사변형

사변형
일부 4변수
모서리 및 정점	4
슐레플리 기호	{4}(사각형용)
지역	다양한 방법 이하를 참조해 주세요
내부 각도(도)	90°(사각형 및 직사각형)

기하학에서 사각형은 네 개의 모서리(변)와 네 개의 모서리(수직)를 가진 네 개의 면 폴리곤입니다.이 단어는 4개의 변형인 라틴어 quadri와 "측면"을 뜻하는 latus에서 유래했다.그것은 또한 다른 다각형과 유사하게 "4"를 의미하는 그리스어 "테트라"와 "각도"를 의미하는 "곤"에서 유래한 "테트라곤"으로 불린다."곤"은 "각도"를 의미하기 때문에, 그것은 유사하게 사각형 또는 4각형이라고 불립니다.$정점{\displaystyle }$A(\$displaystyle$ A$),$ $(\displaystyle$ B$),$ $(\displaystyle$ C$)$ 및$$$D{\displaystyle }$(\$displaystyle$ D$)$가 있는 사각형은 $◻{\displaystyle }$ ${\displaystyle A}$ B ${\displaystyle C}$(\$displaystyle \square$ ABCD$)$^[1]로 표시될 수 있습니다.

사변수는 단순(자기 교차가 아님) 또는 복합(자기 교차 또는 교차)입니다.단순 사변수는 볼록하거나 오목하다.

단순한(및 평면) 사각형 ABCD의 내부 각도는 360도의 호를 더한다^[1].

$(\displaystyle \angle A+\angle B+\angle C+\angle D=360^{\circ })$

이것은 n-곤 내부 각도 합계의 특별한 경우이다: S = (n - 2) × 180°^[2]

자기 교차가 아닌 모든 사변수는 ^[3]모서리의 중간점을 중심으로 반복 회전하여 평면을 타일링합니다.

심플한 4변수

스스로 교차하지 않는 사변은 모두 단순한 사변형이다.

볼록 사각형

볼록 사각형에서는 모든 내부 각도가 180° 미만이며, 두 대각선은 둘 다 사각형 안에 있다.

• 불규칙한 사변형(영국 영어) 또는 사다리꼴(북미 영어): 변이 평행하지 않다.(영국 영어에서는 이것을 사다리꼴이라고 불렀다.)자세한 내용은 사다리꼴 tra 사다리꼴 vs 사다리꼴)을 참조하십시오.
• 사다리꼴(영국) 또는 사다리꼴(US): 적어도 한 쌍의 반대쪽이 평행합니다.사다리꼴(영국) 및 사다리꼴(US)에는 평행사변형이 포함됩니다.
• 이등변 사다리꼴(영국) 또는 이등변 사다리꼴(US): 반대쪽의 한 쌍이 평행하고 베이스 각도가 동일합니다.다른 정의는 대칭 축이 반대쪽 한 쌍을 이등분하는 사각형 또는 대각선이 같은 사다리꼴입니다.
• 평행사변형: 두 쌍의 평행한 변이 있는 사변형.대각선의 길이가 같거나, 대각선의 길이가 같거나, 대각선이 서로 이등분하는 등 조건이 동일합니다.평행사변형에는 마름모꼴(사각형이라고 하는 직사각형 포함)과 마름모꼴(오목이라고 하는 직사각형 포함)이 포함됩니다.즉, 평행사변형은 모든 마름모꼴과 모든 마름모꼴을 포함하며, 따라서 모든 직사각형도 포함한다.
• 마름모꼴, ^[1]마름모꼴: 네 변 모두 길이가 같다(등각).대각선이 서로 수직으로 이등분하는 동등한 조건입니다.비공식: "밀린 정사각형" (단, 정사각형도 포함)
• Rhomboid: 인접한 변의 길이가 동일하지 않고 일부 각도가 비스듬한 평행사변형(직각 없음).비공식적으로: "밀린 장방형"모든 참고문헌이 일치하는 것은 아니지만, 일부에서는 마름모꼴을 ^[4]마름모가 아닌 평행사변형으로 정의하기도 한다.
• 직사각형: 4개의 각도가 모두 직각(등각)입니다.대각선이 서로 이등분하고 길이가 같은 조건입니다.직사각형에는 정사각형과 장원이 포함됩니다.비공식: 상자 또는 직사각형(사각형 포함)
• 정사각형(정사각형): 네 변 모두 길이가 같고(등각), 네 각도가 모두 직각입니다.대각선이 평행(사각형은 평행사변형)하고 대각선이 서로 수직으로 이등분하여 길이가 같은 동등한 조건이다.사각형은 마름모꼴과 직사각형(즉, 4개의 등변과 4개의 등각)인 경우에만 정사각형이다.
• 직사각형: 너비보다 길거나 긴 직사각형(^[5]사각형 이외의 직사각형)보다 넓습니다.
• 연: 인접한 두 쌍의 변이 같은 길이입니다.이것은 하나의 대각선이 연을 합동 삼각형으로 나누고, 따라서 동일한 변의 두 쌍 사이의 각도가 측정에서 동일하다는 것을 의미합니다.또한 대각선이 수직임을 나타냅니다.연은 마름모꼴을 포함한다.

