볼록 정규 다각형에 의한 유클리드 기울기

주기적 기울기 예제
일반 타일링은 한 가지 형태의 보통 얼굴을 가지고 있다.	반정형 또는 균일한 타일링은 정점의 한 유형을 가지지만 두 가지 이상의 면 유형을 가진다.
k-유니폼 타일링에는 k 유형의 정점과 두 가지 이상의 정규 면이 있다.	비엣지 투 에지 타일링은 크기가 다른 일반 얼굴을 가질 수 있다.

유클리드 평면은 볼록한 일반 다각형에 의한 기울기는 고대부터 널리 사용되어 왔다. 최초의 체계적인 수학적 치료는 케플러의 하모니스 먼디(라틴어: 세계의 조화, 1619.

일반 틸팅

그룬바움(Grünbaum)과 셰퍼드(제1.3절)에 이어 타일링의 대칭군이 타일링의 깃발에 전이적으로 작용하면 타일링이 규칙적이라고 하는데, 여기서 깃발은 타일링의 상호 충돌 정점, 가장자리, 타일 등으로 구성된 삼중이다. 이것은 모든 플래그 쌍에 대해 첫 번째 플래그를 두 번째 플래그에 매핑하는 대칭 연산이 있다는 것을 의미한다. 이것은 타일링이 혼합된 일반 폴리곤에 의한 에지 대 에지 타일링과 동등하다. 정점에는 정삼각형 6개, 정사각형 4개 또는 정육각형 3개가 있어야 하며, 정삼각형 3개가 있어야 한다.

일반 틸팅(3)
p6m, *632		p4m, *442

3⁶ (t=1, e=1)	6³ (t=1, e=1)	4⁴ (t=1, e=1)

경도, 균일 또는 반경도 기울기

정점-변환성은 모든 정점 쌍에 대해 첫 번째 정점을 두 번째 정점에 매핑하는 대칭 연산이 있음을 의미한다.^[1]

깃발-투과 요건이 정점-투과 중 하나로 완화되는 동안 타일링이 가장자리-투-엣지(edge-to-edge) 상태를 유지하는 경우, 아르키메데스성, 균일성 또는 탈경성 기울기로 알려진 8개의 추가 기울기가 가능하다. 3.6⁴(스너브 육각형) 타일링에는 거울 영상(반동형 또는 치랄)의 두 가지 형태가 있으며, 다음 표에는 그 중 하나만 표시되어 있다. 다른 모든 정규 및 반정형 기울기는 아치랄이다.

균일 틸팅(8)
p6m, *632
3.12² (t=2, e=2) t{6,3}	3.4.6.4 (t=3, e=2) rr{3,6}	4.6.12 (t=3, e=3) tr{3,6}	(3.6)² (t=2, e=1) r{6,3}
4.8² (t=2, e=2) t{4,4}	3².4.3.4 (t=2, e=2) s{4,4}	3³.4² (t=2, e=3) {3,6:e	3⁴.6 (t=3, e=3) sr{3,6}

그룬바움(Grünbaum)과 셰퍼드(Shephard)는 이러한 틸링의 설명을 아르키메데스(Archimedius)라고 구분하며, 각 꼭지점 주위의 타일 배열의 국부적 특성만 동일하며, 정점-변환성의 글로벌 특성을 지칭하는 것과 같은 균일성을 가리킨다. 이러한 기울기는 평면에서 동일한 세트의 기울기를 생성하지만, 다른 공간에는 균일하지 않은 아르키메데스 기울기가 있다.

k-기울기 기울기

3-염색 타일링 #57/61색
측면, 노란색 삼각형, 빨간색 사각형(다각형)	4면체 위치, 3개의 음영색 삼각형 색상(궤도)

이러한 주기적인 기울기는 꼭지점, 가장자리 및 타일의 궤도로 분류할 수 있다. 정점의 궤도가 $k$ 인 경우 타일링(tiling)은 k-uniform(k-uniform) 또는 k-isogonal(k-isogonal), $t-bit$ 의 궤도가 있는 경우 t-isohedral(t-sohedral), $e-e-bit$ 의 궤도가 있는 경우 e-isotoxal(e)로 알려져 있다.

