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황금비율

Golden ratio
황금비율(φ)
two line segments of lengths a and b in the golden ratio: a + b is to a as a is to b
표현
십진법1.618033988749894...[1]
대수적 형태
연속분수
긴 변 a와 짧은 b(빨강, 오른쪽 음영)를 가진 황금 직사각형과 긴 변 a(파랑, 왼쪽 음영)를 가진 정사각형이 합쳐져서 변 a + b짧은a를 가진 비슷한 황금 직사각형을 만듭니다. 이것은 a + b/a = a/b = φ 관계를 나타냅니다.

수학에서 두 양의 비율이 두 양 중 큰 양에 대한 양의 합의 비율과 같으면 황금 비율에 해당합니다. 대수적으로 표현하면, > > 0 > > 0display a > b 0의 을 갖는 b입니다

여기서 그리스 문자 phiφ {\displaystyle\ 또는 ϕ {\displaystyle \phi})는 황금 비율을 나타냅니다. 상수φ {\displaystyle\varphi }는 방정식φ 2 = φ + 1 {\displaystyle \varphi ^{2} =\varphi +1}을 만족하며 다음 값을 갖는 무리수입니다.

1.618033988749....

황금비율은 유클리드과 극 비율, 루카 [2]파치올리가 신성 비율이라고 불렀고,[3] 다른 이름들도 여러 개 있습니다.[b]

수학자들은 고대부터 황금비의 성질을 연구해 왔습니다. 이것은 정 오각형의 대각선과 그 변의 비율이고 따라서 정십이면체정십이면체구성에 나타납니다.[7] 가로 세로 \varphi}인 황금 직사각형, 즉 가로 세로 비율이 displaystyle \varphi}인 직사각형을 가로 세로 비율이 동일한 정사각형과 더 작은 직사각형으로 자를 수 있습니다. 황금 비율은 데이터에 대한 불확실한 적합성을 기반으로 금융 시장과 같은 자연물 및 인공 시스템의 비율을 분석하는 데 사용되었습니다.[8] 황금 비율은 과 식물의 다른 부분의 나선형 배열을 포함하여 자연의 일부 패턴에서 나타납니다.

르 코르뷔지에살바도르 달리를 포함한 일부 20세기 예술가건축가들은 그들의 작품이 대략적인 황금 비율에 비례한다고 믿었습니다. 이러한 용도는 종종 황금 직사각형 형태로 나타납니다.

계산

두 가지 황금 비율φ {\displaystyle\varphi}인 경우

φ \varphi}의 닫힌 형식을 찾는 한 가지 방법은 왼쪽 분수부터 시작합니다. 분수를 단순화하고 b/ = /φ {\displaystyle b / a = 1/\varphi}를 대입하면,

그러므로,

φ{\\varphi}을(를) 곱하면 다음과 같습니다.

로 재배열할 수 있는

2차 공식은 다음과 같은 두 가지 해를 산출합니다.

+ = 1+{\}}=1.} 및 - 52 = -0.618033 … {\displaystyle {\frac {1-{\sqrt {}}{2}}=-0.33\dots.}

φ{\varphi}은(는) 양의 양 사이의 비율이므로 φ {\displaystyle \varphi}은(는) 양의 루트입니다. 음의 근은 사실 황금 비율과 많은 특성을 공유하는 음의 역- φ {\ {varphi입니다.

역사

마리오 리비오에 의하면

고대 그리스피타고라스유클리드부터 중세 이탈리아 수학자 피사의 레오나르도, 르네상스 천문학자 요하네스 케플러에 이르기까지 옥스포드 물리학자 로저 펜로즈와 같은 오늘날의 과학자들까지 모든 시대의 가장 위대한 수학자들 중 일부는 이 단순한 비율과 그 속성을 놓고 끝없는 시간을 보냈습니다... 생물학자, 예술가, 음악가, 역사가, 건축가, 심리학자, 심지어 신비주의자들도 그것의 보편성과 매력의 근거에 대해 곰곰이 생각하고 토론했습니다. 사실, 황금비율은 수학 역사상 다른 어떤 숫자도 아닌 모든 학문의 사상가들에게 영감을 주었다고 말할 수 있습니다.[11]

The Golden Ratio: The Story of Phi, the World's Most Astonishing Number

고대 그리스 수학자들은 금빛 비율이 기하학에 자주 등장하기 때문에 처음으로 연구했습니다;[12] 한 선을 "극한 비율과 평균 비율"로 나누는 것은 규칙적인 오각형오각형의 기하학에서 중요합니다.[13] 기원전 5세기 수학자 히파수스는 황금비가 정수도 분수도 아니라는 사실을 밝혀내 피타고라스 사람들을 놀라게 했다고 합니다.[14] Euclid's Elements (기원전 300년경)는 황금비를 사용하는 몇 가지 명제와 그 증명을 제공하며,[15][c] 다음과 같이 진행되는 최초의 알려진 정의를 포함합니다.[16]

직선은 전체 선이 더 큰 세그먼트에 있을 때 극단적이고 평균적인 비율로 절단되었다고 합니다. 그리고 더 큰 세그먼트에 있을 때 더 작은 세그먼트에 대해서도 마찬가지입니다.[17][d]

마이클 마에슬린(Michael Maestlin), 이 비율의 십진법 근사를 최초로 쓴 사람

황금 비율은 다음 천년에 걸쳐 주변적으로 연구되었습니다. 아부 카밀 (850–930년경)은 오각형과 십각형의 기하학적 계산에 그것을 사용했습니다; 그의 글은 관련 기하학 문제에서 비율을 사용했지만 그것이 피보나치 수와 연결되어 있다는 것을 관찰하지 못한 피보나치 (1170–1250년경)의 글에 영향을 미쳤습니다.[19]

