균일다면체

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균일한 다면체는 면으로서 규칙적인 다각형을 가지며 정점 변환이다(즉, 정점을 다른 정점에 매핑하는 등축이 있다). 그것은 모든 정점이 일치한다는 것을 따른다.

균일한 다면체는 정규(얼굴과 가장자리 전이인 경우), 준정규(얼굴 전이 아닌 가장자리 전이인 경우), 반정규(가장자리 전이인 경우)일 수 있다. 얼굴과 정점이 볼록할 필요는 없기 때문에 획일적인 다면체도 역시 별 다면체다.

75개의 다른 다면체와 함께 두 가지 무한 등급의 균일한 다면체가 있다.

• 무한 클래스:
  • 프리즘,
  • 반격의
• 볼록스 예외:
  • 5 플라톤 고형분: 일반 볼록 다면체,
  • 13 아르키메데스 고형분: 2 퀘이레곤과 11 반경 볼록 다면체.
• 별(비콘벡스) 예외:
  • 4 케플러-푸인소트 다면체: 일반 비콘벡스 다면체,
  • 53개의 균일한 항성 다면체: 5쿼시레구럴과 48쿼레구럴.

따라서 5 + 13 + 4 + 53 = 75.

존 스킬링에 의해 발견된 위대한 디스너브 디롬비도데카헤드론(스킬링의 형상)을 포함하여, 일치하는 가장자리 쌍을 가진 퇴행성 제복 폴리헤드라도 많이 있다.

이중 다면체와 균일한 다면체는 얼굴 전이성(소면체)이고 정점형상을 가지고 있으며, 일반적으로 이중(통일형) 다면체와 병행하여 분류된다. 일반 다면체의 이중은 규칙적인 반면 아르키메데스 고체의 이중은 카탈로니아 고형이다.

균일 다면체의 개념은 균일 다면체 개념의 특수한 경우로서, 고차원(또는 저차원) 공간의 형상에도 적용된다.

정의

Coxeter, Longuet-Higgins & Miller(1954)는 균일한 다면체를 정점 변환 다면체로 정의한다. 그들은 다각형의 각 면이 단지 하나의 다른 다각형의 한 쪽일 뿐이고, 비어 있지 않은 적절한 부분집합이 동일한 특성을 가지지 않도록 다각형의 유한 집합으로 정의한다. 폴리곤에 의해 그들은 3차원 유클리드 공간의 폴리곤을 암시적으로 의미한다. 이것들은 비콘벡스이고 서로 교차하는 것이 허용된다.

균일한 다면체의 개념에 대한 일반화가 있다. 연결성 가정이 떨어지면 우리는 균일한 화합물을 얻게 되는데, 이것은 5입방체의 화합물과 같은 다면체의 결합으로 분할될 수 있다. 다면체의 실현이 비퇴행이라는 조건을 내려놓으면 이른바 퇴행성 균일 다면체를 얻게 된다. 이것들은 다면체의 보다 일반적인 정의를 필요로 한다. 그룬바움(1994)은 다소 복잡한 다면체의 정의를 내렸고, 맥멀런과 슐테(2002)는 다면체의 보다 단순하고 일반적인 정의를 내렸는데, 그들의 용어에서 다면체는 비감소 3차원 실현의 2차원 추상적 폴리토프다. 여기서 추상적인 폴리토프는 다양한 조건을 만족시키는 그것의 "경계"의 포셋이며, 실현은 그 정점으로부터 어떤 공간까지의 함수이며, 추상적인 폴리토프의 뚜렷한 두 얼굴이 뚜렷한 실현을 가지고 있다면 그 실현을 비감소라고 한다. 그들이 퇴보할 수 있는 몇 가지 방법은 다음과 같다.

• 숨은 얼굴들. 일부 다면체에는 겉으로 보기에는 내부의 어떤 지점도 볼 수 없다는 의미에서 감춰진 얼굴이 있다. 이것들은 보통 균일한 다면체로 계산되지 않는다.
• 퇴화 화합물. 일부 다면체는 다중 가장자리를 가지며, 얼굴은 둘 이상의 다면체의 면이지만, 다면 공유 가장자리 이후 이전의 의미에서는 화합물이 아니다.
• 이중 커버. 균일한 다면체의 정의를 충족하는 이중 커버를 가진 일부 비방향성 다면체도 있다. 이중 커버는 두 개의 면, 가장자리 및 정점이 있다. 그것들은 보통 균일한 다면체로 계산되지 않는다.
• 이중 얼굴. 와이토프의 건설로 인해 이중으로 된 얼굴을 가진 여러 개의 다면체가 있다. 대부분의 저자들은 이중의 얼굴을 허용하지 않고, 건축의 일부로 그것들을 제거한다.
• 이중 가장자리. 스킬링의 형상은 이중 가장자리(퇴행성 균일 다면체에서와 같이)가 있는 속성을 가지고 있지만, 얼굴은 두 개의 균일한 다면체의 결합체로 쓸 수 없다.

