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펜로즈 타일링

Penrose tiling
5배 대칭을 이루는 광비무늬 펜로즈 타일링

펜로즈 타일링주기적인 타일링의 한 예다.여기서 타일링은 겹치지 않는 다각형이나 다른 모양에 의해 평면을 덮는 것으로, 주기적인 의미는 이러한 모양의 타일링을 어떤 유한한 거리에 의해서도 회전하지 않고 동일한 타일링을 생성할 수 없다는 것을 의미한다.그러나, 변환 대칭이 없음에도 불구하고, 펜로즈 기울기는 반사 대칭5배 회전 대칭을 둘 다 가질 수 있다.펜로즈 틸링은 1970년대에 수학자이자 물리학자인 로저 펜로즈의 이름을 따서 지어졌다.

기와 모양이 다른 펜로즈 틸팅에는 몇 가지 다른 변화가 있다.펜로즈 타일링의 원래 형태는 4개의 다른 모양의 타일을 사용했지만, 이것은 나중에 단지 두 개의 다른 rhombi 또는 연과 다트라고 불리는 두 개의 다른 사분면 측정기 둘 중 하나로 축소되었다.펜로즈 기울기는 이러한 모양들이 서로 맞도록 허용된 방법을 구속함으로써 얻어진다.이것은 일치 규칙, 대체 타일링 또는 유한 분할 규칙, 절단 및 프로젝트 계획, 커버링을 포함한 여러 가지 다른 방법으로 수행될 수 있다.이러한 방식으로 제약을 받더라도 각 변동은 무한히 다양한 펜로즈 기울기를 산출한다.

텍사스 A&M 대학 미첼 기초물리천문학연구소 포이어의 로저 펜로즈(Roger Penrose)가 펜로즈 타일링과 함께 바닥에 서 있다.

펜로즈 기울기는 자신과 유사하다. 그것들은 인플레이션디플레이션이라고 불리는 과정을 사용하여 타일의 크기가 다른 동등한 펜로즈 기울기로 변환될 수 있다.펜로즈 타일링의 모든 한정된 타일 조각으로 대표되는 패턴은 타일링 전체에서 무한히 여러 번 발생한다.그것들은 Quasicrystals이다: 물리적 구조로 구현된 펜로즈 타일링은 브래그 봉우리와 5배 대칭으로 회절 패턴을 생성하여 반복된 패턴과 그것의 타일의 고정된 방향을 드러낸다.[1]이러한 기울기의 연구는 퀘이시크리스탈을 형성하는 물리적 물질의 이해에 있어 중요했다.[2]펜로즈 기울기는 표시된 바닥 타일링에서와 같이 건축과 장식에도 적용되었다.

배경과 역사

주기적 및 주기적 기울기

그림 1. 두 개의 프로토타일(prototile)이 있는 주기적 타일링의 일부

평면("평면")을 어떤 기하학적 형상("타일")의 패턴으로 덮는 것을, 겹치거나 틈이 없는 것을 타일링이라고 한다.바닥을 가장자리에서 가장자리로 만나는 사각형으로 덮는 것과 같이 가장 친숙한 기울기는 주기적인 기울기의 예다.정사각형 타일링이 기와 측면에 평행하게 기와 너비로 이동하면 그 결과는 이동 전과 동일한 패턴의 타일이다.이런 식으로 타일을 보존하는 시프트(공식적으로 번역)를 타일링의 기간이라고 한다.타일링은 타일링을 두 가지 다른 방향으로 옮기는 기간을 가질 때 주기라고 불린다.[3]

사각 타일 안에 있는 타일은 모양이 한 가지뿐이고, 다른 기울기는 모양이 한정되어 있는 것이 일반적이다.이러한 모양들을 프로토타일이라고 하며, 이러한 모양만을 사용하여 평면의 타일링이 있으면 일련의 프로토타일들은 타일링을 인정하거나 타일을 붙인다고 한다.즉, 타일링의 각 타일은 이러한 원자의 하나와 일치해야 한다.[4]

기간이 없는 타일링은 비주기적이다.프로토타일 집합은 모든 기울기가 비주기적이라면 주기적이라 하며, 이 경우 그 기울기를 주기적 기울기라고도 한다.[5]펜로스 기울기는 유한한 원자에 의한 평면의 주기적 기울기의 가장 간단한 예에 속한다.[3]

초기 주기적 기울기

주기적 기울기의 주제는 1960년대에 논리학자 하오왕의사결정 문제와 기울기 사이의 연관성에 주목하면서 새로운 관심을 받았다.[7]특히 그는 현재 왕도미노나 타일로 알려진 색상의 가장자리가 있는 사각판에 의한 기울기를 도입하고, 주어진 왕도미노 세트가 인접한 도미노 가장자리에서 일치하는 색상으로 비행기를 타일링할 수 있는지를 판단하기 위해 '도미노 문제'를 제기했다.그는 만약 이 문제가 해결되지 않은 것이라면, 왕 도미노의 주기적인 집합이 존재해야 할 것이라고 관찰했다.그 당시, 이것은 믿을 수 없는 것처럼 보였기 때문에 왕씨는 그러한 세트는 존재할 수 없다고 추측했다.