• 접선 사각형: 네 변은 내접 원에 접선입니다.볼록 사각형은 서로 다른 변의 합이 같을 경우에만 접선이다.
• 접선 사다리꼴: 네 변이 내접하는 사다리꼴.
• 순환 사각형: 4개의 정점은 외접원 위에 있습니다.볼록 사각형은 대각의 합이 180°인 경우에만 순환이다.
• 오른쪽 연: 두 개의 반대되는 직각을 가진 연.이것은 순환 사변형의 일종이다.
• 고조파 사변형: 반대쪽 변의 길이의 곱은 같다.이것은 순환 사변형의 일종이다.
• 양심 사변형: 그것은 접선형이고 순환형이다.
• 직각 사각형: 대각선이 직각으로 교차합니다.
• 등각사각형: 대각선은 길이가 같다.
• ex-tangential 사각형: 변의 4개의 확장이 원근에 접해 있습니다.
• 등변 사각형은 두 개의 반대되는 등변을 가지며, 이 변을 늘리면 60°에서 만난다.
• 와트 사변형은 길이가 ^[6]같은 한 쌍의 반대 변을 가진 사변형이다.
• 사각형은 네 개의 정점이 모두 ^[7]정사각형의 둘레에 있는 볼록한 사각형이다.
• 직경사각형은 ^[8]원둘레의 지름으로서 한쪽 변을 가진 고리 모양의 사각형이다.
• Hjelmslev 사변형은 서로 반대되는 ^[9]꼭지점에 두 개의 직각을 가진 사변형이다.

오목 사변수

오목한 사각형은 한쪽의 내각이 180°보다 크고, 2개의 대각선 중 한쪽이 사각형 밖에 있다.

• 다트(또는 화살촉)는 연처럼 좌우 대칭을 가지지만 내부 각도가 반사되는 오목한 사각형입니다.Kite를 참조하십시오.

복잡한 사변수

자기교차 사각형은 여러 가지로 교차 사각형, 교차 사각형, 나비 사각형 또는 나비 넥타이 사각형이라고 불립니다.교차 사각형에서 교차로 양쪽에 있는 네 개의 "내부" 각도(그림 추적 시 왼쪽 또는 오른쪽에 있는 두 개의 예각과 두 개의 반사각)는 720°^[10]에 달한다.

• 교차 사다리꼴(US) 또는 사다리꼴(Commonwealth):^[11] 한 쌍의 비인접 변이 평행한 교차 사각형(사다리꼴과 유사)
• 반평행 사각형: 각 비인접 변의 길이가 동일한 교차 사변형(평행 사변형
• 교차된 직사각형: 직사각형의 두 변과 두 대각선이며, 따라서 한 쌍의 평행한 반대 변을 가진 역평행 로그램
• 교차 정사각형: 두 변이 직각으로 교차하는 교차 직사각형의 특수한 경우

특수 선분

볼록 사변형의 두 대각선은 서로 반대되는 꼭지점을 연결하는 선분입니다.

볼록 사각형에 있는 두 개의 바이메디언은 반대쪽의 ^[12]중간점을 연결하는 선분입니다.이들은 사변형의 "수직 중심"에서 교차한다(아래의 볼록한 사변형의 주목할 만한 점과 선 참조).

볼록 사변형의 네 가지 변위는 한 변에 대한 수직이며 반대 ^[13]변의 중간점을 통과한다.

볼록 사각형 면적

변이 a = AB, b = BC, c = CD 및 d = DA인 볼록 사각형 ABCD의 면적 K에는 다양한 일반 공식이 있다.

삼각 공식

면적은 삼각법으로^[14] 다음과 같이 나타낼 수 있습니다.

${\displaystyle K=sinfrac {pq}{2}}\sin \theta,}$

여기서 대각선의 길이는 p와 q이고 그 사이의 각도는 ^[15]θ이다.정방정사각형(예: 마름모꼴, 정사각형, 카이트)의 경우 θ가 90°이므로 이 공식은 K ${\displaystyle =}$ ${\displaystyle \frac{p}{}}$ ${\displaystyle \frac{\mathrm{}}{}}$ 2$({$ K=$ptfrac {pq}{2}})$로 감소한다.

이 영역은 바이메디언^[16](bimedian)으로 다음과 같이 나타낼 수도 있습니다.

${\displaystyle K=mn\sin \varphi,}$

여기서 바이메디언의 길이는 m과 n이고 그 사이의 각도는 θ이다.

브레츠나이더의 공식은^[17][14] 면적을 변과 두 개의 반대 각도로 표현합니다.

${\displaystyle {\begin{aligned}K&=sqrt {(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)-{\tfrac {1}{2}} abcd\;[1+\cos(A+C)]}\\&=svrt {(s-a)(s-c)(s-d)-abcd\left[\cos ^{2}\frac {A+C}{2}\right}}}\end {aligned}}}}$

여기서, 순서의 변은 a, b, c, d이고, 여기서 s는 세미 페리미터이고, A와 C는 두 개의 반대각(사실상 두 개)입니다.이것은 A + C = 180°일 때 순환 사변형의 면적에 대한 브라흐마굽타의 공식으로 줄어든다.

변과 각도의 관점에서 각도 C는 변 b와 c 사이이고 A는 변 a와 d 사이인 다른 면적 공식은 다음과 같다.