역사

정규 볼록 다면체

• 플라토닉 고형물은 고대 그리스인들로 거슬러 올라가며, 피타고라스인, 플라톤(c. 424 – 348 BC), 테에테투스(c. 417 BC – 369 BC), 로크리의 티마우스(ca. 420–380 BC)와 유클리드(fl. bc. 300 BC)에 의해 연구되었다. 에트루리아인들은 기원전 500년 전에 일반 도데카헤드론을 발견했다.^[1]

비정규 균일볼록다면체

• 큐옥타헤드론은 플라톤에 의해 알려졌다.
• 아르키메데스 (기원전 287년 – 기원전 212년)는 13개의 아르키메데스 고형물을 모두 발견했다. 이 주제에 관한 그의 원본은 분실되었지만 알렉산드리아의 파푸스(c. 290 – c. 350 AD)는 13개의 다면체를 나열한 아르키메데스에 대해 언급했다.
• 피에로 델라 프란체스카 (1415년–1492)는 플라토닉 고형물의 다섯 가지 줄기를 재발견했으며, 잘린 사면체, 잘린 옥면체, 잘린 정육면체, 잘린 도면체, 잘린 이면체 등을 재발견했으며, 그의 저서 드 퀸케코모니버스 정규 버스에서 그들의 미터 속성에 대한 삽화와 계산을 포함시켰다. 그는 또한 다른 책에서 큐옥타헤드론에 대해 논했다.^[2]
• 루카 파치올리는 1509년 데 디비나비례에서 프란체스카의 작품을 표절하고, 레오나르도 다빈치가 그린 26개의 얼굴에 대한 롬비큐브옥타헤드론을 '이코시헥사헤드론'이라고 불렀다.
• 요하네스 케플러(1571–1630)는 1619년 아르키메데스 고형물의 전체 목록을 최초로 발표했으며, 균일한 프리즘과 반격의 무한가족을 확인했다.

항성 다면체

• 케플러(1619년)는 케플러-푸인소트 다면체 중 두 개를, 루이 푸인소트(1809)는 나머지 두 개를 발견했다. 4개의 세트는 아우구스틴 카우치(1789년–1857년)에 의해 완성이 증명되었고, 아서 케이리(1821년–1895년)가 이름을 지었다.

기타 53개의 비정규 항성 다면체

• 나머지 53개 중 에드먼드 헤스(1878)가 2개, 알버트 바두레우(1881)가 36개, 피치(1881)가 독자적으로 18개를 발견했는데 이 중 3개는 이전에 발견되지 않았다. 이것들은 함께 41개의 다면체를 주었다.
• 지오미터 H.S.M. Coxeter는 J. C. P. Miller(1930–1932)와 협력하여 나머지 12개를 발견했지만 발표하지는 않았다. M.S. 롱구엣-하이긴스와 H.C. 롱구엣-히긴스는 이들 중 11개를 독자적으로 발견했다. 레사브르와 메르시에르는 1947년에 그들 중 5명을 재발견했다.
• Coxeter, Longuet-Higgins & Miller(1954)는 균일한 다면체의 목록을 발표했다.
• 소포프(1970)는 리스트가 완성됐다는 그들의 추측을 증명했다.
• 1974년, 마그너스 웨닝거는 그의 책인 Polyhedron 모델을 출판했는데, 이 모델에는 75개의 비prism적 제복 다면체 모델들이 모두 나열되어 있으며, 이전에 출판되지 않았던 많은 이름들이 노먼 존슨에 의해 붙여졌다.
• 스킬링(1975)은 독립적으로 완성도를 입증했고, 균일한 다면체의 정의가 가장자리가 일치하도록 완화된다면 단지 하나의 추가 가능성이 있다는 것을 보여주었다.
• 1987년 에드몽 보난은 폴리카라는 터보 파스칼 프로그램을 통해 3D로 모든 균일한 폴리헤드라와 그들의 듀얼을 그렸는데, 그 중 거의가 영국 이스트본의 의회 극장에서 열린 국제 입체 유니온 대회에서 상영되었다.^{[citation needed][3]}
• 1993년에 Zvi Har'El은 Kaleido라는 컴퓨터 프로그램으로 제복 다면체 및 이중체를 완전히 케일리드코픽으로 제작했으며, 도표 1-80을 세어 종이 동일 다면체 용액으로 요약했다.^[4]
• 또한 1993년에 R. Maeder는 이 칼리도 솔루션을 약간 다른 색인 시스템으로 Mathematica에 포팅했다.^[5]
• 2002년에 피터 W. 메서는 그것의 와이트오프 기호만 주어진 모든 균일한 다면체(및 그것의 이중)의 주 결합과 계량적 양을 결정하기 위한 최소한의 폐쇄형 표현식을 발견했다.^[6]

균일성 다면체

위대한 디르옴비코시도데카헤드론을 제외한 57개의 비프리즘 비콘벡스 형식은 슈바르츠 삼각형 안에 있는 와이토프 건설에 의해 편집된다.

