육각형

정육각형
정육각형
	정육각형
유형	정규 다각형
모서리 및 정점	6
슐레플리 기호	{6}, t{3}
콕시터-딘킨 도표	;
대칭군	디헤드랄(D6), 2×6 주문
내부 각도(도)	120°
특성.	볼록, 주기, 등변, 이등변, 동위원소

기하학에서 육각형(그리스어 ἕξ, 헥스, "6"을 의미하며, "코너, 각도"를 의미하는 γΩ gonα, 고니아)은 6면 다각형 또는 6곤이다.단순(자체 교차되지 않는) 육각의 내부 각도는 720°이다.

정육각형

일반 육각형에는 슐래플리 기호 {6}^[1]이(가) 있으며, 잘린 등변 삼각형, t{3}(으)로 구성될 수도 있으며, 이 경우 두 가지 유형의 가장자리가 번갈아 나타난다.

유클리드 원소, 제4권, 발의안 제15권이 주는 나침반과 직선자를 이용한 일반 육각형 구조를 단계별로 보여주는 애니메이션: 이것은 2개의 뚜렷한 페르마 프라임의 산물인 6

=

=

{\displaystyle

=} 2

=

× 3으로

=

가능하다.

측면 길이 AB가 주어졌을 때, A 지점과 B 지점에서 원호를 그리면 원형의 중심인 교차점 M이 나온다.선 세그먼트 AB를 원형으로 4회 이송하고 코너 포인트를 연결한다.

정육각형은 정육각형과 등각형의 육각형으로 정의된다.2원형이며, 둘 다 순환(원형)과 접선(원형이 새겨져 있음)이라는 뜻이다.

옆면의 공통 길이는 원 또는 원형의 반지름과 같으며, 이는 아포템(기각 원의 반지름)의 ${\tfrac {2}{\sqrt {3}}}$ 2 $([\$ { $2}{\sqrt{3}}}}}}$ 과 같다.모든 내부 각도는 120도 입니다.일반 육각형에는 6개의 회전 대칭(순서 6의 회전 대칭)과 6개의 반사 대칭(대칭 6줄)이 있어 이음계 그룹 D를₆ 이룬다.정점과 정반대방향으로 연결되는 일반 육각형의 가장 긴 대각선은 한 변의 두 배 길이다.이를 통해 정점을 가진 삼각형이 정육각형의 중심에 있고 한쪽을 육각형과 공유하는 것을 알 수 있으며, 정육각형은 정삼각형 6개로 나눌 수 있다.

정삼각형이나 정삼각형처럼 일정한 육각형이 틈새 없이 서로 맞아 평면 타일(각 꼭지점에서 만나는 세 개의 육각형)을 만들어 테셀레이션(테셀레이션)벌집 벌집의 세포는 이러한 이유로 육각형이며, 그 모양이 공간과 건축자재를 효율적으로 사용하기 때문이다.정삼각형 격자의 보로노이 도표는 육각형의 벌집 테셀레이션이다.그것은 정삼각형이지만 보통 삼삼각형으로 여겨지지 않는다.

매개변수

최대 직경(육각형의 긴 대각선에 해당함), D는 최대 반지름의 두 배 또는 측면 길이 t와 동일한 원곡선, R이다.새겨진 원의 최소 직경 또는 직경(평행면, 평면 대 평탄한 거리, 평탄한 베이스에 쉴 때 짧은 대각선 또는 높이의 분리), d는 최소 반지름의 두 배 또는 인라디우스, r이다.maxima와 minima는 동일한 요인에 의해 연관된다.

{\frac {1}{2}}d=r=\cos(30^{\circ })R={\frac {\sqrt {3}}{2}}R={\frac {\sqrt {3}}{2}}t

and, similarly,

{\displaystyle d={\frac {\sqrt {3}}{2}}D.

