투영 형상

Projective geometry

수학에서, 투영 기하학은 투영 변환에 관해 불변하는 기하학적 성질을 연구하는 학문이다.이것은 기본 유클리드 기하학과 비교하여 투영 기하학은 다른 설정, 투영 공간 및 선택적인 기본 기하학적 개념 세트를 가지고 있다는 것을 의미합니다.기본 직관은 주어진 차원에 대해 투영 공간이 유클리드 공간보다 더 많은 점을 가지고 있고, 추가 점("무한점"이라고 함)을 유클리드 점으로 변환하는 기하학적 변환이 허용된다는 이다.

투영 기하학에 의미 있는 특성은 변환 매트릭스와 변환(아핀 변환)으로 표현될 수 있는 것보다 그 효과가 더 급진적인 이 새로운 변환 아이디어에 의해 존중됩니다.기하학자들의 첫 번째 문제는 어떤 기하학이 새로운 상황에 적합한가 하는 것이다.투시도에서 볼 수 있듯이 각도는 투영 변환에 관해 불변하지 않는 개념의 예이기 때문에 유클리드 기하학에서와 같이 투영 기하학에서 각도를 참조하는 것은 불가능하다.투영 기하학의 한 원천은 사실 원근법 이론이었다.기본 기하학과의 또 다른 차이점은 개념이 투영 기하학의 용어로 변환되면 평행선이 무한대의 에서 만난다고 말할 수 있는 방법입니다.다시 말하지만, 이러한 개념은 직관적인 근거를 가지고 있습니다. 예를 들어, 선로가 원근법으로 수평선에서 만나는 것과 같습니다.2차원 투영 형상의 기본은 투영 평면을 참조하십시오.

사영기하학은 일찍이 사용 가능했던 반면, 주로 19세기의 발전이었다.여기에는 복소수인 (동질 좌표)가 사용되는 복소수 투영 공간의 이론이 포함되었다.보다 추상적인 수학의 몇 가지 주요 유형들(불변 이론, 이탈리아 대수 기하학 학파, 고전 그룹의 연구를 초래한 펠릭스 클라인의 에를랑겐 프로그램 포함)은 투영 기하학에 의해 동기 부여되었다.그것은 또한 합성 기하학으로서 그 자체를 위해 많은 실무자들이 참여하는 과목이었다.사영기하학의 자명한 연구로부터 발전한 또 다른 주제는 유한기하학이다.

투영 기하학의 주제는 이제 많은 연구 하위 토픽으로 나뉘어져 있는데, 그 두 가지 예로는 투영 대수 기하학과 투영 미분 기하학이 있다.

개요

사영기하학의 기본이론

투영 지오메트리는 기하학의 기본 비메트리 형식이며, 이는 거리의 개념을 기반으로 하지 않음을 의미합니다.2차원에서는 점 및 구성에 대한 연구로 시작합니다.이 희박한 환경에 실제로 기하학적인 관심이 있다는 것은 데사르게와 다른 사람들에 의해 원근법 [1]예술의 원리를 탐구하면서 처음 확립되었다.고차원 공간에서는 (항상 만나는) 하이퍼플레인 및 이중성의 원리를 나타내는 다른 선형 서브스페이스가 있습니다.이중성에 대한 가장 간단한 그림은 투영 평면에서 "두 개의 서로 다른 점이 하나의 선을 결정한다"(즉, 이들을 통과하는 선)와 "두 개의 서로 다른 선이 하나의 점을 결정한다"(즉, 교차점)는 명제와 동일한 구조를 나타낸다.투영 지오메트리는 직선 모서리만 [2]있는 구성의 지오메트리로도 볼 수 있습니다.투영 지오메트리는 나침반 구조를 제외하므로 원, 각도, 측정, 평행 및 [3]중간 개념이 없습니다.투영 기하학에 적용되는 이론들은 더 단순한 진술이라는 것을 깨달았다.예를 들어, (복잡한) 투영 기하학에서는 서로 다른 원뿔 단면이 모두 동일하며, 원에 대한 일부 정리는 이러한 일반 정리의 특수한 경우로 간주할 수 있습니다.