Wythoff 시공에 의한 볼록형식

볼록한 균일 다면체는 와이토프 건설공사에서 정규형태로 명명할 수 있다.

보다 세부적으로 볼록한 균일한 다면체는 각 대칭군 내의 Wythoff 구성에 의해 아래에 제시된다.

와이토프 건설 내에는 낮은 대칭 형태에 의해 생성되는 반복이 있다. 정육면체는 다면체, 사각 프리즘이다. 팔면체(八面體)는 일반 다면체(多面體)이며, 삼각 항정신병이다. 팔면체도 정정한 사면체다. 많은 다면체들은 서로 다른 건설원으로부터 반복되며, 다른 색상으로 채색된다.

와이토프 건설은 구면상의 균일한 다면체와 균일한 기울기에 동일하게 적용되기 때문에 둘 다의 이미지가 주어진다. 구면 기울기는 퇴행성 다면체인 호소헤드론과 디헤드론 세트를 포함한다.

이러한 대칭 그룹은 3차원의 반사점 그룹에서 형성되는데, 각각은 근본적인 삼각형(p q r)으로 표현되며, 여기서 p > 1, q > 1, r > 1과 1/p + 1/p + 1/q + 1/r < 1로 표현된다.

• 사면 대칭(3 3 2) – 순서 24
• 팔면 대칭(4 3 2) – 순서 48
• 이코사이드 대칭(5 3 2) – 순서 120
• dihedral 대칭(n 2 2)에 대해 n = 3,4,5... – 주문 4n

나머지 비반사 형태는 짝수 면이 있는 다면체에 적용되는 교대 연산에 의해 구성된다.

프리즘과 그 치대칭과 함께 구면 와이토프 건설과정은 다면체(dihedra)와 호소헤드라(hosohedra)로 퇴보하는 두 개의 정규 계급을 추가하는데, 첫째는 두 개의 얼굴만, 둘째는 두 개의 정점만 있다. 일반 호소헤드라의 잘림은 프리즘을 만들어낸다.

볼록한 균일 다면체 아래에는 대칭형태에 의해 표에 제시된 비수평적 형태의 색인 1–18이 있다.

프리즘 형태의 무한 집합에 대해서는 다음과 같은 네 가지 패밀리로 색인화된다.

1. 호소헤드라 H_2...(구면 틸링으로만)
2. 디헤드라_2... D(구면 기울기 전용)
3. 프리즘_3... P(잘린 호소헤드라)
4. 항정신병 A_3...(스너브 프리즘)

요약표

존슨 이름	부모	잘림	수정됨	비트런어드 (트론 듀얼)	양방향으로 (iii)	알 수 있는	옴니트런어드 (간격)	스너브
콕시터 다이어그램
확장됨 슐레플리 기호	${\displaystyle {\begin{Bmatrix}p,q\end{Bmatrix}}$	${\displaystyle t{\begin{Bmatrix}p,q\end{Bmatrix}}$	${\displaystyle {\begin{Bmatrix}p\\q\end{Bmatrix}}$	${\displaystyle t{\begin{Bmatrix}q,p\end{Bmatrix}}}$	${\displaystyle {\begin{Bmatrix}q,p\end{Bmatrix}}$	${\displaystyle r{\begin{Bmatrix}p\\q\end{Bmatrix}}}$	${\displaystyle t{\begin{Bmatrix}p\\q\end{Bmatrix}}$	${\displaystyle s{\begin{Bmatrix}p\\q\end{Bmatrix}}$
	{p,q}	t{p,q}	r{p,q}	2t{p,q}	2r{p,q}	rr{p,q}	tr{p,q}	sr{p,q}
	t0{p,q}	t0,1{p,q}	t1{p,q}	t1,2{p,q}	t2{p,q}	t0,2{p,q}	t0,1,2{p,q}	ht0,1,2{p,q}
와이토프 기호 (p q 2)	q p 2	2시 15분	2p q	2p q	p Q 2	p Q 2	p Q 2	p Q 2
정점수	pq	Q.2p.2p	(p.q)2	페이지 2q.2q	qp	페이지 4.4.4	4.2p.2q	3.3.p.3.q.
사면체 (3 3 2)	3.3.3	3.6.6	3.3.3.3	3.6.6	3.3.3	3.4.3.4	4.6.6	3.3.3.3.3
팔면체 (4 3 2)	4.4.4	3.8.8	3.4.3.4	4.6.6	3.3.3.3	3.4.4.4	4.6.8	3.3.3.3.4
이코사헤드랄 (5 3 2)	5.5.5	3.10.10	3.5.3.5	5.6.6	3.3.3.3.3	3.4.5.4	4.6.10	3.3.3.3.5

이음 대칭의 표본 추출:

(구체는 잘리지 않고 타일링만 잘린다.) (구 위에서 가장자리는 두 꼭지점 사이에 있는 가장 짧은 길, 큰 원의 호이다. 따라서, 정점이 극-반대편이 아닌 디곤은 평평하다. 그것은 가장자리처럼 보인다.)

