프로토타일 무주기 집합

Aperiodic set of prototiles
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기본 단위(삼각형)와 원시 세포(헥사곤)로 주기적인 타일링이 강조되었다. 이 삼각형 패치의 복사본을 함께 장착하여 전체 평면의 타일링을 생성할 수 있다. 이를 위해서는 기본 삼각형을 60도 회전시켜 인접 삼각형에 가장자리부터 가장자리까지 맞출 필요가 있다. 따라서 색상의 타일로 타일링으로부터 상호 국부적으로 도출할 수 있는 기본 단위의 삼각 타일링이 생성될 것이다. 타일링 위에 그려진 다른 인물인 흰 육각형은 타일링의 원시적인 세포를 나타낸다. 색칠된 타일의 해당 패치의 복사본은 평면의 무한 타일을 형성하기 위해 번역될 수 있다. 이를 위해 이 패치를 회전할 필요는 없다.
펜로즈 타일은 평면의 비주기적 기울기만을 허용하기 때문에 주기적인 타일 집합이다(다음 이미지 참조).
펜로즈 타일에 의한 무한히 많은 기울기는 모두 주기적이다. 즉, 펜로즈 타일은 원자의 주기적인 집합이다.

프로토타일 집합은 가능한 모든 테셀레이션 패턴이 비주기적이어야 하는 기울기를 만들기 위해 프로토타일 복제본을 조립할 수 있는 경우 주기적이다. 언급된 주기성은 특정 프로토타일 집합의 특성이다; 다양한 결과의 기울기 자체는 단지 주기적이지 않다.

유클리드 평면 또는 기타 기하학적 설정에서 주어진 타일 세트는 세트 내 타일의 겹치지 않는 복사본을 함께 장착하여 전체 공간을 커버할 수 있는 경우 타일을 허용한다. 주어진 타일 집합은 주기적인 기울기, 즉 번역에 의해 옮겨진 후에도 변하지 않는 기울기를 허용할 수 있다(예: 사각 타일의 격자는 주기적이다). 주기적인 틸팅뿐만 아니라 주기적인 틸팅을 허용하는 일련의 타일을 설계하는 것은 어렵지 않다(예를 들어, 2×2 사각형과 2×1 사각형을 사용하여 무작위로 배열된 틸팅은 일반적으로 비주기적인 틸팅이 된다).

그러나, 주기적인 타일 세트는 주기적이지 않은 기울기만 생성할 수 있다.[1][2] 단일 주기적 타일 집합에서 무한히 많은 뚜렷한 기울기를 얻을 수 있다.[3]

기와 세트의 가장 잘 알려진 예는 다양한 펜로즈 타일이다.[4][5] 알려진 원주체 집합은 원주체 집합의 목록에서 보인다. 도미노 문제의 근본적인 불찰성은 주어진 타일 세트가 평면에 타일을 칠할 수 있는지 여부를 결정하기 위한 체계적인 절차가 존재하지 않음을 의미한다.

역사

다각형은 직선 세그먼트에 의해 경계되는 평면 형상이다. 일반 다각형은 모든 각도와 길이가 같은 면뿐만 아니라 모든 각도의 길이가 같다. AD 325년 초기에 알렉산드리아의 파푸스는 유클리드 비행기에서 테셀링을 반복하는 데 있어서 세 가지 종류의 일반 다각형(정사각형, 정삼각형, 육각형)만 완벽하게 맞출 수 있다는 것을 알았다. 그 비행기 안에서, 규칙성과 상관없이 모든 삼각형이 테셀레이트를 팔 것이다. 이와는 대조적으로, 일반 펜타곤은 테셀레이트를 사용하지 않는다. 그러나 변과 각도가 다른 불규칙한 펜타곤은 테셀레이트를 할 수 있다. 그 평면에는 15개의 불규칙한 볼록 펜타곤이 있다.[6]

폴리헤드라는 폴리곤의 3차원 상관관계다. 그것들은 평평한 면과 곧은 가장자리로 만들어졌고 정점에서 날카로운 코너 턴을 가지고 있다. 정육면체만이 테셀레이션을 허용하는 유일한 다면체지만 잘린 팔면체처럼 많은 비정규 3차원 형상이 테셀레이트를 할 수 있다.

힐베르트의 18번째 문제의 두 번째 부분은 유클리드 3-공간을 하나의 다면체 타일링하는 것을 요구했는데, 그 타일링에 의한 타일링(비면체 타일)이 없는 것이다. 언급된 문제는 1928년 칼 라인하르트에 의해 해결되었지만, 무주기 타일 세트는 자연적인 연장선으로 여겨져 왔다.[7] 기와 집합에 대한 특정한 문제는 1961년 논리학자 Hao Wang이 Domino 문제가 결정 가능한지, 즉 주어진 유한한 프로토타일 집합이 비행기의 타일을 허용하는지 여부를 결정하기 위한 알고리즘이 존재하는지 여부를 결정하려고 했을 때 처음 제기되었다. 왕 교수는 평면에 타일을 붙일 수 없는 타일 세트와 주기적으로 타일을 붙이는 타일 세트를 열거하는 알고리즘을 발견했는데, 이를 통해 평면의 타일을 인정하는 모든 유한한 프로토타일 세트도 정기 타일을 인정할 경우 그러한 결정 알고리즘이 존재한다는 것을 보여주었다.