19세기 초 동안 장 빅터 폰슬렛, 라자르 카르노와 다른 사람들의 작업은 [3]수학의 독립적인 분야로서 투영 기하학을 확립했습니다.그것의 엄격한 기초는 칼 폰 슈타우트에 의해 설명되었고 19세기 [4]후반 이탈리아인 주세페 페아노, 마리오 피에리, 알레산드로 파도아, 지노 파노에 의해 완성되었다.아핀과 유클리드 기하학과 같은 투영 기하학도 펠릭스 클라인의 에를랑겐 프로그램에서 개발될 수 있습니다. 투영 기하학은 투영 그룹의 변환에 따른 불변성으로 특징지어집니다.

따라서, 그 과목의 매우 많은 수의 이론들에 대한 많은 연구 후에, 사영 기하학의 기초가 이해되었다.발생 구조와 교차 비율은 투영 변환에서 기본적인 불변량이다.투영 지오메트리는 아핀 평면(또는 아핀 공간)과 "무한" 선(하이퍼 평면)을 더한 후 해당 선(또는 하이퍼 평면)을 "일반"[5]으로 처리하여 모델링할 수 있습니다.해석기하학 스타일로 투영기하학을 하기 위한 대수모델은 [6][7]균질좌표로 주어진다.반면, 공리 연구는 비-Desarguesian 평면의 존재를 밝혀냈다. 예를 들어, 발생 공리는 동질 좌표계를 통해 추론에 접근할 수 없는 구조물에 의해 모델링될 수 있다는 것을 보여준다.

성장 측정과 극 소용돌이.로렌스 에드워즈의 연구 결과를 바탕으로

기본적 의미에서 투영 기하학과 순서 기하학은 최소한의 공리를 포함하고 아핀유클리드 [8][9]기하학의 기초로서 사용될 수 있기 때문에 기초적인 것입니다.투영 지오메트리는 "순서"[3]가 아니기 때문에 지오메트리의 고유한 기반이 됩니다.

역사

투영 성질의 최초의 기하학적 특성은 3세기 [3]알렉산드리아의 파푸스에 의해 발견되었다.필리포 브루넬레스키 (1404–1472)는 1425년에[10] 원근법 기하학을 조사하기 시작했다. (투시 기하학의 발전의 많은 동기가 된 미술의 작품에 대한 보다 철저한 논의를 위해 원근법 역사 참조)요하네스 케플러 (1571–1630)와 제라르 데사르게 (1591–1661)는 독립적으로 "무한점"[11]의 개념을 개발했습니다.Desargues는 소실점이 무한히 멀리 떨어져 있는 경우를 포함하여 소실점의 사용을 일반화함으로써 원근도를 구성하는 대체 방법을 개발했다.그는 평행선이 진정으로 평행한 유클리드 기하학을 모든 것을 아우르는 기하학의 특별한 사례로 만들었다.원뿔 단면에 대한 데사르게스의 연구는 16세의 블레즈 파스칼의 관심을 끌었고 파스칼의 정리를 만드는 데 도움을 주었다.18세기 말과 19세기 초의 가스파드 몽게의 작품은 이후의 사영 기하학의 발전에 중요했다.드사르게의 작품은 1845년 미셸 샤슬이 손으로 쓴 사본을 우연히 발견하기 까지 무시되었다.한편, Jean-Victor Poncelet은 1822년에 투영 기하학에 대한 기초 논문을 발표했다.폰슬렛은 물체의 투영 특성을 조사했고, 콘크리트 극과 원에 대한 극의 관계에 기초함으로써 미터법과 투영 특성 사이의 관계를 확립했다.그 후 곧 발견된 비유클리드 기하학은 결국 투영 기하학과 관련쌍곡선 공간의 클라인 모델과 같은 모델을 가지고 있다는 것이 입증되었다.

