광장

광장
광장
	정사각형
유형	정다각형
모서리 및 정점	4
슐레플리 기호	{4}
콕서터-딘킨 도표	;
대칭군	이면체(D4), 2×4 차수
내부 각도(도)	90°
특성.	볼록형, 순환형, 등변형, 등변형, 등변형, 등변형

유클리드 기하학에서 정사각형은 정 사각형으로, 이는 정사각형은 4개의 등변과 4개의 등각(90도 각도, θ/2 라디안 각도 또는 직각)을 가지고 있다는 것을 의미한다.또한 인접한 두 변의 길이가 같은 직사각형으로 정의할 수도 있습니다.내부 각도, 중심 각도 및 외부 각도가 모두 같고(90°) 대각선의 길이가 동일한 유일한 정다각형입니다.정점이 ABCD인 정사각형은 ^[1] $◻$ {\ $displaystyle \square }$ ABCD로 $\square$ 표시됩니다.

특성화

볼록 사각형은 다음 ^[2]^[3]중 하나일 경우에만 정사각형이다.

인접한 두 개의 동일한 변이 있는 직사각형
직각 정점 각도를 가진 마름모꼴
모든 각도가 동일한 마름모꼴
하나의 오른쪽 정점 각도와 두 개의 인접한 동일한 변을 가진 평행 사변형
4개의 등변과 4개의 직각을 가진 사각형
대각선이 같고 서로 수직 이등분선인 사각형(대각선이 같은 마름모꼴)
면적이 A $A={\tfrac {1}{2}}(a^{2}+c^{2})={\tfrac {1}{2}}(b^{2}+d^{2}).$ $A={\tfrac {1}{2}}(a^{2}+c^{2})={\tfrac {1}{2}}(b^{2}+d^{2}).$ 2 ( $A={\tfrac {1}{2}}(a^{2}+c^{2})={\tfrac {1}{2}}(b^{2}+d^{2}).$ 2 $A={\tfrac {1}{2}}(a^{2}+c^{2})={\tfrac {1}{2}}(b^{2}+d^{2}).$ + $A={\tfrac {1}{2}}(a^{2}+c^{2})={\tfrac {1}{2}}(b^{2}+d^{2}).$ 2 ) $A={\tfrac {1}{2}}(a^{2}+c^{2})={\tfrac {1}{2}}(b^{2}+d^{2}).$ 2 ( $A={\tfrac {1}{2}}(a^{2}+c^{2})={\tfrac {1}{2}}(b^{2}+d^{2}).$ $A={\tfrac {1}{2}}(a^{2}+c^{2})={\tfrac {1}{2}}(b^{2}+d^{2}).$ + d 2 $A={\tfrac {1}{2}}(a^{2}+c^{2})={\tfrac {1}{2}}(b^{2}+d^{2}).$ ) . $A={\tfrac {1}{2}}(a^{2}+c^{2})={\tfrac {1}{2}}(b^{2}+d^{2}).$ { $displaystyle$ A = 1 t $tfrac {1}$ { $2}$ ( $a^{2$ } + $c^{2} =$ 1 t tfrac ${$ 2} { $b^2}$ + d $^2}$ 인 $A={\tfrac {1}{2}}(a^{2}+c^{2})={\tfrac {1}{2}}(b^{2}+d^{2}).$ a, b, c, d ^2}. $}$ ^[4]^{: Corollary 15}

특성.

정사각형은 마름모꼴(등변, 반대편 등각), 연(등변 2쌍), 사다리꼴(등변 1쌍), 평행사변형(전반대편 평행), 사각형 또는 사각형(등변 4각형), 직사각형(등변, 직각)의 특수한 경우이며, 따라서 모든 사각형(등변, 직각)이 있다.이 모든 형태의 특성, 즉:^[5]

정사각형의 네 가지 내부 각도는 모두 동일하다(각각 360°/4 = 90°, 직각).
정사각형의 중심 각도는 90°(360°/4)입니다.
정사각형의 외각은 90°와 같다.
정사각형의 대각선은 같으며 90°에서 서로 이등분한다.
정사각형의 대각선은 그 내각을 이등분하여 45°의 인접각을 형성한다.
정사각형의 네 변은 모두 같다.
정사각형의 반대쪽은 평행하다.
제곱은 n-입방체 및 n-정류량군의 n=2 경우이다.
정사각형에 슐레플리 기호 {4}이(가) 있습니다.잘린 정사각형 t{4}는 8각형 {8}입니다.교대 정사각형 h{4}는 이각형 {2}입니다.

