 그는 그의 공식을 바탕으로 둔하고 예리한 경우를 정확하게 반박했고, 따라서 그가 깨닫지 못한 유클리드의 고전적인 공식을 도출했다.성대모사를 하다또 다른 예로는 알투시의 아들 사드르 알딘이 있는데, 그는 1298년에 알투시의 후기 사상을 바탕으로 이 주제에 관한 책을 썼는데, 그는 평행 가설과 동등한 또 다른 가설을 제시했다."그는 본질적으로 공리와 공식의 유클리드 체계와 [4][5]원소로부터 나온 많은 명제의 증명 모두를 수정했다."그의 작품은 1594년 로마에서 출판되었고 왈리스의 [6]작품뿐만 아니라 이 작품을 비판한 사체리를[4] 포함한 유럽의 기하학자들에 의해 연구되었다.

Giordano Vitale는 그의 책 Ecoma restituo (1680, 1686)에서 만약 세 점이 베이스 AB와 정상 CD에서 등거리라면 AB와 CD는 모든 곳에서 등거리라는 것을 증명하기 위해 사변형을 사용했다.

1733년에 출판된 "Eclus ab Omni Naevo Vindicatus"라는 제목작품에서, Saccheri는 가능성이 있는 타원 기하학을 재빨리 폐기했고 쌍곡 기하학에서 많은 결과를 증명하도록 설정했다.

그는 마침내 그의 결과가 쌍곡기하학의 불가능성을 보여준다고 믿는 지점에 도달했다.그의 주장은 논리적 모순이 없었기 때문에 유클리드 전제에 근거했던 것으로 보인다.유클리드 기하학을 증명하려는 시도에서 그는 의도치 않게 새로운 실행 가능한 기하학을 발견했지만, 그것을 깨닫지 못했다.

1766년 요한 람베르트는 사체리가 했던 것처럼 다섯 번째 전제를 증명하기 위해 시도했던 Theorie der Parallelinien을 썼지만 출판하지는 않았다.그는 3개의 직각을 가진 사각형인 램버트 사각형으로 알려진 도형을 사용했다.그는 사체리와 카이얌처럼 네 번째 각도가 둔각일 가능성을 재빨리 없앴고, 예각을 가정하여 많은 이론을 증명했다.Saccheri와 달리, 그는 그가 이 가정과 모순되는 것에 도달했다고 느끼지 못했다.그는 삼각형의 면적이 감소함에 따라 삼각형의 각도의 합이 증가한다는 비유클리드 결과를 증명했고, 이것은 그가 상상 반지름의 구에 대한 예리한 경우의 모형의 가능성을 추측하게 만들었다.그는 이 생각을 더 [7]이상 하지 않았다.

이 시기에 우주는 유클리드 [8]기하학의 원리에 따라 움직인다고 널리 믿어졌다.

비유클리드 기하학의 발견

19세기 초는 마침내 비유클리드 기하학의 창조에 결정적인 단계를 목격하게 될 것이다.1813년, 카를 프리드리히 가우스와 1818년경 독일의 법학교수 페르디난트 [9] 슈바이카트는 비유클리드 기하학의 태생적 개념을 이해했지만, 어느 결과도 발표하지 않았다.슈바이카트의 조카 프란츠 타우리누스는 1825년과 1826년 두 논문에서 쌍곡선 삼각법의 중요한 결과를 발표했지만, 쌍곡선 기하학의 내부 일관성을 인정하면서도 여전히 유클리드 [10]기하학의 특별한 역할을 믿었다.

그 후 1829–1830년 러시아 수학자 니콜라이 이바노비치 로바체프스키와 1832년 헝가리 수학자 야노스 볼야이가 따로따로 쌍곡기하학에 관한 논문을 발표했다.결과적으로 쌍곡기하학은 로바체프스키안 또는 볼랴이-로바체프스키안 기하학이라고 불리는데, 이는 서로 독립적으로 두 수학자가 비유클리드 기하학의 기초 저자들이기 때문이다.가우스는 어린 볼야이의 작품을 보여주었을 때, 비록 그가 출판하지는 않았지만,[11] 그가 몇 년 전에 그러한 기하학을 발전시켰다고 Bolyai의 아버지에게 언급했다.로바체프스키가 평행 공식을 부정함으로써 비유클리드 기하학을 만든 반면, 볼야이는 변수 k에 따라 유클리드 기하학과 쌍곡 기하학이 모두 가능한 기하학을 고안했다.볼야이는 물리 우주의 기하학이 유클리드인지 비유클리드인지 수학적인 추론만으로는 판단할 수 없다고 언급하며 그의 연구를 끝맺는다.