1855년에. F. Möbius는 현재 Möbius 변환이라고 불리는 복잡한 평면에서의 일반 의 배열에 관한 기사를 썼다.이러한 변환은 복잡한 투영 라인의 투영성을 나타냅니다.공간에서의 선에 대한 연구에서, 줄리어스 플뤼커는 의 기술에서 균질한 좌표를 사용했고, 선 집합은 투영적 아이디어를 가진 분석 기하학대수 기하학이라고 불리는 새로운 분야에 대한 초기 기여 중 하나인 클라인 4차 원리에서 관찰되었습니다.

사영 기하학 로바 체프 스키. NikolaiIvanovich., 보야이 쌍곡선 기하 형상은 쌍곡 평면:[12]예를 들어"라인 쌍곡선"(geodesics),generalised계는 단 위원에 직각인 푸앵카레 디스크 모델 일치하고 이것이"번역"모델을 제공함으로써에 관한 추측의 유효성 검사 역할을 했다.모듈식 시간표의 수업 시간.el은 장치 디스크를 매핑하는 뫼비우스 변환에 의해 설명됩니다.점 사이의 거리는 핵심 투영 불변량인 교차 비율에 따라 달라지기 때문에 변환 시 불변인 것으로 알려진 케일리-클레인 메트릭에 의해 지정된다.변환은 미터법 공간 이론에서 등각성, 형식적으로 선형 분수 변환, 그리고 이 경우 SU(1, 1)의 투영 선형 변환으로 다양하게 설명된다.

Poncelet, Jakob Steiner 등의 작업은 해석 기하학을 확장하기 위한 것이 아니었다.기술은 합성되어야 했다: 사실상 지금 이해되고 있는 투영 공간은 공리적으로 도입되어야 했다.그 결과 투사기하학에서 현재의 엄격한 기준을 충족하도록 초기 작업을 재구성하는 것은 다소 어려울 수 있다.투영 평면만의 경우에도, 자명한 접근방식은 선형 대수를 통해 설명할 수 없는 모델을 초래할 수 있다.

기하학에서 이 시기는 클렙시, 리만, 맥스 노에테르 등의 기존 기술을 확장한 일반 대수 곡선에 대한 연구와 불변 이론에 의해 추월되었다.세기가 끝날 무렵, 이탈리아대수 기하학 학파는 전통적인 주제에서 더 깊은 기술을 요구하는 영역으로 탈피했다.

19세기 후반에는 사영기하학에 대한 상세한 연구가 비록 문헌이 방대하긴 하지만 덜 유행하게 되었다.특히 슈베르트에 의해 열거형 기하학에서 몇 가지 중요한 작업이 이루어졌는데, 이것은 현재 그래스만인대수적 위상을 나타내는 체른 계급의 이론을 예상하는 것으로 간주되고 있다.

디락은 사영기하학을 공부했고, 비록 그의 출판된 결과는 항상 대수적 형태였지만, 그것을 양자역학 개념을 발전시키기 위한 기초로 사용했다.이 주제에 관한 기사와 책을 참조하는 블로그 기사를 참조해 주세요.또, Dirac이 1972년 보스턴에서 일반 청중에게 사영 기하학에 대해 강연한 내용도 참조해 주세요.물리학에서의 사영 기하학에 대한 자세한 내용은 기재되어 있지 않습니다.

묘사

투영 기하학은 유클리드 기하학이나 아핀 기하학보다 덜 제한적이다.이것은 본질적으로 비측정 기하학으로, 사실이 측정 구조로부터 독립적이라는 것을 의미합니다.사영변환 하에서 입사구조사영조화공역관계는 유지된다.투영 범위는 1차원 기초입니다.투영 기하학은 투시 예술의 중심 원리 중 하나를 공식화한다: 평행선은 무한대에서 만나고, 따라서 그렇게 그려진다.본질적으로 사영기하학은 각 선의 "방향"이 추가 "점"으로 선 내에 포함되고, 동일 평면선에 대응하는 방향의 "수평"이 "선"으로 간주되는 유클리드 기하학의 연장이라고 생각할 수 있다.따라서, 두 평행선은 같은 방향을 통합하기 때문에 수평선 상에서 만난다.