루카 파치올리(Luca Pacioli)는 그의 책을 비율을 따서 디비나 비례라고 이름 지었습니다; 피에로 델라 프란체스카(Piero della Francesca)의 대부분을 표절한 이 책은 플라톤 고체의 일부에 나타나는 것을 포함하여 그 속성을 탐구했습니다.[20][21] Pacioli의 책을 설명한 Leonardo da Vinci는 이 비율을 aurea ('황금 섹션')[22]이라고 불렀습니다. 흔히 파치올리가 즐겁고 조화로운 비율을 산출하기 위한 황금 비율의 적용을 옹호했다고 하지만, 리비오는 이 해석이 1799년의 오류로 추적되고 있으며, 파치올리가 실제로 유리 비율의 비트루비우스 체계를 옹호했다고 지적합니다.[23] 파치올리는 또한 그 비율에서 가톨릭의 종교적 중요성을 보았고, 이것이 그의 작품의 제목으로 이어졌습니다. 라파엘 봄벨리와 같은 16세기 수학자들은 이 비율을 사용하여 기하 문제를 풀었습니다.[24]

독일 수학자 시몬 야코프(Simon Jacob, 1564년경)는 연속적인 피보나치 수들이 황금 비율로 수렴한다는 것에 주목했습니다;[25] 이것은 1608년 요하네스 케플러에 의해 재발견되었습니다.[26] 1597년 튀빙겐 대학마이클 마에슬린이 케플러에게 보낸 편지에서 처음 알려진 십진법의 근사치는 "약 0 이라고 말했습니다.[27] 같은 해, 케플러는 황금비와 피타고라스 정리를 결합한 케플러 삼각형의 마에슬린에게 편지를 썼습니다. 케플러는 다음과 같이 말했습니다.

기하학에는 두 가지 위대한 보물이 있습니다: 하나는 피타고라스의 정리이고, 다른 하나는 한 선을 극한과 평균 비율로 나누는 것입니다. 첫 번째는 금 덩어리에 비유할 수 있고, 두 번째는 귀중한 보석이라고 부를 수 있습니다.[28]

18세기 수학자 아브라함모이브르, 니콜라오스 1세 베르누이, 레온하르트 오일러는 피보나치 수열의 위치를 기반으로 하여 피보나치 수열의 값을 구하는 황금비 기반 공식을 사용했습니다. 1843년 자크 필리프 마리 비네에 의해 재발견되었고, 그 때문에 비네 공식으로 명명되었습니다.[29] 마르틴 옴은 1835년에 독일어로 황금률을 설명하기 위해 슈니트('황금 구간')라는 용어를 처음 사용했습니다.[30] James Sully는 1875년에 그에 상응하는 영어 용어를 사용했습니다.[31]

1910년까지 발명가 Mark Barr는 황금 비율의 상징으로 그리스 문자 phi (φ\varphi})를 사용하기 시작했습니다. 고대 그리스 τομ ή('컷' 또는 '섹션')의 첫 글자인 타우τ {\displaystyle \tau})로 표현되기도 했습니다.

Dan ShechtmanZometoy 모델을 사용하여 1985년 NIST에서 준결정을 시연했습니다.

1960년대 후반 스티브 베어가 개발한 줌 구성 체계는 정이십면체/십면체대칭 체계를 기반으로 하며, 황금 비율을 편재적으로 사용합니다. 1973년과 1974년 사이에 로저 펜로즈는 두 마름모 타일의 면적 비율과 패턴 내 상대적 빈도 모두에서 황금 비율과 관련된 패턴인 펜로즈 타일을 개발했습니다.[36] 이는 1982년 댄 셰흐트만이 20면체 대칭을 갖는 준결정을 노벨상으로 발견한 후 관심을 끌었고, 이는 곧 펜로즈 타일과의 유사성을 통해 설명되었습니다.[37]

수학

비합리성

황금 비율은 무리수입니다. 다음은 불합리성에 대한 두 가지 짧은 증명입니다.

가장 낮은 항으로 표현된 식으로부터의 모순

φ이 유리수라면, 이는 변의 정수가 있는 직사각형(전체 다이어그램을 포함하는 직사각형)의 변의 비율입니다. 그러나 사각형을 삭제하여 얻은 작은 직사각형(그림에서 가장 오른쪽 부분)의 정수 변의 비율이기도 합니다. 정사각형을 삭제하여 형성된 정수 변의 길이가 감소하는 순서는 양의 정수가 하한을 가지므로 φ이 유리할 수 없기 때문에 무한히 계속될 수 없습니다.

다음 사항을 기억하십시오.

전체는 긴 부분에 짧은 부분을 더한 것입니다.
전체는 긴 부분이 짧은 부분이 더 긴 부분이 더 긴 것입니다.

전체 이라고 하고 더 긴 m을{\ m이라고 하면 위의 두 번째 문장은

(가) - 이므로 n (는) 입니다

황금 비율φ {\\varphi}이(가) 유리수라는 φdisplaystyle \varphi}이가) n / n}이고 {\displaystyle n}과 m {\displaystyle m}이(가) 정수임을 의미합니다. / 가장 낮은 항이고 n m은 양수일 수 있습니다. 그러나 / n(가) 가장 낮은 항인 경우 동일한 의 m/(- ) m / n - m 이(가) 더 낮은 항입니다. 이는φ {\displaystyle\varphi}이(가) 유리수라는 가정에서 오는 모순입니다.

5의 비합리성에 의해서

황금 비율의 비합리성에 대한 또 다른 짧은 증거는 덧셈과 곱셈에 따른 유리수의 폐쇄성을 이용합니다. φ = (+ 5) {\ \varphi ={\tfrac {1}{2}}(1+{\sqrt {5}})가 유리수이면, 2 φ - 1 = 5 {\displaystyle 2\varphi -1={\sqrt {5}}도 유리수이므로, 모든 비제곱 자연수의 제곱근이 무리수라는 것이 이미 알려진 경우 모순입니다.

