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카이로 오각형 타일링

Cairo pentagonal tiling
카이로 오각형 타일링
Equilateral Cairo tiling.svg
카이로 타일링의 등변형
유형오각형 타일링
얼굴불규칙한 펜타곤
이중 다면체스너브 사각 타일링
특성.면직의

기하학에서 카이로 오각형 타일링유클리드 평면을 응고 볼록 오각형으로 다듬은 것으로, 평면의 두 테셀링을 육각형으로 덧씌워 형성하고 카이로에서 포장 설계로 사용하기 위해 명명되었다.1921년 출간된 뉴메틱 파스타임즈에서 이를 묘사한 퍼시 알렉산더 맥마흔의 이름을 따서 맥마흔의 그물이라고[1] 한다.[2]존 호튼 콘웨이(John Horton Conway)는 이것을 4배형 펜틸이라고 불렀다.[3]

무한히 많은 다양한 펜타곤들이 이 패턴을 형성할 수 있는데, 이는 평면 타일을 칠 수 있는 15개 볼록 펜타곤 중 두 개에 속한다.그들의 기울기는 다양한 대칭을 가지고 있다; 모두 얼굴 대칭이다.스너브 사각 타일링과 이중으로 된 타일링의 한 특정한 형태는 모든 오각형 틸링 중에서 가능한 최소 둘레의 타일을 가지고 있다.또 다른 하나는, 두 개의 평평한 기울기를 일반 육각형으로 겹쳐 놓은 것으로, 카이로에서 사용되는 형태로서, 모든 가장자리는 무한히 많은 다른 가장자리와 결합되는 특성을 가지고 있다.

카이로 너머의 건축에서 카이로 타일링은 18세기 인도 무굴 건축, 20세기 초 독일의 라에이스할레 건축, 그리고 많은 현대적인 건물과 설비에서 사용되어 왔다.결정구조로도 연구되어 M. C. 에셔의 예술에도 등장한다.

구조 및 분류

카이로 타일링의 모든 가장자리의 결합은 육각형에 의해 비행기의 두 기울기를 결합하는 것과 동일하다.하나의 타일링의 각 육각형은 다른 타일링의 두 꼭지점을 둘러싸고 있으며, 다른 타일링의 육각형에 의해 카이로 타일링의 5각형 중 4개로 나뉜다.[4]무한히 많은 다른 펜타곤들이 카이로 기울기를 형성할 수 있는데, 모두 타일 사이의 보조성의 패턴과 육각으로 분해되는 동일한 패턴을 가지고 있지만, 가장자리 길이, 각도, 대칭은 다양하다.이러한 기울기를 형성하는 펜타곤은 두 개의 서로 다른 무한 계열로 분류할 수 있는데,[5] 이 두 계열은 비행기를 타일로 묶을 수 있는 볼록 펜타곤 15개 계열과 1918년 칼 라인하르트가 발견한 5개 계열의 펜타곤(모든 타일은 서로 대칭)으로 묶을 수 있다.[6]

이 두 가족 중 하나는 두 개의 비인접 직각을 가진 펜타곤으로 구성되며, 길이가 같은 한 쌍의 면이 이 직각 각각에서 만난다.이러한 요건을 충족하는 모든 펜타곤은 선택한 오른쪽 각진 모서리에서 서로에 대해 직각으로 회전하는 카피에 의해 평면을 타일로 장식한다.이 두 직각 중 하나에 인접하지 않은 오각형 면에서는 두 타일이 서로 180° 각도로 회전하면서 만난다.그 결과는 등면 타일링으로, 타일링의 어떤 오각형도 타일링의 대칭에 의해 다른 오각형으로 변형될 수 있다는 것을 의미한다.이러한 펜타곤과 타일링은 타일을 칠할 수 있는 펜타곤의 종류 목록에 "타입 4"로 기재되는 경우가 많다.[4]어떤 타입 4 카이로 타일링의 경우에도 12개의 같은 타일이 큐브 표면을 덮을 수 있는데, 각 큐브 가장자리를 가로질러 한 개의 타일이 접혀 있고 각 큐브 꼭지점에서 세 개의 직각 타일이 만나는 것이 일반 도데카헤드론과 동일한 결합 구조를 형성한다.[7][8]

카이로 타일링을 형성하는 다른 펜타곤 계열은 비인접 정점에 두 개의 상호 보완적인 각도를 갖는 펜타곤이며, 각각은 동일한 두 개의 측면 길이와 충돌한다.기울기에서, 보완 각도가 있는 정점은 각 도-4 꼭지점 주위를 교대한다.이러한 제약을 충족하는 펜타곤은 일반적으로 타일을 칠하는 15개 펜타곤 제품군 중 하나로 나열되지 않고, 오히려 다른 방식으로 평면에 타일을 칠하는 더 큰 펜타곤 제품군("타입 2" 펜타곤")의 일부분이다.[4]