이상적인 방향은 무한대의 점이라고 하며, 이상적인 수평선은 무한대의 선이라고 합니다.결국, 이 모든 선은 무한대의 평면에 놓여있다.그러나 무한대는 미터법 개념이기 때문에 순수하게 투영된 기하학은 이 점에서 어떤 점, 선 또는 평면도 제외하지 않습니다. 무한대에 있는 점들은 다른 점들과 동일하게 취급됩니다.

유클리드 기하학은 투영 기하학 안에 포함되어 있기 때문에, 유클리드 기하학의 일반적인 결과는 더 투명한 방식으로 도출될 수 있으며, 여기서 유클리드 기하학의 분리되지만 유사한 이론들이 투영 기하학의 틀 안에서 집합적으로 처리될 수 있다.예를 들어, 평행선과 비평행선은 별도의 경우로 취급할 필요가 없으며, 오히려 임의의 투영 평면이 이상적인 평면으로 선택되고 균질 좌표를 사용하여 "무한에 위치"한다.

기본적 중요성의 추가적인 특성은 데사르게의 정리파푸스의 정리를 포함한다.3차원 이상의 투영 공간에는 데사르게의 정리를 증명할 수 있는 구조가 있다.단, 차원 2의 경우 별도로 가정해야 합니다.

데사르게의 정리를 다른 공리와 결합하여 산술의 기본 연산을 기하학적으로 정의할 수 있다.결과 연산은 곱셈의 교환성이 파푸스의 육각형 정리를 필요로 한다는 것을 제외하고 필드의 공리를 만족시킨다.그 결과, 각 라인의 포인트는 0을 제외하고 θ = θ, -time = θ, +time = θ, /0 = θ, /time = 0, θ - = -time = θ, 0을 제외한 추가 요소 θ에 의해 보충되는 주어진 필드 F와 일대일 대응한다.

투영 기하학은 또한 원뿔 단면의 완전한 이론을 포함하며, 유클리드 기하학에서 광범위하게 발전된 주제이다.쌍곡선타원쌍곡선이 무한대의 선을 가로지르는 방식으로만 구별된다고 생각할 수 있고 포물선은 같은 선에 접하는 것으로만 구별된다는 장점이 있습니다.전체 원의 패밀리는 복잡한 좌표를 필요로 하는 비용으로 무한대의 선에서 주어진점을 통과하는 원추체로 간주할 수 있다.좌표는 "합성"이 아니기 때문에 선과 그 위에 두 점을 고정하고 그 점을 통과하는 모든 원뿔의 선형계를 연구의 기본 대상으로 간주하는 것으로 대체한다.이 방법은 재능 있는 기하학자들에게 매우 매력적이라는 것이 입증되었고, 그 주제는 철저히 연구되었다.이 방법의 예로는 H. F. Baker의 다중 볼륨 논문이 있다.

여러 개의 투영 지오메트리가 있으며, 이는 이산 지오메트리는 의 집합으로 구성되어 있으며, 점의 수는 유한할 수도 있고 그렇지 않을 수도 있습니다.반면 연속 지오메트리는 점의 수가 무한히 많고 간격은 없습니다.

치수 0의 투영 지오메트리는 단일 점뿐입니다.치수 1의 투영 형상은 적어도 3개의 점을 포함하는 단일 선으로 구성된다.이 두 경우 모두 산술 연산의 기하학적 구성을 수행할 수 없습니다.차원 2의 경우, 데사르게의 정리가 없기 때문에 풍부한 구조가 있다.

Fano 평면은 점과 선이 가장 적은 투영 평면입니다.

가장 작은 2차원 투영 지오메트리는(가장 적은 점을 갖는) Fano 평면으로, 모든 선에 3개의 점이 있고 총 7개의 점과 7개의 선이 있으며 다음과 같은 공선성을 가집니다.

