바람개비 타일링

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기하학에서, 바람개비 기울기는 찰스 라딘에 의해 정의되고 존 콘웨이로 인한 구조에 기초하는 비주기적 기울기이다. 그것들은 각각의 타일이 무한히 많은 방향으로 나타나는 특성을 가진 것으로 알려진 최초의 비주기적 기울기이다.

콘웨이 테셀레이션

$T{\displaystyle }$ ${\displaystyle T}$을(를) $측면{\displaystyle \mathrm{}}$ 길이 1 ${\displaystyle 1$ 2 ${\displaystyle 2}$ $및{\displaystyle \sqrt{\mathrm{}}}$ $5$ ${\$의 삼각형으로 하자$$$.$ Conway는 $T{\displaystyle \mathrm{}}$$$${\$ 1$/{sqrt{5}}}$의 확장에 의해 이미지의 등축 복사본 5개로 나눌$$ 수 있다는 것을 알아차렸다.$$.

이 작업은 적절히 재스케일링하고 번역/$회전함$으로써$$T {\$displaystyle$T}의 등축 복사본으로 이루어진 삼각형 성장 시퀀스를 무한히 증가시키기 위해 반복될 수 있다$.$ $이{\displaystyle }$ 모든 삼각형의 결합은 T ${\displaystyle T}$의 등축 복사본에 의해 평면 전체의 타일링을 산출한다$.$

In this tiling, isometric copies of ${\displaystyle T}$ appear in infinitely many orientations (this is due to the angles ${\displaystyle \arctan(1/2)}$ and ${\displaystyle \arctan(2)}$ of ${\displaystyle T}$, both non-commensurable with ${\displaystyle \pi }$). 그럼에도 불구하고 모든 정점들은 합리적인 좌표를 가지고 있다.

바람개비가 기울다.

라딘은 위와 같은 콘웨이 구조에 의지하여 바람개비 기울기를 정의했다. 형식적으로, 바람개비 기울기는 타일이 $T{\displaystyle }$ ${\displaystyle T$}의 등축 복사본인 틸팅으로$,$ 타일은 $전체{\displaystyle \mathrm{}}$ 측면 또는 절반 길이의 2 ${\displaystyle 2}$ 면에서만$$ 다른 타일을 교차할 수 있으며, 다음과 같은 속성이 유지되도록 한다. 어떤 바람개비 타일링 $P{\displaystyle }$ ${\$$displaystyle P}$을(를$)$ 감안할 때, 각$$ 타일이 콘웨이 시공 후 5개로 분할되고 그 결과가 인자 $5{\displaystyle \sqrt{\mathrm{}}}$ ${\$에 의해 확장되면$,$ $모든{\displaystyle }$ 핀의 타일 $P{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyty P}$과 동일하다는 것을 의미한다$.$힐 틸팅은 5개의 세트로 묶어서 동음이의 타일로 만들 수 있으며, 이 동음이의 타일이 새로운 바람개비 타일을 형성(재스케일링)할 수 있다.

콘웨이에 의해 만들어진 타일링은 바람개비 타일링이지만, 헤아릴 수 없이 많은 다른 바람개비 타일링들이 있다. 그들은 모두 국소적으로 구별되지 않는다(즉, 그들은 동일한 유한한 패치를 가지고 있다. 그들은 모두 기와가 무한히 많은 방향으로 나타나는 속성을 콘웨이 타일링과 공유한다(그리고 정점에는 합리적인 좌표가 있다).

라딘에 의해 증명된 주요 결과는 소위 프로토타일들의 유한한 집합(매우 크긴 하지만)이 있다는 것이며, 각 $집합$은 T ${\displaystyle T$의 옆면을 색칠하여 얻음으로써 핀휠 기울기가 정확히 이들 프로토타일의 등축 복사본에 의해 평면의 기울임이며, 두 복사본이 교차할 때마다 그 조건이 된다. 한 점, 그들은 이 점에서 같은 색깔을 가지고 있다.^[1] 상징 역학 측면에서, 이것은 바람개비 기울기가 소픽 하위 교대를 형성한다는 것을 의미한다.

일반화

라딘과 콘웨이는 쿼콰버설 타일링으로 불렸던 3차원 아날로그를 제안했다.^[2] 원래 생각의 다른 변형과 일반화가 있다.^[3]

콘웨이 공사에 이어 $T{\displaystyle }$ ${\displaystyle T}$를 반복적으로 5개의 등축 카피로$$ 나누고 중간 삼각형(add infinitum)을 버림으로써 프랙탈을 얻는다. 이 "핀휠 프랙탈"은 Hausdorff 치수 $d{\displaystyle }$= ${\displaystyle \frac{\ln }{}}$ 4 ${\displaystyle \frac{\ln }{}}$ ${\displaystyle \frac{}{}}$ ${\displaystyle \frac{5\sqrt{\mathrm{}}}{}}$ ${\displaystyle \frac{\approx }{}}$ ${\displaystyle 1.7227}$ ${\displaystyle d={\frac {\ln 4}{\ln {\sqrt{5}}}}}\$ln {\sqrt{5}}}}}}\ 약$1.7227}$을 갖는다$.$

아키텍처에서 사용

호주 멜버른의 빌딩 단지인 페더레이션 스퀘어는 바람개비 타일링이 특징이다. 프로젝트에서 타일링 패턴은 전면의 구조 서브프레임을 제작하기 위해 사용되며, 공장에서 외부로 파사드가 제작되고 나중에 파사드를 형성하기 위해 세워질 수 있다. 바람개비 타일링 시스템은 아연, 구멍이 뚫린 아연, 사암 또는 유리(일명 타일)로 구성된 단일 삼각 원소를 바탕으로 알루미늄 프레임에 다른 4개의 유사 타일과 결합해 '패널'을 형성했다. 아연도금된 강철 프레임에 5개의 패널을 부착하여 "메가 패널"을 형성하고, 이 패널은 전면 지지 프레임에 게양되었다. 타일의 회전 포지셔닝은 구조 과정이 사전 조립과 반복에 기초함에도 불구하고 보다 랜덤하고 불확실한 구성 품질을 제공한다. 동일한 바람개비 타일링 시스템이 페더레이션 스퀘어의 "아트리움"에 대한 구조 프레임과 유리창 개발에 사용되지만, 이 경우, 핀휠 그리드는 포털 프레임 구조를 형성하기 위해 "3차원"으로 만들어졌다.

참조

외부 링크

• 틸링스 백과사전의 바람개비
• GeoGebra에서 제작된 동적 바람개비