사각사각형 스퀴링

Squaring the square
최초의 완벽한 사각형 사각형이 발견되었는데, 4205면 중 하나와 55면이다.[1] 각 숫자는 정사각형의 옆 길이를 나타낸다.

제곱을 제곱하는 것은 다른 적분 제곱만을 사용하여 적분 정사각형을 타일링하는 문제다.(적분 정사각형정수의 길이가 있는 정사각형이다. 이름은 원을 쪼개는 익살스러운 비유로 지어졌다. 추가 조건이 마련되지 않는 한 광장을 제곱하는 것은 쉬운 일이다. 가장 많이 연구된 제한은 제곱이 완벽하다는 것인데, 이는 작은 사각형의 크기가 모두 다르다는 것을 의미한다. 관련 문제는 평면을 제곱하는 것인데, 각 자연수가 타일링의 사각형 크기로 정확히 한 번 발생한다는 제한에도 불구하고 할 수 있다. 제곱 제곱의 순서는 구성 제곱의 수입니다.

완전 제곱제곱

직사각형의 스미스 다이어그램

"완벽한" 제곱은 작은 사각형마다 크기가 다른 사각형이다.

1936년부터 1938년 사이에 케임브리지 대학에서 R. L. Brooks, C. A. A. B. Smith, A. H. Stone, W. T. Tutte에 의해 처음으로 연구된 것으로 기록되어 있다. 그들은 정사각형 타일링을 "스미스 다이어그램"이라고 부르는 등가 전기 회로로 변형시켰고, 정사각형을 그들의 가장자리와 가장자리의 이웃에 연결된 저항기로 간주하고, 그 회로에 Kirchhoff의 회로 법칙과 회로 분해 기법을 적용했다. 그들이 발견한 첫 번째 완벽한 제곱은 순서가 69이었다.

4205쪽과 55쪽 주문의 합성어인 최초의 완벽한 사각형 사각형은 1939년 롤랜드 스프래그에 의해 발견되었다.[2]

마틴 가드너는 1958년 11월 W. T. T. Tutte자신의 수학 게임 칼럼에 광장을 제곱한 초기 역사에 대해 쓴 광범위한 기사를 실었다.[3]

가장 낮은 순서의 완전 제곱 제곱(1) 및 가장 작은 세 개의 완전 제곱 제곱(2–4) – 모두 단순 제곱 제곱입니다.

단순 제곱제곱

"단순" 제곱은 사각형이나 정사각형을 형성하지 않는 사각형이며, 그렇지 않으면 "복합"이다.

1978년 A. J. W. Duijvestijn[de]은 컴퓨터 검색을 사용하여 가장 적은 수의 정사각형을 가진 측면 112의 단순한 완벽한 제곱을 발견했다. 그의 타일링은 21개의 정사각형을 사용하며, 최소로 증명되었다.[4] 이 사각형은 삼위일체 수학 학회의 로고를 형성한다. 그것은 또한 결합 이론 저널의 표지에 나타난다.

듀이베스티뉴는 또한 110개의 면으로 이루어진 두 개의 단순한 정사각형 사각형을 발견했지만 각각 22개의 정사각형으로 구성되어 있다. 아마추어 수학자 겸 요정 체스 작곡가 테오필루스 하딩 윌콕스가 또 다른 것을 발견했다. 1999년에 I. 감비니는 이 세 가지가 옆면 길이로 볼 때 가장 작은 완벽한 제곱이라는 것을 증명했다.[5]

정사각형이 가장 적은 완벽한 화합물인 정사각형은 1946년 T.H. Willcocks에 의해 발견되었고 24개의 정사각형을 가지고 있다. 그러나, 1982년에야 Duijestinn, Pasquale Joseph Federico, P가 발견되었다. 루이스는 수학적으로 그것이 가장 낮은 순서의 예라는 것을 증명했다.[6]

퍼킨스 부인의 이불

모든 정사각형의 크기가 다른 제약조건이 완화되면, 작은 정사각형의 옆 길이에는 1보다 큰 공통점이 없도록 제곱된 정사각형을 "퍼킨스 부인의 이불"이라고 한다. 즉, 모든 작은 옆면 길이 중 가장공통점은 1이어야 한다.

부인. 퍼킨스의 이불 문제는 부인을 찾는 것이다. 주어진 n × n 제곱을 위해 가장 적은 조각이 있는 퍼킨스의 이불.

2개 이하의 다른 크기

10조각으로 자른 사각형(HTML 테이블)

귀여운 숫자는 어떤 사각형이 다른 제한 없이 두 개 이하의 다른 크기의 n 칸으로 해부를 허용하는 양의 정수 n을 의미한다. 2, 3, 5 빼고는 모든 양의 정수가 귀엽다는 것을 알 수 있다.[7]

비행기를 스퀴딩

피보나치 시리즈를 사용하여 다른 적분 사각형으로 평면 타일링
1. 피보나치 숫자 면이 있는 정사각형 모양의 타일링은 면 1의 정사각형 2개를 제외하고는 거의 완벽하다.
2. 듀이베스티뉴는 22개의 다른 정수 제곱으로 타일을 칠한 110 제곱을 발견했다.
3. 피보나치 타일링의 배율을 110배 올리고 110제곱 중 하나를 듀이베스티뉴의 타일링으로 교체하면 타일링의 완성도가 높아진다.