  • [ABC]
  • [ADE]
  • [AFG]
  • [BDG]
  • [BEF]
  • [CDF]
  • [CEG]

동일 좌표 A = (0,0,1), B = (0,1,1), C = (0,1,0), D = (1,0,1), E = (1,0,1), F = (1,1,1), G = (1,1,0,1), 또는 아핀 좌표 A = (0,0,1),무한대의 점으로 지정된 점(이 예에서는 C, E 및 G)에 대한 데사르게 평면의 아핀 좌표는 여러 가지 다른 방법으로 정의할 수 있습니다.

표준 표기법에서 유한 투영 기하학은 다음과 같이 PG(,a )로 표기된다.

a는 투영(또는 기하학적) 치수입니다.
b는 선의 점 수보다 하나 적습니다(기하학의 순서라고 함).

따라서 7점만 있는 예제는 PG(2, 2)로 표기됩니다.

"사영 기하학"이라는 용어는 때때로 일반화된 기초 추상 기하학을 나타내기 위해 사용되며, 때로는 동질 좌표를 사용하여 분석하는 평탄한 공간의 미터법 기하학과 같이 광범위한 관심의 특정 기하학을 나타내기 위해 사용되며, 유클리드 기하학이 포함될 수 있는 경우(따라서 그 이름, 확장)유클리드 평면).

모든 투영 기하학적 구조를 추출하는 기본 특성은 투영 평면에서 두 의 뚜렷한 선 L과 M이 정확히 한 P에서 교차하는 타원 입사 특성이다.평행선의 해석 기하학에서 특별한 경우는 P가 놓여 있는 무한대의 보다 부드러운 형태의 선에 포함된다.따라서 무한대의 은 이론의 다른 선과 같다: 그것은 결코 특별하거나 구별되지 않는다. (에를랑겐 프로그램의 후기 정신에서는 변환 그룹무한대의 선으로 어떤 선이라도 이동할 수 있는 방법을 가리킬 수 있다.)

타원, 유클리드 및 쌍곡선 기하학의 병렬 특성은 다음과 같이 대조됩니다.

L과 선상에 없는 점 P가 주어지면,
타원형
P를 통과하는 l을 충족하지 않는 행은 존재하지 않습니다.
유클리드
L을 충족하지 않는 P를 통과하는 행이 정확히 1개 존재합니다.
쌍곡선
L을 충족하지 않는 P를 통과하는 행이 여러 개 존재합니다.

타원 기하학의 병렬 특성은 투영 이중성의 원리를 이끄는 핵심 아이디어이며, 모든 투영 기하학이 공통으로 가지고 있는 가장 중요한 특성일 수 있습니다.

이중성

1825년, 조지프 거곤은 투영 평면 기하학을 특징짓는 이원성의 원리를 주목했다: 그 기하학의 어떤 정리나 정의가 주어진다면, 점을 으로 대체하고, 통과를 위한 공선화, 결합을 위한 교차 또는 그 반대로, 다른 정리나 유효한 정의인 첫 번째 것의 "이중화"를 낳는다.마찬가지로, 3차원에서는 점과 평면 사이의 이원성 관계가 유지되며, 점 및 평면을 교환함으로써 모든 정리를 변환할 수 있습니다.이원성 관계는 다음과 같습니다.보다 일반적으로 치수 N의 투영공간에 대해 치수 R의 부분공간과 치수 N-R-1 사이에 이중성이 존재한다.N = 2의 경우, 이는 가장 일반적으로 알려진 이중성 형태인 점과 선 사이의 이중성에 특화되어 있습니다.이중성 원리 또한 장 빅터 폰슬렛에 의해 독립적으로 발견되었다.

이중성을 확립하기 위해서는 문제의 차원에 대한 공리의 이중 버전인 이론만 확립하면 된다.따라서 3차원 공간의 경우, 모든 점이 (1*) 3개의 뚜렷한 평면에 있고, (2*) 2개의 평면이 고유한 선으로 교차하며, (3*)의 이중 버전이 효과적이라는 것을 보여줘야 한다. 평면 P와 Q의 교차점이 평면 R과 S의 교차점과 동일하다면, 평면 P와 Q의 교차점도 마찬가지이다.평면 P와 S는 Q와 R)과 구별된다.