1854년 유명한 강의에서 베른하르트 리만은 특히 다양체, 리만 측도, 곡률이라고 불리는 사상을 논하면서 리만 기하학 분야를 창시했다.그는 유클리드 공간의 단위 공에 리만 메트릭스 군을 위한 공식을 제공함으로써 비유클리드 기하학의 무한한 군을 구성했다.이것들 중 가장 간단한 것은 타원 기하학이라고 불리며 [12]평행선이 없기 때문에 비유클리드 기하학으로 여겨진다.

곡률 텐서의 관점에서 기하학을 공식화함으로써, 리만은 비유클리드 기하학을 더 높은 차원에 적용할 수 있게 했다.벨트라미(1868)는 리만의 기하학을 음의 곡률 공간에 적용한 최초의 인물이다.

용어.

가우스는 "비유클리드 기하학"[13]이라는 용어를 만들었다.그는 자신의 작품을 언급하고 있었는데, 오늘날 우리는 그것을 쌍곡 기하학이라고 부릅니다.몇몇 현대 작가들은 여전히 비유클리드 기하학과 쌍곡 기하학의 동의어를 고려하고 있다.

Arthur Cayley는 원뿔 내부의 점들 사이의 거리가 로그와 투영 교차 비율 함수의 관점에서 정의될 수 있다고 언급했다.이 방법은 1871년과 1873년에 펠릭스 클라인(Felix Klein)이 비유클리드 기하학을 책 형태로 기술하기[14] 위해 이용했기 때문 케일리-클레인 측정법으로 불리게 되었다.케일리-클레인 메트릭스는 유클리드 기하학뿐만 아니라 쌍곡선과 타원형 메트릭 기하학의 작동 모델을 제공했다.

클라인은 "초과기"와 "엘립틱[15]"이라는 용어에 책임이 있다.그의 영향으로 "비유클리드 기하학"이라는 용어가 "초과기하학" 또는 "엘립틱" 기하학이라는 의미로 현재 사용되고 있습니다.

"비유클리드"라고 불려야 하는 기하학 목록을 다양한 [16]방법으로 확장해 주는 수학자들이 있습니다.

비유클리드 기하학의 자명한 기초

유클리드 기하학은 여러 가지 방법으로 설명될 수 있다.불행하게도, 유클리드의 5개의 공식(축)의 원래 체계는 이것들 중 하나가 아니다. 왜냐하면 그의 증거는 또한 공리로 여겨졌어야 하는 몇 가지 명시되지 않은 가정에 의존했기 때문이다.20개[17] 공리로 구성된 힐베르트의 체계는 유클리드의 접근을 가장 밀접하게 따르고 유클리드의 모든 증거에 대한 정당성을 제공한다.다른 시스템에서는 정의되지 않은 용어의 집합을 사용하여 다른 경로에서 동일한 형상을 얻습니다.그러나 모든 접근법은 유클리드의 다섯 번째 가정인 평행 가정과 논리적으로 동등한 공리를 가지고 있다.를 들어, 힐버트는 Playfair 공리 형식을 사용하는 반면, Birkhoff는 "비슷하지만 일치하지 않는 삼각형 한 쌍이 있다."라고 말하는 공리를 사용합니다.이 시스템들 중 어떤 형태로든 평행공식에 해당하는 하나의 공리를 제거하고 다른 모든 공리를 그대로 두면 절대기하학이 생성됩니다.유클리드의 첫 번째 28가지 명제는 (원소에서) 평행한 공식이나 그에 상응하는 것을 사용할 필요가 없기 때문에, 그것들은 모두 절대 [18]기하학에서 참된 진술이다.

비유클리드 기하학을 얻기 위해서는 평행한 공식(또는 그에 상당하는 것)이 부정으로 대체되어야 한다.Playfair의 공리 형식을 부정하는 것은 복합적인 진술이기 때문이다(...1개밖에 존재하지 않는다...)는, 다음의 2개의 방법으로 실행할 수 있습니다.