1975년 솔로몬 골롬이질적인 타일링 추측이라고 부르는 각각의 정수 가장자리 길이 중 하나인 정사각형으로 비행기 전체를 타일링할 수 있느냐는 문제를 제기했다. 이 문제는 이후 마틴 가드너에 의해 그의 사이언티픽 아메리칸 칼럼에 의해 발표되었고 여러 저서에 실렸으나, 30년 넘게 해결방법에 저촉되었다.

1987년에 출판된 틸링과 패턴에서 브란코 그룬바움과 G. C. 셰퍼드 박사는 당시 알려진 비행기의 모든 완전한 일체형 기울기에서 사각형의 크기가 기하급수적으로 증가했다고 말했다. 예를 들어, 평면을 모든 정수에 대해 타일링할 수는 있지만, 모든 정수에 대해 타일링할 수는 있다. 완벽한 사각형을 재귀적으로 취하여 이전에 가장 작은 타일이 원래 사각형의 크기를 갖도록 확장한 다음, 이 타일을 원래 사각형의 복사본으로 교체한다.

2008년에 제임스 헨리와 프레드릭 헨리는 실제로 이것이 이루어질 수 있다는 것을 증명했다.[8] 그들의 증거는 건설적이고 서로 다른 크기의 두 개의 나란히 그리고 수평으로 플러시되는 두 개의 사각형으로 형성된 L자형 영역을 더 큰 직사각형 영역의 완벽한 타일링으로 "퍼핑"한 다음, 또 다른 더 큰 L자형 영역을 얻기 위해 아직 사용되지 않은 가장 작은 크기의 사각형에 결합함으로써 진행된다. 부풀리기 시술 중 추가된 사각형은 아직 시공에 나타나지 않은 크기를 가지며, 그 결과 사각형 영역이 4방향으로 확장되어 전체 평면이 타일링되도록 절차가 설정된다.

큐브 큐브 만들기

큐브를 큐브화하는 것은 정사각형을 제곱하는 3차원의 아날로그다. , 큐브 C가 주어진다면, 두 개의 합치 없이 작은 정육면체들로 나누는 문제.

어렵지만 해결 가능한 문제인 정사각형을 제곱하는 경우와 달리, 완벽한 정사각형 큐브는 없으며, 더 일반적으로는 직사각형 큐빅 C를 불평등 정사각형의 한정된 수의 정사각형 큐빅으로 분해하지 않는다.

이것을 증명하기 위해, 우리는 다음과 같은 주장으로 시작한다: 사각형의 완벽한 해부를 위해, 이 해부에서 가장 작은 사각형은 사각형의 가장자리에 놓여있지 않다. 실제로 각 모서리 사각형은 가장자리가 작은 가장자리 사각형이 있고 가장 작은 가장자리 사각형은 가장자리가 아닌 더 작은 사각형에 인접해 있다.

자, 정사각형 모양의 사각형 모양의 완벽한 해부가 있다고 가정해보자. C의 얼굴을 수평으로 만들어라. 밑부분은 정사각형 R에 놓여있는 정육면체들에 의해 완벽한 정사각형 R으로 나뉜다. R에서 가장 작은 정사각형1크고, 따라서 더 높은 정육면체로 둘러싸여 있다. 따라서 s1 있는 큐브의 윗면은 큐브 위에 놓여 있는 큐브에 의해 완벽한 제곱으로 나뉜다. 2 해부에서 가장 작은 사각형이 되자. 위의 주장에 의해, 이것은 s보다2 크고 따라서 더 높은 네모꼴로 4면 모두에 둘러싸여 있다.

정사각형1 s2, s, ...의 순서는 무한하고 해당하는 큐브는 수가 무한하다. 이것은 우리의 원래 추측과 모순된다.[9]

만약 4차원 하이퍼큐브가 완벽하게 하이퍼큐브 될 수 있다면, 그것의 '페이스'는 완벽한 큐브 큐브가 될 것이다; 이것은 불가능하다. 마찬가지로, 더 높은 차원의 모든 큐브에 대한 해결책은 없다.

참고 항목

참조

  1. ^ "o55-4205-sprague.pdf" (PDF). Retrieved 25 August 2015.
  2. ^ "5. Towards a theory for combinatorial games". American Mathematical Society. Retrieved 2017-06-30.
  3. ^ "Brooks, Smith, Stone and Tutte, II". www.squaring.net. Retrieved 19 April 2018.
  4. ^ W., Weisstein, Eric. "Perfect Square Dissection". mathworld.wolfram.com. Retrieved 19 April 2018.
  5. ^ Gambini, Ian (1999). "A method for cutting squares into distinct squares". Discrete Applied Mathematics. 98 (1–2): 65–80. doi:10.1016/S0166-218X(99)00158-4. MR 1723687.
  6. ^ Duijvestijn, A. J. W.; Federico, P. J.; Leeuw, P. (1982). "Compound perfect squares". American Mathematical Monthly. 89 (1): 15–32. doi:10.2307/2320990. JSTOR 2320990. MR 0639770.
  7. ^ Henry, JB; Taylor, PJ (2009). Challenge! 1999 - 2006 Book 2. Australian Mathematics Trust. p. 84. ISBN 978-1-876420-23-9.
  8. ^ Henle, Frederick V.; Henle, James M. (2008). "Squaring the plane". American Mathematical Monthly. 115 (1): 3–12. doi:10.1080/00029890.2008.11920491. JSTOR 27642387. S2CID 26663945.
  9. ^ Brooks, R. L.; Smith, C. A. B.; Stone, A. H.; Tutte, W. T. (1940). "The dissection of rectangles into squares". Duke Math. J. 7 (1): 312–340. doi:10.1215/S0012-7094-40-00718-9. MR 0003040.

추가 읽기

외부 링크