동일한 정점 수치를 가진 k-through 틸팅은 벽지 그룹 대칭으로 추가로 식별할 수 있다.

1-105 기울기는 3개의 정규 기울기와 8개의 반정형 기울기를 포함하며, 2개 이상의 정규 폴리곤 면이 있다. 2단일경사 20개, 3단일경사 61개, 4단일경사 151개, 5단일경사 332개, 6단일경사 673개가 있다. 각각은 뚜렷한 정점 수치의 숫자 m로 그룹화할 수 있으며, 이를 m-Archimedeans 기울기라고도 한다.^[2]

마지막으로 정점의 종류수가 균일성(아래 m = k)과 같을 경우, 타일링은 크로텐헤르트라고 한다. 일반적으로 정점의 종류는 반드시 궤도가 다르지만 그 반대의 경우도 아니기 때문에 정점의 종류(m ≥ k)보다 균일성이 크거나 같다. 설정 m = n = k, 설정 n = 1에 대한 11개 기울기, n = 2에 대한 20개 기울기, n = 3에 대한 39개 기울기, n = 4에 대한 33개 기울기, n = 5에 대한 33개 기울기, n = 5에 대한 15개 기울기, n = 6에 대한 10개 기울기, n = 7개 기울기.

k-유니폼, m-아키메데스 타일링 카운트^[3]

		m-아키메데스 주
		1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	≥ 15	합계
k-16	1	11	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	11
	2	0	20	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	20
	3	0	22	39	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	61
	4	0	33	85	33	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	151
	5	0	74	149	94	15	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	332
	6	0	100	284	187	92	10	0	0	0	0	0	0	0	0	0	673
	7	0	?	?	?	?	?	7	0	0	0	0	0	0	0	0	?
	8	0	?	?	?	?	?	20	0	0	0	0	0	0	0	0	?
	9	0	?	?	?	?	?	?	8	0	0	0	0	0	0	0	?
	10	0	?	?	?	?	?	?	27	0	0	0	0	0	0	0	?
	11	0	?	?	?	?	?	?	?	1	0	0	0	0	0	0	?
	12	0	?	?	?	?	?	?	?	?	0	0	0	0	0	0	?
	13	0	?	?	?	?	?	?	?	?	?	?	?	0	0	0	?
	14	0	?	?	?	?	?	?	?	?	?	?	?	?	0	0	?
	≥ 15	0	?	?	?	?	?	?	?	?	?	?	?	?	?	0	?
	합계	11	∞	∞	∞	∞	∞	∞	∞	∞	∞	∞	∞	∞	∞	0	∞

해부된 일반 다각형

일부 k-uniform 틸팅은 내부 가장자리가 있는 타일링 폴리곤을 대칭적으로 해부하여 도출할 수 있다(직접 해부).

원래 가장자리가 있는 해부된 다각형
육각형	도데카곤 (각각 2개의 방향이 있음)

일부 k-uniform 기울기는 원래 가장자리를 따라 새로운 정점이 있는 일반 다각형을 해부하여 도출할 수 있다(예: 간접 절편).

1개 또는 2개의 중간 꼭지점으로 해부됨
삼각형			사각형		육각형

마지막으로 모든 유형의 꼭지점 구성을 보려면 Planigon을 참조하십시오.

2-10 틸팅

유클리드 평면은 20(2) 2등분 기울기가 있다. (2-등각 기울기 또는 탈경사 기울기라고도 함)^[4]^[5]^[6] 정점 유형은 각각에 대해 나열된다. 두 기울기가 동일한 두 꼭지점 유형을 공유하면 첨자 1.2가 주어진다.