최소 다항식

황금비 φ와 그것의 음의 역수 - φ은 2차 다항식 x - x - 1의 두 근입니다. 2차 다항식 x + x - 1의 두 근은 황금비의 음수 - φ과 역수 φ입니다.

황금 비율은 대수적인 숫자이자 심지어 대수적인 정수이기도 합니다. 최소 다항식을 갖습니다.

2차 다항식은φ {\displaystyle\-φ - 1. -\varphi^{-1}의 두 근을 가지고 있습니다.

황금비 또한 다항식과 밀접한 관련이 있습니다.

-φ - φ - 1.varphi ^{-1}} 2차 다항식의 근으로서, 황금비는 구성 가능수이다.

황금비율 공액과 거듭제곱

최소 다항식 - - 1 x대한 공역근은

이 수량의 절대값( 은 역순으로 취한 길이 비율(긴 세그먼트 길이에 비해 짧은 세그먼트 , b/ b에 해당합니다.

이것은 양수 중 황금비의 독특한 성질을 보여줍니다.

또는 그 역:

공액과 정의된 이차 다항식 관계는φ {\displaystyle\varphi}와 공통된 분수 부분을 갖는 소수 값으로 이어집니다.

φ{\displaystyle \varphi}의 거듭제곱 에는 0…, 0\ldots,} 1.0, {\displaystyle 1.0,} 1.618033 …, {\displaystyle 1.618033\ldots,} 2.618033 …; 보다 일반적으로, φ{\displaystyle \varphi}의 모든 전력은 바로 앞에 있는 두 전력의 합과 같습니다.

{\displaystyle\varphi}φ의 어떤 거듭제곱도 displaystyle \varphi}φ의 배수와 상수로 쉽게 분해할 수 있습니다. 배수와 상수는 항상 인접한 피보나치 수이다. 이는φ {\displaystylevarphi}의 또 다른 긍정적인 기능으로 이어집니다.

/ - 1 ⌋ = m, {\displaystyle \lfloor n/2-1\rfloor = m,}인 경우:

연속분수와 제곱근

유한한 연속 분수에 의한 역수 황금비에 대한 근사치 또는 피보나치 수의 비율

공식 φ =1 + / φ {\displaystyle \varphi = 1+1/\varphi }을(를) 재귀적으로 확장하여 황금 비율에 대한 연속 분수를 얻을 수 있습니다.

이것은 사실 연속 분수의 가장 단순한 형태이며, 그 역수 형태와 함께 다음과 같습니다.

The convergents of these continued fractions ( ... or ...) are ratios of successive Fibonacci numbers. 연속적인 분수에서 일관되게 작은 항들은 근사치들이 왜 그렇게 느리게 수렴하는지를 설명합니다. 이것은 황금비를 디오판토스 근사에 대한 후르비츠 부등식의 극단적인 경우로 만들 수 있는데, 모든 무리수ξ\xi}에 대하여, 다음과 같은 무한히 많은 별개의p / qp/q}가 존재한다는 것을 의미합니다.

즉, 황금 비율을 제외하지 않고 상수 을(를) 개선할 수 없습니다. 사실, 그러한 라그랑주 수들의 근사치를 더 가깝게 생성하기 위해 제외되어야 하는 것은 가장 작은 수이다.[40]

φ{\ \varphi}에 대한 연속 제곱근 형태φ 2 = 1 + φ {\displaystyle \varphi^{2}=1+\varphi}에서 얻을 수 있으며, 다음과 같은 결과를 얻을 수 있습니다.

피보나치와 루카스 수와의 관계

피보나치 시퀀스 정사각형 크기를 최대 21까지 사용하여 황금 나선에 근접하는 피보나치 나선(위). 한 변의 길이가 루카스 수열(여기서는 76까지)에 속하는 숫자인 정사각형을 쌓는 것과는 다른 황금 나선에 대한 근사치가 생성됩니다(아래).

피보나치 수루카스 수는 황금 비율과 복잡한 관계를 가지고 있습니다. 피보나치 시퀀스에서 각 숫자는 기본 시퀀스 1 부터 시작하여 앞의 두 숫자의 합과 동일합니다

OEIS: A000045).

루카스 수열은 피보나치 수열과 같으며, 각 항은 앞의 두의 합이지만 대신 2로 시작합니다

(OEIS: A000032).

예외적으로 황금 비율은 피보나치 수열과 루카스 수열의 연속항 비율의 한계와 같습니다.[42]

즉, 피보나치와 루카스 수를 수열에서 바로 앞에 있는 수열로 나누면 몫은φdisplaystyle \varphi}와 근사합니다.

예를 들어, F = = …, {F_F_}}={\{987}{610}}= 1.6180327\ldots,} 그리고 L 16 L 15 = 2207 1364 = 1.6180351 … {\displaystyle {\frac {L_{16}}{L_{15}}= {\frac {2207}{1364}}= 1.6180351\ldots.}

이러한 근사값은φ, \varphi,}보다 낮거나 높고 피보나치 및 루카스 수가 증가함에 따라 φ {\displaystyle \varphi}로됩니다.

황금 비율을 포함하는 피보나치 및 루카스 시퀀스에 대한 닫힌 형식 표현식은 다음과 같습니다.

위의 두 공식을 결합하면 피보나치와 루카스 수를 모두 포함하는φ n n}}의 공식을 얻을 수 있습니다.

피보나치와 루카스 수 사이에서 L2 = F +(- 1) n = 2 - 2 ( - ) n, {\displaystyle L_{2n} = 를 추론할 수 있습니다.}는 피보나치 수에 의해 루카스 수의 몫의 극한을 5의 제곱근과 동일하게 표현하기 위해 단순화됩니다.

실제로 훨씬 더 강력한 진술이 사실입니다.

이 값은φ {\displaystyle\varphi}을 대수적 Q) sqrt{5}}의 기본 단위로 설명합니다.