}

정규 육각형 영역

{\reasoned}A&={\frac {3{\sqrt {3}}}{2}}R^{2}=3Rr=2{\sqrt {3}}r^{2}\\[3pt]&={\frac {3{\sqrt {3}}}{8}}D^{2}={\frac {3}{4}}Dd={\frac {\sqrt {3}}{2}}d^{2}\\[3pt]&\approx 2.598R^{2}\approx 3.464r^{2}\\&\approx 0.6495D^{2}\approx 0.866d^{2}.\end{정렬}}

어떤 일반 다각형의 경우, 면적은 또한 아포템 a와 둘레 p의 용어로 표현될 수 있다.일반 육각형의 경우 a = r, p ${}=6R=4r{\sqrt {3}}$ = ${}=6R=4r{\sqrt {3}}$ R ${}=6R=4r{\sqrt {3}}$ = ${}=6R=4r{\sqrt {3}}$ ${}=6R=4r{\sqrt {3}}$ ${}=6R=4r{\sqrt {3}}$ ${\$ 따라서

{\reasoned}A&={\frac {ap}{2}}\\&={\frac {r\cdot 4r{\sqrt{3}}{2}}:=2r^{{\sqrt{3}}{\sqrt {3}\&\ 약 3.464r^{2}.\end{정렬}}

정규 육각형은 원형의 ${\tfrac {3{\sqrt {3}}}{2\pi }}\approx 0.8270$ ${\tfrac {3{\sqrt {3}}}{2\pi }}\approx 0.8270$ 3 ${\tfrac {3{\sqrt {3}}}{2\pi }}\approx 0.8270$ 0 ${\tfrac {3{\sqrt {3}}}{2\pi }}\approx 0.8270$ ${\displaystyle {\tfrac {3}{\sqrt{3}{2\pi }}}}\$ 약 $0.8270}$ 을(를) 채운다.

일반 육각형에는 연속 정점 A, B, C, D, E, F가 있고, P가 B와 C 사이의 원주에 있는 어떤 점이라면 PE + PF = PA + PB + PC + PD가 된다.

일반 육각형의 높이 대 너비 비율이 1:1.1547005 즉, 대각선 길이가 1.0000000인 육각형의 평행면 간 거리는 0.8660254이다.

평면 내 점

일반 육각형의 중심과 $L$ 까지의거리가 각각 $d_{i}$ $R$ L {\ $displaystyle$ $L}$ 과 $d_{i}$ d i {\ $displaystyle$ d_ ${i}$ 인 일반 육각형 $R$ {\ $displaystyle R}$ 이(가) 있는 평면의 임의 점에 대해, 우리는^[2] 다음과 같이 한다.

d_{1}^{2}+d_{4}^{2}=d_{2}^{2}^{2}+d_{5}^{2}=d_{3}^{2}+d_{6}^{2}=2\왼쪽(R^{2}+L^{2}\오른쪽),

d_{1}^{2}+d_{3}^{2}+d_{5}^{2}=d_{2}^{2}^{2}+d_{4}^{2}+d_{6}^{2}=3\왼쪽(R^{2}+L^{2}\오른쪽),

d_{1}^{4}+d_{3}^{4}+d_{5}^{4}=d_{2}^{4}+d_{4}^{4}+d_{6}^{4}=3\left(\left(R^{2}+L^{2}\right)^{2}+2R^{2}L^{2}\right).

$d_{i}$ $d_{i}$ ${\$ 이(가) 일반 육각의 꼭지점에서 원주형의 어떤 지점까지의 거리라면 $d_{i}$ ,

\left(\sum _{i=1}^{6d_{i}^{2}\오른쪽)^{2}=4\sum _{i=1}^{6d_{i}^{i}^{4}.

대칭

대칭에 따른 16진수 예제

d6 동위원소의	g6 연출된	p6 등각의		d2	g2 일반적 평행사변형	p2
	r12년 정칙의				i4
	g3				a1

Dih₆ 또는 r12 대칭인 일반 육각형의 6줄의 반사선은 12의 순서다.

이음 대칭은 정점(대각의 경우 d) 또는 가장자리(직각의 경우 p)를 통과하느냐에 따라 구분된다. 중앙 열의 주기 대칭은 중심 교정 순서에 대해 g로 표시된다.정규 형태의 완전한 대칭은 r12이며 어떤 대칭도 a1로 표기되지 않는다.