주변 및 면적

정사각형의 넓이는 그 변의 길이의 곱이다.

네 변의 길이가 $\ell$ (\displaystyle $\ell)$ 인 $\ell$ 정사각형의 둘레는

P=4\ell

그리고 A구역은

A=\ell ^{2}.

^[1]

4의 제곱은 16이므로 4x4의 제곱은 둘레와 같은 면적을 가진다.이러한 성질을 가진 유일한 사각형은 3x6 직사각형이다.

고전 시대에는 위의 공식에서와 같이 정사각형의 면적으로 두 번째 거듭제곱을 기술했다.이는 제곱이라는 용어가 2제곱을 의미하는 데 쓰이게 되었다.

면적은 대각선 d를 사용하여 다음과 같이 계산할 수도 있습니다.

({displaystyle A=syslogfrac {d^{2}}}{2}).}

원둘레 반지름 R의 관점에서 정사각형의 면적은 다음과 같다.

({displaystyle A=2R^{2};})

원의 면적은 $\pi R^{2},$ $\pi R^{2},$ 2, $\pi R^{2},$ \ $displaystyle \pi$ R $^{2$ }이므로 $\pi R^{2},$ 정사각형은 외접 원의 2 $2/\pi \approx 0.6366$ / $2/\pi \approx 0.6366$ 0. $2/\pi \approx 0.6366$ {\ $displaystyle$ 2 $/\pi \약$ 0. $6366}$ 을 $2/\pi \approx 0.6366$ $2/\pi \approx 0.6366$ .

반지름 r의 관점에서, 정사각형의 넓이는

({displaystyle A=4r^{2};})

따라서 내접원의 면적은 정사각형 면적의 $0.7854(표시$ $\pi /4\approx 0.7854$ \ $pi / 4$ )이다 $\pi /4\approx 0.7854$ .

정사각형은 정다각형이기 때문에 주어진 영역을 둘러싼 최소 둘레의 사각형입니다.마지막으로, 정사각형은 주어진 ^[6]둘레 내에서 가장 큰 면적을 포함하는 사각형입니다.실제로 A와 P가 사각형으로 둘러싸인 면적과 둘레라면 다음과 같은 등방 부등식이 성립한다.

16A\leq P^{2}

사변형이 정사각형인 경우에만 동등하게 한다.

기타 사실

정사각형의 대각선은 정사각형의 한 변 길이의 ${\sqrt {2}}$ 2의 제곱근 또는 피타고라스의 ^[1]상수로 알려진 이 값은 비합리적인 것으로 증명된 첫 번째 숫자였다.
정사각형은 각도를 양분하는 대각선이 동일한 평행사변형으로 정의할 수도 있습니다.
그림이 직사각형(직각)과 마름모꼴(가장자리 길이가 동일)인 경우 정사각형입니다.
정사각형은 ^[7]둘레가 같은 다른 사각형보다 면적이 넓다.
정사각형 타일링은 평면의 세 가지 정규 타일링 중 하나입니다(다른 것은 정삼각형과 정육각형).
정사각형은 하이퍼큐브와 크로스 폴리토프라는 2차원의 두 개의 폴리토프 패밀리에 있습니다.정사각형의 슐레플리 기호는 {4}입니다.
사각형은 매우 대칭적인 물체입니다.4개의 반사 대칭선이 있으며 4차 회전 대칭(90°, 180° 및 270°까지)을 가지고 있습니다.대칭군은 이면체군₄ D이다.
정사각형은 임의의 정다각형 안에 내접할 수 있습니다.이 성질을 가진 유일한 다른 다각형은 정삼각형입니다.
정사각형 ABCD의 내접원이 AB에 접점 E, BC에 F, CD에 G, DA에 H를 갖는 경우 ^[8]내접원 P에 대해