황금 비율의 연속적인 거듭제곱은 피보나치 재발, 즉φ n + 1 =φ + φ n - 1을 따릅니다. \varphi^{n+1}=\varphi^{n}+\varphi^{n-1}}

선형식으로의 축소는 다음을 사용하여 한 단계로 수행할 수 있습니다.

ID를 사용하면φ {\displaystyle\varphi}의 다항식을 다음과 같이 선형 식으로 줄일 수 있습니다.

연속적인 피보나치 수를 사용하여 황금비에 대한 유사한 공식을 얻을 수도 있습니다. 여기서 무한 합산을 통해 다음과 같은 공식을 얻을 수 있습니다.

특히φ {\displaystyle\varphi} 자체의 전원은 루카스 번호로 반올림합니다(처음 두인 φ 0 {\displaystyle\^{0}} 및 φdisplaystyle \varphi } 순서는 역순입니다).

이러쿵저러쿵.[43] Lucas 숫자는 황금 비율의 거듭제곱을 직접 생성합니다. ≥ 2 {\ngeq 2}의 경우:

황금 비율과의 상호 연결 관계에 뿌리를 두고 있는 것은 번째 연속 피보나치 수의 합이 수와 같다는 개념으로, 즉 L n = - +F n + 1 {\displaystyle L_{n} = F_{n-1} + F_{n+1}}; 그리고 중요한 것은, = F {\displaystyle L_{n} = {\frac {F_{2n}} {F_{n}}}.

피보나치 수열과 루카스 수열은 모두 이 수열에서 반지름이 있는 1/4원을 사용하여 대략적인 형태의 황금 나선(로그 나선의 특별한 형태)을 생성하는 데 사용될 수 있으며, 실제 황금 로그 나선과는 약간 다릅니다. 피보나치 나선은 일반적으로 피보나치 수열 사각형과 4분의 1 원을 사용하여 황금 나선에 근사하는 나선에 사용되는 용어입니다.

기하학.

황금 비율은 기하학에서 두드러집니다. 예를 들어, 오각형의 내부 대칭에 본질적으로 관여하며, 확장되어 정십이면체의 꼭짓점과 5셀의 좌표의 일부를 형성합니다. 케플러 삼각형펜로즈 타일링뿐만 아니라 다양한 다른 다지형에도 특징이 있습니다.

시공

선분을 황금 비율에 따라 내부 분할(위) 및 외부 분할(아래)로 분할합니다.

인테리어부문별분할

  1. Having a line segment construct a perpendicular at point with half the length of Draw the hypotenuse
  2. 중심 반지름 }가 있는 호를 그립니다 호는 D 에서 AC {\) 교차합니다. {\displaystyle
  3. 중심 반지름 }가 있는 호를 그립니다 This arc intersects the original line segment at point Point divides the original line segment into line segments and with lengths in the golden ratio.

외부부문별구분

  1. 선 세그먼트 그리고 에 수직이고 와 길이가 같은 세그먼트 displaystyle S}에서 구성합니다
  2. 선분 M로 이등분합니다.
  3. A circular arc around with radius intersects in point the straight line through points and (also known as the extension of ). 구성된 세그먼트 와 구성된 SB {\displaystyle SB의 비율이 황금 비율입니다.

변의 길이가 주어진 펜타곤, 원의 길이가 주어진 데카곤, 변의 길이가 주어진 데카곤 기사에서 응용 예를 볼 수 있습니다.

위에 표시된 두 가지 다른 알고리즘은 두 개의 정렬된 선분을 결정하는 기하학적 구조를 생성하며, 여기서 긴 선분과 짧은 선분의 비율은 황금 비율입니다.

골든앵글

g ≈ 137.508°

완전한 원을 만드는 두 개의 각도가 황금 비율로 측정값을 가질 때, 작은 것을 황금 각도라고 하며, 측정값 g입니다.

이 각도는 식물 줄기 주변의 잎싹의 최적 간격으로 식물 성장 패턴에서 발생하여 연속적인 잎이 그 아래의 잎에서 햇빛을 차단하지 않습니다.[44]

오각대칭계

오각형과 오각형
다른 길이의 선분을 구별하기 위해 색을 칠한 펜타그램입니다. 네 개의 길이는 서로 황금 비율입니다.

일반 오각형에서 한 변에 대한 대각선의 비율은 황금 비율이고, 대각선의 단면은 황금 비율입니다. 정 오각형의 황금비 특성은 꼭짓점 중 하나를 제거하여 형성된 사각형에 프톨레마이오스 정리를 적용하여 확인할 수 있습니다. 사각형의 긴 모서리와 대각선이 이고 짧은 모서리가 이면 Ptolemy의 정리는 = +를 제공합니다. {\displaystyle a^{2} = b^{2}+ab.} 양변을 수율로 나누면(위의 § 계산 참조),

오각형의 대각선 부분은 오각형 또는 오각형 별 다각형을 이루며, 기하학은 기본적으로φ displaystyle\varphi}로 설명됩니다. 주로, 모서리의 각 교차점은 황금 비율의 다른 모서리를 분할합니다. 두 개의 교차하는 모서리(즉, 오각형의 중앙에 있는 거꾸로 된 오각형의 한 변)에 의해 경계지어지는 세그먼트에 대한 짧은 세그먼트의 길이의 비율은 4색 그림과 같이φ, \varphi,}입니다.

오각형 및 오각형 기하학을 사용하면φ {\displaystylevarphi}에 대해 다음 값을 계산할 수 있습니다.

황금삼각형과 황금그노몬
황금 삼각형 ABC는 각도 이등분선에 의해 더 작은 황금 삼각형 CXB와 황금 그노몬 XAC로 세분될 수 있습니다.