로빈슨의 6개 프로토타일

왕 교수의 제자 로버트 버거는 1964년 논문에서 도미노 문제가 불해독(그래서 왕 교수의 추측이 틀렸다는 것)이라는 것을 증명하고,[8] 2만426명의 왕도미노라는 주기적인 세트를 얻었다.[9]그는 또한 104개의 프로토타일 축소를 묘사했다; 후자는 그의 출판된 모노그래프에는 등장하지 않았지만,[10] 1968년에 도날드 크누스는 92개의 도미노만 필요로 하는 버거의 세트를 수정하는 것을 자세히 묘사했다.[11]

왕 도미노가 타일링에 필요한 컬러 매칭은 조각그림 퍼즐 조각처럼 타일의 가장자리를 변형해 가장자리 색상으로만 함께 맞출 수 있도록 하면 쉽게 달성할 수 있다.[12]라파엘 로빈슨은 1971년 논문에서[13] 버거의 기법과 불해독성 증거를 단순화한 논문에서 이 기법을 사용하여 단 6개의 원자로 이루어진 주기적인 세트를 얻었다.[14]

펜로즈 틸팅의 개발

최초의 펜로즈 타일링(아래에 타일링 P1)은 로저 펜로즈가 1974년 논문에서 [16]정사각형이 아닌 펜타곤을 바탕으로 소개한 6개의 프로토타일들의 주기적인 집합이다.정기적인 펜타곤으로 비행기를 타일화하려는 시도는 반드시 빈틈을 남기지만, 요하네스 케플러는 1619년 작품인 하모니스 먼디에서 이러한 틈새를 펜타그램(별의 다각형), 디카곤, 그리고 관련 모양을 사용하여 메울 수 있다는 것을 보여주었다.[17]케플러는 이 타일링을 5개의 다각형만큼 확장시켰지만 주기적인 패턴을 발견하지 못했고, 이미 모든 연장은 새로운 특징을[18] 도입하여 주기적인 타일링을 만들 것이라고 추측했다.이러한 사상의 흔적은 알브레히트 뒤러의 작품에서도 찾아볼 수 있다.[19]케플러에게서 영감을 얻은 펜로즈는 이러한 모양에 대한 일치 규칙을 발견하여 주기적인 세트를 얻었다.이러한 일치 규칙은 왕 타일처럼 가장자리 장식에 의해 부과될 수 있다.펜로즈의 타일링은 케플러의 유한한 AA 패턴의 완성으로 볼 수 있다.[20]

체코 젤레나 호라에 있는 네포묵요한 순례교회에서 펜타곤과 가느다란 라마에 의해 만들어진 비 펜로즈 타일링

펜로즈는 이후 원자의 수를 2개로 줄였고, 연과 다트 타일링(아래에 타일링 P2), 로움버스 타일링(아래 타일링 P3)을 발견했다.[21]Rhombus tiling은 Robert Ammann에 의해 1976년에 독립적으로 발견되었다.[22]펜로즈와 존 H. 콘웨이는 펜로즈 기울기의 특성을 조사했고 대체 특성이 그들의 계층적 성격을 설명한다는 것을 발견했다; 그들의 발견은 마틴 가드너에 의해 1977년 1월 사이언티픽 아메리칸에 있는 "매직 게임" 칼럼에서 발표되었다.[23]

1981년, N. G. de Bruijn은 펜로즈 기울기를 건설하기 위해 두 가지 다른 방법을 제공했다.드 브뤼옌의 "다중법"은 5개의 평행선 배열이중 그래프로 펜로즈 기울기를 얻는다.그의 "컷과 프로젝트 방식"에서 펜로즈 기울기는 5차원 입방 구조에서 2차원 투영으로 얻어진다.이러한 접근법에서, Penrose 타일링은 정점인 정점 집합으로 보는 반면, 타일은 정점과 가장자리를 연결하여 얻은 기하학적 형상이다.[24]