(\displaystyle 2(PH^{2}-PE^{2})=PD^{2}-PB^{2}}

$(\$ })가 $d_{i}$ 평면의 임의의 점으로부터 정사각형의 i번째 정점까지의 $R$ 이고 R $(\displaystyle$ R $)$ 이 $R$ 정사각형의 반지름인 $d_{i}$ ^[9]

{\frac {d_{1}^{4}+d_{3}^{4}+d_{4}{4}}+3R^{4}=\left({\frac {d_{1}^{2}+d_{2})}^{2}+d_{3}^{2}+d_{4}^{2}}{4}}+R^{2}\오른쪽)^{2}.

L $(\displaystyle$ L $)$ 과 $L$ $(\$ })가 $d_{i}$ 평면 내의 임의의 점으로부터 정사각형의 중심과 그 4개의 정점까지의 거리인 $경우$ ,

d_{1}^{2}+d_{3}^{2}=d_{2}^{2}+d_{4}^{2}=2(R^{2}+L^{2})

그리고.

d_{1}^{2}d_{3}^{2}+d_{2}}^{2}d_{4}^{2}=2(R^{4}+L^{4}),

R

서 R

(\displaystyle

R

)

은

R

정사각형의 반지름입니다.

좌표 및 방정식

|x|+|y|=2

x

|x|+|y|=2

+

|x|+|y|=2

|x|+|y|=2

(\displaystyle

x + y

=2})

를

|x|+|y|=2

데카르트 좌표에 표시합니다.

원점을 중심으로 수직 및 수평 변이 있는 정사각형의 정점에 대한 좌표는 (±1, ±1)이며, 이 정사각형의 내부는 -1 < x_i < 1 및 -1 < y_i < 1의 모든 점(x_i, y_i)으로 구성된다.방정식

\displaystyle \max(x^{2},y^{2}=1}

이 사각형의 경계를 지정합니다.이 방정식은 "x² 또는² y 중 큰 것은 1"을 의미합니다.이 정사각형의 반지름(사각형의 정점을 통과하는 원의 반지름)은 정사각형의 절반이며, ${\sqrt {2}}.$ 와 같습니다 $.$ {\ $displaystyle\sqrt {2}}$ } 그러면 ${\sqrt {2}}.$ 원주에는 다음과 같은 방정식이 있습니다 $.$

x^{2}+y^{2}=2.

또는 방정식

\displaystyle \left x-a\right +\left y-b\right =r}

는 중심 좌표(a, b)와 수평 또는 수직 반지름이 r인 정사각형의 경계를 설명하는 데도 사용할 수 있습니다.따라서 정사각형은 L 거리₁ 메트릭에 따른 위상 공 모양입니다.

건설

다음 애니메이션은 나침반과 직선을 사용하여 정사각형을 만드는 방법을 보여줍니다.이는 4 = 2의² 거듭제곱으로 가능합니다.

주어진 원의 제곱

주어진 변의 길이로 정사각형,
탈레스 정리를 이용한 직각

주어진 대각선에서의 제곱

대칭

이면체 대칭은 꼭지점(대각선인 경우 d) 또는 모서리(수직인 경우 p)를 통과하느냐에 따라 분할됩니다. 가운데 열의 순환 대칭은 중심 회전 순서에 대해 g로 레이블이 지정됩니다.정사각형의 전체 대칭은 r8이며 대칭은 a1로 표시되지 않습니다.

정사각형은 Dih 대칭을 가지며₄, 8차이다.2개의 이면체 부분군이 있습니다.Dih₂, Dih₁ 및 3개의 순환 부분군₄: Z, Z₂ 및 Z₁.