두 개의 대각선과 정 오각형의 한 변이 이루는 삼각형을 금삼각형 또는 숭고삼각형이라고 합니다. 꼭지점각 36°, 밑각 72°[45]의 예각 이등변 삼각형입니다. 동등한 두 측면은 바닥 대비 황금 비율입니다.[46] 두 변과 정 오각형의 대각선이 이루는 삼각형을 황금 그노몬이라고 합니다. 꼭지점 각도 108°, 베이스 각도 36°의 둔각 이등변 삼각형입니다. 베이스는 동일한 두 측면에 대한 황금 비율입니다.[46] 따라서 오각형은 두 개의 황금 노몬과 중앙 황금 삼각형으로 세분될 수 있습니다. 일반 오각형의 다섯 점은 황금 삼각형이고,[46] 일반 십각형의 꼭짓점을 중심점에 연결하여 형성된 열 개의 삼각형도 마찬가지입니다.[47]

황금 삼각형의 밑각 중 하나를 이등분하면 더 작은 황금 삼각형과 황금 그노몬으로 세분됩니다. 마찬가지로 예각 이등변삼각형은 유사삼각형과 둔각 이등변삼각형으로 나눌 수 있지만, 이등변삼각형은 이등변삼각형 중 유일하게 밑각이 꼭지점각의 두 배이기 때문에 이등변삼각형에 의해 이등변삼각형이 분할됩니다. 황금 삼각형의 각도 이등분선은 황금 비율로 만나는 면을 세분화하고, 세분화된 두 조각의 면적도 황금 비율에 있습니다.[46]

황금그노몬의 꼭짓점 각도를 삼등분하면, 삼등분선은 다시 더 작은 황금그노몬과 황금삼각형으로 세분화합니다. 트리섹터는 황금 비율로 베이스를 세분화하고 두 조각은 황금 비율로 영역이 있습니다. 마찬가지로 둔각삼각형은 유사삼각형과 급이등변삼각형으로 나눌 수 있지만, 이삼각형은 꼭지점각이 밑각의 3배인 유일한 이등변삼각형이기 때문에 이삼각형이 이삼각형을 분할하는 유일한 방법입니다.[46]

펜로즈 타일링
펜로즈 타일의 연과 다트 타일. 색상이 있는 호는 각 모서리를 황금 비율로 나누며, 두 개의 타일이 모서리를 공유할 때는 호가 일치해야 합니다.

황금 비율은 로저 펜로즈가 개발한 비행기의 비주기적 타일링 계열인 펜로즈 타일링에서 두드러지게 나타나는데, 이는 오각형, 십각형, 그리고 다른 모양들이 오각형 모양들만 함께 타일을 붙였을 때 남는 공백들을 채울 수 있다는 요하네스 케플러의 말에서 영감을 받았습니다.[48] 이 타일의 여러 가지 변형이 연구되었으며, 모든 프로토틸은 황금 비율을 나타냅니다.

  • 펜로즈의 이 타일의 원래 버전은 일반적인 펜타곤과 펜타그램, 세 개의 펜타그램이 있는 "보트" 피규어, 그리고 "다이아몬드" 모양의 마름모의 네 가지 모양을 사용했습니다.[49]
  • 연과 다트 펜로즈 타일링은 3개의 내각이 72°, 1개의 내각이 144°인 과 2개의 내각이 36°, 1개의 내각이 72°, 1개의 볼록하지 않은 216°인 다트, 오목한 4각형을 사용합니다. 특별한 일치 규칙은 타일이 임의의 가장자리에서 만나는 방법을 제한하여 임의의 정점에서 7개의 타일 조합을 생성합니다. 연과 다트는 두 개의 길이의 측면이 서로 황금 비율로 되어 있습니다. 이 두 타일 모양의 면적도 서로 황금 비율입니다.[48]
  • 연과 다트는 각각 대칭축에서 한 쌍의 황금 삼각형과 황금 노몬으로 절단될 수 있습니다. 적합한 일치 규칙을 사용하면, 이 문맥에서 Robinson trianges라고 불리는 이 삼각형을 펜로즈 타일 형태의 프로토타일로 사용할 수 있습니다.[48][50]
  • 마름모 펜로즈 타일은 36°와 144°의 각도를 가진 얇은 마름모와 72°와 108°의 각도를 가진 두꺼운 마름모 두 종류가 포함되어 있습니다. 모든 변의 길이는 동일하지만, 가느다란 마름모의 짧은 대각선에 대한 변의 길이의 φ {\1varphi}, 가느다란 마름모의 긴 대각선에 대한 변의 비율과 같습니다. 연과 다트 타일링과 마찬가지로 두 마름모의 면적은 서로 황금 비율입니다. 다시 말하지만, 이 마름모는 로빈슨 삼각형의 쌍으로 분해될 수 있습니다.[48]
오리지널 4타일 펜로즈 타일
마름모 펜로즈 타일

삼각형과 사삼각형에서

오돔의 건축
오돔 건설 : AB : BC = AC : AB = φ : 1

George Odom정삼각형을 포함하는φdisplaystyle\varphi}의 구조를 발견했습니다. 두 변의 중간점을 잇는 선분이 과 교차하도록 확장되면 두 중간점과 원과의 교차점은 황금 비율이 됩니다.

케플러 삼각형
케플러 삼각형 변의 정사각형 넓이의 기하학적 진행
두 개의 케플러 삼각형으로부터 형성된 이등변삼각형은 그것의 반지름과 변의 길이의 비율을 최대화합니다.

요하네스 케플러의 이름을 딴 케플러 삼각형은 한 변이 기하학적으로 진행되는 독특한 직각 삼각형입니다.

: : {\displaystyle {:} varphi{:} \varphi}.

이 변의 길이는 두 φ ± 1 \pm1}의 세 피타고라스 평균입니다. 측면의 세 정사각형은 황금 기하학적 진행 φ: φ 2 {\displaystyle 1\{:} \varphi \varphi ^{2}}의 영역을 가지고 있습니다.

