정삼각형

정삼각형
정삼각형
유형	정다각형
모서리 및 정점	3
슐레플리 기호	{3}
콕서터-딘킨 도표
대칭군	D3.
지역
내부 각도(도)	60°

기하학에서 정삼각형은 세 변의 길이가 모두 같은 삼각형이다.친숙한 유클리드 기하학에서, 정삼각형은 또한 등각이다; 즉, 세 개의 내부 각은 서로 일치하고 각각 60°이다.이것은 또한 정다각형이기 때문에 정삼각형이라고도 합니다.

주요 속성

정삼각형.이것은 등변(

a=b=c

a=b=c

a=b=c

a=b=c

\

displaystyle

a =

c

), 등각(

\alpha =\beta =\gamma

h_{a}=h_{b}=h_{c}

β

=

h_{a}=h_{b}=h_{c}

{

\alpha =\beta =\gamma

\

h_{a}=h_{b}=h_{c}

=\

display =

\alpha =\beta =\gamma

h c {

displaystyle h_{a}

및 등고도를 가진다.

정삼각형 변의 공통 길이를 $a$ 로 $나타내면$ 다음과 같은 피타고라스 정리를 사용하여 결정할 수 있습니다.

면적은 $A={\frac {\sqrt {3}}{4}}a^{2}$ $A={\frac {\sqrt {3}}{4}}a^{2}$ $A={\frac {\sqrt {3}}{4}}a^{2}$ $A={\frac {\sqrt {3}}{4}}a^{2}$ $A={\frac {\sqrt {3}}{4}}a^{2}$ 2 $A={\frac {\sqrt {3}}{4}}a^{2}$ ({ $displaystyle$ A = $flac$ { $A={\frac {\sqrt {3}}{4}}a^{2}$ 4 $} }$ { 4 $A={\frac {\sqrt {3}}{4}}a^{2}$ } $A={\frac {\sqrt {3}}{4}}a^{2}$ a^ {2} $A={\frac {\sqrt {3}}{4}}a^{2}$ 、
둘레는 p $p=3a\,\!$ $p=3a\,\!$ {\ $display$ p $=3a,\!}$ 입니다.
외접 원의 반지름은 R $R={\frac {a}{\sqrt {3}}}$ $R={\frac {a}{\sqrt {3}}}$ 3 $R={\frac {a}{\sqrt {3}}}$ {\ $displaystyle$ R = $flac {a}$ {\ $flacrt {3}}}$ 입니다.
내접 원의 반지름은 $r={\frac {\sqrt {3}}{6}}a$ $r={\frac {\sqrt {3}}{6}}a$ $r={\frac {\sqrt {3}}{6}}a$ a { $displaystyle$ r = $scsfrac$ { $6 }$ $r={\frac {R}{2}}$ $r={\frac {R}{2}}$ $r={\frac {R}{2}}$ { $displaystyle$ r $r={\frac {\sqrt {3}}{6}}a$ $= scsfrac$ { $R$ } {2 $}$ } 입니다.
삼각형의 기하학적 중심은 외접원 및 내접원의 중심이다.
어느 쪽에서든 고도(높이)는 h $h={\frac {\sqrt {3}}{2}}a$ $h={\frac {\sqrt {3}}{2}}a$ $h={\frac {\sqrt {3}}{2}}a$ a { $displaystyle$ h = $scsfrac$ { $scsrt {$ 3} ${2}$ $a$ }

외접 원의 반지름을 R로 나타내면 다음과 같은 삼각법을 사용하여 결정할 수 있다.

삼각형의 면적은 $\mathrm {A} ={\frac {3{\sqrt {3}}}{4}}R^{2}$ $\mathrm {A} ={\frac {3{\sqrt {3}}}{4}}R^{2}$ $\mathrm {A} ={\frac {3{\sqrt {3}}}{4}}R^{2}$ 3 $\mathrm {A} ={\frac {3{\sqrt {3}}}{4}}R^{2}$ R $\mathrm {A} ={\frac {3{\sqrt {3}}}{4}}R^{2}$ (\ $displaystyle$ \ $mathrm$ { $A$ } = $fr frac$ { 3 $rt$ rt ${$ 3} } { $4$ } $R^$ { $2$ }

이러한 수량의 대부분은 반대쪽에서 각 정점의 고도("h")에 단순한 관계를 가진다.