${\displaystyle K=sin {ad}{2}}\sin {A}+{\frac {bc}{2}}\sin {C}.}$

순환 사변형의 경우, 후자의 공식은 K ${\displaystyle =\frac{a}{}}$ + ${\displaystyle \frac{b}{}}$ ${\displaystyle \frac{\mathrm{}}{}}$ ${\displaystyle 2}$ sin${\displaystyle a}$A가 $.$ {\$displaystyle$ K =$afrac {ad+bc}{2$$}}\sin {A}.$$}$

반대쪽과 각도의 쌍이 동일한 평행 사변형에서 이 공식은 K ${\displaystyle =}$ ${\displaystyle a\delta }$ sin${\displaystyle \delta }$A로 $감소$합니다$.$ {\$display$ K$=ab\cdot \sin {A}.$$}$

또는 대각선의 변과 교차각 θ의 면적을 기입할 수 있습니다. 긴 θ는 90°^[18]가 아닙니다.

$({displaystyle K=brack\left \tan \theta \right }{4}}\cdot \left a^{2}+c^{2}-b^{2}-d^{2}\right.})$

평행사변형의 경우, 후자의 공식은 K ${\displaystyle =}$ tan ${\displaystyle \frac{}{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}a{}^{}}$ a${\displaystyle {}^{}{}^{}}$ - ${\displaystyle {b\mathrm{}}^{}{}^{}}2가{\displaystyle }$ $됩니다.{$ $displaystyle$ K$= tan \theta \right$}{$2}\cdot \left a^{2}-b^{2}\right$}

변 a, b, c, d를^[16] 포함한 다른 면적식은 다음과 같다.

$({displaystyle K=sin frac {(a^{2}+c^{2})-2x^{2}(b^{2}+d^{2})}-{2}}-{2}}-\sin({varphi})$

여기서 x는 대각선의 중간점 사이의 거리이고 θ는 쌍각선 사이의 각도입니다.

마지막 삼각 지역 공식은 측면을, b, c, d며 앵글을α(a와 b사이)포함:[19].

${\displaystyle K={\frac{농양}{2}}\sin{\alpha}(c^{2}+d^{2}-a^{2}-b^{2}+2ab\cdot\cos{\alpha})^{2}}}{4}},}.$

또한 오목 사각형( 오목한 부분 반대를 하고 angle에 α)의 지역,-최초의 징후+을 변경하여 사용될 수 있다.

비트리고노미터 공식

옆은 a, b, c, d, semiperimeter의 측면에서 다음 두 공식을 표현하다 넓이, 그리고 대각선 p, q:.

${\displaystyle K={\sqrt{(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)-{\tfrac{1}{4}}(ac+bd+pq)(ac+bd-pq)}},}$ ^[20]

${\displaystyle K={\frac{\sqrt{4p^{2}(a^{2}+c^{2}-b^{2}-d^{2}\right)^{2}}}{4}}.}$ ^[21]

그 이후 pq = 교류+bd 첫번째 순환형 사건에 브라마 굽타의 공식에, 감소시킨다.

이 지역에는 또한 bimedians m, n과 대각선 p, q의 관점에서:표현될 수 있다.

${\displaystyle K={\frac{\sqrt{(m+n+p)(m+n-p)(m+n+q)(m+n-q)}}{2}},}$ ^[22]

${\displaystyle K={\frac{\sqrt{p^{2}(m^{2}-n^{2})^{2}}}{2}}.}$ ^[23]:Thm.7

사실, 아무거나 3가지 네 값을 m, n, p,서 그 지역을 측정하기 위해 q충분하다 이후 어떤 사변형의 4값 p2+q2=2(m2+n2).{\displaystyle p^{2}(m^{2}+n^{2})이다.}[24]:페이지의 주 해당되는 표현 126다:[25].

${\displaystyle K={\frac{\sqrt{[(m+n)^{2}-p^{2}]\cdot)}}{2}},}.$

만약에 두 bimedians고 대각선의 길이가 받았을 경우, and[25].

${\displaystyle K={\frac{\sqrt{[(p+q)^{2}-4m^{2}]\cdot)}}{4}},}.$

대각선 두 개와 바이메디언 한 개의 길이가 주어진 경우.

벡터 공식

사각형 ABCD의 면적은 벡터를 사용하여 계산할 수 있습니다.벡터 AC와 BD가 A에서 C로, 그리고 B에서 D로 대각선을 형성하도록 하자.사변형의 면적은 다음과 같다.

$({displaystyle K=sqfrac {\mathbf {AC} \times \mathbf {BD} }{2}})$

벡터 AC와 BD의 교차곱의 절반 크기입니다.2차원 유클리드 공간에서 벡터 AC를 데카르트 공간의 자유 벡터로₁ 표현하면 (x,y₁), BD를 (x₂,y₂)로 표현할 수 있다.

$({displaystyle K=syslogfrac {x_{1}y_{2}-x_{2}y_{1} }{2}).}$

대각선

4변수 대각선 속성

다음 표에는 가장 기본적인 4변수 중 일부의 대각선이 서로 이등분하는 경우, 대각선이 수직인 경우,^[26] 대각선의 길이가 동일한지 여부가 나와 있습니다.이 목록은 가장 일반적인 경우에 적용되며 명명된 하위 집합은 제외됩니다.