이등변삼각형 중에서 두 개의 케플러 삼각형의 반사된 두 개의 복사에 의해 형성된 삼각형에 대해 의 길이에 대한 인반지름의 비율이 최대화되어 두 개의 다리 중 더 긴 것을 공유합니다.[52] 동일한 이등변 삼각형은 밑면에 있는 반원의 반지름과 둘레의 비율을 최대화합니다.[53]

변의 {\ s가 가장 작은 케플러 삼각형의 경우 넓이예각은 다음과 같습니다

황금 직사각형
네 가지 간단한 단계에서 모서리와 나침반만 있는 황금 직사각형을 구성하려면:
사각형을 그립니다.
정사각형 한 변의 중간점에서 반대쪽 모서리로 선을 그으세요.
이 선을 반지름으로 사용하여 직사각형의 높이를 정의하는 호를 그립니다.
황금색 직사각형을 완성합니다.

황금 비율은 황금 직사각형의 인접한 변 길이를 φ {\varphi} 비율로 비례합니다. 황금색 직사각형을 쌓으면 황금색 직사각형이 새로 생성되고 황금색 직사각형에서 정사각형을 제거하거나 추가하면 직사각형이여전히φ {\displaystyle \varphi} 비율로 비례합니다. 그들은 연속적인 피보나치와 루카스 숫자 크기의 사각형과 4분의 1 원을 통해 황금 나선에 의해 생성될 수 있습니다. 이들은 정이십면체뿐만 아니라 정이십면체에서도 두드러지게 특징적입니다(자세한 내용은 아래 섹션 참조).[55]

황금마름모

황금 마름모는 대각선이 황금 비율에 비례하는 마름모이며, 가장 일반적으로 φ {\1varphi}입니다. 이러한 비율의 마름모의 경우 예각과 둔각은 다음과 같습니다.

짧고 긴 대각선 D의 길이는 측면 길이의 관점에서 a입니다

d입니다

{\ a의 반지름으로 표시됩니다

황금 마름모는 마름모 3면체, 황금 마름모 2개, 빌린스키 12면체,[57] 마름모 6면체의 면을 형성합니다.[56]

황금나선

노란색으로 표시된 겹침이 있는 황금색 나선(빨간색)과 4분의 1 원(녹색)에 의한 근사치
중첩된 황금 이등변 삼각형을 둘러싼 108° 회전당 황금 비율만큼 반지름이 증가하는 로그 나선입니다. 이것은 90° 회전당 황금 비율만큼 자라는 황금 나선과는 다른 나선입니다.[58]

로그 나선은 회전당 적용되는 거리가 기하학적으로 진행되는 자기 유사 나선입니다. 매 분기 턴마다 반지름이 황금 비율의 1배만큼 증가하는 로그 나선을 황금 나선이라고 합니다. 이 나선들은 황금 비율에 의해 성장하는 [59]4분의 1 원이나 피보나치 수에서 생성된 근사치로 추정될 수 있으며,[60] 종종 같은 비율로 성장하는 사각형의 나선형 패턴 내에 새겨진 것으로 묘사됩니다. 황금 나선의 정확한 로그 나선 형태는(θ) theta )}을 사용한 극 방정식으로 설명할 수 있습니다.

모든 로그 나선이 황금 비율에 연결되어 있는 것은 아니며, 황금 비율에 연결되어 있는 모든 나선이 황금 나선과 같은 모양인 것은 아닙니다. 예를 들어, 황금 이등변 삼각형의 중첩된 배열을 포함하는 다른 로그 나선은 황금 나선의 90° 회전 각도가 아닌 108° 회전할 때마다 황금 비율만큼 증가합니다.[58] "더 나은 황금 나선형"이라고 불리는 또 다른 변형은 매 분기 턴이 아닌 매 반 턴마다 황금 비율에 의해 성장합니다.[59]

정십이면체와 정십이면체에서

십이면체직각좌표:
(±1, ±1, ±1)
(0, ± φ, ±1/φ)
1/φ, 0, ±φ)
φ, ±1/φ, 0)
십이면체 내부의 중첩된 정육면체는 점선으로 표시됩니다.

정십이면체와 정십이면체의 이중 다면체는 크기가 황금 비율과 관련이 있는 플라톤 입체입니다. 정5각형 12개의 {\개이며 정5각형 면은 개이며, 정삼각형 면은 30 모서리가 .[61]

측면의 십이면체의 경우 외접 및 내접 구의 반지름중반지름은 ( {\ 입니다.

and

측면의 정이십면체의 경우 외접 및 내접 구의 반지름과 중반지름은 다음과 같습니다.

and

십이면체의 부피와 표면적은φ displaystyle\varphi}로 표현할 수 있습니다.

φ3 - φ displaystyle _{}={\frac {15\varphi}{\sqrt {3-\varphi}}} 및V d= 5 φ 36- 2 φ {\displaystyle _{d}={\frac {5\varphi ^{3}}{6-2\varphi}}.

정이십면체의 경우에도 마찬가지입니다.

φ 22 {\_{i}= 20{\ {\varphi ^{2}}{2}} Vi = 6(1+φ). {\displaystyle V{i} = {\frac {5}{6}}(1+\varphi)}
개의 황금 직사각형은 정이십면체12개의 꼭짓점에 모두 닿습니다.

이러한 기하학적 값은 데카르트 좌표에서 계산할 수 있으며,φdisplaystyle\varphi}와 관련된 공식을 사용하여 계산할 수도 있습니다. 십이면체의 좌표는 위 그림에 표시되어 있고, 십이면체의 좌표는 다음과 같은 순환 순열입니다.