면적은 $A={\frac {h^{2}}{\sqrt {3}}}$ $A={\frac {h^{2}}{\sqrt {3}}}$ $A={\frac {h^{2}}{\sqrt {3}}}$ 2 $A={\frac {h^{2}}{\sqrt {3}}}$ {\ $displaystyle$ A = $scsfrac {h^{2}}$ {\ $csqrt {3}}$ 입니다.
양쪽에서 중앙의 높이(즉, 원점)는 $($ 스타일(\displaystyle $\frac {h}{3}})$
3개의 정점을 둘러싼 원의 반지름은 R $R={\frac {2h}{3}}$ $R={\frac {2h}{3}}$ 3({ $displaystyle$ R $=sublicfrac$ { $2h}{3})$ 이다.
내접 원의 $r={\frac {h}{3}}$ 은 $r={\frac {h}{3}}$ $r={\frac {h}{3}}$ h $r={\frac {h}{3}}$ ({ $displaystyle$ r $=sublicfrac$ { $h}{3$ })입니다.

정삼각형에서는 각 변의 고도, 각도 이등분선, 수직 이등분선 및 중위수가 일치한다.

특성화

변 a, b, c, semipermeter s, 면적 T, exradii_a r_b, r_c(각각 a, b, c에 접함)을 가지며, R 및 r이 각각 원과 인시클의 반지름인 삼각형 ABC는 다음 9가지 중 어느 하나의 문장이 참일 경우에만 등변이다.따라서 이것들은 정삼각형에 고유한 특성이며, 그 중 하나가 참이라는 것은 정삼각형이라는 것을 직접적으로 의미합니다.

옆면

$a=b=c$
${1}{a}+{\frac {1}{b}}+{\frac {1}{c}}=param frac {4R}$ ^[1]

세미 페리미터

$s=2R+\left(3{\sqrt {3}}-4\right)r$ $s=2R+\left(3{\sqrt {3}}-4\right)r$ $s=2R+\left(3{\sqrt {3}}-4\right)r$ R $s=2R+\left(3{\sqrt {3}}-4\right)r$ + ( $s=2R+\left(3{\sqrt {3}}-4\right)r$ - $s=2R+\left(3{\sqrt {3}}-4\right)r$ ) $s=2R+\left(3{\sqrt {3}}-4\right)r$ $\$ $displaystyle$ s $s=2R+\left(3{\sqrt {3}}-4\right)r$ = $2R$ + \ $left$ ( $3$ { \ $sqrt$ { $3$ } - 4 \ right ) r $s=2R+\left(3{\sqrt {3}}-4\right)r$ ^[2]} ( Blundon )
$s^{2}=3r^{2}+12Rr$ ^[3]
$s^{2}=3sqrt {3}}T$ ^[4]
${\displaystyle s=3sqrt {3}}r$
$s=squalfrac {3sqrt {3}}{2}}R$

각도

$A=B=C=60^{\circ}}$
$\displaystyle \cos {A}+\cos {B}+\cos {C}=blac {3}{2}}$
${\displaystyle\sin\frac{A}{2}\sin{frac{B}{2}=sin{1}{8}}$ ^[5]

지역

$T$ $T={\frac {a^{2}+b^{2}+c^{2}}{4{\sqrt {3}}}}\quad$ $T={\frac {a^{2}+b^{2}+c^{2}}{4{\sqrt {3}}}}\quad$ $T={\frac {a^{2}+b^{2}+c^{2}}{4{\sqrt {3}}}}\quad$ + $T={\frac {a^{2}+b^{2}+c^{2}}{4{\sqrt {3}}}}\quad$ + $T={\frac {a^{2}+b^{2}+c^{2}}{4{\sqrt {3}}}}\quad$ $T={\frac {a^{2}+b^{2}+c^{2}}{4{\sqrt {3}}}}\quad$ $T={\frac {a^{2}+b^{2}+c^{2}}{4{\sqrt {3}}}}\quad$ 3 {{ $displaystyle$ T = $scap frac$ { $a$ ^ { $2$ ^ { 2 } + c $T={\frac {a^{2}+b^{2}+c^{2}}{4{\sqrt {3}}}}\quad$ ^ {2 $}$ } } } $T={\frac {a^{2}+b^{2}+c^{2}}{4{\sqrt {3}}}}\quad$ （ Weitzenböck ^[6] $）$
$({displaystyle T=black {3}}{4}}(표준)^{\flac {2}{3}})$ ^[4]

서클라디우스, 인라디우스 및 엑라디우스

$R=2r$ $R=2r$ $R=2r$ \ $displaystyle$ R = $2r$ ^[7]（ Chapple - Euler ）
$9R^{2}=a^{2}+b^{2}+c^{2}}$ ^[7]
${{displaystyle r} = scfrac {r_{a} + r_{b} + r_{c} {9}}$ ^[5]
$r_{a}=r_{b}=r_{c}$

균등 체비안

등변 ^[8]삼각형에 대해(및 등변 삼각형에 대해서만) 세 가지 종류의 세비안이 일치하고 동일하다.