펜로즈 틸팅

Penrose의 원래 6개의 프로토타일 세트를 사용한 P1 타일링

펜로즈 타일링의 세 가지 유형인 P1–P3는 아래에 개별적으로 설명되어 있다.[25]그것들은 많은 공통점을 가지고 있다: 각각의 경우, 타일은 오각형(따라서 황금비율)과 관련된 모양으로 만들어지지만, 주기적인 타일을 만들기 위해서는 기본적인 타일 모양을 일치 규칙으로 보완할 필요가 있다.이러한 규칙은 라벨이 부착된 정점이나 가장자리 또는 타일 면의 패턴을 사용하여 설명할 수 있다. 또는 가장자리 프로파일은 (예를 들어 들여쓰기와 돌출에 의해) 수정되어 원자의 주기적인 집합을 얻을 수 있다.[9][26]

오리지널 펜로즈 타일링(P1)

펜로즈의 첫 번째 타일링은 펜타곤과 다섯 개의 다른 모양, 즉 다섯 개의 포인트가 있는 "별"과 "보트" 그리고 "다이아몬드"를 사용한다.[27]모든 기울기가 비주기적인지 확인하기 위해 타일이 서로 만날 수 있는 방법을 지정하는 일치 규칙이 있으며, 오각형 타일의 일치 규칙에는 세 가지 유형이 있다.이 세 가지 유형을 서로 다른 프로토타일(prototiles)으로 처리하면 전체적으로 6개의 프로토타일(prototile) 세트가 된다.위의 오른쪽 그림과 같이 세 가지 색상을 사용하여 세 가지 다른 종류의 오각형 타일을 표시하는 것이 일반적이다.[28]

연 및 다트 타일링(P2)

타입 P2(카이트와 다트)의 펜로즈 타일링으로 덮인 비행기의 일부.여러 개의 디플레이션을 적용하여 작성되었으며, 아래 섹션을 참조하십시오.

펜로즈의 두 번째 타일링은 "kite"와 "dart"라고 불리는 사분면 다변측정감시선을 사용하는데, 이것은 합쳐서 rhombus를 만들 수도 있다.그러나 매칭 규칙은 그러한 결합을 금지한다.[29]연과 다트 모두 로빈슨의 1975년 음을 따서 로빈슨 삼각형이라고 불리는 두 개의 삼각형으로 구성되어 있다.[30]

연과 다트 타일(위) 및 P2 타일 내의 가능한 7개의 꼭지점 그림.
  • 연은 4각형이며, 4개의 내부 각도가 72도, 72도, 72도, 144도이다.연은 대칭의 축을 따라 이등분하여 한 쌍의 급성 로빈슨 삼각형(36도, 72도, 72도)을 형성할 수 있다.
  • 다트는 4개의 내부 각도가 36도, 72도, 36도, 216도인 비콘벡스 4각형이다.다트는 대칭의 축을 따라 이등분하여 급성 삼각형보다 작은 한 쌍의 둔한 로빈슨 삼각형(36도, 36도, 108도)을 형성할 수 있다.

일치 규칙은 여러 가지 방법으로 설명할 수 있다.한 가지 접근방식은 꼭지점(예: 흑백과 백색)에 색을 입히는 것이며, 인접한 타일에는 일치하는 꼭지점이 있어야 한다.[31]또 다른 방법은 타일의 배치를 제한하기 위해 원형 호(위 왼쪽은 녹색과 빨간색으로 표시됨)의 패턴을 사용하는 것이다. 두 타일이 타일 안에서 가장자리를 공유할 때, 패턴은 이 가장자리에서 일치해야 한다.[21]

이러한 규칙들은 종종 특정한 타일의 배치를 강요한다: 예를 들어, 어떤 다트의 오목한 꼭지점은 반드시 두 개의 연으로 채워진다.해당 형상(왼쪽 하단 이미지에서 맨 위 행의 중심)은 콘웨이가 '에이스'라고 하는데, 확대 연처럼 보이지만 같은 방식으로 타일을 만들지 않는다.[32]마찬가지로 두 개의 연이 짧은 가장자리를 따라 만날 때 생기는 오목한 꼭지점은 반드시 두 개의 다트(오른쪽 아래)로 채워진다.실제로 기와가 정점에서 만나는 방법은 7가지에 불과하다. 즉, '별'(왼쪽 위)과 '태양'(오른쪽 위)의 두 그림은 5배의 이면 대칭(회전 및 반사에 의한)을 가지며, 나머지는 하나의 반사축(이미지 내 수직)을 가진다.[33]에이스와 태양을 제외하고, 이 모든 꼭지점 수치는 추가 타일을 배치하도록 강제한다.[34]

Rhombus 타일링(Rhombus tiling)

원호 또는 가장자리 수정을 사용하여 타일링 규칙을 시행하는 Penrose rhombs의 일치 규칙
포물선 모서리를 사용하여 타일링 규칙을 시행하는 Penrose rhombs의 일치 규칙
포물선 모서리를 가진 펜로즈 롬버스를 이용한 펜로즈 타일링

세 번째 타일링은 면은 같지만 각도는 다른 한 쌍의 롬버즈(이 맥락에서 종종 "옴브스"라고 부른다)를 사용한다.[9]일반적인 고무줄 모양의 타일은 평면에 주기적으로 타일을 붙이는 데 사용될 수 있으므로 타일을 어떻게 조립할 수 있는지에 대한 제한이 반드시 이루어져야 한다. 두 타일은 주기적인 타일을 형성할 수 없기 때문에 평행도를 형성할 수 없지만 위의 그림 1과 같이 이 제약조건은 주기성을 강제하기에 충분하지 않다.