실제로, 이중성의 원리는 우리가 두 기하학적 구조 사이에 이중 대응관계를 설정할 수 있게 해준다.이들 중 가장 유명한 것은 원뿔 곡선(2차원) 또는 4차원 표면(3차원)의 두 도형의 극성 또는 상호성이다.일반적인 예는 대칭 다면체를 동심원구상에서 왕복운동하여 쌍대 다면체를 얻는 것이다.

또 다른 예는 이미 언급된 파스칼의 정리 중 쌍대인 브리안천의 정리이며, 그 증거 중 하나는 단순히 파스칼의 이중성의 원리를 적용하는 것으로 구성되어 있다.다음은 이 두 가지 정리(두 가지 경우 모두 투영 평면의 프레임워크 내)에 대한 비교 진술이다.

  • 파스칼: 만약 육각형의 꼭짓점 6개가 모두 원뿔 위에 있다면,반대쪽의 교차점은 세 개의 선분입니다.그 다음에 그것들을 연결하는 선을 육각형의 파스칼 선이라고 합니다.
  • Brianchon: 육각형의 모든 6변이 원뿔에 접하는 경우, 그 대각선(즉, 반대쪽 꼭지점을 연결하는 선)은 동시에 세 개의 선이 됩니다.그리고 나서 그들의 교차점은 육각형의 브리안촌 점이라고 불린다.
(원뿔이 두 직선으로 퇴화하면 파스칼의 정리는 파푸스의 정리가 되고, 파푸스의 정리는 흥미로운 이중은 없다. 왜냐하면 브리안촌 점은 3차적으로 두 선의 교차점이 되기 때문이다.)

투영 기하학의 공리

주어진 기하학은 적절한 일련의 공리에서 추론할 수 있다.투영 기하학은 두 평면이 항상 한 선에서만 만나거나 평면에서 두 선이 항상 한 지점에서 만난다는 "엘립틱 평행" 공리로 특징지어집니다.즉, 투영 형상에는 평행선이나 평면과 같은 것이 없습니다.

투영 기하학에 대한 많은 대체 공리 집합이 제안되었다(예: Coxeter 2003, Hilbert & Cohn-Vossen 1999, Greenberg 1980 참조).

화이트헤드의 공리

이러한 공리는 Whitehead, "사영 기하학의 공리"에 기초하고 있습니다.점과 선이라는 두 가지 유형이 있으며 점과 선 사이에 하나의 "사고" 관계가 있습니다.세 가지 공리는 다음과 같습니다.

  • G1: 모든 행에 최소 3개의 포인트가 포함됩니다.
  • G2: A와 B는 각각 고유한 선상에 있습니다.AB
  • G3: 선 AB와 CD가 교차하는 경우 선 AC와 BD도 교차합니다(A와 D는 B와 C와 구별된다고 가정합니다).

각 선이 최소 3개의 점을 포함하는 것으로 가정되는 이유는 일부 퇴화 사례를 제거하기 위해서입니다.이 세 개의 공리를 만족시키는 공간은 최대 한 개의 선을 갖거나 분할 링 위에 어떤 차원의 투영 공간이거나 비-사르그 평면이다.

기타 공리

치수 또는 좌표 고리를 제한하는 공리를 추가할 수 있습니다.예를 들어, Coxeter의 투영 [13]기하학에서는 위의 세 가지 공리에서 Veblen을[14] 참조하고, 차원 3과 좌표 고리를 2가 아닌 특성의 교환 장으로 만드는 추가적인 5개의 공리를 참조합니다.

삼원 관계를 사용한 공리

3원 관계를 가정함으로써 공리화를 추구할 수 있다.[ABC]는 3개의 점(모두 구별되는 것은 아니다)이 공명화되었을 때를 나타낸다.공리화는 이 관계에 관해서도 기재할 수 있다.