  • 지정된 선에 평행한 점을 통과하는 선이 두 개 이상 있거나 지정된 선에 평행한 점을 통과하는 선이 없습니다.첫 번째 경우, 평행 가정법(또는 그와 동등한 것)을 "평면에 점 P와 P를 통과하지 않는 선 l이 주어진 경우, P를 통과하는 두 개의 선이 존재하며, l을 충족하지 않는다"는 문장으로 대체하고 다른 모든 공리를 유지하면 쌍곡기하학[19]생성된다.
  • 두 번째 사건은 그렇게 쉽게 처리되지 않는다.단순히 평행한 공식을 "평면에서, 점 P와 P를 통과하지 않는 선 l이 주어지면, P를 통과하는 모든 선은 l을 충족한다"는 문장으로 대체하면, 일관된 일련의 공리를 얻을 수 없다.절대 [20]지오메트리에 평행선이 존재하지만 이 문장은 평행선이 없음을 나타냅니다.이 문제는 카이얌, 사체리 및 램버트에게 (다른 모습으로) 알려져 있었으며, "부작 각도 사례"로 알려진 것을 거부하는 근거가 되었다.평행선이 없는 것에 대한 이 공리를 포함하는 일관된 일련의 공리를 얻으려면 다른 공리를 조정해야 합니다.이러한 조정은 사용되는 공리 시스템에 따라 달라집니다.특히, 이러한 수정은 선분들이 무한히 확장될 수 있다는 진술에서 선이 무한하다는 진술로 유클리드의 두 번째 전제를 수정하는 효과가 있다.리만타원 기하학은 이 공리를 만족시키는 가장 자연스러운 기하학으로 나타난다.

비유클리드 기하학 모형

2차원의 타원, 유클리드 및 쌍곡선 기하학 비교
구면에서 삼각형의 각도의 합은 180°와 같지 않다.구의 표면은 유클리드 공간이 아니지만, 국소적으로 유클리드 기하학의 법칙은 좋은 근사치이다.지구 표면의 작은 삼각형에서 각도의 합은 거의 180°이다.

2차원 유클리드 기하학은 "평탄한 평면"이라는 개념으로 모델링됩니다.

타원 기하학

타원 기하학의 가장 단순한 모델은 구면이며, 여기서 선은 "대원"(지구상적도 또는 자오선)이며 서로 반대되는 점(대각점이라고 함)이 식별됩니다(동일하다고 간주).이것은 실제 투영 평면의 표준 모델 중 하나이기도 합니다.차이점은 타원 기하학 모델로서 길이와 각도를 측정할 수 있는 메트릭이 도입되는 반면 투영 평면의 모델로서 그러한 메트릭이 없다는 것이다.

타원 모형에서, 주어진 선 l과 l없는 점 A에 대해, A를 통과하는 모든 선은 l과 교차합니다.

쌍곡선 기하학

로바체프스키, 가우스, 그리고 볼야이의 작품 이후에도, "쌍곡기하학에 그러한 모델이 존재하는가?"라는 의문이 남았다.쌍곡기하학의 모델은 1868년에 Eugenio Beltrami에 의해 답변되었는데, 그는 처음으로 의사권이라고 불리는 표면이 쌍곡공간의 일부를 모델링하기 위한 적절한 곡률을 가지고 있다는 것을 보여주었고 같은 해에 두 번째 논문에서 쌍곡공간의 전체를 모델링하는 클라인 모델을 정의했고, 그리고 이것은 Ecomoda를 보여주는데 사용되었다.n기하학과 쌍곡기하학이 등비콘으로 존재하여 쌍곡기하학이 유클리드기하학이 논리적으로 일치할 경우에만 일치한다. (역방향의 의미는 유클리드기하학의 호로스피어 모델에서 나타난다.)

쌍곡선 모형에서, 2차원 평면 내에서, 주어진 l과 l없는 점 A에 대해, l을 교차하지 않는 A를 통과하는 선이 무한히 많습니다.