(2p 2)	부모	잘림	수정됨	비트런어드 (트론 듀얼)	양방향으로 (iii)	알 수 있는	옴니트런어드 (간격)	스너브
콕시터 다이어그램
확장됨 슐레플리 기호	${\displaystyle {\begin{Bmatrix}p,2\end{Bmatrix}}$	${\displaystyle t{\begin{Bmatrix}p,2\end{Bmatrix}}$	${\displaystyle {\begin{Bmatrix}p\\2\end{Bmatrix}}$	${\displaystyle t{\begin{Bmatrix}2,p\end{Bmatrix}}$	${\displaystyle {\begin{Bmatrix}2,p\end{Bmatrix}}$	${\displaystyle r{\begin{Bmatrix}p\\2\end{Bmatrix}}$	${\displaystyle t{\begin{Bmatrix}p\\2\end{Bmatrix}}$	${\displaystyle s{\begin{Bmatrix}p\\2\end{Bmatrix}}$
	{p,2}	t{p,2}	r{p,2}	2t{p,2}	2r{p,2}	rr{p,2}	tr{p,2}	sr{p,2}
	t0{p,2}	t0,1{p,2}	t1{p,2}	t1,2{p,2}	t2{p,2}	t0,2{p,2}	t0,1,2{p,2}	ht0,1,2{p,2}
와이토프 기호	2 페이지 2	2 2p	2 페이지 2	2 페이지 2	p 2 2	p 2 2	p 2 2	p 2 2
정점수	p2	2.2p.2p	페이지 2.p.2	페이지 4.4	2p	페이지 4.2.4	4.2p.4	3.3.3.p
디헤드랄 (2 2 2)	{2,2}	2.4.4	2.2.2.2	4.4.2	2.2	2.4.2.4	4.4.4	3.3.3.2
디헤드랄 (3 2 2)	3.3	2.6.6	2.3.2.3	4.4.3	2.2.2	2.4.3.4	4.4.6	3.3.3.3
디헤드랄 (4 2 2)	4.4	2.8.8	2.4.2.4	4.4.4	2.2.2.2	2.4.4.4	4.4.8	3.3.3.4
디헤드랄 (5 2 2)	5.5	2.10.10	2.5.2.5	4.4.5	2.2.2.2.2	2.4.5.4	4.4.10	3.3.3.5
디헤드랄 (6 2 2)	6.6	2.12.12	2.6.2.6	4.4.6	2.2.2.2.2.2	2.4.6.4	4.4.12	3.3.3.6

(3 3 2) T 사면_d 대칭

구의 사면 대칭은 5개의 균일한 다면체를 생성하며, 스너브 수술에 의한 6번째 형태를 생성한다.

사면 대칭은 거울이 두 개 있는 하나의 꼭지점과 거울이 세 개 있는 두 개의 정점을 가진 근본적인 삼각형으로 표현되며, 기호(3 3 2)로 표현된다. 또한 Coxeter 그룹₂ A 또는 [3,3]과 Coxeter 다이어그램으로 나타낼 수 있다.

24개의 삼각형이 있으며, 테트라키스 육면체의 면과 구체의 교대로 색칠된 삼각형에서 볼 수 있다.

#	이름	그래프 A을3	그래프 A을2	사진	타일링	꼭지점 형상을 나타내다	콕시터 그리고 슐레플리 기호	위치별 면수			요소 개수
								포스2길 [3] (4)	양수1길 [2] (6)	양수 0 [3] (4)	얼굴	가장자리	정점
1	사면체						{3,3}	{3}			4	6	4
[1]	양방향 사면체 (사면체로 표시됨)						t2{3,3}={3,3}			{3}	4	6	4
2	수정사면체 사방면체 (팔면체로 표시됨)						t1{3,3}=r{3,3}	{3}		{3}	8	12	6
3	잘린 사면체						t0,1{3,3}=t{3,3}	{6}		{3}	8	18	12
[3]	비트런드 사면체 (잘린 사면체로 표시됨)						t1,2{3,3}=t{3,3}	{3}		{6}	8	18	12
4	캔텔레이트 사면체 롬비테트라헤드론 (cuboctaheadron으로 표시됨)						t0,2{3,3}=rrr{3,3}	{3}	{4}	{3}	14	24	12
5	만능경화사면체 잘린 사방면체 (잘린 팔면체로 표시됨)						t0,1,2{3,3}=tr{3,3}	{6}	{4}	{6}	14	36	24
6	스너브 사방면체 (이코사헤드론처럼)						sr{3,3}	{3}	2 {3}	{3}	20	30	12

(4 3 2) O 팔면_h 대칭

구의 팔면 대칭은 7개의 균일한 다면체를 생성하며, 교대로 7개가 더 생성된다. 위의 사면 대칭표에서 이 중 6개가 반복된다.