이 왕 타일들은 비행기의 비주기적 기울기만을 산출할 뿐이며, 주기적 기울기 또한 마찬가지 입니다.

따라서 1966년 로버트 버거가 원자의 주기적인 집합체를 발견했을 때 이는 타일링 문제가 사실상 결정 불가능한 것은 아니라는 것을 보여주었다.[8] (Thus Wang의 절차는 모든 타일 세트에서 타일 문제가 실제로 무효화되지는 않지만) 베르거가 불후의 증거에 사용한 이 첫 번째 세트는 2만 426개의 왕 타일이 필요했다. 베르거는 이후 자신의 세트를 104개로 줄였고, 한스 레우치리는 이후 왕 타일 40개만 필요한 주기적인 세트를 발견했다.[9] 오른쪽의 일러스트에 제시된 13개의 타일 세트는 1996년 카렐 컬릭(Karel Culik, II)이 발행한 주기적 세트다.

그러나 1971년 라파엘 M. 로빈슨에 의해 6개의 비왕 타일 중 더 작은 aperiodic 세트가 발견되었다.[10] 로저 펜로즈는 1973년과 1974년에 세 세트를 더 발견하여 필요한 타일 수를 2개로 줄였고, 로버트 암만은 1977년에 몇 개의 새로운 세트를 발견했다. 단 하나의 프로토타일만을 가진 주기적인 집합이 존재하는가에 대한 문제는 아인슈타인 문제로 알려져 있다.

시공

버거가 획기적으로 건설한 지 40년이 지난 지금까지 알려진 주기적 기울기의 구조는 거의 없다. 어떤 건축물은 무주기적 타일 세트의 무한 계열이다.[11][12] 발견된 그러한 구조들은 주로 어떤 종류의 비주기적 계층 구조를 강요함으로써 주로 몇 가지 방법으로 구성된다. 그럼에도 불구하고, Domino 문제의 불분명함은 무한히 많은 구별되는 구성 원리가 있어야 하며, 사실, 주기성의 증거가 없을 수 있는 주기적인 타일 집합이 존재함을 보장한다.

한 차원에서는 주기적인 타일 세트가 있을 수 없다는 점에 주목할 필요가 있다. 즉, 라인의 어떤 타일 세트도 완전한 타일을 형성하는 데 사용할 수 없거나 주기적인 타일을 형성하는 데 사용할 수 없다는 것을 보여주는 간단한 연습이다. 프로토타일의 주기성은 2개 이상의 치수를 필요로 한다.

참조

  1. ^ Senechal, Marjorie (1996) [1995]. Quasicrystals and geometry (corrected paperback ed.). Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-57541-6.
  2. ^ Grünbaum, Branko; Geoffrey C. Shephard (1986). Tilings and Patterns. W.H. Freeman & Company. ISBN 978-0-7167-1194-0.
  3. ^ 니콜라레 돌빌린이 1995년 논문 '타일링 가족의 계수성'과 '타일링의 주기성'에서 입증한 바와 같이, 일련의 주기적 프로토타일들은 항상 헤아릴 수 없을 정도로 다양한 기울기를 형성할 수 있다.
  4. ^ Gardner, Martin (January 1977). "Mathematical Games". Scientific American. 236 (5): 111–119. Bibcode:1977SciAm.236e.128G. doi:10.1038/scientificamerican0577-128.
  5. ^ Gardner, Martin (1988). Penrose Tiles to Trapdoor Ciphers. W H Freeman & Co. ISBN 978-0-7167-1987-8.
  6. ^ "Pentagon Tiling Proof Solves Century-Old Math Problem". 11 July 2017.
  7. ^ 세네찰, 페이지 22-24.
  8. ^ Berger, Robert (1966). "The undecidability of the domino problem". Memoirs of the American Mathematical Society (66): 1–72.
  9. ^ 그룬바움, 셰퍼드 11.1절
  10. ^ Robinson, Raphael M. (1971). "Undecidability and Nonperiodicity for Tilings of the Plane". Inventiones Mathematicae. 12 (3): 177–209. Bibcode:1971InMat..12..177R. doi:10.1007/BF01418780. S2CID 14259496.
  11. ^ Goodman-Strauss, Chaim (1998). "Matching rules and substitution tilings". Annals of Mathematics. 147 (1): 181–223. CiteSeerX 10.1.1.173.8436. doi:10.2307/120988. JSTOR 120988.
  12. ^ Mozes, S. (1989). "Tilings, substitution systems and dynamical systems generated by them". Journal d'Analyse Mathématique. 53 (1): 139–186. doi:10.1007/BF02793412. S2CID 121775031.