정사각형은 다수의 하위 대칭 4변수의 특수한 경우입니다.

인접한 두 개의 동일한 변이 있는 직사각형
4개의 등변과 4개의 직각을 가진 사각형
하나의 직각과 두 개의 인접한 등변을 가진 평행사변형
직각의 마름모꼴
모든 각도가 동일한 마름모꼴
대각선이 같은 마름모꼴

이 6개의 대칭은 정사각형에서 8개의 다른 대칭을 나타냅니다.John Conway는 편지 및 그룹 ^[11]순서에 따라 라벨을 붙입니다.

각 부분군 대칭은 불규칙한 4변수에 대해 하나 이상의 자유도를 허용합니다. r8은 정사각형의 완전한 대칭이고 a1은 대칭이 아닙니다. d4는 직사각형의 대칭이고 p4는 마름모의 대칭입니다.이 두 형태는 서로 쌍대칭이며 정사각형의 대칭 순서는 절반이다. d2는 이등변 사다리꼴의 대칭이고 p2는 연의 대칭이다. g2는 평행사변형의 형상을 정의한다.

g4 부분군에만 자유도가 없지만, 모서리를 향한 정사각형으로 볼 수 있습니다.

삼각형으로 새겨진 정사각형

모든 예각 삼각형은 세 개의 내접 사각형(사각형의 꼭지점 4개가 모두 삼각형의 한 변에 위치하도록 내부 제곱)을 가집니다. 따라서 두 개의 꼭지점이 같은 변에 있고, 따라서 사각형의 한 변이 삼각형의 한 변의 일부와 일치합니다.직각 삼각형에서 정사각형 중 두 개가 일치하고 삼각형의 직각에서 정점이 있으므로 직각 삼각형에는 두 개의 내접 정사각형만 있습니다.둔각 삼각형은 한 변이 삼각형의 가장 긴 변의 일부와 일치하는 내접 정사각형 하나만 가지고 있다.

정사각형으로 채워진 삼각형의 면적 비율은 1/2 이하입니다.

원을 제곱하다

고대 기하학자들이 제안한 원의 제곱은 나침반과 직선이 있는 한정된 수의 계단만을 사용하여 주어진 원과 같은 면적의 정사각형을 만드는 문제이다.

1882년, 이 작업은 린데만의 결과로 불가능하다는 것이 입증되었다.바이얼스트라스 정리, 이것은 $파이$ (θ)가 대수적 무리수가 아닌 초월수라는 것을 증명한다; 즉, 그것은 유리 계수를 갖는 어떤 다항식의 근이 아니다.

비유클리드 기하학

비유클리드 기하학에서 정사각형은 일반적으로 4개의 변과 각도가 같은 다각형이다.

구면 기하학에서 정사각형은 모서리가 같은 거리의 큰 원호이며, 같은 각도로 만나는 다각형입니다.평면 기하학의 정사각형과 달리, 그러한 정사각형의 각도는 직각보다 크다.구형 정사각형이 클수록 각도가 커집니다.

쌍곡선 기하학에서는 직각이 있는 정사각형이 존재하지 않습니다.오히려 쌍곡선 기하학에서 정사각형의 각도는 직각보다 작습니다.쌍곡선 정사각형이 클수록 각도가 작습니다.

예:

두 개의 정사각형은 각 정점 주위에 두 개의 정사각형과 180도 내부 각도로 구를 타일링할 수 있습니다.각 사각형은 반구 전체를 덮고 있으며 꼭지점은 큰 원을 따라 놓여 있습니다.이것은 구형 정사각형 이면체라고 불립니다.Schléfli 기호는 {4,2}입니다.	6개의 정사각형은 각 정점 주위에 3개의 정사각형과 120도의 내부 각도로 구를 타일링할 수 있습니다.이것은 구형 입방체라고 불린다.Schléfli 기호는 {4,3}입니다.	정사각형은 각 정점을 중심으로 5의 쌍곡면을 타일링할 수 있으며, 각 정사각형은 72도의 내부 각도를 가집니다.Schléfli 기호는 {4,5}입니다.사실, n 5 5에 대해 각 정점에 n개의 정사각형이 있는 쌍곡선 타일링이 있습니다.