사변형	대각선 이등분	수직 대각선	등각선
사다리꼴	아니요.	주 1 참조	아니요.
이등변 사다리꼴	아니요.	주 1 참조	네.
평행사변형	네.	아니요.	아니요.
연	주 2 참조	네.	주 2 참조
직사각형	네.	아니요.	네.
마름모꼴	네.	네.	아니요.
광장	네.	네.	네.

주 1: 대부분의 일반적인 사다리꼴과 이등변 사다리꼴은 수직 대각선을 가지지 않지만, 수직 대각선을 가지며 다른 이름 있는 사각형은 아닌 무한히 많은 (비비슷한) 사다리꼴과 이등변 사다리꼴이 있다.

비고 2: 연에서 대각선 하나는 다른 하나를 이등분한다.가장 일반적인 연은 대각선이 동일하지 않지만, 대각선의 길이가 같은 (비비슷한) 연의 수는 무한하다.

대각선 길이

볼록 사각형 ABCD의 대각선 길이는 사각형 중 하나의 대각선과 두 변으로 형성된 각 삼각형의 코사인 법칙을 사용하여 계산할 수 있습니다.따라서

$({displaystyle p=sqrt {a^{2}+b^{2}-2ab\cos {B}})=sqrt {c^{2}+d^{2}-2cd\cos {D}}})$

그리고.

${\displaystyle q=sqrt {a^{2}+d^{2}-2ad\cos {A}}=sqrt {b^{2}+c^{2}-2bc\cos {C}}}}.}$

대각선 길이에 대한 더 대칭적인 공식은 다음과^[27] 같습니다.

${\displaystyle p=brt {(ac+bd)(ad+bc)-2abcd(\cos {B}+\cos {D}}}:{ab+cd}}$

그리고.

${\displaystyle q=bcrt {(ab+cd)(ac+bd)-2abcd(\cos {A}+\cos {C})}{ad+bc}}}.}$

평행사변형의 법칙과 프톨레마이오스의 정리

볼록한 사각형 ABCD에서 4개의 변의 제곱합은 2개의 대각선의 제곱합과 대각선의 중간점을 연결하는 선분의 제곱합 4배와 같다.따라서

${\displaystyle a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}}=p^{2}+q^{2}+4x^{2}}}$

여기서 x는 ^{[24]: p.126} 대각선의 중간점 사이의 거리입니다.이것은 때때로 오일러의 사변정리로 알려져 있고 평행사변법칙의 일반화이다.

독일의 수학자 칼 안톤 브레츠나이더는 볼록한^[28] 사각형에서의 대각선의 곱에 관한 프톨레마이오스 정리의 다음과 같은 일반화를 1842년에 도출했다.

$({displaystyle p^{2}q^{2}=a^{2}c^{2}+b^{2}d^{2}-2abcd\cos {(A+C)}).}$

이 관계는 사각형에 대한 코사인 법칙으로 간주할 수 있습니다.A + C = 180°인 순환 사각형에서는 pq = ac + bd로 감소한다.cos (A + C) - -1이므로, 그것은 또한 프톨레마이오스의 부등식에 대한 증거를 제공한다.

기타 메트릭 관계

변이 a = AB, b = BC, c = CD, d = DA인 볼록한 사각형^{[29]: p.14} ABCD에서 X와 Y가 B와 D에서 대각선 AC = p에 이르는 법선의 발이라면,

$({displaystyle XY=cfrac {a^{2}+c^{2}-b^{2}-d^{2} }{2p}).}$

변이 a = AB, b = BC, c = CD, d = DA이고 대각선이 E에서 교차하는 볼록 사각형 ABCD에서,

${\displaystyle efgh(a+c+b+d)(a+c-b-d)=(agh+cef+beh+dfg)(agh+cef-beh-dfg)}$

여기서 e = AE, f = BE, g = CE, h = ^[30]DE입니다.

볼록 사변형의 모양과 크기는 연속된 변의 길이와 지정된 두 꼭지점 사이의 대각선 하나에 의해 완전히 결정됩니다.사변형의 두 대각선 p, q와 네 변 길이 a, b, c, d는 다음과 같이 케일리-멘저 행렬식에 의해 관련된다^[14].

$\displaystyle \det {bmatrix} 0&a^{2}&p^{2}&1\a^{2}&0&b^{2}&1\p^{2}&b^{2}&0&0c^{2}&1\d^{2}&2}&c}&d^{2}&d^{2}&2}&1\c}&1\a^2}&p^2}&p^2}&}$

각도 이등분선

볼록 사변형의 내부 각도 이등분선은 순환 사변형^{[24]: p.127} (즉, 인접한 각도 이등분선의 4개 교차점은 원환형)을 형성하거나 동시에 형성한다.후자의 경우 사변형은 접선 사변형이다.

사각형 ABCD에서 A와 C의 각도 이등분선이 대각선 BD에서 만나면 B와 D의 각도 이등분선이 대각선 ^[31]AC에서 만난다.

바이메디언

사변형의 바이메디언은 반대쪽의 중간점을 연결하는 선분입니다.바이메디언의 교차는 사각형 ^[14]정점의 중심입니다.

