사면체

기하학에서, 평면은 공간을 채우는 특별한 종류의 다면체로 대칭 델론 집합의 보로노이 셀로 정의됩니다.3차원 유클리드 공간은 겹치지 않고 이 모양들 중 하나를 복사하여 완전히 채워질 수 있습니다.결과적인 벌집에는 평면체의 복사본을 다른 복사본으로 가져오는 대칭이 있습니다.

평면은 입방체, 육각형 프리즘, 마름모꼴 12면체, 잘린 팔면체와 같은 잘 알려진 모양을 포함한다.사면체가 가질 수 있는 면의 최대 수는 38개입니다.

정의.

라베스 그래프의 보로노이 다이어그램인 17면체 평면과 그 벌집

포인트의 유클리드 공간의 집합 S{S\displaystyle}은 Delone 집합이 수 ε 을이 존재한다;0{\displaystyle \varepsilon>0}은 S{S\displaystyle}의 모든 두 지점 ε이 서로 멀리 떨어지고, 우주의 모든 지점 distan 이내에 있는 그런{\displaystyle \varepsilon}거리 적어도 이러한.ce $1/\varepsilon$ $(\displaystyle$ S $S$ 의 $1/\varepsilon$ 최소 1개 점의 $1/\varepsilon$ / ${\$ { displaystyle 1 $/\varepsilon$ }. $따라서$ S $(\displaystyle$ S $)$ 는 $S$ 공간을 채우고 있지만, 그 점들이 서로 너무 근접하지는 않습니다.S(\ $style$ S $)$ 가 $S$ 무한대여야 합니다.또한 집합 $S$ $({displaystyle$ S $S$ 의 두 점 $p$ (\ $displaystyle$ p $)$ $q$ q(\ $displaystyle$ q)에 대해 $q$ $S$ (\ $displaystyle$ S $)$ 가S(\ $displaystyle$ S $)$ $pd$ (\displaystyle S $)$ 로 $S$ $S$ 하는 공간의 강성 운동이 존재하는 경우 집합 S $(\displaystyle$ S는 평면체를 $S$ 정의하는 데 필요한 의미)이다. $isplaystyle$ $q$ 에서 $p$ $q$ ({ $displaystyle$ q $q$ 즉 $,$ S({ $displaystyle$ S $})$ 의 $S$ $대칭$ 은 S({ $displaystyle$ S $S$ ^[1]에서 전이적으로 작용합니다.

S $(\displaystyle$ S $)$ 의 $S$ 모든 점 집합의 Voronoi 다이어그램은 공간을 다른어떤 $점보$ 다 S(\displaystyle S $)$ 의 $S$ 특정 점에 가까운 Voronoi 셀로 분할합니다.S{\ $displaystyle$ S $}$ 가 $S$ Delone 세트일 $때$ S{\ $displaystyle$ S $}$ 의 $S$ 각 점p {\ $display$ p $}$ 의 $p$ Voronoi 셀은 볼록 다면체이다.이 다면체의 면은 p ${\displaystyle$ p $}$ 에서 $p$ S{\ $displaystyle$ S $S$ ^[2]의 다른 인근 점까지 선분을 수직으로 이등분하는 평면에 있습니다.

$(\displaystyle$ S $)$ 가 $S$ Delone일 뿐만 아니라 대칭일 경우 S $(\displaystyle$ S $)$ 의 $S$ $S$ 도 Voronoi 다이어그램의 대칭이어야 하므로 Voronoi 셀은 모두 일치해야 합니다.이 경우 Voronoi 다이어그램은 이러한 Voronoi 세포의 형태인 단일 원생체 형상이 있는 벌집을 형성한다.이 모양은 면체라고 불립니다.이렇게 생성된 타일은 Isofredal로, 단일 원형("일면체")을 가질 뿐만 아니라 ^[1]타일의 대칭을 통해 타일의 복사본을 다른 복사본으로 가져올 수 있습니다.

공간을 채우는 다른 다면체와 마찬가지로, 평면체의 덴 불변량은 반드시 ^[3]0이다.

예

이 평면은 5개의 평행면체를 포함한다.이것들은 회전하지 않고 모든 타일이 다른 타일과 대칭이 되도록 공간을 타일할 수 있는 다면체입니다.마찬가지로 이들은 격자(격자)의 보로노이 세포(Voronoi cells)이며, 이는 번역대칭 델론 집합이다.플레시오헤드라는 입체타일링의 특별한 경우이며,^[1] 보다 일반적으로는 이등면 타일링의 원형이다.이러한 이유로 (그리고 보로노이 다이어그램은 디리클레 테셀레이션으로도 알려져 있기 때문에) 그것들은 또한 "디리클레 스테레오헤드라"^[4]라고 불렸다.

단지 많은 조합 타입의 면체만이 있을 뿐이다.주목할 만한 개별 평면은 다음과 같습니다.