교차 정사각형

교차 제곱

교차된 사각형은 정사각형의 면으로, 정사각형의 마주보는 두 모서리를 제거하고 두 개의 대각선으로 다시 연결한 자체 교차 폴리곤입니다.이것은 정사각형의 절반 대칭인 Dih₂, 4차입니다.정사각형과 같은 정점 배열을 가지며 정점-추이적입니다.공통 정점을 가진 두 개의 45-45-90 삼각형으로 나타나지만 기하학적 교차점은 정점으로 간주되지 않습니다.

교차된 사각형은 때때로 나비 넥타이나 나비모양에 비유된다.교차된 직사각형은 직사각형의 면으로서 교차된 4변수의 ^[12]두 가지 특수한 경우 모두 관련이 있다.

교차된 사각형의 내부는 시계 방향 또는 시계 반대 방향의 와인딩 방향에 따라 각 삼각형에서 ±1의 폴리곤 밀도를 가질 수 있습니다.

정사각형과 교차 사각형의 공통 속성은 다음과 같습니다.

반대쪽의 길이는 같다.
그 두 대각선은 길이가 같다.
2차(~180°)의 반사 대칭과 회전 대칭의 두 선이 있습니다.

그것은 균일한 별의 다면체, 즉 사십육면체의 꼭지점 도형에 존재한다.

그래프

3-심플렉스(3D)

K₄ 완전 그래프는 가능한 모서리 6개가 모두 연결된 정사각형으로 그려지므로 두 대각선이 그려진 정사각형으로 나타납니다.이 그래프는 또한 정삼각형(사면체)의 4개의 꼭지점과 6개의 모서리의 맞춤 투영을 나타냅니다.

「」를 참조해 주세요.

레퍼런스

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외부 링크

v t 치수 2-10의 기본 볼록 정규 및 균일한 폴리토프
가족	A_n	B_n	I₂(p) / D_n	E₆/E₇/E₈/F₄/G₂	H_n
정다각형	삼각형	광장	p곤	육각형	펜타곤
균일한 다면체	사면체	8면체 • 큐브	데미큐브		12면체 • 이십면체
균일한 폴리코론	펜타코론	16 셀 • 테서랙트	데모테서랙트	24 셀	120 셀 • 600 셀
균일한 5 폴리토프	51200x	5 - ORTOPLEX • 5 - 큐브	5 데미큐브
균일한 6 폴리토프	61200x	6-정류 • 6-큐브	6-데미큐브	1₂₂ • 2₂₁
균일한 7 폴리토프	71200x	7-정류 • 7-큐브	7 데미큐브	1₃₂ • 2₃₁ • 3₂₁
균일한 8 폴리토프	8180x	8-정류 • 8-큐브	8개의 데미큐브	1₄₂ • 2₄₁ • 4₂₁
균일한 9-폴리토프	9169x	9-정류 • 9-입방체	9데미큐브
균일한 10 폴리토프	10-1996x	10 - ORTOPLEX • 10 - 큐브	10 데미큐브
균일한 n-폴리토프	n-1996x	n-ortoplex • n-입방체	n-데미큐브	1_k2 • 2_k1 • k₂₁	n-오각형 폴리토프
주제: 폴리토프 패밀리 • 일반 폴리토프 • 일반 폴리토프 및 화합물 목록

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[Mamuka-10] Meskhishvili, Mamuka (2020). "Cyclic Averages of Regular Polygons and Platonic Solids". Communications in Mathematics and Applications. 11: 335–355. arXiv:2010.12340. doi:10.26713/cma.v11i3.1420 (inactive 2022-07-14).{{cite journal}}: CS1 유지 : 2022년 7월 현재 DOI 비활성화 (링크)

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