이러한 모형에서 비유클리드 기하학의 개념은 유클리드 환경에서 유클리드 객체에 의해 표현된다.이것은 비유클리드 기하학의 직선이 시각적으로 휘어지는 유클리드 곡선으로 표현되는 지각 왜곡을 야기한다.이 "굴곡"은 비유클리드 라인의 특성이 아니라, 단지 그들이 표현되는 방식의 속임수이다.

3차원 비유클리드 기하학

3차원에는 [21]8개의 기하학 모델이 있습니다.2차원의 경우와 같이 유클리드, 타원 및 쌍곡선 기하학, 부분적으로 유클리드이고 부분적으로 쌍곡선 또는 구형의 혼합 기하학, 혼합 기하학의 뒤틀린 버전, 그리고 완전히 이방성인 하나의 특이한 기하학이 있다.

일반적이지 않은 속성

쌍곡기하학의 램버트 사변형
사체리 사변형

유클리드 기하학과 비유클리드 기하학은 자연히 많은 유사한 특성, 즉 평행선의 본질에 의존하지 않는 특성들을 가지고 있다.이 공통성은 절대 지오메트리(중립 지오메트리라고도 함)의 주제입니다.그러나 한 지오메트리와 다른 지오메트리를 구별하는 속성은 역사적으로 가장 많은 관심을 받아 왔습니다.

서문에 기재된 공통수직선에 대한 선의 동작 외에 다음과 같은 것이 있습니다.

  • 램버트 사각형은 직각이 3개인 사각형이다.램버트 사변형의 네 번째 각도는 기하학이 쌍곡선이면 예각이고, 기하학이 유클리드이면 직각이고, 기하학이 타원이면 둔각이다.따라서 직사각형은 유클리드 기하학에서만 존재한다.
  • 사각형은 길이가 같은 두 변을 가진 사각형으로, 둘 다 밑변이라고 불리는 변에 수직이다.Saccheri 사변형의 다른 두 각은 정상각이라고 불리며 같은 측도를 가지고 있다.Saccheri 사변형의 꼭대기 각도는 기하학이 쌍곡선일 경우 예각, 기하학이 유클리드일 경우 직각, 그리고 기하학이 타원일 경우 둔각이다.
  • 삼각형의 각도 측정의 합계는 기하학이 쌍곡선인 경우 180° 미만, 기하학이 유클리드인 경우 180°, 기하학이 타원인 경우 180°보다 큽니다.삼각형의 결점은 숫자 값(180° - 삼각형의 각도의 합)입니다.이 결과는 또한 쌍곡기하학에서 삼각형의 결점은 양, 유클리드 기하학에서 삼각형의 결점은 0, 타원기하학에서 삼각형의 결점은 음이다.

중요성

비유클리드 평면의 모형들이 Beltrami, Klein, 그리고 Poincaré에 의해 제시되기 전에, 유클리드 기하학은 공간의 수학적 모형으로서 이론의 여지가 없었다.게다가, 합성 기하학에서 주제의 실체가 합리성의 주요 전시물이었기 때문에, 유클리드 관점은 절대적인 권위를 나타냈다.

비유클리드 기하학의 발견은 수학과 과학의 경계를 훨씬 뛰어넘는 파급 효과를 가져왔다.철학자 임마누엘 칸트의 인간지식에 대한 처리는 기하학에 특별한 역할을 했다.그것은 감각에서 파생되거나 논리에서 추론되지 않은 그의 선험적 지식의 전형적인 예였다.-우주에 대한 우리의 지식은 우리가 타고난 진리였다.칸트에게는 불행하게도, 이 변하지 않는 기하학에 대한 그의 개념은 유클리드였다.신학은 또한 수학이 주변 세계와 관련된 방식으로 절대적 진실에서 상대적인 진실로의 변화에 영향을 받았고, 그것은 이러한 패러다임 [22]변화의 결과였다.

비유클리드 기하학은 과학사에서 수학자와 과학자들이 그들의 [23]주제를 바라보는 방식을 바꾼 과학 혁명의 한 예이다.몇몇 기하학자들은 로바체프스키의 작품의 [24][25]혁명적 성격 때문에 "기하학의 코페르니쿠스"라고 불렀다.