쌍방향 대칭 카이로 기울기는 타입 2와 타입 4에 모두 속하는 펜타곤에 의해 형성된다.[4]바스켓위브 벽돌 포장 패턴은 쌍방향 대칭 카이로 기울기의 퇴보 사례로 볼 수 있으며, 각 벽돌( 2 직사각형)은 직각 4개와 180° 각 1개의 각도를 가진 오각형으로 해석된다.[9]

두 펜타곤 사이의 에지 대 에지 스텝 수가 좌표 사이1 L 거리와 같도록 타일링의 펜타곤에 6차원 반정위자 좌표를 할당할 수 있다.각 펜타곤의 6개 좌표는 2개의 좌표 3배로 분류할 수 있으며, 각 3개 좌표는 중첩된 2개의 육각 기울기 각각에 대해 아날로그 3차원 좌표계로 육각 좌표를 부여한다.[10]= , ,…에 대해 된 타일로부터 한 걸음 떨어진 i 의 타일 수는 조정 순서에 따라 지정된다

이 경우, 처음 3개 항 이후 각 항은 3단계 뒤의 3개 항과 16개 항이 다르다.타일 대신 타일 정점에 대해 유사한 조정 시퀀스를 정의할 수도 있지만, 정점의 두 가지 유형(도 3과 도 4)이 있기 때문에 이러한 방식으로 발생하는 두 가지 다른 조정 시퀀스가 있다.4도 순서는 사각 격자와 동일하다.[11][12]

특례

카탈루냐 타일링

카이로 타일링은 스너브 스퀘어 타일링의 이중으로
이중 스너브 사각타일링용 펜타곤 기하학적 구조

각 꼭지점 둘레에 정사각형 두 개와 정삼각형 세 개로 이루어진 스너브 사각형 타일링은 쌍방향 대칭 카이로 타일링이 이중 타일링으로 되어 있다.[13]카이로 타일링은 카이로 타일링의 정점을 스너브 사각 타일링의 각 사각형 또는 삼각형 중심에 배치하고, 인접 타일로부터 올 때 이 정점을 가장자리별로 연결함으로써 스너브 사각 타일링으로부터 형성될 수 있다.[14]그것의 펜타곤은 원을 중심으로 둘 수 있다.4개의 긴 가장자리와 의 짧은 가장자리는 1: - 의 비율로 되어있다. 1 : 3 - 1 이 펜타곤의 각도는 120°, 120°, 90°, 120°, 90°[15]의 순서를 형성한다.

스너브 사각형 타일링은 아르키메데스 타일링이며, 카이로 오각형 타일링의 두 가지 형태로는 카탈로니아 타일링 또는 라브스 타일링이다.[14]타일에 단위 면적이 있을 때 타일의 둘레를 최소화하는 두 개의 단면 오각형 기울기 중 하나이다.다른 하나는 또한 2개의 직각과 3개의 120° 각도를 가진 5각형의 테일링이지만, 2개의 직각은 인접해 있다; 또한 두 종류의 오각형을 결합하여 무한히 많은 기울기가 형성되어 있다.[15]

시준 모서리가 있는 틸링

Collinear form of Cairo pentagonal tiling
두 개의 수직 정육각 기울기를 수직 방향으로 평평하게 하여 형성된 정수 조정 펜타곤의 카이로 타일링의 콜린어 형태

정점 좌표, ) 2,3, ) 그리고 (,4) {\4)}을(를) 가진 펜타곤은 나머지 면보다 두 개의 수직으로 평평하게 하여 두 개의 육각형 기울기를 형성할 수 있는 카이로 타일 수 있다. 방향으로 3 의 비율로 엑사곤 카이로 타일링의 이 형태는 모든 가장자리가 무한히 많은 다른 가장자리와 충돌하는 정규 육각형(평탄화에 의해 작동되지 않음)[9][16]에 의한 틸팅의 속성을 계승한다.

측면 길이가 같은 틸팅

일반 펜타곤은 틈새 없이 비행기를 타일링하지 않기 때문에 카이로 기울기를 형성할 수 없다.카이로 타일링 타입 4를 형성할 수 있는 독특한 정삼각형 오각형이 있다; 5개의 동일한 면을 가지고 있지만 그것의 각도는 동일하지 않고, 그것의 타일링은 쌍방향 대칭이다.[4][13]무한히 많은 다른 등변형 펜타곤들이 타입 2 카이로 기울기를 형성할 수 있다.[4]