정육각형은 D 대칭이다₆.16개의 부분군이 있다.8가지까지 이형성(이형성)이 있다: 그 자체(D₆), 2개의 이형성:(D_3,₂ D), 4개의 순환: (Z₆₃, Z, Z₁, Z₂)와 사소한 (e)

이 대칭들은 정규 육각형의 9개의 뚜렷한 대칭을 표현한다.존 콘웨이는 문자와 그룹 순서로 이것들을 표시한다.^[3] r12는 완전한 대칭이며, a1은 대칭이 아니다. p6, 세 개의 거울에 의해 구성된 이등각 육각형은 긴 가장자리와 짧은 가장자리와 d6는 가장자리 길이가 같지만 정점이 두 개의 서로 다른 내부 각도를 교차하는 동위원소 육각이다.이 두 형태는 서로 이중으로 되어 있으며, 정육각형의 대칭 순서의 절반을 가지고 있다.i4 형태는 하나의 대칭 방향을 따라 평평하게 펴지거나 늘어난 정규 육각형이다.길쭉한 광맥으로 볼 수 있는 반면 d2와 p2는 수평과 수직으로 길쭉한 연으로 볼 수 있다.g2 6각형, 반대쪽이 평행한 것을 육각형 평행고곤이라고도 한다.

각 부분군 대칭은 불규칙한 형태에 대해 하나 이상의 자유도를 허용한다.g6 부분군만 자유도는 없지만 지시된 가장자리로 볼 수 있다.

대칭 g2, i4, r12의 헥사곤은 평행고곤으로서 유클리드 평면을 번역하여 테셀링할 수 있다.다른 육각형 모양은 다른 방향으로 평면을 타일링할 수 있다.

p6m(*632)	cmm(2*22)	p2(222)	p31m(3*3)	pmg(22*)		pg(××)
r12년	i4	g2	d2	d2	p2	a1
디흐₆	디흐₂	Z₂	디흐₁			Z₁

A2 및 G2 그룹

A2 그룹 루트	G2 그룹 루트

Dynkin 도표로 대표되는 심플한 Lie 그룹 A2의 6개의 뿌리는 규칙적인 육각형 패턴으로 되어 있다.두 개의 단순한 뿌리는 서로 120°의 각도를 가지고 있다.

다인킨 도표로 대표되는 Excellence Lie 그룹 G2의 12개의 뿌리 역시 육각형 무늬로 되어 있다.두 길이의 단순한 두 뿌리 사이에는 150°의 각도가 있다.

해부

6각 투영법	12 롬브 해부

Coxeter은 모든 zonogon(한 2m-gon의 반대편과 같은 길이의 평행).mw-parser-output .frac{white-space:nowrap}.mw-parser-output.frac.num,.mw-parser-output.frac .den{:80%;line-height:0;vertical-align:슈퍼 font-size}.mw-parser-output.frac .den{vertical-align:서브}.mw-parser-output .sr-only{에 해부할 수 있다는 것.국경:0;클립:rect(0,0,0,0), 높이:1px, 마진:-1px, 오버 플로: 숨어 있었다. 패딩:0;위치:절대, 너비:1px}1⁄2m(m− 1)parallelograms.[4]특히 면적이 고르게 많은 일반 다각형의 경우, 이 경우 평행사변형은 모두 rhombi이다.일반 육각형의 이러한 분해는 정사각형 6개의 면 중 3개를 가진 정육면체의 페트리 폴리곤 투영에 기초한다.큐브의 다른 병렬형 및 투영 방향은 직사각형 큐보이드 내에서 해부된다.

육각형을 세 개의 rhomb와 parallelogram으로 분리
2D	Rhombs	평행사변수

	일반 {6}	육각 평행고선
3D	정사각형		직사각형 면

	큐브		직사각형 큐빅

육각 구조

자이언츠의 코즈웨이 클로즈업

벌의 꿀벌부터 거인의 코즈웨이까지 육각형 무늬가 자연에 만연해 있는 것은 효율 때문이다.육각 격자에서 각 선은 가장 적은 수의 육각형으로 채워질 경우 가능한 한 짧다.이것은 허니컴이 왁스를 덜 필요로 하고 압축 하에서 많은 힘을 얻는다는 것을 의미한다.

가장자리가 평행하게 반대편인 불규칙한 육각형을 평행고곤이라고 하며, 평면을 번역하여 타일링할 수도 있다.3차원에서는 평행한 반대면이 있는 육각형 프리즘을 병렬로헤드론(Paralleloheadron)이라고 하며, 이를 번역하여 3공간을 테셀레이트할 수 있다.

육각 프리즘 테셀레이션
형태	육각 타일링	육각 프리즘 벌집
정규
평행사변형

육각형 테셀레이션

평면의 독특한 다듬기를 결정하는 일반 육각형 외에, 콘웨이 기준을 만족하는 불규칙한 육각형은 평면에 타일을 입힌다.

