희쉬 문제
Heesch's problem기하학에서, 형상의 희쉬 수는 겹치지 않고 공백 없이 형상을 둘러쌀 수 있는 동일한 형상의 복사본의 최대 층수입니다. 히쉬의 문제는 히쉬 수가 될 수 있는 수의 집합을 결정하는 문제입니다. 둘 다 기하학자 하인리히 히쉬의 이름을 따서 지었는데,[1] 그는 히쉬 숫자 1(사각형, 정삼각형, 직각삼각형 30-60-90의 합)[2]을 가진 타일을 발견하고 더 일반적인 문제를 제안했습니다.[3]
예를 들어, 정사각형 타일에서 정사각형은 무한히 많은 합동 정사각형 층으로 둘러싸여 있을 수 있는 반면, 원은 일부 간격을 남기지 않고는 합동 원의 단 하나의 층으로도 둘러싸여 있을 수 없습니다. 사각형의 희시수는 무한대이고 원의 희시수는 0입니다. 예시와 같이 더 복잡한 예에서, 다각형 타일은 여러 층으로 둘러싸일 수 있지만 무한히 많은 층으로 둘러싸일 수는 없으며, 최대 층 수는 타일의 히쉬 번호입니다.
형식적 정의
평면의 테셀레이션은 평면을 타일이라고 하는 더 작은 영역으로 분할하는 것입니다. 타일의 0번째 코로나는 타일 자체로 정의되며, k > 0의 경우 k번째 코로나는 (k - 1)번째 코로나와 경계점을 공유하는 타일의 집합입니다. 그림 S의 희쉬 수는 평면의 타일이 존재할 때의 최대값 k이고, 타일 내의 타일 t는 t의 0번째부터 k번째 코로나의 모든 타일이 S와 합동인 경우입니다. 이 문제에 대한 일부 작업에서 이 정의는 수정되어 t의 0부터 k번째 코로나의 결합이 단순히 연결된 영역이라는 것을 추가로 요구합니다.[5]
타일을 둘러쌀 수 있는 층 수에 상한이 없으면 그 히쉬 수는 무한대라고 합니다. 이 경우 K őnig의 보조정리에 기초한 논증을 사용하여 타일의 합동 사본에 의한 전체 평면의 테셀레이션이 존재함을 보여줄 수 있습니다.
예
그림의 오른쪽에 있는 볼록하지 않은 다각형 P를 생각해 보자. 두 변에 사영을 더하고 세 변에 만입을 일치시켜 정육각형으로 만든 것입니다. 그림은 61개의 P 사본, 하나의 큰 무한 영역, 그리고 네 번째 층 안에 있는 네 개의 작은 다이아몬드 모양의 다각형으로 구성된 테셀레이션을 보여줍니다. 중앙 다각형의 첫 번째부터 네 번째 코로나는 P의 합동 사본으로 전체적으로 구성되므로 희쉬 수는 최소 4개입니다. 작은 다이아몬드 모양의 다각형을 만드는 것을 피하기 위해 이 그림에서 다각형의 복사본을 재배열할 수 없습니다. 왜냐하면 P의 61개 복사본에는 그들을 채울 수 있는 사영의 수에 비해 너무 많은 움푹 들어간 부분이 있기 때문입니다. 이 주장을 공식화하면 희쉬 수 P가 정확히 4임을 증명할 수 있습니다. 코로나를 간단히 연결해야 한다는 수정된 정의에 따르면 히쉬 숫자는 3입니다. 이 예는 로버트 암만에 의해 발견되었습니다.[5]
알려진 결과
모든 양의 정수가 히쉬 숫자가 될 수 있는지는 알 수 없습니다. Heesch 번호가 2인 폴리곤의 첫 번째 예는 무한히 많은 폴리오미노가 이러한 성질을 가지고 있다는 것을 보여준 Fontaine(1991)에 의해 제공되었습니다.[5][7] 케이시 맨은 각각 히쉬 숫자 5를 가진 타일 제품군을 만들었습니다. 각각의 코로나가 단순히 연결되어야 한다는 제한된 정의에도 불구하고 만의 타일은 히쉬 숫자 5를 가지고 있습니다.[5] 2020년, 보얀 바시치는 현재까지 가장 높은 유한한 숫자인 히쉬 숫자 6을 가진 인물을 발견했습니다.[4]
| 희쉬번호 | 발견된 | 에 의해 발견됨 | 모양. |
|---|---|---|---|
| 1 | 1928 | 발터 리에츠만 |  |
| 1 | 1968 | 하인리히 히쉬 |  |
| 2 | 1991 | 앤 폰테인 |  |
| 3 | 1990-1995[8] | 로버트 암만 | |
| 4 | 2001[5] | 케이시 맨 | |
| 5 | 2001[5] | 케이시 맨 | |
| 6 | 2020[4] | 보얀 바시치 |  |
쌍곡면에서 해당 문제의 경우 희쉬 수가 임의로 클 수 있습니다.[9]
참고문헌