팔면 대칭은 각 정점에서 거울을 세는 기본 삼각형(4 3 2)으로 표현된다. 또한 Coxeter 그룹₂ B 또는 [4,3]과 Coxeter 다이어그램으로 나타낼 수 있다.

디디아키 도데카헤드론 면과 구상의 교대로 색칠된 삼각형에는 48개의 삼각형이 있다.

#	이름	그래프 B3	그래프 B2	사진	타일링	꼭지점 형상을 나타내다	콕시터 그리고 슐레플리 기호	위치별 면수			요소 개수
								포스2길 [4] (6)	양수1길 [2] (12)	양수 0 [3] (8)	얼굴	가장자리	정점
7	큐브						{4,3}	{4}			6	12	8
[2]	팔면체						{3,4}			{3}	8	12	6
[4]	수정 큐브 수정옥타헤드론 (쿠보타헤드론)						{4,3}	{4}		{3}	14	24	12
8	잘린 큐브						t0,1{4,3}=t{4,3}	{8}		{3}	14	36	24
[5]	잘린 팔면체						t0,1{3,4}=t{3,4}	{4}		{6}	14	36	24
9	캔터키드 큐브 통팔면체 롬비큐옥타헤드론						t0,2{4,3}=rrr{4,3}	{4}	{4}	{3}	26	48	24
10	옴니트런드 큐브 옴니트룬팔면체 잘린 큐옥타헤드론						t0,1,2{4,3}=tr{4,3}	{8}	{4}	{6}	26	72	48
[6]	스너브 옥타헤드론 (이코사헤드론과 동일)						= s{3,4}=sns{3,3}		{3}	{3}	20	30	12
[1]	하프 큐브 (사면체와 동일)						= h{4,3}={3,3}	1/2{3}			4	6	4
[2]	캔틱 큐브 (잘린 사면체와 동일)						= h2{4,3}=t{3,3}	1/2{6}		1/2{3}	8	18	12
[4]	(Cuboctaheadron과 동일)						= rr{3,3}				14	24	12
[5]	(잘린 팔면체와 동일)						= tr{3,3}				14	36	24
[9]	캔틱 스너브 옥타헤드론 (롬비큐보톡타헤드론과 동일)						s2{3,4}=rrr{3,4}				26	48	24
11	스너브 큐옥타헤드론						sr{4,3}	{4}	2 {3}	{3}	38	60	24

(5 3 2) I 이두각_h 대칭

구의 이도사면 대칭은 7개의 균일한 다면체를 생성하며, 교대로 1개가 더 생성된다. 위의 사면대칭표와 팔면대칭표에서 하나만 반복된다.

동면 대칭은 각 꼭지점에서 거울을 세는 기본 삼각형(5 3 2)으로 표현된다. 또한 Coxeter 그룹₂ G 또는 [5,3]과 Coxeter 다이어그램으로 나타낼 수 있다.

120개의 삼각형이 있는데, 디스다키스 삼관면, 그리고 구상의 교대로 색칠된 삼각형에서 볼 수 있다.

#	이름	그래프 (A2) [6]	그래프 (H3) [10]	사진	타일링	꼭지점 형상을 나타내다	콕시터 그리고 슐레플리 기호	위치별 면수			요소 개수
								포스2길 [5] (12)	양수1길 [2] (30)	양수 0 [3] (20)	얼굴	가장자리	정점
12	도데카헤드론						{5,3}	{5}			12	30	20
[6]	이코사헤드론						{3,5}			{3}	20	30	12
13	수정도면체 정류 이코사면체 이코시다데카헤드론						t1{5,3}=r{5,3}	{5}		{3}	32	60	30
14	잘린 도두면체						t0,1{5,3}=t{5,3}	{10}		{3}	32	90	60
15	잘린 이코사면체						t0,1{3,5}=t{3,5}	{5}		{6}	32	90	60
16	도데카헤드론 이코사면체 롬비코시도데카헤드론						t0,2{5,3}=rrr{5,3}	{5}	{4}	{3}	62	120	60
17	잡식도면체 잡티트룬 이코사면체 잘린 이코시다데카헤드론						t0,1,2{5,3}=tr{5,3}	{10}	{4}	{6}	62	180	120
18	스너브 이코시다데코헤드론						sr{5,3}	{5}	2 {3}	{3}	92	150	60

(p 2) 프리즘적 [p,2], I₂(p) 계열(Dihedral_ph symmetric)

구의 치골 대칭은 구에 틸팅으로 존재하는 퇴행성 다면체, 프리즘, 반격의 두 세트의 무한한 집합과 퇴행성 다면체, 즉 호소헤드라와 디헤드라의 두 세트가 더 생성된다.