원뿔 단면에 새겨진 육각형

파스칼의 정리("Hexagrammum Misticum Organy"라고도 한다)에는 임의의 육각형이 원뿔 부분에 새겨져 있고, 그들이 만날 때까지 반대편의 쌍이 확장되면, 세 개의 교차점이 그 구성의 "Pascal 선"인 직선에 놓여지게 된다고 명시되어 있다.

주기 육각형

레모인 육각형(Lemoine 6각형)은 삼각형의 가장자리의 6개 교차로에 의해 정점이 주어지는 주기적인 육각형(원형으로 새겨진 1개)이며, 시메디안 점을 통과하는 가장자리와 평행한 3개의 선이다.

주기적인 육각형의 연속적인 면이 a, b, c, d, e, f인 경우, 만약 에이스 = bdf인 경우에만 세 개의 주요 대각선이 한 점에서 교차한다.^[5]

주기적인 육각형의 각 면에 대해 인접한 면이 주어진 면으로 바깥쪽으로 삼각형을 형성하면서 교차점까지 확장되는 경우, 반대 삼각형의 원곡선을 연결하는 세그먼트가 동시에 이루어진다.^[6]

만약 6각형이 삼각형의 확장된 고도가 원곡선과 만나는 6점(삼각형 정점 포함)에서 급성 삼각형의 원곡선에 정점이 있다면, 6각형의 면적은 삼각형의 두 배가 된다.^[7]^{: p. 179}

원뿔 단면에 접하는 육각형

ABCDEF는 원뿔 단면의 6개의 접선 선으로 형성된 육각형이다.그 후 브리안콘의 정리에는 3개의 주요 대각선 AD, BE, CF가 한 지점에서 교차한다고 되어 있다.

원과 접하고 연속된 면 a, b, c, d, e, f를 가진 육각형에서,^[8]

(\displaystyle a+c+e=b+d+f)}

임의의 육각형 변에 있는 등각 삼각형

만약 정삼각형이 육각형의 양쪽에 외적으로 형성된다면, 반대 삼각형의 중심을 연결하는 세그먼트의 중간점은 다른 정삼각형을 형성한다.^[9]^{: Thm. 1}

스큐 육각형

삼각형 항정신병증의 가장자리(검은색)로 보이는 일반 스큐 육각형, 대칭 D_3d, [2⁺,6], (2*3) 순서 12.

스큐 육각형은 6개의 정점과 가장자리가 있지만 동일한 평면에 존재하지 않는 스큐 다각형이다.그러한 육각형의 내부는 일반적으로 정의되어 있지 않다.스큐 지그재그 육각형에는 두 평면이 번갈아 가며 정점이 있다.

정규 스큐 육각형은 가장자리 길이가 같은 정점 변환이다.3차원에서는 지그재그 스큐 육각형이 될 것이며, 동일한_3d D, [2⁺,6] 대칭인 순서 12의 삼각형 항정신병증의 정점과 측면 가장자리에서 볼 수 있다.

큐브와 팔면체(삼각형 항정신병)는 쁘띠 폴리곤으로 고정된 꼬치 육각형을 가지고 있다.

3배 축에 육각형 기울기
큐브	팔면체

페트리 폴리곤

일반 스큐 육각형은 다음과 같은 스큐 직교 투영에서 볼 수 있는 이러한 고차원 정규, 균일 및 이중 폴리헤드라 및 폴리탑에 대한 Petrie 폴리곤이다.

4D		5D
3-3 듀오프리즘	3-3 듀오피라미드	5와섹스

볼록 등각형 육각형

육각형의 주요 대각선은 육각선을 사각선으로 나누는 대각선이다.공통 면 a가 있는 볼록한 등각형 육각형(모든 면이 동일한 1개)에는 다음과 같은 주요 대각선^[10]^{: p.184, #286.3}₁ d가 있다.

{\frac {d_{1}:{a}\leq 2

그리고 주요 대각선 d는 다음과₂ 같다.

{\frac {d_{2}}:{a}}}{\sqrt {3}}.

육각형 폴리헤드라

헥사곤 테셀레이트(tessellate)가 일반 육각체로만 만들어진 플라토닉 고체는 없으며, 그 결과가 "접혀지는" 것을 허용하지 않기 때문이다.일부 육각형의 얼굴을 가진 아르키메데스 고형물은 잘린 사면체, 잘린 팔면체, 잘린 이코사면체(축구공과 풀레렌 명성), 잘린 육면체, 잘린 이코사면체 등이다.이러한 16진법은 형식 및 의 Coxeter 다이어그램과 함께 잘린 삼각형으로 간주할 수 있다.