비유클리드 기하학의 존재는 빅토리아 시대의 영국의 지적 생활에 많은[26] 면에서 영향을 미쳤고 특히 유클리드 원소에 기초한 기하학의 가르침에 대한 재점검을 야기한 주요 요인들 중 하나였다.이 커리큘럼 문제는 그 당시에 열띤 논쟁을 벌였고 심지어 이상나라의 앨리스의 작가 루이스 캐롤로 더 잘 알려진 찰스 러트위지 도그슨 (1832–1898)이 쓴 책 "유클리드와 그의 현대의 라이벌들"의 주제이기도 했다.

평면 대수

해석 기하학에서 평면C = { (x,y) : x, y ∈ }. }. }. }. 。점들은 때때로 복소수 z = x + y µ로 식별됩니다. 여기서 θ2 ∈ { -1, 0, 1 }.

유클리드 평면은 대소문자 θ2 = -1에 해당한다. 왜냐하면 z 계수는 다음과 같이 주어지기 때문이다.

그리고 이 양은 z와 원점 사이유클리드 거리의 제곱이다.예를 들어 {z z* = 1)은 단위 원입니다.

평면대수의 경우 비유클리드 기하학은 다른 경우에 발생한다.θ2 = +1일z분할 복소수이며, 일반적으로 j는 엡실론을 대체합니다.그리고나서

{z z* = 1)은 단위 쌍곡선입니다.

θ2 = 0이면 z이중 [27]숫자입니다.

비유클리드 기하학에 대한 이 접근법은 비유클리드 각도를 설명한다: 이중수 평면에서의 기울기와 분할 복소 평면에서의 쌍곡선각도는 유클리드 기하학의 각도에 대응한다.실제로 이들은 각각 복소수 [28]z의 극성 분해에서 발생한다.

운동학적 기하학

쌍곡기하학은 1908년 헤르만 민코프스키에 의해 도입된 물리 우주론과 함께 운동학에서 응용되었다.민코프스키는 수학물리학세계선과 적절한 시간과 같은 용어를 도입했다.그는 미래의 적절한 시간의 한 순간에 일어나는 사건의 서브매니폴드가 3차원의 [29][30]쌍곡선 공간으로 간주될 수 있다는 것을 깨달았다.맥팔레인은 1908년 민코프스키처럼 우주론적 언어를 사용하지 않았지만, 이미 1890년대에 알렉산더 맥팔레인은 그의 물리학 대수학과 쌍곡 사분위기를 통해 이 하위 표식을 작성하고 있었다.관련된 구조는 이제 쌍곡선 기하학의 쌍곡선 모델이라고 불립니다.

비유클리드 평면 대수는 평면에서 운동학적 기하학을 지지한다.예를 들어 분할복소수 zaj = e는 속도 a의 기준 프레임의 미래 1순간의 시공간 이벤트를 나타낼 수 있다.또한 z에 의한 곱셈은 급속도 0의 프레임을 고속도 a의 프레임에 매핑하는 로렌츠 부스트에 해당한다.

운동학적 연구는 절대 시공간에서 운동에 대한 고전적인 설명을 나타내기 위해 z + , 2 , \ z = + \ , \^{2 0 , }의 이중 를 사용합니다. x + v , t t {\^{\prime^{\prime}는 선형 대수의 전단 매핑과 동일합니다.

듀얼 번호의 경우 은 t + ( + )+ (x + ) = t + ( + v)。{\ t \ (+ v \ } ( + v \ silon )=t +

비유클리드 기하학으로서의 특수 상대성 이론의 또 다른 관점은 E. B.에 의해 발전되었다. 윌슨과 길버트 루이스는 1912년 미국 예술 과학 아카데미의사록을 받았다.그들은 분할 복소수 대수에 내포된 해석 기하학을 전제와 [32][33]추론의 합성 기하학으로 개편했다.

픽션

비유클리드 기하학은 종종 공상과학 소설과 판타지 작품에 등장한다.