두 종류의 타일이 있는데, 두 종류 모두 로빈슨 삼각형으로 분해할 수 있다.[30]

  • 얇은 롬브 t는 4개의 모서리를 가지고 있으며 각도는 36, 144, 36, 144이다.은 그것의 짧은 대각선을 따라 2등분되어 한 쌍의 급성 로빈슨 삼각형을 형성할 수 있다.
  • 두꺼운 롬브 T의 각도는 72도, 108도, 72도, 108도이다.T 롬브는 긴 대각선을 따라 이등분하여 둔탁한 로빈슨 삼각형 한 쌍을 형성할 수 있다. P2 타일링과는 대조적으로 이것들은 급성 삼각형보다 크다.

매칭 규칙은 타일의 측면을 구분하며, 타일은 특정 방법으로 나란히 배열할 수 있지만 다른 방법으로는 그렇지 않다는 것을 수반한다.이러한 일치 규칙을 설명하는 두 가지 방법은 오른쪽의 이미지에 나타나 있다.하나의 형태에서 타일은 면의 곡선이 가장자리를 가로질러 색상과 위치에 일치하도록 조립되어야 한다.다른 쪽에서는 가장자리에 있는 돌기가 서로 맞도록 타일을 조립해야 한다.[9]

정점에서 360도까지 추가하는 54개의 주기적인 각도의 조합이 있지만, 타일링의 규칙은 이러한 조합 중 7개만 나타나도록 허용한다(이들 중 하나는 두 가지 방법으로 발생하지만).[35]

각도와 얼굴 곡률의 다양한 조합은 펜로즈 닭과 같이 임의로 복잡한 타일을 만들 수 있다.[36]

특징 및 구성

황금비 및 국소 오각형 대칭

펜로즈 틸팅의 여러 특성 및 공통 특징에는 황금 비율 = 1+ {약 1.618)이 포함된다.[30][31]이것은 일반 오각형에서 옆 길이 대 현 길이의 비율이며 satisfies = 1 + 1/4을 만족한다.

두꺼운 롬브(빛), 급성 로빈슨 삼각형(빛으로 음영 처리), 작고 둔한 로빈슨 삼각형(어두운)이 새겨진 펜타곤.점선들은 새겨진 연과 다트를 위한 추가적인 가장자리를 제공한다.

따라서 로빈슨 삼각형에서 긴 변과 짧은 변의 길이의 비율은 ∆:1이다.연과 다트 타일의 긴 옆면 길이 대 짧은 비율도 얇은 롬브 t의 짧은 대각선 길이 대각선 길이 대각선 길이 대각선 길이 대각선 길이 대 두꺼운 롬브 T의 대각선 길이 대각선 길이 대각선 길이 대각선 길이 대각선 길이 대각선 길이 대각선 길이 대각선 길이 대각선 비율과 마찬가지로 φ:1인 것으로 뒤따른다.P2와 P3 기울기 모두에서, 더 큰 로빈슨 삼각형의 면적과 더 작은 삼각형의 면적 비율은 φ:1이므로, 다트에 대한 연 면적과 얇은 롬브에 대한 두꺼운 롬프의 비율도 마찬가지다.(더 크고 작은 로빈슨 삼각형은 왼쪽의 오각형에서 찾을 수 있다: 맨 위에 있는 큰 삼각형 – 하하.두꺼운 롬브의 리브 – 밑면의 작은 음영 삼각형에 비해 φ만큼의 선형 치수를 가지며, 따라서 면적의 비율은 φ2:1이다.)