세 개의 고도는 길이가 같다.
세 중위수의 길이는 같다.
세 개의 각도 이등분선의 길이는 동일합니다.

일치 삼각형 중심

등변 삼각형의 모든 삼각형 중심은 그 중심과 일치하며, 이것은 등변 삼각형이 일부 중심을 연결하는 오일러 선이 없는 유일한 삼각형임을 암시한다.일부 삼각형 중심 쌍의 경우, 삼각형들이 일치한다는 사실이 삼각형이 등변임을 확인하기에 충분합니다.특히:

삼각형은 둘레 중심, 유인제, 중심 또는 직교 중심 중 하나가 일치하는 ^[9]^{: p.37}경우 등변형입니다.
또한 원주 중심이 Nagel 점과 일치하거나 인센티브가 9점 ^[7]중심과 일치하는지 여부도 동일하다.

중위수에 의해 분할되어 형성된 6개의 삼각형

모든 삼각형의 경우 세 개의 중위수가 삼각형을 6개의 작은 삼각형으로 분할합니다.

삼각형은 세 개의 작은 삼각형 중 하나라도 둘레가 같거나 반지름이 ^[10]^{: Theorem 1}같은 경우에만 등변입니다.
삼각형은 세 개의 작은 삼각형의 ^[10]^{: Corollary 7}둘레가 중심으로부터 동일한 거리를 갖는 경우에만 등변형입니다.

평면의 점

삼각형은 평면의 모든 점 P에 대해 삼각형의 변에 대한 거리 p, q 및 r과 꼭지점에 대한 거리 x,^[11]^{: p.178, #235.4} y 및 z가 있는 경우에만 등변이다. $\displaystyle 4\left(p^{2}+q^{2}+r^{2}\오른쪽)\geq x^{2}+y^{2}+z^{2}.}$

주목할 만한 정리

비비아니 정리의 시각적 증거

P점에서 등변 삼각형 ABC까지의 가장 가까운 거리가 표시됩니다.
AB, BC, CA에 평행한 선 DE, FG, HI는 각각 작은 삼각형 PHE, PFI, PDG를 정의한다.
이 삼각형들은 등변형이기 때문에 고도가 수직이 되도록 회전할 수 있다.
PGCH는 평행사변형이기 때문에 삼각 PHE를 슬라이드 업시켜 고도합계가 삼각 ABC임을 나타낼 수 있다.

몰리의 삼등분자 정리는 어떤 삼각형에서든 인접한 각도 삼등분자의 교차점 세 개가 정삼각형을 형성한다고 말한다.

나폴레옹의 정리는 만약 정삼각형이 바깥쪽으로, 혹은 안쪽으로, 어떤 삼각형의 변에 구성된다면, 그 정삼각형의 중심은 그 자체로 정삼각형을 형성한다고 말한다.

삼각형의 등각 부등식의 버전은 주어진 둘레를 가진 모든 삼각형의 면적이 가장 큰 삼각형이 ^[12]등변이라고 말한다.

Viviani의 정리는 변과 고도 h로부터의 거리 d, e, f를 갖는 등변 삼각형의 내부점 P에 대해 다음과 같이 기술한다.

(\displaystyle d+e+f=h, )

P의 ^[13]위치와는 무관합니다.

폼페이우 정리는 만약 P가 정삼각형 ABC의 평면에서 임의의 점이지만 그 원주위에 있지 않다면, 길이 PA, PB, PC의 변을 가진 삼각형이 존재한다고 한다.즉, PA, PB 및 PC는 두 개의 합계가 세 번째보다 크다는 삼각 부등식을 만족시킵니다.만약 P가 원주 위에 있다면, 두 개의 작은 것의 합이 가장 길고 삼각형이 직선으로 퇴화한 경우, 이 경우를 반 슈텐의 정리라고 한다.