  • 1895년, H. G. 웰스는 단편 소설 "데이비슨 눈의 주목할 만한 경우"를 출판했다.이 이야기를 감상하기 위해서는 구상의 대척점이 타원면 모형에서 어떻게 식별되는지 알아야 한다.이 이야기에서 시드니 데이비슨은 천둥번개가 치는 가운데 할로우 공과대학의 전기 실험실에서 일하던 중 "파도와 놀라울 정도로 깔끔한 스쿠너"를 보게 된다.이야기의 끝부분에서, 데이비슨은 안티포즈 섬에서 H.M.S. 풀마를 목격했다는 것을 증명합니다.
  • 비유클리드 기하학은 때때로 20세기 공포 소설 작가 H. P. 러브크래프트의 영향과 관련이 있다.그의 작품에서, 많은 부자연스러운 것들이 그들만의 독특한 기하학적 법칙을 따릅니다: 러브크래프트의 Cthulhu Mythos에서, 가라앉은 도시 R'lyeh는 비유클리드 기하학으로 특징지어집니다.이것은 단순히 대체 기하학적 모델을 사용하는 것이 아니라 이 우주의 자연 법칙을 따르지 않는 것의 부작용으로 이루어졌다는 것을 강하게 암시하고 있다. 왜냐하면 그것은 순전히 선천적인 잘못은 보는 사람들을 [34]미치게 할 수 있기 때문이다.
  • Robert Pirsig의 Zen과 The Art of Motorcycle Maintenance에서 주인공은 여러 번 리만 기하학을 언급했습니다.
  • 카라마조프 형제에서 도스토예프스키는 그의 캐릭터 이반을 통해 비유클리드 기하학을 논한다.
  • 크리스토퍼 프리스트의 소설 '역세상'은 회전하는 의사권 형태로 행성에서 살아가는 투쟁을 묘사하고 있다.
  • 로버트 하인라인의 "야수숫자"는 비유클리드 기하학을 이용하여 시공간의 그리고 평행 우주와 허구 우주 사이의 순간적인 운송을 설명한다.
  • Zeno Rogue의 HyperRogue는 쌍곡면을 배경으로 한 악랄한 게임으로 플레이어는 이 기하학의 많은 속성을 경험할 수 있습니다.많은 역학, 퀘스트 및 위치는 [35]쌍곡기하학의 특징에 크게 의존합니다.
  • FASA의 전쟁 게임, 롤플레잉 게임 및 픽션을 위한 Renegade Legion 공상과학 소설의 배경에서, 22세기 중반쯤 출판된 Hieh Ho의 다차원 비유클리드 기하학을 사용하여 빛보다 더 빠른 여행과 커뮤니케이션이 가능합니다.
  • Ian Stewart's Flatland에서 주인공인 Victoria Line은 모든 종류의 비유클리드 세계를 방문한다.

「 」를 참조해 주세요.

메모들

  1. ^ Eder, Michelle (2000), Views of Euclid's Parallel Postulate in Ancient Greece and in Medieval Islam, Rutgers University, retrieved 2008-01-23
  2. ^ 보리스 A.로젠펠트 & 아돌프 P.유슈케비치, "기하학", 470페이지, 아랍 과학사 백과사전, 제2권, 447-494페이지, 루트리지, 런던 및 뉴욕:

    "이븐 알-하이탐, 카이얌, 그리고 알-투시라는 세 명의 과학자는 기하학의 이 분야에 가장 큰 공헌을 했습니다. 기하학의 중요성은 19세기에야 완전히 인식되었습니다.본질적으로, 사각형의 특성에 관한 그들의 명제는 (이 그림들의 일부 각도가 둔각의 예각이라고 가정했을 때) 쌍곡선과 타원 기하학의 처음 몇 개의 이론을 만들었다.그들의 다른 제안들은 다양한 기하학적 진술이 유클리드 공식 V와 동등하다는 것을 보여주었다.이 학자들이 이 가설과 삼각형과 사각형의 각도의 합 사이에 상호 연관성을 확립하는 것은 매우 중요하다.평행선 이론에 대한 그들의 연구로 아랍 수학자들은 유럽 수학자들의 관련 연구에 직접적인 영향을 끼쳤다.13세기 폴란드 과학자 비텔로가 이븐 알-헤이담의 광학책수정하면서 만든 평행선을 증명하려는 첫 번째 유럽인들의 시도는 의심할 여지 없이 아랍어 소식통에 의해 촉발되었다.14세기에 프랑스 남부에 살았던 유대인 학자 레비거슨과 위에서 언급한 스페인 출신의 알폰소가 제시한 증거들은 이븐 알-헤이담의 시위에 직접적으로 맞닿아 있다.이상, 우리는 Pseudo-Tusi의 Euclide Exposition이 Borth J. Wallis와 G를 자극했다는 것을 증명했다.평행선 이론에 대한 Saccheri의 연구"