이면 대칭은 각 정점에서 거울을 세는 기본 삼각형(p 2 2)으로 표현된다. 또한 Coxeter 그룹 I₂(p) 또는 [n,2]와 프리즘형 Coxeter 다이어그램으로 나타낼 수 있다.

아래는 처음 5개의 이음 대칭이다: D₂ ... D₆. 이음 대칭 D는_p 순서가 4n이고, 2피라미드의 얼굴을 나타내며, 구에는 경도의 적도 선으로, n은 경도의 동일한 간격의 선으로 표시된다.

(2 2) 치측 대칭

정사각형 비피라미드(옥타헤드론)의 면에 보이는 8개의 기본 삼각형과 구면 위에 번갈아 색칠된 삼각형이 있다.

#	이름	사진	타일링	꼭지점 형상을 나타내다	콕시터 그리고 슐레플리 기호	위치별 면수			요소 개수
						포스2길 [2] (2)	양수1길 [2] (2)	양수 0 [2] (2)	얼굴	가장자리	정점
D2 H2	디지온 다이헤드론, 양말 양면체				{2,2}	{2}			2	2	2
D4	잘린 디지온 다이헤드론 (제곱 다이드론이라고 함)				t{2,2}={4,2}	{4}			2	4	4
P4 [7]	전분해성분해면체 (입방체로 표시됨)				t0,1,2{2,2}=tr{2,2}	{4}	{4}	{4}	6	12	8
A을2 [1]	스너브 디지온 다이헤드론 (사면체로 표시됨)				sr{2,2}		2 {3}		4	6	4

(3 2) D면_3h 대칭

육각형 bipyramid의 얼굴에서 볼 수 있는 12개의 기본 삼각형과 구체의 색상 삼각형이 있다.

#	이름	사진	타일링	꼭지점 형상을 나타내다	콕시터 그리고 슐레플리 기호	위치별 면수			요소 개수
						포스2길 [3] (2)	양수1길 [2] (3)	양수 0 [2] (3)	얼굴	가장자리	정점
D3	삼면체				{3,2}	{3}			2	3	3
H3	삼각음소헤드론				{2,3}			{2}	3	3	2
D6	잘린 삼면체 (6각형 다이헤드론으로 표시됨)				t{3,2}	{6}			2	6	6
P3	잘린 삼각형 호소헤드론 (삼각형 프리즘)				t{2,3}	{3}	{4}		5	9	6
P6	잡역삼면체 (헥사각 프리즘)				t0,1,2{2,3}=tr{2,3}	{6}	{4}	{4}	8	18	12
A을3 [2]	스너브 삼각 다이헤드론 (삼각형 항정신병증과 동일) (팔면체로 표시됨)				sr{2,3}	{3}	2 {3}		8	12	6
P3	캔틱 스누본 삼각 다이헤드론 (삼각형 프리즘)				s2{2,3}=t{2,3}				5	9	6

(4 2 2_4h) D 이음 대칭

팔각형 비피라미드의 면에 보이는 16개의 기본 삼각형과 구면상의 교대로 색칠된 삼각형이 있다.

#	이름	사진	타일링	꼭지점 형상을 나타내다	콕시터 그리고 슐레플리 기호	위치별 면수			요소 개수
						포스2길 [4] (2)	양수1길 [2] (4)	양수 0 [2] (4)	얼굴	가장자리	정점
D4	정방면체				{4,2}	{4}			2	4	4
H4	사각 양수면체				{2,4}			{2}	4	4	2
D8	잘린 정방면체 (팔각형 다이헤드론으로 표시됨)				t{4,2}	{8}			2	8	8
P4 [7]	잘린 사각 양수면체 (큐브)				t{2,4}	{4}	{4}		6	12	8
D8	잡동사방면체 (옥각 프리즘)				t0,1,2{2,4}=tr{2,4}	{8}	{4}	{4}	10	24	16
A을4	스너브 정방면체 (제곱 항정신병)				sr{2,4}	{4}	2 {3}		10	16	8
P4 [7]	캔틱 스너브 사각형 디헤드론 (큐브)				s2{4,2}=t{2,4}				6	12	8
A을2 [1]	스너브 사각 양수면체 (분해 항정신병) (테트라헤드론)				s{2,4}=sns{2,2}				4	6	4

(5 2) D_5h 이음 대칭

20개의 기본 삼각형이 있으며, 20개의 기본 삼각형이 구면 위에 있는 십각형 bipyramid와 교대로 색칠된 삼각형을 볼 수 있다.