기타 속성

오일러의 부등식에 의해, 정삼각형은 어떤 삼각형의 인 반지름에 대한 원둘레 반지름의 R/r 중 가장 작은 비율을 가진다: 특히, R/r = 2.^[14]^{: p.198}

주어진 원 안에 새겨진 모든 면적의 가장 큰 삼각형은 등변형이고, 주어진 원 주위에 있는 모든 면적의 가장 작은 삼각형은 ^[15]등변형이다.

정삼각형 면적에 대한 첨탑 면적의 ${\frac {\pi }{3{\sqrt {3}}}}$ 인 § ${\frac {\pi }{3{\sqrt {3}}}}$ ( $표시$ 스타일 $){3{\sqrt {3$ 은 어떤 비정삼각형 ^[16]^{: Theorem 4.1}면적의 비율보다 크다.

정삼각형 둘레의 제곱에 ${\frac {1}{12{\sqrt {3}}}},$ 면적 대비 1 ${\frac {1}{12{\sqrt {3}}}},$ 3 , ${\frac {1}{12{\sqrt {3}}}},$ {\ $displaystyle {1}{12{\sqrt {3}}}}$ 은 $\frac{1}{12\sqrt{3}},$ (는) 다른 ^[12]삼각형보다 큽니다.

세그먼트가 등변 삼각형을 둘레가 같고 영역₁ A와₂ A가 있는 두 영역으로 분할하는 경우^[11]^{: p.151, #J26}

({displaystyle} {frac {7} {9}} {A_{2}} \leq {7} )}

삼각형이 복잡한₁ 정점 z₂, z 및₃ z를 갖는 복소 평면에 배치되는 경우, 1의 비실제 $δ$ (\displaystyle $\omega})$ 중 $\omega$ 하나에 대해 삼각형이 등각인 경우, 다음과 같은 경우에만^[17]^{: Lemma 2} 삼각형이 등각이다.

z_{1}+\Omega z_{2}+\Omega ^{2}z_{3}=0.

정삼각형 내부의 점 P가 주어졌을 때, 정점으로부터의 거리의 합과 변으로부터의 거리의 합의 비는 P가 중심일 때 동등하게 유지되는 2보다 크거나 같다.다른 삼각형에서는 ^[18]이 비율이 2만큼 작은 점은 없습니다.이것은 Erdss-Mordell 부등식이다.이 부등식은 변에 대한 수직 거리를 P에서 변에 교차하는 각도 이등분선(A, BPC, C)까지의 거리로 대체한다.

평면 내의 임의의 점 P에 대해 각각 ^[19]정점 A, B 및 C로부터의 거리 p, q 및 t를 가진다.

3\left(p^{4}+q^{4}+t^{4}+a^{4}}\right)=\left(p^{2}+q^{2}+t^{2}+a^{2]}\right)^{2}.

평면 내의 모든 점 P에 대해,^[20] 정점으로부터의 거리 p, q 및 t에 대해,

({displaystyle p^{2}+q^{2}+t^{2}=3\left(R^{2}+L^{2}\오른쪽)}

그리고.

p^{4}+q^{4}+t^{4}}=3\left[\left(R^{2}+L^{2}\오른쪽)^{2}+2R^{2}L^{2}\오른쪽],

여기서 R은 외접 반지름이고 L은 점 P와 등변 삼각형의 중심 사이의 거리이다.

정점으로부터의 거리 p, ^[21]q, t를 갖는 등변 삼각형의 내접원상의 점 P에 대해,

4\left(p^{2}+q^{2}+t^{2}}\right)=5a^{2}

그리고.

16\left(p^{4}+q^{4}+t^{4}}\right)=11a^{4}.

A, B, C로부터의 거리 ^[13]p, q 및 t를 갖는 원주호의 소호 BC상의 임의의 점 P에 대하여

p=q+t

그리고.

q^{2}+qt+t^{2}}=a^{2};

또한, 측면 BC의 점 D가 길이 z를 갖는 DA와 길이 y를 갖는 PD와 DA로 PA를 나눈다면,

z=syslogfrac {t^{2}+tq+q^{2}}{t+q}}

또한 t q의 경우 t 3

{\textstyle {\tfrac {t^{3}-q^{3}}{t^{2}-q^{2}}}}

-

{\textstyle {\tfrac {t^{3}-q^{3}}{t^{2}-q^{2}}}}

{\textstyle {\tfrac {t^{3}-q^{3}}{t^{2}-q^{2}}}}

{\textstyle {\tfrac {t^{3}-q^{3}}{t^{2}-q^{2}}}}

2 -

{\textstyle {\tfrac {t^{3}-q^{3}}{t^{2}-q^{2}}}}

2 ({

textstyle {tfrac

{

t^{3}-q^{3

}})

{t^{2}-q^{

2}})와

{\textstyle {\tfrac {t^{3}-q^{3}}{t^{2}-q^{2}}}}

{\textstyle {\tfrac {t^{3}-q^{3}}{t^{2}-q^{2}}}}

.