어떤 펜로즈 타일링(Penrose tiling)[9]은 타일의 대칭적 구성으로 둘러싸인 타일링(Tiling)에 점들이 있다는 의미에서 국부적인 오각형 대칭을 가지고 있다: 그러한 구성들은 중심점을 중심으로 5배 회전 대칭과 그 지점을 통과하는 반사 대칭의 미러 라인 5개를 가지고 있다.이 대칭은 일반적으로 중심점 주위의 타일 조각만 보존하지만 패치는 매우 클 수 있다.콘웨이와 펜로즈는 P2나 P3의 색상의 곡선이 고리 모양으로 닫힐 때마다 루프 내의 영역이 오각형 대칭성을 가지며, 나아가 어떤 타일링에서도 각각의 색상의 그런 곡선이 적어도 두 개씩은 닫히지 않는다는 것을 증명했다.[37]

세계 5배 대칭의 중심점은 거의 하나일 수 있다. 만약 하나 이상이 있었다면, 서로 회전하면 5배 대칭의 두 개의 더 가까운 중심이 생성되어 수학적인 모순을 초래한다.[38]지구적 오각형 대칭을 이루는 펜로스 기울기는 (각종) 두 가지 밖에 없다: 연과 다트에 의한 P2 타일링의 경우, 중심점은 "태양" 또는 "별" 정점이다.[39]

인플레이션과 디플레이션

틈새가 있는 6개의 작은 펜타곤으로 분해된 펜타곤.

펜로스 틸팅의 많은 공통적인 특징은 대체 규칙에 의해 주어진 계층적 오각형 구조에서 따온 것이다: 이것은 종종 틸팅 또는 (타일의 조합)의 인플레이션디플레이션 또는 구성분해라고 불린다.[9][23][40]대체 규칙은 각 타일을 타일링에 사용되는 타일과 같은 모양의 작은 타일로 분해한다(따라서 더 큰 타일을 작은 타일로부터 "composed"할 수 있다).이것은 펜로즈 타일링이 스케일링 자기 유사성을 가지고 있다는 것을 보여주며, 펜타플라이크와 같은 과정을 사용하여 프랙탈이라고 생각할 수 있다.[41]

펜로즈는 원래 이런 방식으로 P1 타일링을 발견했는데, 펜로즈는 펜타곤을 6개의 작은 펜타곤과 5개의 반다이아몬드로 분해하여 펜타곤 사이의 간격은 별, 다이아몬드, 보트 그리고 다른 펜타곤으로 채워질 수 있다는 것을 관찰했다.[27]이 과정을 무한정 반복함으로써 그는 오각형 대칭을 가진 두 개의 P1 기울기 중 하나를 얻었다.[9][20]

로빈슨 삼각 분해

로빈슨 삼각형과 그 분해

P2와 P3 기울기 모두에 대한 대체 방법은 크기가 다른 로빈슨 삼각형을 사용하여 설명할 수 있다.로빈슨 삼각형은 P2 틸링(연과 다트를 이등분하여)에서 발생하는 삼각형을 A틸레라고 하고, P3 틸링에서 발생하는 삼각형을 B틸레라고 한다.[30]A로S 표시된 더 작은 A-tile은 둔한 로빈슨 삼각형이고, 반면에 더 큰 A-tileL 급성S 로빈슨 삼각형이고, 반대로L B-tile로 표시된 더 작은 B-tile은 급성 로빈슨 삼각형이다.

구체적으로 A의S 옆 길이(1, 1, φ)가 있으면 A의L 옆 길이(1, 1, φ), A의 옆 길이(φ, φ, 1)B-타일은 다음과 같은 두 가지 방법으로 그러한 A-타일과 관련될 수 있다.

  • B의S 크기가L A와 같으면, B는L A의S 확대판 aAS, 옆면 길이(,, ,, 12 = 1 + ))로 분해된다. 이것은 길이L 1의 공통 면을 따라 A 타일과 AS 타일이 결합된다.
  • 대신 B가L A와S 동일하다면, B는S A의L 축소판 (1/42)A로L 옆 길이(1/4,1/195,1) – 길이 1의 공통 면을 따라 BS 타일과 BL 타일을 결합한 후 A 타일을L 분해한다.

이러한 분해에는 모호함이 있는 것으로 보인다: 로빈슨 삼각형은 삼각형의 대칭의 (등변)축에서 서로 거울로 찍은 이미지인 두 가지 방법으로 분해될 수 있다.펜로즈 타일링에서 이 선택은 일치 규칙에 의해 결정된다.게다가, 일치 규칙은 타일링에 있는 작은 삼각형이 어떻게 더 큰 삼각형을 구성하는지 결정하기도 한다.[30]

rhomb를 산출하기 위한 항성의 부분적 팽창과 ace를 산출하기 위한 rhomb 집합의 부분적 팽창.

따라서 P2와 P3 틸팅은 서로 국부적으로 파생될 수 있다. 즉, 한 세트의 타일을 사용하여 타일을 다른 타일로 만들 수 있다.예를 들어, 연과 다트에 의한 타일링은 A타일(A타일)로 세분될 수 있으며, 이것들은 B타일(B타일)과 그에 따른 rhomb를 형성하기 위한 표준적인 방법으로 구성될 수 있다.[15]P2 및 P3 틸팅도 P1 타일링과 상호 국소적으로 도출할 수 있다(위의 그림 2 참조).[42]

B 타일을 A 타일로 분해하는 것을 기록할 수 있다.