적용들

카이로의 몇몇 거리들은 카이로 타일링의 코린어 형태로 포장되어 있다;[9][17] 이 어플리케이션은 타일링의 이름의 유래다.[18][19]2019년 현재 이 패턴은 카스르 엘닐 다리와 엘 베호스 메트로근처의 사각 타일의 표면 장식으로 여전히 볼 수 있다. 다른 버전의 타일링도 시내 다른 곳에서 볼 수 있다.[20]마틴 가드너 등 일부 저자들은 이 패턴이 이슬람 건축에서 더 널리 사용된다고 썼으며, 이러한 주장이 오해에 근거한 것으로 보이지만 17세기 인도의 이티마두두두둘라 무덤에서 카이로 타일링과 유사한 패턴이 보이고, 17세기 카이로 타일링 그 자체가 발견되었다고 썼다.튜리 무갈 [16]얄리

카이로에서 가장 초창기 간행물 중 하나는 1906년부터 직물 디자인에 관한 책에서 발견된다.[21]발명가 H. C. 무어는 1908년에 이러한 패턴을 형성하는 타일에 대한 미국 특허를 출원했다.[22]대략 비슷한 시기에 빌레로이앤보흐독일 함부르크의 라에이즈할레 포이어에 사용되는 카이로 타일링 패턴에 세라믹 바닥 타일을 한 줄 만들었다.카이로 타일링은 최근 많은 건축 디자인에서 장식적인 패턴으로 사용되어 왔다. 예를 들어 덴마크의 호르술름의 도심은 이러한 패턴으로 포장되어 있고 크로아티아의 스포츠 홀인 센타르 자멧은 외벽과 포장 타일 모두를 위해 그것을 사용한다.[16]

결정학에서 이 타일링은 적어도 1911년부터 연구되어 왔다.[23]층층이 쌓이는 수화 결정 [24]구조, 비스무트와 철의 특정 [25]화합물, 순수 탄소의 가상 화합물인 펜타 그라핀으로 제안되어 왔다.펜타 그라핀 구조에서, 타일링 입사에서 4정점까지의 가장자리는 단일 결합을 형성하고, 나머지 가장자리는 이중 결합을 형성한다.그것의 수소화된 형태인 펜타그래핀에서, 모든 결합은 단일 결합이고 구조의 3정점에 있는 탄소 원자는 그들을 수소 원자와 연결하는 네 번째 결합을 가지고 있다.[26]

카이로 타일링은 M. C. 에셔의 "가장 좋아하는 기하학적 패턴"[7] 중 하나로 묘사되어 왔다.그는 그것을 그의 그림 Shells와 Starfish (1941)와 그의 Metimorphosis III (1967–1968)의 벌떼온 꽃 부분 그리고 1967–1968년의 다른 그림 몇 개에 사용하였다.이 테셀레이션의 이미지는 1974년 H. S. M. Coxeter의 책 《레귤러 콤플렉스 폴리토페스》 초판의 표지 아트로도 사용되어 왔다.[4][16]