사각형(볼록, 오목 또는 교차)의 변의 중간점은 바리뇽 평행사변형이라고 불리는 평행사변형의 꼭지점입니다.다음과 같은 속성이 있습니다.

• 베리뇽 평행사변형의 각 쌍은 원래의 사변형에서 대각선과 평행하다.
• Varignon 평행사변형의 한 변은 원래 사변형의 대각선 길이와 평행한 것의 절반이다.
• 바리뇽 평행사변형의 면적은 원래 사변형의 절반과 같다.이것은 볼록, 오목 및 교차 4변수에서 해당된다. 단, 후자의 면적이 그것이 구성되는 ^[32]두 삼각형의 면적의 차이로 정의된다면 말이다.
• 바리뇽 평행사변형의 둘레는 원래 사변형의 대각선의 합과 같다.
• 바리뇽 평행사변형의 대각선은 원래의 사변형의 쌍각선이다.

사각형에 있는 두 개의 바이메디언과 해당 사각형에 있는 대각선의 중간점을 연결하는 선분은 동시에 존재하며 모두 ^{[24]: p.125} 교차점에 의해 이등분됩니다.

변이 a, b, c, d인 볼록한 사각형에서 변 a와 c의 중간점을 연결하는 쌍곡선의 길이는 다음과 같다.

${\displaystyle m=mbtfrac {1}{2}+b^{2}-c^{2}+d^{2}+p^{2}+q^{2}{2}}}}}$

여기서 p와 q는 ^[33]대각선의 길이입니다.변 b와 d의 중간점을 연결하는 바이메디언의 길이는 다음과 같습니다.

${{displaystyle n=bargettfrac {1}{2}-b^{2}+c^{2}-d^{2}+p^{2}+q^{2}}}}.}$

따라서^{[24]: p.126}

$\displaystyle p^{2}+q^{2}=2(m^{2}+n^{2}).}$

이것은 또한 Varignon 평행사변형에 적용되는 평행사변형 법칙의 결과이기도 하다.

바이메디언의 길이는 대각선의 중간점 사이의 거리 x와 마주보는 두 변으로 표현될 수도 있습니다.이것은 위의 공식에서 오일러의 사변 정리를 사용할 때 가능하다.어디서^[23]

${\displaystyle m=syslogtfrac {1}{2}}{\syslogrt {2(b^{2}+d^{2})-4x^{2}}}}$

그리고.

${\displaystyle n=squaltfrac {1}{2}}{\sqrt {2(a^{2}+c^{2})-4x^{2}}}}.}$

이 공식에서 두 개의 반대쪽은 바이메디안이 연결하는 두 개의 변이 아닙니다.

볼록한 사각형에서는 바이메디언과 ^[29]대각선 사이에 다음과 같은 이중 연결이 있습니다.

• 두 개의 바이메디언은 두 대각선이 수직인 경우에만 길이가 동일합니다.
• 두 개의 바이메디언은 두 대각선의 길이가 동일한 경우에만 수직입니다.

삼각 항등식

단순한 사각형 ABCD의 4개 각도는 다음과 같은 ^[34]동일성을 충족한다.

${\displaystyle {A}+\sin {C}+\sin {D}=4\sin {Frac {A+B}{2}\sin {Frac {A+C}{2}\sin {Frac {A+D}{2}$

그리고.

${\displaystyle {\frac {B}-\tan {C}-\tan {D}}={\tan frac {(A+C)}}{\tan {A+B}}}}.}$

그리고...^[35]

${\displaystyle {\frac {A}+\tan {C}+\tan {D}{\cot {B}+\cot {D}=\tan {A}\tan {B}\tan {C}\tan {D}.$

마지막 두 공식에서는 황갈색 90°가 정의되어 있지 않기 때문에 직각이 되는 각도는 허용되지 않습니다.

$a$ $b,$ $c,$$displaystyle$를 볼록한 사각형 변, $, s$, s, s, A,$$$C$, C, $displaystyle$C를$$ 각각 반대^[36] 각도로 $합니다{\displaystyle }$.

${\displaystyle ad\sin ^{2}{\frac {A}{2}+cos ^{2}{\frac {C}{2}=(s-a)(s-d)}$

그리고.

$b$ ${\displaystyle c^{}}$ ${\displaystyle {sin\mathrm{}}^{}}$ 2${\displaystyle {}^{}c\frac{}{}}$ ${\displaystyle \frac{\mathrm{C2}}{}}$+ ${\displaystyle a^{}}$ d ${\displaystyle {cos\mathrm{}}^{}}$ 2${\displaystyle {}^{}a\frac{}{}}$ ${\displaystyle \frac{\mathrm{A2}}{}}$ ${\displaystyle =}$ (${\displaystyle s}$ -${\displaystyle b}$) (${\displaystyle s}$ -${\displaystyle c}$) { $displaystyle$bc \ $sin$^ { $C }$ { \ $frac${ A$$} { $2 }$= ( s -$b$)$$}

우리는 이러한 신분을 이용하여 브레츠나이더의 공식을 도출할 수 있다.

불평등

지역

볼록 사각형에 연속변 a, b, c, d와 대각선 p, q가 있다면, 면적 K는^[37] 다음을 만족한다.

