기본 도메인

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위상학적 공간과 그 위에 작용하는 그룹이 주어지면, 그룹 작용 아래의 단일 지점의 이미지는 작용의 궤도를 형성한다. 기본 영역 또는 기본 영역은 이러한 각 궤도에서 정확히 한 점을 포함하는 공간의 부분집합이다. 그것은 궤도를 대표하는 추상적인 집합의 기하학적 실현의 역할을 한다.

근본적인 영역을 선택하는 방법에는 여러 가지가 있다. 일반적으로, 기본 영역은 매끄러운 또는 다면적인 것과 같이 경계에 대한 일부 제한이 있는 연결된 하위 집합이어야 한다. 그룹 작업에서 선택한 기본 도메인의 이미지가 공간 타일을 그린다. 기본 도메인의 일반적인 한 구조는 보로노이 세포를 사용한다.

일반 정의에 대한 힌트

위상학적 공간 X에 대한 그룹 G의 작용이 동형성에 의해 주어질 때, 이 작용의 기본 영역은 궤도를 위한 대표들의 집합 D이다. 그것은 일반적으로 몇 가지 정밀하게 정의된 방법 중 하나로, 토폴로지적으로 꽤 괜찮은 세트가 되어야 한다. 대표적인 조건 중 하나는 D가 X에 대한 특정 (준)invariant 측정치에 대해 측정치가 0인 X에 있는 오픈 세트의 대칭적 차이라는 점에서 D는 거의 오픈 세트라는 것이다. 기본 도메인은 항상 무료 일반 세트 U, G에 의해 분리된 복사본으로 이동된 오픈 세트, 그리고 궤도를 나타내는 데 있어서 거의 D와 같은 성능을 가지고 있다. 자주 D는 약간의 반복이 있는 완전한 코제트 대표자 집합이어야 하지만, 반복된 부분은 측정치가 0이다. 이것은 에고다이즘의 전형적인 상황이다. X/G에서 적분을 계산하기 위해 기본 도메인을 사용하는 경우, 측정값 0 집합은 문제가 되지 않는다.

예를 들어, X가 차원 n의 유클리드 공간ⁿ R이고, G가 번역에 의해 작용하는 격자ⁿ Z일 때, X/G의 몫은 n차원 토러스다. 여기서 기본 영역 D는 측정값 0의 집합에 의해 열린 집합(0,ⁿ1)과 다른 [0,ⁿ1) 또는 닫힌 단위 큐브[0,1]ⁿ로, 경계가 D에 둘 이상의 대표성을 갖는 점으로 구성된다.

예

3차원 유클리드 공간 R의³ 예.

• n-폴드 회전: 궤도는 축을 중심으로 한 n개의 점 집합 또는 축의 단일 점 중 하나이며, 기본 영역은 섹터
• 평면에 반사하기 위해: 궤도는 평면의 각 측면에 하나씩 있는 2개의 점 또는 평면의 단일 점으로 이루어진 것이다; 기본 영역은 그 평면에 의해 경계된 반공간이다.
• 점에서의 반사를 위해: 궤도는 중앙의 각 면에 하나씩 2개의 점으로 이루어진 집합이다. 한 개의 궤도를 제외하고, 중심만을 구성하며, 기본 영역은 중심을 통과하는 평면에 의해 경계된 반공간이다.
• 선에 대해 180° 회전하는 경우: 궤도는 축에 대해 서로 반대되는 2개의 점 또는 축의 단일 점 중 하나이며, 기본 영역은 선을 통과하는 평면에 의해 경계된 반공간이다.
• 한 방향으로의 이산 변환 대칭: 궤도는 변환 벡터 방향으로 1D 격자의 번역이다; 기본 영역은 무한 슬래브다.
• 두 방향의 이산 변환 대칭에 대해: 궤도는 변환 벡터를 통해 평면에서 2D 격자로 번역된다; 기본 영역은 평행사변형 단면을 가진 무한 막대이다.
• 세 방향의 이산적 변환 대칭: 궤도는 격자의 번역이다; 기본 영역은 예를 들어 평행인 원시 세포 또는 보로노이 셀/다이아그램이라고도 불리는 위그너-세이츠 셀이다.

다른 대칭과 결합된 변환 대칭의 경우, 기본 영역은 원시 세포의 일부분이다. 예를 들어 벽지 그룹의 경우 기본 도메인은 원시 세포보다 작은 인자 1, 2, 3, 4, 6, 8 또는 12이다.

모듈 그룹의 기본 도메인

오른쪽의 도표는 상부 하프 평면 H에 있는 모듈형 그룹 γ의 작용을 위한 기본 영역 구성의 일부를 보여준다.

이 유명한 도표는 모듈 기능에 관한 모든 고전 서적에 등장한다. (C에게 잘 알려졌을 것이다. F. 가우스, 2차적 형태의 축소이론을 가장하여 근본적인 영역을 다루었다.) 여기서 각 삼각형 영역(파란색 선으로 경계)은 H에 대한 of의 작용의 자유 정규 집합이다. 경계(파란색 선)는 자유 정규 세트의 일부가 아니다. H/NATION의 기본 영역을 구축하기 위해서는 경계에서 포인트를 할당하는 방법도 고려해야 하며, 그러한 점을 이중으로 세지 않도록 주의해야 한다. 따라서 이 예에서 자유 정규 집합은 다음과 같다.

${\displaystyle U=\좌측\{z\in H:\좌측 z\우측 >1,\\\,\좌측 \,{\mbox{Re}(z)\,\우측 <{\frac {1}{1}{2}}\우측\}.}$

기본 영역은 왼쪽의 경계와 가운데의 점을 포함하여 아래쪽의 호 반을 추가함으로써 구축된다.

${\displaystyle D=U\cup \left\{z\in H:\left z\right \geq 1,\,{\mbox{Re}}(z)={\frac {-1}{2}}\right\}\cup \left\{z\in H:\left z\right =1,\,{\frac {-1}{2}}<{\mbox{Re}}(z)\leq 0\right\}.}$

기본 영역의 일부로 포함할 경계의 포인트가 임의로 선택되며, 작성자마다 다르다.

기본 도메인을 정의하는 핵심 난이도는 se 당 집합의 정의가 아니라, 도메인의 경계에 있는 극과 0으로 기능을 통합할 때, 기본 영역에 걸친 통합을 처리하는 방법에 있다.

참고 항목

• 프리 레귤러 세트
• 기본 다각형
• 브릴루인 구역
• 기본 주기 쌍
• 피터슨 이너 제품
• 쿠스프 근린

외부 링크

• Weisstein, Eric W. "Fundamental domain". MathWorld.