참조

  1. ^ O'Keeffe, M.; Hyde, B. G. (1980), "Plane nets in crystal chemistry", Philosophical Transactions of the Royal Society of London. Series A, Mathematical and Physical Sciences, 295 (1417): 553–618, Bibcode:1980RSPTA.295..553O, doi:10.1098/rsta.1980.0150, JSTOR 36648, S2CID 121456259.
  2. ^ Macmahon, Major P. A. (1921), New Mathematical Pastimes, University Press, p. 101
  3. ^ Conway, John H.; Burgiel, Heidi; Goodman-Strass, Chaim (2008), The Symmetries of Things, AK Peters, p. 288, ISBN 978-1-56881-220-5
  4. ^ a b c d e f g Schattschneider, Doris (1978), "Tiling the plane with congruent pentagons", Mathematics Magazine, 51 (1): 29–44, doi:10.1080/0025570X.1978.11976672, JSTOR 2689644, MR 0493766
  5. ^ Rao, Michaël (2017), Exhaustive search of convex pentagons which tile the plane (PDF), arXiv:1708.00274
  6. ^ Reinhardt, Karl (1918), Über die Zerlegung der Ebene in Polygone (Doctoral dissertation) (in German), Borna-Leipzig: Druck von Robert Noske, "Vierter Typus", p. 78, and Figure 24, p. 81
  7. ^ a b Schattschneider, Doris; Walker, Wallace (1977), "Dodecahedron", M. C. Escher Kaleidocycles, Ballantine Books, p. 22; 2015년 태셴에 의해 재인쇄됨
  8. ^ Thomas, B.G.; Hann, M.A. (2008), "Patterning by projection: Tiling the dodecahedron and other solids", in Sarhangi, Reza; Séquin, Carlo H. (eds.), Bridges Leeuwarden: Mathematics, Music, Art, Architecture, Culture, London: Tarquin Publications, pp. 101–108, ISBN 9780966520194
  9. ^ a b c Macmillan, R. H. (December 1979), "Pyramids and pavements: Some thoughts from Cairo", The Mathematical Gazette, 63 (426): 251–255, doi:10.2307/3618038, JSTOR 3618038
  10. ^ Kovács, Gergely; Nagy, Benedek; Turgay, Neşet Deniz (May 2021), "Distance on the Cairo pattern", Pattern Recognition Letters, 145: 141–146, Bibcode:2021PaReL.145..141K, doi:10.1016/j.patrec.2021.02.002, S2CID 233375125
  11. ^ 온라인 정수 백과사전의 카이로 오각형 타일링에 대한 조정 순서:펜타곤의 경우 A219529, 도-3 정점의 경우 A296368, 도-4 정점의 경우 A008574가 2021-06-17을 검색했다.
  12. ^ Goodman-Strauss, C.; Sloane, N. J. A. (2019), "A coloring-book approach to finding coordination sequences" (PDF), Acta Crystallographica Section A, 75 (1): 121–134, arXiv:1803.08530, doi:10.1107/s2053273318014481, MR 3896412, PMID 30575590, S2CID 4553572
  13. ^ a b Rollett, A. P. (September 1955), "2530. A pentagonal tessellation", Mathematical Notes, The Mathematical Gazette, 39 (329): 209, doi:10.2307/3608750, JSTOR 3608750
  14. ^ a b Steurer, Walter; Dshemuchadse, Julia (2016), Intermetallics: Structures, Properties, and Statistics, International Union of Crystallography Monographs on Crystallography, vol. 26, Oxford University Press, p. 42, ISBN 9780191023927
  15. ^ a b Chung, Ping Ngai; Fernandez, Miguel A.; Li, Yifei; Mara, Michael; Morgan, Frank; Plata, Isamar Rosa; Shah, Niralee; Vieira, Luis Sordo; Wikner, Elena (2012), "Isoperimetric pentagonal tilings", Notices of the American Mathematical Society, 59 (5): 632–640, doi:10.1090/noti838, MR 2954290
  16. ^ a b c d Bailey, David, "Cairo tiling", David Bailey's World of Escher-like Tessellations, retrieved 2020-12-06
  17. ^ Dunn은 타일링의 등변형 형태가 카이로에서 사용되었다고 쓰지만, 이것은 실수처럼 보인다Dunn, J. A. (December 1971), "Tessellations with pentagons", The Mathematical Gazette, 55 (394): 366–369, doi:10.2307/3612359, JSTOR 3612359.
  18. ^ Alsina, Claudi; Nelsen, Roger B. (2010), Charming proofs: a journey into elegant mathematics, Dolciani mathematical expositions, vol. 42, Mathematical Association of America, p. 164, ISBN 978-0-88385-348-1.
  19. ^ Martin, George Edward (1982), Transformation Geometry: An Introduction to Symmetry, Undergraduate Texts in Mathematics, Springer, p. 119, ISBN 978-0-387-90636-2.
  20. ^ Morgan, Frank (2019), "My undercover mission to find Cairo tilings", The Mathematical Intelligencer, 41 (3): 19–22, doi:10.1007/s00283-019-09906-7, MR 3995312
  21. ^ Nisbet, Harry (1906), Grammar of Textile Design, London: Scott, Greenwood & Son, p. 101
  22. ^ Moore, H. C. (July 20, 1909), Tile (US Patent 928,320)
  23. ^ Haag, F. (1911), "Die regelmäßigen Planteilungen", Zeitschrift für Kristallographie, Kristallgeometrie, Kristallphysik, Kristallchemie, 49: 360–369, hdl:2027/uc1.b3327994 그림 2b, 페이지 361 및 4a, 페이지 363을 참조하십시오.
  24. ^ Banaru, A. M.; Banaru, G. A. (August 2011), "Cairo tiling and the topology of layered hydrates", Moscow University Chemistry Bulletin, 66 (3), Article 159, doi:10.3103/S0027131411030023, S2CID 96002269
  25. ^ Ressouche, E.; Simonet, V.; Canals, B.; Gospodinov, M.; Skumryev, V. (December 2009), "Magnetic frustration in an iron-based Cairo pentagonal lattice", Physical Review Letters, 103 (26): 267204, arXiv:1001.0710, Bibcode:2009PhRvL.103z7204R, doi:10.1103/physrevlett.103.267204, PMID 20366341, S2CID 20752605
  26. ^ Zhang, Shunhong; Zhou, Jian; Wang, Qian; Chen, Xiaoshuang; Kawazoe, Yoshiyuki; Jena, Puru (February 2015), "Penta-graphene: A new carbon allotrope", Proceedings of the National Academy of Sciences of the United States of America, 112 (8): 2372–2377, Bibcode:2015PNAS..112.2372Z, doi:10.1073/pnas.1416591112, PMC 4345574, PMID 25646451

외부 링크