아르키메데스 고형물의 헥사곤
사면체	팔면체		이코사헤드랄

잘린 사면체	잘린 팔면체	잘린 칸옥타헤드론	잘린 이두면체	잘린 이코시다데카헤드론

이러한 골드버그 다면체 G(2,0)와 같이 확장되거나 평평해진 육각형을 가진 다른 대칭 다면체도 있다.

골드버그 다면체의 헥사곤
사면체	팔면체	이코사헤드랄
참페어드 사면체	챔페드 큐브	참페어드 도데카헤드론

또한 정규 육각형을 가진 9개의 존슨 고형분들도 있다.

헥사곤이 있는 존슨 솔리드
삼각 큐폴라	길쭉한 삼각 큐폴라	길쭉한 삼각 큐폴라
증강 육각 프리즘	파라비증강 육각 프리즘	메타볼루션 육각 프리즘	3중증식 육각 프리즘
증강 절단 사면체	삼각 헤베스페노로툰다	잘린 삼면체 4면체

헥사곤 프리즘형
육각 프리즘	육각 항정신병	육각형 피라미드

일반 육각형이 있는 틸링
정규	1시 30분
{6,3}	r{6,3}	rr{6,3}	tr{6,3}

2-10 틸팅

자연 및 인공 육각형 갤러리

그래핀의 이상적인 결정 구조는 육각 격자다.
조립된 E-ELT 미러 세그먼트
벌집 벌집
거북의 등딱지 소리
토성의 육각형, 행성의 북극을 둘러싼 육각형 구름무늬
눈송이 마이크로그래프
육각형 모양의 가장 단순한 방향족 화합물인 벤젠.
거품 속 거품의 육각형 순서.
육각 방향족 링으로 구성된 분자 육각형의 결정 구조.
북아일랜드의 자이언트 코즈웨이에서 자연적으로 형성된 현무암 기둥; 다변형 골절 패턴을 형성하려면 큰 덩어리가 천천히 식어야 한다.
건조한 토르투가스 국립공원에 있는 제퍼슨 요새의 모습
제임스 웹 우주 망원경 거울은 18개의 육각형 부분으로 구성되어 있다.
메트로폴리탄 프랑스는 어렴풋이 육각형 모양을 하고 있다.프랑스어로 l'헥사곤'은 프랑스의 유럽 본토를 가리킨다.
육각형 행크사이트 결정, 많은 육각형 결정계 광물 중 하나
육각형 헛간
버크셔 리딩의 육각형 극장 헥사곤
브와디스와프 글리아스키의 육각형 체스
타이완 식물원의 정자
육각창

참고 항목

24세포: 육각형처럼 직교적인 면을 가진 4차원 형상으로, 자기 이중이고 유클리드 공간이다.
육각결정계
육각수
육각 타일링: 평면에 육각 타일링으로 구성된 정규 타일링
육각형: 일반 육각형 내의 육면 항성
유니쿠르식 육각형: 단일 경로, 6면 항성, 육각형 내
허니콤 추측
하바나: 6면 육각 격자 위에서 하는 추상 보드 게임

참조

^ Wenninger, Magnus J. (1974), Polyhedron Models, Cambridge University Press, p. 9, ISBN 9780521098595, archived from the original on 2016-01-02, retrieved 2015-11-06.
^ ^a ^b Meskhishvili, Mamuka (2020). "Cyclic Averages of Regular Polygons and Platonic Solids". Communications in Mathematics and Applications. 11: 335–355. arXiv:2010.12340.
^ 존 H. 콘웨이, 하이디 버기엘, 차임 굿맨-스트라우스, (2008) 사물의 대칭성, ISBN 978-1-56881-220-5 (20장, 일반화 셰플리 기호, 다각형의 대칭 유형 275-278)
^ Coxeter, 수학 오락 및 에세이, 13판, 페이지 141
^ Cartensen, Jens, "About hexagons", Matheical Spectrum 33(2)(2000–2001), 37–40.
^ Dergiades, Nikolaos (2014). "Dao's theorem on six circumcenters associated with a cyclic hexagon". Forum Geometricorum. 14: 243–246. Archived from the original on 2014-12-05. Retrieved 2014-11-17.
^ 존슨, 로저 A, 어드밴스트 유클리드 기하학, 도버 출판물, 2007년(원점)1960).
^ 구티에레스, 안토니오, "헥사곤, 새긴 원, 접선, 세미퍼미터", [1] 웨이백머신에 2012-05-11 보관, 2012-04-17 액세스.
^ Dao Thanh Oai (2015). "Equilateral triangles and Kiepert perspectors in complex numbers". Forum Geometricorum. 15: 105–114. Archived from the original on 2015-07-05. Retrieved 2015-04-12.
^ "Crux Mathematicorum"에서 제안된 불평등 [2] 웨이백머신에 2017-08-30 보관.