  • C0: [ABA]
  • C1: A와 B가 [ABC]와 [ABD]와 같은2개의 포인트일 경우 [BDC]
  • C2: A와 B가 두 점일 경우 [ABC]가 되는 세 번째 점 C가 있습니다.
  • C3: A와 C가 2점, B와 D도 2점, [BCE], [ADE]가 있지만 [ABE]가 아닌 경우에는 [ACF]와 [BDF]와 같은 F점이 있습니다.

서로 다른 두 점, A와 B의 경우, 선 AB는 [ABC]가 적용되는 모든 점 C로 구성되어 있는 것으로 정의됩니다.그 후, C0과 C1은 G2의 공식화, C2는 G1의 공식화, C3은 G3의 공식화를 제공한다.

선의 개념은 평면 및 고차원 하위 공간으로 일반화됩니다.부분 공간 AB...따라서 XY는 부분 공간 AB의 관점에서 재귀적으로 정의될 수 있다...X는 모든 선 YZ의 모든 점을 포함하는 것으로, Z가 AB...X 위에 위치함에 따라 공선성은 "독립성"의 관계로 일반화된다.점 집합 {A, B, ..., Z}은(는) 독립적입니다. [AB...]Z] {A, B, ..., Z}가 부분 공간 AB...Z에 대한 최소 생성 서브셋인 경우.

투영 공리는 공간의 치수에 대한 한계를 가정하는 추가 공리에 의해 보완될 수 있다.최소 치수는 필요한 크기의 독립 집합의 존재에 따라 결정됩니다.가장 낮은 치수에 대해서는 다음과 같이 동등한 형태로 관련 조건을 명시할 수 있다.투영 공간은 다음과 같습니다.

  • (L1) 최소 1개의 점이 있는 경우 최소 치수 0,
  • (L2) 최소 2개의 구별되는 점(따라서 선)이 있는 경우 최소 치수 1,
  • (L3) 적어도 3개의 비공선점(또는 두 개의 선 또는 선상에 없는 선과 점)이 있는 경우 최소 치수 2
  • (L4) 적어도 4개의 비공평면점을 가지고 있는 경우, 적어도 치수 3.

최대 치수도 비슷한 방법으로 결정할 수 있다.가장 낮은 치수에 대해서는 다음과 같은 형태를 취합니다.투영 공간은 다음과 같습니다.

  • (M1) 1점 이하일 경우 최대 치수 0,
  • (M2) 최대 치수 1의 라인이 1개 이하일 경우,
  • (M3) 최대 치수 2가 1개 이하의 평면을 갖는 경우,

기타 등등.모든 코플라 선이 교차하는 일반적인 정리(공리 (3)의 결과)입니다. 즉, 투영 기하학의 원리는 원래 구현하려고 했던 것입니다.따라서 속성(M3)은 모든 선이 서로 교차한다고 동등하게 진술할 수 있습니다.

일반적으로 투영 공간은 최소 치수 2라고 가정한다.경우에 따라서는 초점이 투영 평면에 있는 경우 M3의 변형을 가정할 수 있다.예를 들어 (Eves 1997: 111)의 공리는 (1), (2), (L3) 및 (M3)를 포함한다.Axiom (3)은 (M3)에서는 공허하게 참이 되기 때문에 이 문맥에서는 필요하지 않다.

투영 평면에 대한 공리

입사 기하학에서, 대부분의[15] 저자는 Fano 평면 PG(2, 2)를 가장 작은 유한 투영 평면으로서 수용하는 처리를 한다.이를 실현하는 공리 체계는 다음과 같다.

  • (P1) 두 개의 다른 점이 하나의 선상에 놓여 있다.
  • (P2) 임의의 2개의 다른 선이 하나의 점에서 만난다.
  • (P3) 적어도 4개의 점 중 3개가 공선하지 않은 점이 존재한다.

콕서터의 기하학[16] 입문서는 바흐만에게 귀속된 투영 평면의 보다 제한적인 개념에 대한 다섯 개의 공리의 목록을 제공하며, 위의 공리의 목록에 파푸스의 정리를 추가하고 (그것은 비 데사르게스 평면을 제거하며) 특성 2의 장에 걸친 투영 평면을 제외한다.이러한 방식으로 주어진 제한된 평면은 실제 투영 평면과 더 유사합니다.