± 1±) 1,\\varphi±, 0)(\pm\φ, 0, ± (\pm \varphi,0,\pm 1)}

황금색 직사각형 3개 세트가 도데카헤드라와 이코헤드라 안에서 수직으로 교차하면서 보로메안 고리를 형성합니다.[62][55] 도데체드라에서는 황금색 직사각형의 서로 반대되는 꼭짓점 쌍이 오각형 면의 중심과 만나고, 이코체드라에서는 꼭짓점에서 만납니다. 전체적으로, 세 개의 황금 직사각형은 정이십면체의 {\ 12} 꼭짓점을 포함하거나, 정이십면체의 의 {\displaystyle 개의 중심과 동등하게 교차합니다.[61]

정육면체는 정육면체의 오각형 면의 대각선 중 일부를 정육면체의 모서리로 사용하므로 모서리의 길이는 황금 비율입니다. 정육면체의 부피는 +φ {\displaystyle}{2varphi}}배입니다. 사실, 십이면체 안의 황금 직사각형들은 내접하는 정육면체에 황금 비율로 있어서 정육면체의 모서리와 황금 직사각형의 긴 모서리는 그 φ입니다. φ 2:\varphi^{2}} 비율입니다. 반면 정육면체의 이중 다면체인 팔면체는 20면체를 새길 수 있으므로, 20면체의 꼭짓점이 금빛 비율로 가장자리를 나누는 지점에서 8면체의 가장자리에 닿습니다.[64]

다른 다면체들은 정십이면체와 정십이면체 또는 이십이면체의 대칭과 관련이 있으므로 황금 비율과 대응하는 관계를 갖습니다. 여기에는 5개의 정육면체화합물, 5개의 팔면체화합물, 5개의 사면체화합물, 10개의 사면체의 화합물, 마름모삼면체, 정이십면체, 절단이십면체, 절단이십면체, 절단이십면체, 및 마름모삼면체, 케플러-포인소다면체, 및 마름모육면체가 포함됩니다. 4차원에서 십이면체와 정이십면체는 120셀과 600셀의 면으로 나타나며, 이 면은 다시 황금비와 관련된 차원을 갖습니다.

기타속성

황금비의 십진법 전개는 - - = xx-1= 식 또는 x - 5 = 0{\ x^{2}-5=0} 식에서 뉴턴 방법이나 핼리 방법과 같은 근찾기 방법을 통해 계산할 수 있습니다(5 {\displaystyle {sqrt {5}}를 먼저 계산합니다). 뉴턴의 방법을 사용하여 n자리를 계산하는 데 필요한 시간은 으로 O 이며 여기서 M은 두 의 n n자리 숫자를 곱한 시간 복잡도입니다.[65] 이는π {\displaystyle\ 및 ee}에 대해 알려진 알고리즘보다 상당히 빠른 속도입니다. 정수 산술만을 사용하여 쉽게 프로그래밍할 수 있는 대안은 큰 연속된 두 피보나치 수를 계산하여 나누는 것입니다. 피보나치 번호 {\ 각각 {\{25000}의 비율은 의 10 {\displaystyle 초과합니다. 황금 비율φ {\displaystyle\varphi}의 십진수 확장은 자리( × 10 13 =000,000,000 {\displaystyle 1\times 10^{13} = 10{,}000{,}000{,}000{,}000}자리의 정확도로 계산되었습니다.

복소 평면에서, 통일성 = 2πki / 5 {\ = e^{2\pi ki/5}}(정수 k {\textstyle k}의 경우) z 5 = 1 {\displaystyle z^{5}=1}을 만족하는 다섯 번째 은 오각형의 꼭짓점입니다. 그들은 2차 정수고리를 형성하지 않지만, 통일성의 5번째 루트와 그 복소 켤레 +¯, bar {z}}의 합은Z φ원소인 2차 정수입니다. \Z} [\varphi].구체적으로.

이것은 z = 1{\displaystyle z^{10}=1,}을 만족하는 나머지 10번째 통일근에도 적용됩니다.

For the gamma function , the only solutions to the equation are and .

황금 비율숫자 체계의 기본으로 사용되는 경우(때로는 이진법 φ {\displaystyle varphi} -nary), Z[φ] {\displaystyle Z} [\varphi]} – 즉, a + φ a+b\varphi} 입니다. Z \in {Z} – 는 종결 표현을 갖지만 유리 분수는 종결 표현을 갖지 않습니다.

황금비율은 쌍곡기하학에서도 나타나는데, 이는 이상삼각형의 한 변에서 다른 변에 가까운 점까지의 최대 거리로서, 이상삼각형 내에 내접한 원의 접선점들에 의해 형성된 정삼각형의 변 길이인 로그⁡(φ)입니다.[67]

황금 비율은 모듈 함수 이론에서도 나타납니다. <1 \ <1의 경우

그리고나서

그리고.

연속 분수에서 ⁡ τ > 0 {\displaystyle operatorname{Im} \tau >0} 및 (ez) 1 / 5 {\displaystyle (e^{z})^{1/5}를 ez / 5 {\display e^{z/5}로 평가해야 합니다. 함수τ ↦ ( 2 π i τ) {\mapsto R(e^{2\pi i\tau})}은 모듈형 그룹의 합동 부분군인 γγ ( {\displaystyle \Gamma (5)}에서입니다. 또한 실수 ∈ R + a,{} ^{+}, =π 2, {\=\pi ^{2}}의 경우,

{\varphi}는 Pisot-Vijayaraghavan 숫자입니다.

응용프로그램 및 관찰

건축

현대 국제 양식에 기여한 것으로 유명한 스위스건축가코르뷔지에는 그의 디자인 철학을 조화와 비례의 체계에 중점을 두었습니다. 르 코르뷔지에의 우주의 수학적 질서에 대한 믿음은 황금 비율과 피보나치 급수와 밀접하게 연관되어 있으며, 그는 "눈에 보이는 리듬과 서로의 관계에서 명확합니다"라고 설명했습니다. 그리고 이러한 리듬은 인간 활동의 가장 핵심입니다. 그들은 아이들, 노인들, 야만인들, 그리고 학식 있는 사람들에 의해 황금 구역을 추적하는 것을 야기하는 것과 같은 유기적인 필연성에 의해 사람들에게 울려 퍼집니다."[70][71]

르 코르뷔지에는 그의 모듈러 시스템에서 건축 비율규모를 위해 황금 비율을 명시적으로 사용했습니다. 그는 이 체계를 비트루비우스의 오랜 전통, 레오나르도 다빈치의 "비트루비안 인간", 레온 바티스타 알베르티의 작품, 그리고 건축의 외관과 기능을 향상시키기 위해 인체의 비율을 사용한 다른 사람들의 연속으로 보았습니다.