#	이름	사진	타일링	꼭지점 형상을 나타내다	콕시터 그리고 슐레플리 기호	위치별 면수			요소 개수
						포스2길 [5] (2)	양수1길 [2] (5)	양수 0 [2] (5)	얼굴	가장자리	정점
D5	펜타곤 디헤드론				{5,2}	{5}			2	5	5
H5	오각형 호소헤드론				{2,5}			{2}	5	5	2
D10	잘린 오각형 다이드론 (decangular diheadron으로 표시됨)				t{5,2}	{10}			2	10	10
P5	잘린 오각형 호소헤드론 (오각 프리즘으로 표시됨)				t{2,5}	{5}	{4}		7	15	10
P10	옴니트룬 오각형 다이드론 (십각형 프리즘)				t0,1,2{2,5}=tr{2,5}	{10}	{4}	{4}	12	30	20
A을5	스너브 오각형 다이드론 (펜타곤 항정신병)				sr{2,5}	{5}	2 {3}		12	20	10
P5	캔틱 스너브 오각형 디헤드론 (펜타곤 프리즘)				s2{5,2}=t{2,5}				7	15	10

(6 2) D 이음_6h 대칭

24개의 기본 삼각형이 있는데, 도십각형 bipyramid의 얼굴에서 볼 수 있고 구상의 색 삼각형이 번갈아 나타난다.

#	이름	사진	타일링	꼭지점 형상을 나타내다	콕시터 그리고 슐레플리 기호	위치별 면수			요소 개수
						포스2길 [6] (2)	양수1길 [2] (6)	양수 0 [2] (6)	얼굴	가장자리	정점
D6	육각다이헤드론				{6,2}	{6}			2	6	6
H6	육각양수면체				{2,6}			{2}	6	6	2
D12	잘린 육각다이헤드론 (도각형 다이헤드론과 동일)				t{6,2}	{12}			2	12	12
H6	잘린 육각형 호소헤드론 (6각 프리즘으로 표시됨)				t{2,6}	{6}	{4}		8	18	12
P12	전각형 육각면체 (도각 프리즘)				t0,1,2{2,6}=tr{2,6}	{12}	{4}	{4}	14	36	24
A을6	스너브 육각 다이헤드론 (헥사각형 항정신병)				sr{2,6}	{6}	2 {3}		14	24	12
P3	통조림 육각 다이헤드론 (삼각형 프리즘)				= h2{6,2}=t{2,3}				5	9	6
P6	캔틱 스너브 육각 다이헤드론 (헥사각 프리즘)				s2{6,2}=t{2,6}				8	18	12
A을3 [2]	스너브 육각형 호소헤드론 (삼각형 항정신병증과 동일) (팔면체로 표시됨)				s{2,6}=sns{2,3}				8	12	6

와이토프 건설 사업자

작전	기호	콕시터 도표를 만들다	설명
부모	{p,q} t0{p,q}		일반 다면체 또는 타일링
수리됨(r)	r{p,q} t1{p,q}		가장자리가 한 점으로 완전히 잘려 있다. 다면체는 이제 부모와 이중의 결합된 얼굴을 가지고 있다. 폴리헤드라는 정육면체와 옥타헤드론 사이의 r{4,3}에 대한 큐보타헤드론처럼 두 가지 정규 형태의 면수에 의해 이름이 지어진다.
양방향(2r) (또한 이중)	2r{p,q} t2{p,q}		양방향(이중)은 원면이 포인트로 줄어들도록 더 잘린 것이다. 새로운 얼굴들은 각 부모 정점 아래에 형성된다. 가장자리 수는 변하지 않고 90도로 회전한다. 양방향화는 이중으로 볼 수 있다.
잘림(t)	t{p,q} t0,1{p,q}		각각의 원래 꼭지점이 잘려나가고, 새 얼굴이 그 틈을 메운다. 잘림에는 자유도가 있는데, 이것은 균일하게 잘린 다면체를 만드는 하나의 해결책이 있다. 다면체에는 원래 얼굴이 옆면이 두 배로 되어 있으며 이중의 얼굴을 포함하고 있다.
비트런드(2t) (또한 잘린 이중)	2t{p,q} t1,2{p,q}		비트러닝은 이중의 잘림이라고 볼 수 있다. 잘린 정육면체는 잘린 팔면체다.
알 수 있음(rr) (또한 확장됨)	rr{p,q}		정점 절단 외에도 각 원래 가장자리는 제자리에 새로운 직사각형 면이 나타나도록 배치된다. 균일하게 말하는 것은 부모 형태와 이중 형태 둘 다의 절반이다. 롬비-r{p,q}는 rr{4,3}의 rhombicuboctoctaheadron과 같이 발음되는 다면체로 명명된다.
캔티트런커트(tr) (또한 잡동사니)	tr{p,q} t0,1,2{p,q}		잘림과 통음 연산을 함께 적용하여 부모의 얼굴이 옆면이 2배, 이중의 얼굴이 옆면이 2배, 그리고 원래 가장자리가 있던 정사각형을 만드는 것이다.