투시성과 투사성

3개의 비직선점을 지정하면 3개의 선이 이들을 연결하지만 3개의 직선이 아닌 4개의 점으로 인해 6개의 연결선과 3개의 추가 "대각선"이 교차점에 의해 결정됩니다.사영 기하학의 과학은 4차 관계와 완전한 사각형 구성을 보존하는 사영성을 통해 4점에 의해 결정되는 이 잉여를 포착한다.

선상의 점의 고조파 4배는 4배의 첫 번째와 세 번째 위치에 대각점이 있는 완전한 사각형 2개가 있고, 다른 두 위치는 세 번째 [17]대각점을 통해 두 개의 사각형 점을 연결하는 선상의 점일 때 발생합니다.

한 평면에서의 투영 구성공간적 투시도는 다른 평면에서의 그러한 구성을 나타내며, 이는 완전한 사각형의 구성에 적용된다.따라서 조화 4배는 원근법에 의해 보존된다.어느 하나의 시점에서 다른 관점을 따를 경우 설정은 다음과 같습니다.두 가지 관점의 구성은 더 이상 관점이 아닌 투영성입니다.

원근법에 대응하는 점이 모두 한 점에서 수렴되지만 원근법이 아닌 투영성에서는 이 수렴이 사실이 아닙니다.사영 기하학에서 평면에서의 사영성의 대응점에 의해 형성된 선의 교점은 특히 흥미롭다.이러한 교차점의 집합을 투영 원뿔이라고 하며, Jakob Steiner의 업적을 인정하여 Steiner 원뿔이라고 한다.

투영성이 중간 p에 의해 X와 X를 관련짓는 A와 B를 중심으로 하는 두 가지 원근법에 의해 형성된다고 가정합니다.

입니다 \ \ }투사성 \ \)를 고려하면 유도 원뿔은

원뿔형 C와 원뿔형 C에 없는 P가 주어지면 P를 통과하는 두 개의 구분선이 4개의 점에서 C와 교차합니다.이 네 개의 점에 의해 P가 대각선인 사각형이 결정됩니다.다른 두 대각선을 통과하는 선을 P의 이라고 하며 P는 이 [18]선의 입니다.또는 P의 극선은 P와 C를 통과하는 가변 시칸트선상의 P의 투영 고조파 켤레 세트이다.

「 」를 참조해 주세요.

메모들

  1. ^ 라마난 1997, 페이지 88
  2. ^ 콕서터 2003, 페이지 v.
  3. ^ a b c d 콕서터 1969, 페이지 229
  4. ^ 콕서터 2003, 페이지 14
  5. ^ 콕서터 1969, 페이지 93, 261
  6. ^ 콕서터 1969, 페이지 234~238
  7. ^ 콕서터 2003, 페이지 111–132.
  8. ^ 콕서터 1969, 페이지 175~262
  9. ^ 콕서터 2003, 페이지 102–110.
  10. ^ 콕서터 2003, 페이지 2
  11. ^ 콕서터 2003, 페이지 3
  12. ^ John Milnor(1982) 쌍곡 기하학: 최초의 150년, 프로젝트 유클리드를 통한 미국 수학회 회보
  13. ^ 콕서터 2003, 페이지 14~15
  14. ^ 베블렌 & 영 1938, 페이지 16, 18, 24, 45
  15. ^ Bennett 1995, p.4, Beutelspacher & Rosenbaum 1998, p.8, Casse 2006, p.29, Cederberg 2001, p.9, Garner 1981, p.7, Hughes & Piper 1973, p.77, Mihalek 1972, p.29, Polster 1998, p.5 및 Samuel 1988, 21 참조 자료.
  16. ^ 콕서터 1969, 페이지 229~234
  17. ^ 할스테드 1906, 페이지 15, 16
  18. ^ Halsted 1906, 페이지 25

레퍼런스

외부 링크