${\displaystyle K1\frac{\mathrm{}}{}}$ ${\displaystyle \frac{1}{}4}$( ${\displaystyle a}$+${\displaystyle c}$ )${\displaystyle }$( ${\displaystyle b}$+ d$$) { $displaystyle$K \$leq$ { $tfrac${ 1 } { 4$}$( a + $c )$ ( $b$+ d ) 。사각형에 대해서만 동일합니다.

${\displaystyle }$K${\displaystyle 1\frac{\mathrm{}}{}}$ ${\displaystyle \frac{14}{}}$ (${\displaystyle {}^{}}$ 2${\displaystyle {}^{}}$+ ${\displaystyle {}^{}{2\mathrm{}}^{}}$ + ${\displaystyle {c\mathrm{}}^{}}$2 + ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}$ $){$ $displaystyle$ K $\leq${$tfrac$ { 1 $}{ 4}}(a$^{$}+b^{2}+c^{2}+d^{2}}).$

${\displaystyle \frac{\mathrm{K}}{}}$ als 1 4 ( p${\displaystyle {}^{}{}^{}}$ + ${\displaystyle {q\mathrm{}}^{}}$2$$) ( \ $displaystyle$K \ $leq${ $1 }$ { $4$} ( p$^$ { $2$} + $q$^ { $2$} ) 대각선이$$ 수직이고 동일한 경우에만 동등합니다.

${\displaystyle K1\frac{\mathrm{}}{}}$ 1${\displaystyle \sqrt{{}^{}}}$ ( ${\displaystyle \sqrt{{a\mathrm{}}^{}}}$2 + ${\displaystyle \sqrt{{}^{}{2\mathrm{}}^{}}}$) ( ${\displaystyle \sqrt{{}^{}{2\mathrm{}}^{}}}$ + ${\displaystyle \sqrt{{d\mathrm{}}^{}}}$2$$) ( b 2 + d ) { $displaystyle K$ $\leq$ {$tfrac$ {$1} {$2} + $c ^$ {2} （ $b ^$ {$2}$ + $d^$ {2$} }$ } } ^[16]。$사각형$에서만 동일함.

브레츠나이더의 공식에서 사변형의 면적은 다음을 만족한다는 것을 직접 따른다.

${\displaystyle K\leq {(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)}$

한 변이 다른 세 변의 합과 같도록 사변형이 순환이거나 퇴화한 경우에만 동일하다(직선 세그먼트로 축소되었으므로 면적이 0임).

어떤 사변형의 면적도 부등식을^[38] 만족시킨다.

${\displaystyle K\leq{tfrac {1}{2}}{\sqrt[{3}}{(ab+cd)(ac+bd)(ad+bc)}}.}$

둘레를^{[38]: p.114} L로 나타내면

${\displaystyle K\leq {tfrac {1} {16} L^{2}$

정사각형의 경우에만 균등하게 합니다.

볼록 사변형의 면적 또한 다음을 만족한다.

${\displaystyle K\leq {tfrac {1}{2}}pq}$

대각선 길이 p와 q의 경우 대각선이 수직인 경우에만 동일하다.

a, b, c, d가 면적 K와 대각선 AC = p, BD = q인^[39] 볼록 사각형 ABCD의 변의 길이라고 하자.

$K$ ${\displaystyle \le }$ ${\displaystyle \frac{{a\mathrm{}}^{}}{}}$ 2${\displaystyle \frac{{}^{}}{}}$+ ${\displaystyle \frac{{}^{}{2\mathrm{}}^{}}{}}$ + ${\displaystyle \frac{{c\mathrm{}}^{}{}^{}{2\mathrm{}}^{}}{}}$ + ${\displaystyle \frac{{}^{}}{}}$2 + ${\displaystyle \frac{{p\mathrm{}}^{}}{}}$2 + ${\displaystyle \frac{p}{}}$ ${\displaystyle \frac{2{}^{}}{}}$+ ${\displaystyle \frac{{q\mathrm{}}^{}}{}}$-${\displaystyle \frac{a}{}}$ - ${\displaystyle \frac{b}{}}$8 ( \ $displaystyle$ K $\ leq$ { a ^ { $2$} + $c^$ { $2$} + c^ { 2 } + p^ { $2$} + p^ { 2 } + $q$$q$ - $pq$ - d { $8 }$ } } 。

a, b, c, d를 면적 K를 갖는 볼록 사각형 ABCD의 변의 길이라고 가정하면 다음과 같은 부등식이 유지된다.^[40]

${\displaystyle K1\frac{\mathrm{}}{}}$ 1 ${\displaystyle \frac{3\mathrm{}}{}}$+${\displaystyle \frac{}{}\frac{3\sqrt{\mathrm{}}}{}}$ ( ${\displaystyle a}$ b${\displaystyle }$+ ${\displaystyle ac}$ + ${\displaystyle a}$ d${\displaystyle }$+ ${\displaystyle bc}$ + ${\displaystyle b}$d + ${\displaystyle c}$d${\displaystyle }$) - ${\displaystyle \frac{1\mathrm{}}{}}$2 (${\displaystyle \frac{}{}}$1 +${\displaystyle \frac{3\sqrt{\mathrm{}}}{}}$ )${\displaystyle \frac{{}^{}}{}\frac{{2\mathrm{}}^{}}{}}$ ( $a$2 + ${\displaystyle {b\mathrm{}}^{}}$2 + ${\displaystyle {c\mathrm{}}^{}{}^{}}$ + ${\displaystyle {d\mathrm{}}^{}}$)$$( \ $display$K \$leq${ 1 } { $3$+ { \ $sqrt${$$3 } } $（ ab$ +$ac$ +$adbc$+ d + $cd$ + cd + cd + cd + cd ) { $1 frt$ } ） $2$}

대각선 및 바이메디언

오일러의 사변정리에 대한 결론은 부등식이다.