- ^ Heesch(1968)는 Grünbum & Shephard(1987)와 Fontaine(1991)에 의해 인용되었습니다.
- ^ Dutch, Steven. "The Heesch Tile: An Interesting Non-Tiler". Natural and Applied Sciences, University of Wisconsin–Green Bay. Archived from the original on 2017-08-25. Retrieved 2008-12-22.
- ^ Grünbaum & Shephard (1987, pp. 155–156, Heesch's Problem)
- ^ a b c Bašić, Bojan (2021). "A Figure with Heesch Number 6: Pushing a Two-Decade-Old Boundary". The Mathematical Intelligencer. 43 (3): 50–53. doi:10.1007/s00283-020-10034-w. ISSN 0343-6993. PMC 7812982. PMID 34934265.
- ^ a b c d e f g Mann, Casey (2004). "Heesch's tiling problem" (PDF). American Mathematical Monthly. 111 (6): 509–517. doi:10.2307/4145069. JSTOR 4145069. MR 2076583..
- ^ Grünbaum & Shephard (1987, p. 151, 3.8.1 The Extension Theorem)
- ^ Fontaine, Anne (1991). "An infinite number of plane figures with Heesch number two". Journal of Combinatorial Theory. Series A. 57 (1): 151–156. doi:10.1016/0097-3165(91)90013-7..
- ^ Senechal, Marjorie (1995). Quasicrystals and Geometry. Vol. 111. Cambridge University Press. pp. 145–146..
- ^ Тарасов, А. С. (2010). О числе Хееша для плоскости Лобачевского [On the Heesch number for the hyperbolic plane]. Matematicheskie Zametki (in Russian). 88 (1): 97–104. doi:10.4213/mzm5251. MR 2882166.Тарасов, А. С. (2010). О числе Хееша для плоскости Лобачевского [On the Heesch number for the hyperbolic plane]. Matematicheskie Zametki (in Russian). 88 (1): 97–104. doi:10.4213/mzm5251. MR 2882166.수학의 영어 번역. Notes 88 (1–2): 97–102, 2010, doi:10.1134/S0001434610070096.
원천
- Heesch, H. (1968). Reguläres Parkettierungsproblem. Cologne and Opladen: Westdeutscher Verlag.
- Grünbaum, Branko; Shephard, G. C. (1987). Tilings and Patterns. W. H. Freeman.
더보기
- Eppstein, David. "The Geometry Junkyard: Heesch's Problem". Retrieved 2009-08-31.
- Friedman, Erich. "Heesch Tiles with Surround Numbers 3 and 4". Retrieved 2006-09-05.
외부 링크
- Weisstein, Eric W. "Heesch Number". MathWorld.
- 히쉬 넘버즈에 관한 넘버 파일 비디오.