2-118 틸팅(20)
p6m, *632						p4m, *442
[3⁶; 3².4.3.4] (t=3, e=3)	[3.4.6.4; 3².4.3.4] (t=4, e=4)	[3.4.6.4; 3³.4²] (t=4, e=4)	[3.4.6.4; 3.4².6] (t=5, e=5)	[4.6.12; 3.4.6.4] (t=4, e=4)	[3⁶; 3².4.12] (t=4, e=4)	[3.12.12; 3.4.3.12] (t=3, e=3)
p6m, *632	p6,632	p6,632	cmm, 2*22	pmm, *2222	cmm, 2*22	pmm, *2222
[3⁶; 3².6²] (t=2, e=3)	[3⁶; 3⁴.6]₁ (t=3, e=3)	[3⁶; 3⁴.6]₂ (t=5, e=7)	[3².6²; 3⁴.6] (t=2, e=4)	[3.6.3.6; 3².6²] (t=2, e=3)	[3.4².6; 3.6.3.6]₂ (t=3, e=4)	[3.4².6; 3.6.3.6]₁ (t=4, e=4)
p4g, 4*2	pgg, 22×	cmm, 2*22	cmm, 2*22	pmm, *2222	cmm, 2*22
[3³.4²; 3².4.3.4]₁ (t=4, e=5)	[3³.4²; 3².4.3.4]₂ (t=3, e=6)	[4⁴; 3³.4²]₁ (t=2, e=4)	[4⁴; 3³.4²]₂ (t=3, e=5)	[3⁶; 3³.4²]₁ (t=3, e=4)	[3⁶; 3³.4²]₂ (t=4, e=5)

더 높은 k-통일 틸팅 틸팅

k-16 틸팅은 최대 6개까지 열거되었다. 유클리드 평면의 673개의 6-균일 기울기가 있다. 브라이언 게일바흐의 탐색은 6개의 정점 유형을 가진 크로텐헤르트의 6개 균일 기울기 10개 목록을 재현했으며, 이 중 정점 5개 유형 92개, 정점 4개 유형 187개, 정점 3개 유형 284개, 정점 2개 유형 100개를 찾아냈다.

프랙탈라이징 k-uniform 틸팅

오래된 k-uniform 기울기에서 새로운 k-iform 기울기를 생성하는 방법에는 여러 가지가 있다. For example, notice that the 2-uniform [3.12.12; 3.4.3.12] tiling has a square lattice, the 4(3-1)-uniform [343.12; (3.12²)3] tiling has a snub square lattice, and the 5(3-1-1)-uniform [334.12; 343.12; (3.12.12)3] tiling has an elongated triangular lattice. 이러한 고차 균일 틸팅은 같은 격자를 사용하지만 더 큰 복잡성을 가지고 있다. 이 기울기의 프랙탈라이징 기준은 다음과 같다.^[7]

	삼각형	사각형	육각형	해부됨 도데카곤
모양
프랙탈라이징

측면 길이는 $2+{\sqrt {3}}$ + $2+{\sqrt {3}}$ ${\$ 의 인수로 확장된다 $2+{\sqrt {3}}$

마찬가지로 잘린 3헥사사각형 타일링도 기본으로 할 수 있으며, 그에 상응하는 $3+{\sqrt {3}}$ 은 $3+{\sqrt {3}}$ 3 + $3+{\sqrt {3}}$ ${\$ 3 $+{\sqrt{3}}$ 이다 $3+{\sqrt {3}}$

	삼각형	사각형	육각형	해부됨 도데카곤
모양
프랙탈라이징

프랙탈라이징 예제

	잘린 육각 타일링	잘린 3헥사형 타일링
프랙탈라이징

에지 대 에지가 아닌 틸링

볼록한 일반 다각형은 가장자리가 아닌 평면 기울기를 형성할 수도 있다. 이러한 기울기는 인접한 콜린어 가장자리가 있는 비정규 다각형으로 가장자리 대 가장자리라고 볼 수 있다.

각 패밀리의 이등변수 7개 패밀리가 인접 타일의 측면 간 중첩 또는 다른 타일의 가장자리 길이 간 비율을 결정하는 실제 값 매개변수를 가지고 있다. 그 가족 중 두 가족은 진보적이거나 지그재그하는 자세로 교대된 사각형에서 생성된다. 그룬바움(Grünbaum)과 셰퍼드(Shephard)는 콕세터의 엣지 대 에지 일반 다각형이 필요한 균일성에 대한 정의와 모순되지만 이러한 틸링은 균일하다고 부른다.^[8] 이와 같은 이등각 기울기는 실제로 기하학적 비율이 다른 균일한 기울기와 토폴로지적으로 동일하다.