BS = AL, BL = AL + AS

(B-타일에 대한 더 큰 크기의 규약을 가정할 때), 대체 행렬 방정식으로 요약할 수 있다.[43]

이를 확대된 φA타일을 B타일로 분해하면 치환된다.

확대된 기와 φAL 두 개의 AL 타일과 한 개의S A 타일로 분해되도록 한다.일치 규칙은 특정한 대체를 강요한다: :AL 타일의 A 타일L 2개는 연을 형성해야 하고, 따라서 연은 연 2개와 반다트로 분해되고, 다트는 연 2개와 반다트로 분해된다.[44][45]확대된 φB 타일은 (φA 타일을 통해) 유사한 방식으로 B 타일로 분해된다.

구성과 분해는 예를 들면 다음과 같은 반복이 가능하다.

공사의 n번째 반복에서 연과 다트의 수는 대체 매트릭스의 n번째 힘에 의해 결정된다.

여기서 Fn n번째 피보나치 수이다.따라서 충분히 큰 P2 펜로즈 타일링 패턴에서 다트 수 대비 연의 비율은 황금 비율 φ에 근사하다.[46]비슷한 결과는 P3 펜로즈 타일링에서 두꺼운 라임 대 얇은 라임 수의 비율을 유지한다.[44]

P2 및 P3 틸팅의 감압

유형 P2의 펜로즈 타일링에서 '태양' 정점의 연속적인 변위
P3 유형의 펜로즈 타일링에 있는 타일 세트의 연속적인 디플링
타입 P2의 펜로즈 타일링에서 '태양' 정점의 8번째 수축

특정 타일링(단일 타일, 평면의 타일 또는 기타 수집일 수 있음)에서 타일 컬렉션을 시작으로 디플레이션은 세대라고 불리는 일련의 단계를 진행한다.디플레이션의 한 세대에서, 각각의 타일은 원래의 타일링에 사용된 타일의 축소된 버전인 두 개 이상의 새로운 타일로 대체된다.대체 규칙은 새 타일이 매칭 규칙에 따라 배열되도록 보장한다.[44]반복적인 세대 디플레이션은 점점 더 작은 타일로 원래의 공리 모양의 타일을 만든다.

타일을 나누는 이 규칙은 구획 규칙이다.

이름 초기 타일 1세대 2세대 3세대
하프키이트 Penrose kile 0.svg Penrose kile 1.svg Penrose kile 2.svg Penrose kile 3.svg
하프다트 Penrose dart 0.svg Penrose dart 1.svg Penrose dart 2.svg Penrose dart 3.svg
태양 Penrose sun 0bis.svg Penrose sun 1.svg Penrose sun 2.svg Penrose sun 3.svg
Penrose star 0.svg Penrose star 1.svg Penrose star 2.svg Penrose star 3.svg

위의 표를 주의해서 사용해야 한다.반연과 반다트 디플레이션은 태양과 항성 디플레이션에서 볼 수 있듯이 더 큰 패턴을 디플레이션하는 맥락에서만 유용하다.연과 다트 하나에 적용하면 잘못된 결과를 준다.

또한, 단순 분할 규칙은 오른쪽의 상단 및 하단 그림에서 볼 수 있는 타일링의 가장자리 부근에 구멍을 발생시킨다.추가 강제 적용 규칙은 유용하다.

결과 및 적용

인플레이션과 디플레이션은 연과 다트(P2) 틸링 또는 로움버스(P3) 틸링(up-down generation)으로 알려진 방법을 산출한다.[32][44][45]

펜로즈 기울기는 비주기적인 것으로서, 변환 대칭성이 없다 – 그 패턴은 전체 평면에 걸쳐 스스로 일치하도록 이동할 수 없다.그러나 어떤 경계 지역도 아무리 넓어도 타일링 안에서 무한 반복될 것이다.따라서 어떤 유한 패치도 전체 펜로즈 타일링을 고유하게 결정할 수 없으며, 타일링 내에서 어떤 위치가 표시되는지도 결정할 수 없다.[47]

이것은 특히 (어떤 유형이든) 구별되는 펜로스 기울기의 수가 헤아릴 수 없이 무한하다는 것을 보여준다.업다운 세대는 기울기를 모수화하는 한 가지 방법을 산출하지만, 다른 방법에서는 암만 바, 오연산 또는 절단 및 프로젝트 계획을 사용한다.[44]

관련 기울기 및 주제

십각형 피복 및 퀘이시크리스탈

검멜트가 연과 다트로 분해한 데카곤(왼쪽); 더 진한 선이 새겨진 에이스와 두꺼운 롬을 묶은 더 진한 선; 겹칠 가능성(오른쪽)은 한 두 개의 붉은 에이스로 표시된다.[48]