  3. ^ 보리스 A.로젠펠트 & 아돌프 P.유슈케비치(1996), "기하학", 467페이지, 로쉬디 라쉬드 & 레기스 모렐론(1996), 아랍 과학사 백과사전, 제2권, 447-494페이지, 루트리지, ISBN 0-415-12411-5
  4. ^ a b Victor J. Katz(1998), 수학사: A 개요, 270–271, Adison-Wesley, ISBN0-321-01618-1:

    그러나 1298년 그의 아들 사드르 알딘이 쓴 것으로 추정되는 원고에는 나시르 알딘의 이 주제에 대한 후자의 생각에 기초한 또 다른 가설에 기초한 새로운 주장이 있다.유클리드의 것과 동등하다.이 후자의 작품의 중요성은 1594년 로마에서 출판되어 유럽 기하학자들이 연구한 것이다.특히, 그것은 사체리 작품의 출발점이 되었고 궁극적으로 비유클리드 기하학의 발견이 되었습니다."

  5. ^ 보리스 A.로젠펠트와 아돌프 P.유슈케비치(1996), "기하학", Roshdi Rashed, ed., 아랍 과학사 백과사전 제2권, 페이지 447-494 [469], 루트리지, 런던 및 뉴욕:

    "Pseudo-Tusi의 유클리드의 설명에서, [...] 가정 대신 다른 진술이 사용됩니다.그것은 유클리드 공식 V와는 독립적이고 증명하기 쉬웠다.[...] 그는 본질적으로 공리와 공식의 유클리드 체계와 원소로부터의 많은 명제의 증명 모두를 수정했다."