${\displaystyle a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}\geq p^{2}+q^{2}}}$

여기서 4각형이 평행사변형인 경우에만 평등이 유지된다.

오일러는 또한 순환 사변형의 등식인 프톨레마이오스의 정리를 볼록 사변형의 부등식으로 일반화했다.라고 쓰여 있다

${\displaystyle pq\leq ac+bd}$

사변형이 ^{[24]: p.128–129} 주기적인 경우에만 평등이 존재한다.이것은 종종 프톨레마이오스의 부등식이라고 불린다.

모든 볼록 사각형에서 바이메디언 m, n과 대각선 p, q는 부등식에 의해 관련된다.

${\displaystyle pq\leq m^{2}+n^{2}}$

대각선이 ^{[41]: Prop.1} 동일한 경우에만 균등하게 유지됩니다.이는 사각형 $항등식{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {m2\mathrm{}}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {n2\mathrm{}}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle \frac{1}{}}$2 (${\displaystyle {p\mathrm{}}^{}}$2 + ${\displaystyle {q\mathrm{}}^{}}$2)에서 직접 이어집니다$.\\displaystyle$ m$^{2}+n^{2$$}=sqtfrac {1}{2}}}(p^{2}+q^{$$2}).$$}$

옆면

사변형의^{[42]: p.228, #275} 변 a, b, c, d는 다음을 만족한다.

${\displaystyle a^{2}+b^{2}+c^{2}}> {\frac {d^{2}}:{3}}$

그리고^{[42]: p.234, #466}

${\displaystyle a^{4}+b^{4}+c^{4}}\geq {frac {d^{4}}{27}}.}$

최대 및 최소 속성

주어진 둘레를 가진 모든 사변수 중에서 가장 면적이 큰 사변수는 제곱이다.이것은 4변수에 대한 등산정리라고 불린다.그것은 지역^{[38]: p.114} 불평등의 직접적인 결과이다.

${\displaystyle K\leq {tfrac {1} {16} L^{2}}$

여기서 K는 둘레가 L인 볼록 사변형의 면적이다. 등식은 사변형이 정사각형인 경우에만 유지된다.이중정리는 주어진 면적을 가진 모든 4변수 중에서 정사각형의 둘레가 가장 짧다는 것을 말한다.

주어진 변 길이가 최대 면적을 갖는 사각형은 순환 ^[43]사각형이다.

주어진 대각선을 가진 모든 볼록한 사변형 중에서, 직각 사변형이 가장 큰 ^{[38]: p.119} 면적을 가지고 있다.이것은 볼록한 사각형 면적이 다음을 만족시킨다는 사실의 직접적인 결과이다.

${{displaystyle K=tfrac {1}{2}}pq\sin {theta}\leq {tfrac {1}{2}}pq,}$

여기서 θ는 대각선 p와 q 사이의 각도이다. θ = 90°인 경우에만 동일성이 유지된다.

만약 P가 볼록 사각형 ABCD의 내부점이라면,

$(\displaystyle AP+BP+CP+DP\geq AC+BD).}$

이 부등식에서 정점까지의 거리의 합을 최소화하는 사각형 내부의 점이 대각선의 교차점임을 알 수 있다.그래서 그 점이 볼록한 ^{[44]: p.120} 사변형의 페르마점입니다.

볼록한 사변형의 주목할 만한 점과 선

사변형의 중심은 몇 가지 다른 방법으로 정의할 수 있다."수직 중심"은 사각형은 비어 있지만 꼭지점에 동일한 질량을 갖는 것으로 간주하는 데서 유래한다."측면 중심"은 단위 길이당 질량이 일정한 변을 고려하는 데서 유래합니다.그냥 중심(면적 중심)이라고 불리는 일반적인 중심은 사각형 표면을 일정한 밀도를 갖는 것으로 간주하는 데서 비롯된다.이 세 가지 점들은 일반적으로 모두 같은 ^[45]점은 아니다.

"버텍스 중심"은 두 바이메디언의 ^[46]교차점입니다.다른 폴리곤과 마찬가지로 정점 중심부의 x 및 y 좌표는 정점의 x 및 y 좌표에 대한 산술 수단입니다.

사각형 ABCD의 "면적 중심"은 다음과 같은 방법으로 구성할 수 있다.G, G_b, G_c, G_d, G를 각각 삼각형 BCD, ACD, ABD, ABC의 중심이라고 하자_a.다음으로 "면적 중심"은 GG와_ac GG_bd ^[47]선의 교차점이다.