1996년 독일의 수학자 페트라 검멜트는 펜로즈 타일링에 상당하는 덮개(과대하지 않는 타일링과 구별하기 위해 부르는 것)를 두 종류의 겹치는 영역이 허용될 경우 하나의 십각형 타일을 사용하여 만들 수 있다는 것을 입증했다.[49]십각형 타일은 색칠 패치로 장식되어 있으며, 덮는 규칙은 색칠과 중복되는 것만을 허용한다.십각형 기와를 연으로 적절히 분해하고 다트질을 하면 그러한 덮개가 펜로즈(P2) 타일로 변형된다.마찬가지로, P3 타일링은 각 데카곤에 두꺼운 롬을 내접함으로써 얻을 수 있다; 남은 공간은 얇은 롬으로 채워진다.

이러한 피복은 퀘이시크리스탈의 성장을 위한 현실적인 모델로 여겨져 왔는데, 중복된 디카곤은 결정이 생성되는 단위 세포와 유사한 '준단위 세포'이며, 일치 규칙은 특정 원자 군집의 밀도를 최대화한다.[48][50]커버링의 주기적 특성은 블로흐의 정리가 없기 때문에 전자 구조와 같은 물리적 성질에 대한 이론적 연구를 어렵게 만들 수 있다.그러나 퀘이시크리스탈의 스펙트럼은 오류 제어를 통해 여전히 계산할 수 있다.[51]

관련 틸팅

타이 및 나베트 타일링(펜로즈 배경에 빨간색 표시)

펜로즈 타일링의 세 변형은 상호 국부적으로 파생될 수 있다.P1 타일링의 정점에서 일부 서브셋을 선택하면 다른 비주기적 기울기가 생성된다.P1에 있는 한 펜타곤의 모서리에 1,3,5,2,4 연속적으로 라벨을 붙이면 모든 펜타곤에 모호하지 않은 태그가 설정되며, 순서는 시계 방향 또는 시계 반대 방향이다.같은 레이블을 가진 점들은 로빈슨 삼각형에 의한 타일링을 정의하고, 그 위에 숫자 3과 4가 있는 점들은 타이 앤 네이브테 타일링의 정점을 정의한다.[52]

퀘이시크리스탈이 아닌 변형 타일링.타일 정렬 규칙을 준수하지 않기 때문에 펜로즈 타일링이 아니다.

육각형 보트-스타, 미쿨라-로스 틸링과 같은 다른 관련 없는 틸팅도 있다.예를 들어, 각 꼭지점에서 허용되는 각도에 대한 특정 제한으로 Rhombus 타일링에 대한 일치 규칙이 축소되는 경우, 2진 타일링을 얻는다.[53]그것의 근본적인 대칭도 5배지만 그것은 퀘이시크리스탈이 아니다.오리지널 타일링의 광맥을 더 작은 것으로 장식하거나 대체 규칙을 적용하여 얻을 수 있지만, 드 브루옌의 컷 앤드 프로젝트 방식으로는 얻을 수 없다.[54]

예술과 건축

틸팅의 미적 가치는 오랫동안 인정되어 왔고, 틸팅에 대한 관심의 원천으로 남아있다. 따라서 펜로즈 틸팅의 시각적 외관(정식적 정의 특성보다는)이 주목을 끌었다.북아프리카와 중동에서 사용된 특정한 장식 패턴과의 유사성은 주목되어 왔다;[55][56] 물리학자인 Peter J. LuPaul Steinhardt는 Penrose가 IsfahanDrb-e Imam 사원에서 기리(strapwork) 기울기와 같은 중세 이슬람 기하학적 패턴의 밑부분을 장식했다는 증거를 제시했다.[57]

Drop City의 예술가 Clark Richt는 1970년에 Penrose rhombs를 작품에 사용했는데, 이것은 내장된 "지방" rhombi와 "skinny" rhombi를 관찰하는 평면에 투영하여 비주기적인 tescredation을 만들어냈다.미술사학자 마틴 켐프알브레히트 뒤러(Albrecht Dürer)[58]가 고무줄 타일링의 비슷한 모티브를 스케치했다고 관찰했다.