5개의 평행면체: 입방체(또는 더 일반적으로 평행면체), 육각형 프리즘, 마름모꼴 12면체, 가늘고 긴 12면체, 잘린 8면체.^[5]
삼각 프리즘, 삼각 프리즘 벌집의 ^[6]원동기.보다 일반적으로, 합동 볼록 폴리곤에 의한 평면의 11가지 타입의 라베스 타일링 각각(및 대칭 그룹이 다른 이들 타일링의 서브타입 각각)^[7]은 평면에 설정된 대칭 델론의 보로노이 셀로 실현될 수 있다.따라서 이들 각 형상의 프리즘은 평면이다.삼각 프리즘뿐만 아니라, 이것들은 특정 4변수, 5변수, 6변수 위의 프리즘을 포함한다.
자이로비파스티슘은 입체면체이지만 평면체는 아니다. 왜냐하면 면대면 타일링의 셀 중심에 있는 점(대칭에 의해 강제로 이동됨)은 다른 모양의 보로노이 세포를 가지고 있기 때문이다.하지만, 이등변 직각 삼각형과 은색 직사각형으로 만들어진 면이 있는, 평평한 형태의 자이로비파스티움은 평면체이다.
삼면체 잘린 사면체, 삼면체 잘린 사면체 벌집과 다이아몬드^[1] 격자에 의해 생성된 사면체
트라페조-롬브 12면체, 트라페조-롬브 12면체 벌집의 원동기 및 육각형 밀착 패킹에 의해 생성된 평면체
Laves^[8] 그래프의 17면 Voronoi 세포

다른 많은 편평면체들이 알려져 있다.가장 많은 수의 얼굴을 가진 두 개의 다른 얼굴 38개가 결정학자 피터 ^[1]^[9]엥겔에 의해 발견되었다.수년 동안 면의 최대 수는 해결되지 ^[10]^[4]않은 문제였지만, 3차원 공간의 가능한 대칭을 분석한 결과 이 숫자는 ^[11]최대 38인 것으로 나타났습니다.

나선상 충전공간에서 균일한 간격으로 배치된 점의 보로노이 셀은 모두 일치하며 임의로 많은 수의 ^[12]면을 가질 수 있다.그러나 나선상의 점은 델론 집합이 아니며, 그 보로노이 세포는 유계 다면체가 아니다.

현대적인 조사는 ^[11]슈미트에 의해 이루어졌다.

레퍼런스

^ ^a ^b ^c ^d ^e 를 클릭합니다Grünbaum, Branko; Shephard, G. C. (1980), "Tilings with congruent tiles", Bulletin of the American Mathematical Society, New Series, 3 (3): 951–973, doi:10.1090/S0273-0979-1980-14827-2, MR 0585178.
^ 특히 섹션 1.2.1, "규칙적으로 배치된 사이트", 페이지 354–355를 참조하십시오Aurenhammer, Franz (September 1991), "Voronoi diagrams—a survey of a fundamental geometric data structure", ACM Computing Surveys, 23 (3): 345–405, doi:10.1145/116873.116880.
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^ 에달. 미국, R.M.(1999년),"Zonotopes, dicings, parallelohedra에 보로노이의 추측", 유럽 저널 Combinatorics 중 20(6):527–549, doi:10.1006/eujc.1999.0294, MR1703597.보로노이가 고차원의 공간에 대한 단일 볼록 다면체의 기호에 의한 모든 tilings 결합에 관하여. 보로노이 tilings고 에달 zonotopes의 특별한 경우에서 이런 증명하는 것과 동등하다는 추측했다.그러나 그가 (429페이지)을 쓰면서, 보로노이의 최대 4차원에 대한 추측은 델라우네이에 의해 이미 증명되었다.3차원 평행면체를 이 다섯 가지 유형으로 분류하려면 Grünbaum & Shephard(1980)를 참조하십시오.
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^ 를 클릭합니다Shephard, G. C. (1985), "69.14 Space Filling with Identical Symmetrical Solids", The Mathematical Gazette, 69 (448): 117–120, doi:10.2307/3616930, JSTOR 3616930.
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외부 링크

Weisstein, Eric W., "Space-Filling Polyhedron", MathWorld

[gs80-1] 를 클릭합니다Grünbaum, Branko; Shephard, G. C. (1980), "Tilings with congruent tiles", Bulletin of the American Mathematical Society, New Series, 3 (3): 951–973, doi:10.1090/S0273-0979-1980-14827-2, MR 0585178.

[2] 특히 섹션 1.2.1, "규칙적으로 배치된 사이트", 페이지 354–355를 참조하십시오Aurenhammer, Franz (September 1991), "Voronoi diagrams—a survey of a fundamental geometric data structure", ACM Computing Surveys, 23 (3): 345–405, doi:10.1145/116873.116880.

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[5] 에달. 미국, R.M.(1999년),"Zonotopes, dicings, parallelohedra에 보로노이의 추측", 유럽 저널 Combinatorics 중 20(6):527–549, doi:10.1006/eujc.1999.0294, MR1703597.보로노이가 고차원의 공간에 대한 단일 볼록 다면체의 기호에 의한 모든 tilings 결합에 관하여. 보로노이 tilings고 에달 zonotopes의 특별한 경우에서 이런 증명하는 것과 동등하다는 추측했다.그러나 그가 (429페이지)을 쓰면서, 보로노이의 최대 4차원에 대한 추측은 델라우네이에 의해 이미 증명되었다.3차원 평행면체를 이 다섯 가지 유형으로 분류하려면 Grünbaum & Shephard(1980)를 참조하십시오.

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