({displaystyle {1}{q}}+{\frac {1}{t}}=flac {1}{y})

광학 방정식입니다.

삼각형이 등변형일 경우에만 평등에 적용되는 수많은 삼각형 불평등이 있다.

정삼각형은 가장 대칭적인 삼각형으로, 3개의 반사선과 그 중심에 대한 3차 회전 대칭을 가지고 있습니다.대칭군은 6D₃ 차수의 이면체군이다.

정삼각형은 Steiner 타원형이 원형인 유일한 삼각형입니다(구체적으로는 절추형).

정삼각형 타일이 평면을 채웁니다.

정수변 등변 삼각형은 도 ^[22]단위로 측정되는 정수변과 세 개의 유리각을 가진 유일한 삼각형입니다.

정삼각형은 직각 삼각형과 유사한 유일한 예각 삼각형이다(고도의 피트에 정점이 있음). (육각형 삼각형은 유일하게 둔각 삼각형이다.)^[23]^{: p. 19}

정삼각형은 자신을 포함한 다른 모든 정다각형 안에 넣을 수 있으며, 정사각형은 이 속성을 가진 유일한 정다각형입니다.

정삼각형은 정점에서 6개의 삼각형이 만나는 2차원 공간을 타일로 만듭니다.정삼각형 타일링인 정삼각형 테셀레이션이 있습니다.3.12², 3.4.6.4 , (3.6),² 3².4.3.4, 3⁴.6은 모두 정삼각형으로 구성된 반정규 테셀레이션입니다.

정4면체는 4개의 정삼각형으로 이루어져 있다.

등변 삼각형은 다른 많은 기하학적 구조에서 볼 수 있다.중심이 반지름 너비인 원의 교차점은 한 쌍의 등변 아치이며, 각각은 등변 삼각형으로 새겨질 수 있다.3차원에서, 그것들은 규칙적이고 균일한 다면체의 면을 형성합니다.5개의 플라톤 고체 중 3개는 정삼각형으로 구성되어 있다: 4면체, 8면체, 20면체.특히 면의 등변삼각형 4개를 가진 사면체는 삼각형의 3차원 유사체로 볼 수 있다.모든 플라톤계 고체는 사면체를 새길 수 있을 뿐만 아니라 사면체 안에 새길 수도 있습니다.

또한 세 번째 차원에서는 정삼각형은 균일한 대척점과 균일한 별 대척점을 형성합니다.반프리즘의 경우 일반 폴리곤의 두 개의 (미러링되지 않은) 병렬 복사본이 2n개의 삼각형의 대역을 번갈아 사용하여 연결됩니다.특히 항성 반비례의 경우 미러된 평행성 다각형과 미러되지 않은 평행성 다각형으로 결합하는 프로그램 및 역행(교차) 솔루션이 있습니다.

정삼각형은 n=2인 n-정삼각형의 무한족에 속한다.

기하학적 구조

나침반과 직선 모서리가 있는 정삼각형 구축

정삼각형은 3이 페르마 소수이기 때문에 직선과 나침반을 사용하여 쉽게 구성할 수 있다.직선을 그리고 나침반의 점을 선의 한쪽 끝에 놓고 그 지점에서 선분의 다른 쪽 점으로 호를 돌립니다.회선의 반대쪽에서도 반복합니다.마지막으로 두 호가 교차하는 점을 선분의 양 끝에 연결합니다.

다른 방법으로는 반지름이 r인 원을 그리고 나침반의 점을 원 위에 놓고 같은 반지름을 가진 다른 원을 그리는 방법이 있습니다.그 두 원은 두 점에서 교차할 것이다.원의 두 중심과 교차점 중 하나를 취함으로써 정삼각형을 구성할 수 있다.

두 방법 모두 방광 피시스의 형성이 부산물입니다.

결과물이 정삼각형이라는 증거는 유클리드의 원소 제1권의 첫 번째 명제입니다.