샌프란시스코의 새로운 22억 달러 짜리 트랜스베이 트랜스포트 센터는 펜로즈 패턴의 외관 결절 화이트 메탈 피부에 천공이 있는 것이 특징이다.[59]

웨스턴 오스트레일리아 대학의 베이리스 빌딩의 아트리움 바닥에는 펜로즈 타일이 타일로 장식되어 있다.[60]

1979년 마이애미 대학은 수학과 통계학과의 학사 홀 뜰을 장식하기 위해 테라조에서 처형된 펜로즈 타일링을 사용했다.[61]

2013년 10월 현재 옥스퍼드대 수학학부가 위치한 앤드루 와일즈 빌딩에는 입구의 포장으로 펜로즈 타일링 섹션이 포함되어 있다.[62][63]

헬싱키 중심가에 있는 Keskuskatu 거리의 보행자 부분은 펜로즈 타일링의 형태를 이용하여 포장되어 있다.이 작업은 2014년에 끝났다.[64]

참고 항목

메모들

  1. ^ 세네찰 1996, 페이지 241–244.
  2. ^ 라딘 1996.
  3. ^ a b 이 기사에 대한 일반적인 언급은 가드너 1997, 페이지 1–30, 그룬바움 & 셰퍼드 1987, 페이지 520–548 & 558–579, 그리고 세네찰 1996, 페이지 170–206이다.
  4. ^ 가드너 1997, 페이지 20, 23
  5. ^ 그룬바움 & 셰퍼드 1987, 페이지 520
  6. ^ 쿨릭&카리 1997
  7. ^ 왕왕 1961
  8. ^ 수학 계보 프로젝트 로버트 버거
  9. ^ a b c d e f g 오스틴 2005a
  10. ^ 베르거 1966
  11. ^ 그룬바움 & 셰퍼드 1987, 페이지 584
  12. ^ 가드너 1997, 페이지 5
  13. ^ 로빈슨 1971
  14. ^ 그룬바움 & 셰퍼드 1987, 525페이지
  15. ^ a b 1996년 세네찰, 페이지 173-174
  16. ^ 펜로즈 1974년
  17. ^ 그룬바움 & 셰퍼드 1987, 섹션 2.5
  18. ^ Kepler, Johannes (1997). The harmony of the world. American Philosophical Society. p. 108. ISBN 0871692090.
  19. ^ 럭 2000
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  21. ^ a b 가드너 1997, 페이지 6
  22. ^ 가드너 1997, 페이지 19
  23. ^ a b 가드너 1997, 1장
  24. ^ 드 브뤼옌 1981년
  25. ^ P1–P3 표기법은 그룬바움 & 셰퍼드 1987, 섹션 10.3에서 따왔다.
  26. ^ 그룬바움 & 셰퍼드 1987, 섹션 10.3
  27. ^ a b 펜로즈 1978, 페이지 32
  28. ^ "하지만, 순간적으로 설명되겠지만, 다른 색깔의 펜타곤은 다른 종류의 타일로 간주될 것이다."Austin 2005a; Grünbaum & Shephard 1987, 그림 10.3.1은 원자의 주기적인 집합을 생성하는 데 필요한 가장자리 수정을 보여준다.
  29. ^ 가드너 1997, 페이지 6-7
  30. ^ a b c d e 그룬바움 & 셰퍼드 1987, 페이지 537–547
  31. ^ a b 세네찰 1996, 페이지 173
  32. ^ a b 가드너 1997, 페이지 8
  33. ^ 가드너 1997, 페이지 10-11
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  37. ^ 가드너 1997, 페이지 9
  38. ^ 가드너 1997, 페이지 27
  39. ^ 그룬바움 & 셰퍼드 1987, 543페이지
  40. ^ 그룬바움 & 셰퍼드 1987에서, 다른 작가들이 (리스크롤링에 따라) "디플레이션"을 사용하는 곳에 "인플레이션"이라는 용어가 사용된다.많은 작가들도 쓰는 '구성'과 '편리'라는 용어는 덜 모호하다.
  41. ^ Ramachandrarao, P (2000). "On the fractal nature of Penrose tiling" (PDF). Current Science. 79: 364.
  42. ^ 그룬바움 & 셰퍼드 1987, 546페이지
  43. ^ 1996년 세네찰, 페이지 157-158
  44. ^ a b c d e 오스틴 2005b
  45. ^ a b 세네찰 1996, 페이지 183
  46. ^ 가드너 1997, 페이지 7
  47. ^ "… 우리가 타일링에서 고르는 어떤 유한한 패치는 우리가 인플레이션 계층에서 계속해서 충분히 상승한다면 부풀려진 하나의 타일 안에 놓여질 것이다.이것은 계층 구조에서 그 수준의 타일이 발생하는 곳이라면, 우리의 원래 패치는 원래의 타일링에서도 발생해야 한다는 것을 의미한다.따라서 이 패치는 원래의 타일링에서 무한히 자주 발생할 것이며, 사실 다른 모든 타일링에서도 발생할 것이다."오스틴 2005a
  48. ^ a b 로드 & 랭가나단 2001
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  64. ^ "Keskuskadun kävelykadusta voi tulla matemaattisen hämmästelyn kohde", Helsingin Sanomat, 6 August 2014

참조

일차 출처

이차 출처

외부 링크