교대 작업

작전	기호	콕시터 도표를 만들다	설명
스너브 정류됨(sr)	sr{p,q}		교대로 흐르지 않았다. 원래 얼굴들은 모두 반 정도의 면으로 끝나고, 사각형은 가장자리로 퇴보한다. 잡동사니 모양은 3면/버텍스를 가지기 때문에 새로운 삼각형이 형성된다. 일반적으로 이러한 대체된 전면 형태는 균일한 다면체로 다시 끝나기 위해 그 후에 약간 변형된다. 후자의 변동의 가능성은 자유의 정도에 달려 있다.
스너브(s)	s{p,2q}		교번 절단
캔틱 스너브(s2)	s2{p,2q}
교대식 통음(흐르)	hrrr{2p,2q}		균일한 기울기(무한 다면체), 교체에서만 가능 예를 들어,
절반 (h)	h{2p,q}		의 교대, 와 동일
캔틱(h2)	h2{2p,q}		와 같다
절반 정도 수리(시간)	hr{2p,2q}		균일한 기울기(무한 다면체)에서만 가능하며, 의 교대(또는 동일) 예를 들어, = 또는
분기(q)	q{2p,2q}		다음과 같은 균일한 기울기(무한 다면체)에서만 가능 예를 들어, = 또는

참고 항목

• 다면체
  • 정다면체
  • 퀘이레강 다면체
  • 반정형 다면체
• 균일한 다면체 목록
  • 정점 수치에 의한 균일한 다면체 목록
  • 와이트오프 기호에 의한 균일한 다면체 목록
  • 슈바르츠 삼각형의 획일적 다면체 목록
• 존슨 고형물 목록
• Wenninger 다면체 모델 목록
• 다면체 모형
• 균일 타일링
• 쌍곡면에서의 균일한 기울기
• 의사 통일 다면체
• 도형 목록

메모들

참조

• 브뤼크너, M. Vielekeke und Vielflache. 테오리와 게시히테.. 독일 라이프치히: 티브너, 1900년 [2]
• Coxeter, Harold Scott MacDonald; Longuet-Higgins, M. S.; Miller, J. C. P. (1954). "Uniform polyhedra" (PDF). Philosophical Transactions of the Royal Society A. 246 (916): 401–450. doi:10.1098/rsta.1954.0003. ISSN 0080-4614. JSTOR 91532. MR 0062446.
• Grünbaum, B. (1994), "Polyhedra with Hollow Faces", in Tibor Bisztriczky; Peter McMullen; Rolf Schneider; et al. (eds.), Proceedings of the NATO Advanced Study Institute on Polytopes: Abstract, Convex and Computational, Springer, pp. 43–70, doi:10.1007/978-94-011-0924-6_3, ISBN 978-94-010-4398-4
• McMullen, Peter; Schulte, Egon (2002), Abstract Regular Polytopes, Cambridge University Press
• Skilling, J. (1975). "The complete set of uniform polyhedra". Philosophical Transactions of the Royal Society of London. Series A. Mathematical and Physical Sciences. 278 (1278): 111–135. doi:10.1098/rsta.1975.0022. ISSN 0080-4614. JSTOR 74475. MR 0365333.
• Sopov, S. P. (1970). "A proof of the completeness on the list of elementary homogeneous polyhedra". Ukrainskiui Geometricheskiui Sbornik (8): 139–156. MR 0326550.
• Wenninger, Magnus (1974). Polyhedron Models. Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-09859-5.

외부 링크

• Weisstein, Eric W. "Uniform Polyhedron". MathWorld.
• 균일 폴리헤드라 균일 솔루션
• 균일 폴리헤드라
• 가상 폴리헤드라 균일 폴리헤드라
• 균일 다면체 갤러리
• 균일 다면체 - 울프램 수학월드 출신 전체 75의 시각적 차트가 있음

v t 치수 2-10의 기본 볼록형 일반 및 균일한 폴리토프
가족	A을n	Bn	I2(p) / Dn	E6 / E7 / E8 / F4 / G2	Hn
정규 다각형	삼각형	사각형	p-곤	육각형	펜타곤
균일다면체	사면체	옥타헤드론 • 큐브	데미큐브		도데카헤드론 • 이코사헤드론
균일 폴리초론	펜타코론	16-셀 • 테세락트	데미테세락트	24셀	120 셀 • 600 셀
제복5폴리토프	5와섹스	5정형 • 5정형	5데미큐브
제복6폴리토프	6-630x	6-정통 • 6-118	6데미큐브	122 • 221
제복7폴리토프	7시 15분	7정맥 • 7정맥	7데미큐브	132 • 231 • 321
제복8폴리토프	8시 15분	8정형 • 8정형	8데미큐브	142 • 241 • 421
제복9폴리토프	9시 15분	9-정통 • 9-11	9데미큐브
균일 10폴리토프	10센트짜리	10정형 • 10정형	10데미큐브
균일 n폴리토프	n-제곱스	n-직관 • n-직관	n-데미큐브	1k2 • 2k1 • k21	n-자갈 폴리토프
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