Equilateral Triangle Inscribed in a Circle.gif

면적식의 도출

$A={\frac {\sqrt {3}}{4}}a^{2}$ 공식 A $A={\frac {\sqrt {3}}{4}}a^{2}$ $A={\frac {\sqrt {3}}{4}}a^{2}$ $A={\frac {\sqrt {3}}{4}}a^{2}$ $A={\frac {\sqrt {3}}{4}}a^{2}$ $A={\frac {\sqrt {3}}{4}}a^{2}$ ({ $displaystyle$ A $A={\frac {\sqrt {3}}{4}}a^{2}$ = 2 $frac {4}$ {4}} $a^{2})$ 는 $A = \frac{\sqrt{3}}{4}a^2$ 측면 길이 a의 관점에서 피타고라스 정리 또는 삼각법을 사용하여 직접 도출할 수 있다.

피타고라스 정리 사용

삼각형의 면적은 한 변의 절반에 해당 변의 높이 h를 곱한 값입니다.

({displaystyle A=black {1}{2}}아)

변이 2인 정삼각형은 사인 60°가 3/2

이하

이므로 높이가 3

이하

이다.

등변삼각형의 고도에 의해 형성된 어느 하나의 직각삼각형의 다리는 밑변a의 절반이고, 빗변은 등변삼각형의 변a이다.정삼각형의 높이는 피타고라스 정리를 사용하여 구할 수 있다.

{\displaystyle\frac{a}{2}\right}^{2}+h^{2}=a^{2}}

하도록

({displaystyle h=snarfrac}{3}}{2}}a).}

면적 공식에 h를 대입하다1/2ah는 등변 삼각형의 면적식을 나타냅니다.

({displaystyle A=black}{4}}a^{2}).}

삼각법 사용

삼각법을 사용하여, 두 변 a와 b, 그리고 그 사이의 각도 C를 가진 삼각형의 면적은 다음과 같다.

A=paramfrac {1}{2}}ab\sin C.

정삼각형의 각도는 60°이다.

A=black {1}{2}}ab\sin 60^{\display }

사인 60°는 $($ { $2$ 입니다.따라서

({displaystyle A=bsqrt {1}{2}}ab\times {frac}=bsqrt {3}}{4}ab=bsqrt {4}{b}a^{2}})

왜냐하면 정삼각형의 모든 변이 같기 때문이다.

문화·사회에서

등변삼각형은 인간이 만든 건축물에 자주 나타난다.

이 모양은 게이트웨이 ^[24]아치의 단면과 같은 현대 건축에서 나타납니다.
깃발과 문장학에 사용되는 것은 니카라과의 국기와 필리핀의 ^[26]국기를 포함한다^[25].
양보 ^[27]표지판을 포함한 다양한 도로 표지판의 형태입니다.

「」를 참조해 주세요.

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외부 링크

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v t 치수 2-10의 기본 볼록 정규 및 균일한 폴리토프
가족	A_n	B_n	I₂(p) / D_n	E₆/E₇/E₈/F₄/G₂	H_n
정다각형	삼각형	광장	p곤	육각형	펜타곤
균일한 다면체	사면체	8면체 • 큐브	데미큐브		12면체 • 이십면체
균일한 폴리코론	펜타코론	16 셀 • 테서랙트	데모테서랙트	24 셀	120 셀 • 600 셀
균일한 5 폴리토프	51200x	5 - ORTOPLEX • 5 - 큐브	5 데미큐브
균일한 6 폴리토프	61200x	6-정류 • 6-큐브	6-데미큐브	1₂₂ • 2₂₁
균일한 7 폴리토프	71200x	7-정류 • 7-큐브	7 데미큐브	1₃₂ • 2₃₁ • 3₂₁
균일한 8 폴리토프	8180x	8-정류 • 8-큐브	8개의 데미큐브	1₄₂ • 2₄₁ • 4₂₁
균일한 9-폴리토프	9169x	9-정류 • 9-입방체	9데미큐브
균일한 10 폴리토프	10-1996x	10 - ORTOPLEX • 10 - 큐브	10 데미큐브
균일한 n-폴리토프	n-1996x	n-ortoplex • n-입방체	n-데미큐브	1_k2 • 2_k1 • k₂₁	n-오각형 폴리토프
주제: 폴리토프 패밀리 • 일반 폴리토프 • 일반 폴리토프 및 화합물 목록

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