비엣지 볼록형 일반 폴리곤에 의한 주기적 이등각 기울기

1	2	3	4	5	6	7
수평 간격띄우기가 있는 정사각형 행		수평 간격띄우기가 있는 삼각형 행	정사각형 타일링	세 개의 육각형이 각 삼각형을 둘러싸고 있다.	육각형마다 6개의 삼각형이 둘러싸고 있다.	3사이즈 삼각형
cmm(2*22)	p2(222)	cmm(2*22)	p4m(*442)	p6 (632)		p3(333)
육각 타일링		사각 타일링	잘린 사각 타일링	잘린 육각 타일링	육각 타일링	삼헥사각 타일링

참고 항목

참조

^ 크레클로, 페이지 60-61
^ 일반 폴리곤에 의한 K-제복 기울기 2015-06-30 웨이백 머신 Nils Lenngren, 2009년
^ "n-Uniform Tilings". probabilitysports.com. Retrieved 2019-06-21.
^ 크레클로, 페이지 62-67
^ 틸링 및 패턴, 그룬바움 및 셰퍼드 1986, 페이지 65-67
^ "In Search of Demiregular Tilings" (PDF). Archived from the original (PDF) on 2016-05-07. Retrieved 2015-06-04.
^ Chavey, Darrah (2014). "TILINGS BY REGULAR POLYGONS III: DODECAGON-DENSE TILINGS". Symmetry-Culture and Science. 25 (3): 193–210. S2CID 33928615.
^ 일반 다각형에 의한 기울기 페이지 236

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Grünbaum, Branko; Shephard, G. C. (1978). "The ninety-one types of isogonal tilings in the plane". Trans. Am. Math. Soc. 252: 335–353. doi:10.1090/S0002-9947-1978-0496813-3. MR 0496813.
Debroey, I.; Landuyt, F. (1981). "Equitransitive edge-to-edge tilings". Geometriae Dedicata. 11 (1): 47–60. doi:10.1007/BF00183189. S2CID 122636363.
Grünbaum, Branko; Shephard, G. C. (1987). Tilings and Patterns. W. H. Freeman and Company. ISBN 0-7167-1193-1.
Ren, Ding; Reay, John R. (1987). "The boundary characteristic and Pick's theorem in the Archimedean planar tilings". J. Combinat. Theory A. 44 (1): 110–119. doi:10.1016/0097-3165(87)90063-X.
Chavey, D. (1989). "Tilings by Regular Polygons—II: A Catalog of Tilings". Computers & Mathematics with Applications. 17: 147–165. doi:10.1016/0898-1221(89)90156-9.
오더 인 스페이스: 디자인 소스 북 Keith Critchlow, 1970 ISBN 978-0-670-52830-1
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Préa, P. (1997). "Distance sequences and percolation thresholds in Archimedean Tilings". Mathl. Comput. Modelling. 26 (8–10): 317–320. doi:10.1016/S0895-7177(97)00216-1.
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외부 링크

유클리드 및 일반 타일링 링크:

n-유니폼 틸링, 브라이언 게일바흐
Dutch, Steve. "Uniform Tilings". Archived from the original on 2006-09-09. Retrieved 2006-09-09.
Mitchell, K. "Semi-Regular Tilings". Retrieved 2006-09-09.
Weisstein, Eric W. "Tessellation". MathWorld.
Weisstein, Eric W. "Semiregular tessellation". MathWorld.
Weisstein, Eric W. "Demiregular tessellation". MathWorld.

[1] 크레클로, 페이지 60-61

[2] 일반 폴리곤에 의한 K-제복 기울기 2015-06-30 웨이백 머신 Nils Lenngren, 2009년

[3] "n-Uniform Tilings". probabilitysports.com. Retrieved 2019-06-21.

[4] 크레클로, 페이지 62-67

[5] 틸링 및 패턴, 그룬바움 및 셰퍼드 1986, 페이지 65-67

[6] "In Search of Demiregular Tilings" (PDF). Archived from the original (PDF) on 2016-05-07. Retrieved 2015-06-04.

[7] Chavey, Darrah (2014). "TILINGS BY REGULAR POLYGONS III: DODECAGON-DENSE TILINGS". Symmetry-Culture and Science. 25 (3): 193–210. S2CID 33928615.

[8] 일반 다각형에 의한 기울기 페이지 236

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