  6. ^ 맥튜터의 지오반니 지롤라모 사체리
  7. ^ O'Connor, J.J.; Robertson, E.F. "Johann Heinrich Lambert". Retrieved 16 September 2011.
  8. ^ 주목할 만한 예외는 데이비드 흄으로, 그는 1739년에 우리 우주가 비유클리드였을 가능성을 진지하게 즐겼다; 데이비드 흄 (1739/1978) L.A. Selby-Bigge, ed. (옥스포드:옥스포드 대학 출판부), 페이지 51-52.
  9. ^ 1818년 12월 편지에서, 페르디난드 칼 슈바이카르트 (1780-1859)는 비유클리드 기하학에 대한 몇 가지 통찰력을 스케치했다.이 편지는 1819년 가우스의 제자 게링에 의해 가우스에게 전달되었다.가우스는 게를링에게 대답하면서 슈바이카트를 칭찬했고 비유클리드 기하학에 대한 그의 초기 연구를 언급했다.참조:
    • 칼 프리드리히 가우스, 베르케 (라이프치히, 독일: B. G. 튜브너, 1900), 8권, 180-182쪽.
    • Schweikart의 편지와 Gerling에 대한 Gauss의 답변의 영어 번역본은 캐나다 온타리오주 워털루 대학의 "Gauss and non-유클리드 기하학"에 나와 있습니다.특히 10페이지와 11페이지를 참조하십시오.
    • 슈바이카트의 편지와 그의 조카 프란츠 아돌프 타우리누스의 글은 비유클리드 기하학에 관심이 있었고 1825년에 평행 공리에 관한 짧은 책을 출판했다: 폴 슈테켈과 프리드리히 엥겔, 디에 더오리 데르 패럴렐리니엔 에클리드 비스프 가우센스, 우룬다인에 나온다.유클리드에서 비유클리드 기하학의 아카이브인 가우스까지의 평행선 이론), (라이프치히, 독일: B. G. Teubner, 1895), 243 페이지 f.
  10. ^ Bonola, R. (1912). Non-Euclidean geometry: A critical and historical study of its development. Chicago: Open Court.
  11. ^ 1832년 3월 6일 볼프강 볼야이에게 보낸 편지에서 가우스는 이 문제를 35년 동안 연구했다고 주장한다(Faber 1983, 162페이지).1824년 타우리누스에게 보낸 편지(Faber 1983, 158페이지)에서 그는 30년 넘게 이 문제를 연구해왔으며 그가 실제로 그 세부사항을 알아냈다는 것을 보여줄 충분한 세부사항을 제공했다고 주장했다.Faber (1983, 156페이지)에 따르면, 가우스가 새로운 기하학의 존재를 받아들이게 된 것은 1813년경이었다.
  12. ^ 그러나 이를 실현 가능한 기하학으로 만들기 위해서는 평행 가설 이외의 다른 공리를 변경해야 합니다.
  13. ^ Felix Klein, 고급 관점에서 본 초등 수학: Geometry, Dover, 1948 (제3판, 1940년판 영어번역 개정).독일어 초판, 1908). 176페이지.
  14. ^ F. Klein, über die sogenannte nichteuklidische Geometrie, Mathemische Annalen, 4(1871)
  15. ^ 유클리드 평면은 등각 기하학의 맥락에서 여전히 포물선이라고 언급된다: 균등화 정리를 참조하라.
  16. ^ 를 들어, Manning 1963과 Yaglom 1968은
  17. ^ 스마트에 따르면 힐베르트의 Grundlagen der Geometrie 프랑스어 번역에 나타난 21번째 공리, 416페이지
  18. ^ (Smart 1997, 366페이지)
  19. ^ 두 개의 선만이 가정되어 있지만, 그러한 선이 무한히 존재해야 한다는 것은 쉽게 알 수 있다.
  20. ^ 제1권 유클리드의 원소 제안 27
  21. ^ * William Thurston.3차원 지오메트리 및 위상 제1권 실비오 레비 편집자프린스턴 수학 시리즈, 35. 프린스턴 대학 출판부, 프린스턴, 뉴저지, 1997.x+311pp.ISBN 0-691-08304-5 (8개의 기하학적 구조에 대한 상세 설명과 8개밖에 없다는 증거)
  22. ^ 임레 토스, "Gott und Geometrie:Eine viktorianische Kontroverse," Evolutionstheory and Ihre Evolution, Dieter Henrich, ed. (Schriftenreihe der Universitét Regensburg, band 7, 1982) 페이지 141-204.
  23. ^ Trudeau 1987, 페이지 vii-vii 참조
  24. ^ Bell, E. T. (1986). Men of Mathematics. Touchstone Books. p. 294. ISBN 978-0-671-62818-5. 저자는 이 인용문을 또 다른 수학자인 윌리엄 킹든 클리포드의 탓으로 돌린다.
  25. ^ 이것은 G. B. Halsted의 번역자가 1914년 펴낸 평행 이론의 서문에서 인용한 것이다: "베살리우스갈렌에게 있었던 일, 코페르니쿠스가 프톨레마이오스에게 있었던 , 로바체프스키와 유클리드에 있었던 일"-W. 클리포드.
  26. ^ (1988년 리처드)
  27. ^ Isaak Yaglom(1968) 기하학 복소수, 1963년 러시아 원본, 부록 "평면과 복소수에서의 비유클리드 기하학", 195–219, N.Y. Academic Press.
  28. ^ 리처드 C.톨만(2004) 운동의 상대성이론, 194페이지, §180 비유클리드 각도, §181 속도의 각도의 역학적 해석
  29. ^ 헤르만 민코프스키(1908~9)'공간과 시간'(위키소스).
  30. ^ 스콧 월터(1999년) 비유클리드 특수상대성이론
  31. ^ 이사크 야글롬(1979) 단순한 비유클리드 기하학과 그 물리적 기초: 갈릴레오 기하학과 갈릴레오 상대성 원리의 기초 설명, 스프링거 ISBN 0-387-90332-1
  32. ^ 에드윈 B. 윌슨 & 길버트 N. 루이스(1912년) 시공간상대성이론.미국 예술과학아카데미의 비유클리드 기하학 및 전자기학" 회의록 48:387~507
  33. ^ Wilson과 Lewis가 사용한 공리와 증명된 이론의 요약인 Synthetic Spacetime.WebCite에 의한 아카이브
  34. ^ "The Call of Cthulhu".
  35. ^ "HyperRogue website".

레퍼런스

외부 링크