일반 볼록 사각형 ABCD에서는 삼각형의 원주점과 직교점에 대한 자연적 유추는 없다.그러나 그러한 두 가지 포인트는 다음과 같은 방법으로 구성할 수 있습니다.O_a, O_b, O_c, O를_d 각각 삼각형 BCD, ACD, ABD, ABC의 둘레로 하고, 동일한 삼각형에서 직교 중심인 H_b, H_c, H를_d 나타낸다_a.그러면_ac 선 OO와_bd 선 OO의 교차점을 준설근 중심이라고 하고, 선 HH와_acbd 선 HH의 교차점을 볼록 ^[47]사각형 준설근 중심이라고 합니다.이 점들은 사변형의 오일러 선을 정의하는 데 사용될 수 있다.볼록 사각형에서 준중심 H, "면적 중심" G 및 준근 중심 O는 이 순서로 동일선이며, HG = ^[47]2GO이다.

또한 EE와_bd EE 선의_ac 교차점으로 준점 중심 E를 정의할 수 있다. 여기서 E_a, E_b, E_c, E는_d 각각 삼각형 BCD, ACD, ABD, ABC의 9점 중심이다.그럼 E는 ^[47]OH의 중간점이에요.

볼록한 비평행 사변형의 또 다른 주목할 만한 선은 대각선의 중간점을 연결하는 뉴턴 선이며, 이 점들을 연결하는 세그먼트는 정점 중심에 의해 양분된다.또 하나의 흥미로운 선(어떤 의미에서 뉴턴의 선과 이중)은 대각선의 교차점과 정점 중심을 연결하는 선이다.선은 (면적) 중심을 포함하고 있다는 점에서 주목할 만하다.정점 중심은 대각선의 교차점과 (면적) 중심을 연결하는 세그먼트를 3:^[48]1 비율로 나눕니다.

점 P와 점 Q가 있는 사각형 ABCD의 경우, 각각 AD와 BC, AB와 CD의 교차점인 원(PAB), (PCD), (QAD) 및 (QBC)은 Miquel ^[49]점이라고 불리는 공통점 M을 통과한다.

E가 대각선의 교점이고 F가 변 BC와 AD의 연장선의 교점인 볼록한 사각형 ABCD의 경우, θ를 E와 F를 통과하는 원으로 하고, θ를 N에서 M과 DA에서 다시 만나도록 한다.다음으로 직선 NK와 ML이 AB면에 있는 P점에서 교차하고 직선 NL과 KM이 CD면에 있는 Q점에서 교차합니다.점 P와 Q는 AB와 CD의 원 θ로 형성된 "패스칼 점"이라고 합니다.^{[50] [51] [52]}

볼록 사변수의 기타 특성

• 사변형의 모든 면에 외부 정사각형을 그리도록 합시다.반대쪽 정사각형의 중심을 연결하는 세그먼트는 (a) 길이가 같고 (b) 수직이다.따라서 이 중심들은 정방정사각형의 꼭지점들이다.이것은 Van Aubel의 정리라고 불린다.
• 주어진 모서리 길이가 있는 단순 사변형의 경우 모서리 ^[43]길이가 동일한 순환 사변형이 있습니다.
• 볼록한 사변형의 대각선과 변에 의해 형성된 네 개의 작은 삼각형은 두 개의 반대 삼각형의 영역의 곱과 다른 두 개의 ^[53]삼각형의 영역의 곱이 같다는 특성을 가지고 있다.

분류법

하세 다이어그램을 사용한 사변형 분류법입니다.

4변수의 계층 분류법은 오른쪽 그림에 나타나 있다.하위 계층은 하위 계층과 연결된 상위 계층의 특수한 경우입니다.여기서 "사다리꼴"은 북미의 정의를 의미합니다(영국의 동등한 것은 사다리꼴입니다.포괄적 정의는 내내 사용됩니다.

스큐 사변수

비평면 사변형을 스큐 사변형이라고 한다.모서리 길이와 인접한 두 모서리 사이의 각도에서 이면각을 계산하는 공식은 ^[54]4개의 원자의 "퍼커링" 고리를 포함하는 사이클로부탄과 같은 분자의 특성에 대한 연구를 위해 도출되었다.역사적으로 고슈 사변형이라는 용어는 또한 ^[55]사변형을 의미하기 위해 사용되었다.스큐 사각형은 대각선과 함께 (비정규형일 수 있는) 사면체를 형성하고, 반대로 모든 스큐 사각형은 한 쌍의 반대 모서리가 제거되는 사면체에서 나온다.

「 」를 참조해 주세요.

• 완전 사각형
• 사변체의 수직 이등분선 구조
• 사방정방체
• 메쉬의 종류 quadr 사각형
• 사각형(지리)

레퍼런스

외부 링크

• "Quadrangle, complete", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]
• 직각 이등분선, 투영 공선성 및 절단된 4변수의 인터랙티브 분류에 의해 형성된 4변수
• Mathopenref의 4변수의 정의와 예 및 4변수의 정의와 특성
• 동적 지오메트리 스케치의 (동적) 계층적 사각형 트리
• 동적 수학 학습 홈페이지에서 웨이백 머신에 보관된 2019-12-30 사변수 확장 분류 웨이백 머신에 보관된 2018-08-25
• Michael de Villiers의 4변수 계층 분류의 역할과 기능