외부 링크

Weisstein, Eric W. "Hexagon". MathWorld.

대화형 애니메이션과 나침반 및 직선자를 사용한 구조로 구성된 육각형의 정의 및 특성.
육각수학 전문 웹사이트인 육각형 기하학 소개
헥사곤은 헥사곤에 관한 애니메이션 유튜브 동영상이다.

v t 치수 2-10의 기본 볼록형 일반 및 균일한 폴리토프
가족	A_n	B_n	I₂(p) / D_n	E₆ / E₇ / E₈ / F₄ / G₂	H_n
정규 다각형	삼각형	사각형	p-곤	육각형	펜타곤
균일다면체	사면체	옥타헤드론 • 큐브	데미큐브		도데카헤드론 • 이코사헤드론
균일 폴리초론	펜타코론	16-셀 • 테세락트	데미테세락트	24셀	120 셀 • 600 셀
제복5폴리토프	5와섹스	5정형 • 5정형	5데미큐브
제복6폴리토프	6-630x	6-정통 • 6-118	6데미큐브	1₂₂ • 2₂₁
제복7폴리토프	7시 15분	7정맥 • 7정맥	7데미큐브	1₃₂ • 2₃₁ • 3₂₁
제복8폴리토프	8시 15분	8정형 • 8정형	8데미큐브	1₄₂ • 2₄₁ • 4₂₁
제복9폴리토프	9시 15분	9-정통 • 9-11	9데미큐브
균일 10폴리토프	10센트짜리	10정형 • 10정형	10데미큐브
균일 n폴리토프	n-제곱스	n-직관 • n-직관	n-데미큐브	1_k2 • 2_k1 • k₂₁	n-자갈 폴리토프
주제: 폴리토페 패밀리 • 일반 폴리토페 • 일반 폴리토페 및 화합물 목록

[1] Wenninger, Magnus J. (1974), Polyhedron Models, Cambridge University Press, p. 9, ISBN 9780521098595, archived from the original on 2016-01-02, retrieved 2015-11-06.

[Mamuka-2] Meskhishvili, Mamuka (2020). "Cyclic Averages of Regular Polygons and Platonic Solids". Communications in Mathematics and Applications. 11: 335–355. arXiv:2010.12340.

[3] 존 H. 콘웨이, 하이디 버기엘, 차임 굿맨-스트라우스, (2008) 사물의 대칭성, ISBN 978-1-56881-220-5 (20장, 일반화 셰플리 기호, 다각형의 대칭 유형 275-278)

[4] Coxeter, 수학 오락 및 에세이, 13판, 페이지 141

[5] Cartensen, Jens, "About hexagons", Matheical Spectrum 33(2)(2000–2001), 37–40.

[6] Dergiades, Nikolaos (2014). "Dao's theorem on six circumcenters associated with a cyclic hexagon". Forum Geometricorum. 14: 243–246. Archived from the original on 2014-12-05. Retrieved 2014-11-17.

[Johnson-7] 존슨, 로저 A, 어드밴스트 유클리드 기하학, 도버 출판물, 2007년(원점)1960).

[8] 구티에레스, 안토니오, "헥사곤, 새긴 원, 접선, 세미퍼미터", [1] 웨이백머신에 2012-05-11 보관, 2012-04-17 액세스.

[9] Dao Thanh Oai (2015). "Equilateral triangles and Kiepert perspectors in complex numbers". Forum Geometricorum. 15: 105–114. Archived from the original on 2015-07-05. Retrieved 2015-04-12.

[Crux-10] "Crux Mathematicorum"에서 제안된 불평등 [2] 웨이백머신에 2017-08-30 보관.

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