황금 비율 외에도 르 코르뷔지에는 인간 측정, 피보나치 수, 이중 단위에 기초한 시스템을 사용했습니다. 그는 인간 비율의 황금 비율을 극단적으로 제시했습니다. 그는 모델 인체의 키를 배꼽에서 황금 비율로 나눈 다음 무릎과 목에서 황금 비율로 나눈 다음 모듈러 시스템에서 이 황금 비율을 사용했습니다. 모듈러 시스템의 적용 사례는 1927년 르 코르뷔지에의 Villa Stein in Garches에서 볼 수 있습니다. 빌라의 직사각형 평면, 고도 및 내부 구조는 황금색 직사각형과 거의 유사합니다.[72]

또 다른 스위스 건축가 마리오 보타는 그의 많은 디자인들이 기하학적인 도형에 기초하고 있습니다. 그가 스위스에서 설계한 여러 개인 주택은 정사각형과 원, 정육면체와 원기둥으로 구성되어 있습니다. 그가 Origlio에서 설계한 집에서 황금 비율은 집의 중앙 부분과 측면 부분 사이의 비율입니다.[73]

예체능

다빈치파치올리디비나 비율로부터 십이면체의 삽화(1509)

레오나르도 다 빈치의 파치올리의 디비나 비율에 있는 다면체의 삽화는 일부 사람들로 하여금 그가 그의 그림에 황금 비율을 포함시켰다고 추측하게 만들었습니다. 그러나 예를 들어 그의 모나리자가 황금 비율을 사용한다는 제안은 레오나르도 자신의 글로는 뒷받침되지 않습니다.[74] 마찬가지로 레오나르도의 비트루비안 맨은 종종 황금 비율과 관련하여 보여지지만, 그림의 비율은 실제로 일치하지 않으며, 본문에는 정수 비율만 언급되어 있습니다.[75][76]

Matila Ghyka작품에 영향을 [77]받은 Salvador Dalí는 그의 걸작인 "최후만찬의 성찬"에서 황금 비율을 명시적으로 사용했습니다. 캔버스의 치수는 황금 직사각형입니다. 가장자리가 서로 황금 비율로 나타나도록 원근법으로 볼 때 거대한 십이면체가 예수의 위와 뒤에 매달려 구성을 지배합니다.[74][78]

1999년에 수행된 565개의 다른 위대한 화가들의 예술 작품에 대한 통계 연구는 이 화가들이 캔버스의 크기에 황금 비율을 사용하지 않았다는 것을 발견했습니다. 이 연구는 연구된 그림의 양면의 평균 비율이 1이며, 개별 화가의 평균은 1 고야)에서 벨리니) 사이라고 결론지었습니다.[79] 반면 파블로 토스토는 직사각형 캔버스와 비율을 가진 100개 이상의 유명 작가의 작품과 2 3 4 6

중세 원고의 비율을 묘사하는 것. 치홀드(Jan Tchichold)에 따르면 "페이지 비율 2:3. 마진 비율은 1:1:2:3입니다. 텍스트 영역이 황금 섹션에 비례합니다."[81]

책과 디자인

잰 치홀드에 의하면

정말 아름다운 페이지 비율 2 3 및 골든 섹션의 편차가 드물었던 적이 있습니다. 1550년에서 1770년 사이에 제작된 많은 책들은 이러한 비율을 0.5밀리미터 이내로 정확하게 보여줍니다.[82]

어떤 자료에 의하면, 황금 비율은 카드, 엽서, 포스터, 전등 스위치 플레이트, 와이드 스크린 텔레비전의 재생 비율과 같은 일상적인 디자인에 사용된다고 합니다.[83]

깃발

가로 세로 비율이 황금 비율을 사용하는 토고의 국기

토고의 디자인자에 따르면 토고 국기의 가로 세로 비율(가로 대 높이 비율)은 황금 비율로 의도되었다고 합니다.[84]

음악

에른 ő 렌드바이는 벨라 바르토크의 작품을 황금비율과 음계의 두 가지 상반된 체계에 기반한 것으로 분석하지만, 다른 음악 학자들은 이 분석을 거부합니다. 프랑스 작곡가 Erik Satie는 Sonneries de la Rose+Croix를 포함한 그의 몇몇 작품에서 황금 비율을 사용했습니다. 황금 비율은 드뷔시의 레플렛 당스 로(Reflet dans l'eau, Reflections in Water, 1905)의 이미지(1st series, 1st series)에서 "키의 순서는 간격 34, 21, 13, 8로 표시되며 주요 클라이맥스는 파이 위치에 있습니다."[87]

음악학자 로이 하왓은 드뷔시의 라 메르의 형식적 경계가 정확히 황금 부분에 해당한다는 것을 관찰했습니다.[88] 트레지세는 본질적인 증거를 "놀랍다"고 생각하지만, 어떤 문서나 보고된 증거도 드뷔시가 의식적으로 그러한 비율을 추구했음을 시사하지 않는다고 경고합니다.[89]

한스 젠더하인츠 볼렌을 포함한 음악 이론가들은 황금 비율을 기본적인 음정으로 사용하는 음계인 833센트 음계를 실험했습니다. 음악 간격에 대한 로그 척도인 센트 단위로 측정했을 때 황금 비율은 약 833.09센트입니다.[90]

자연.

복수의 나선형 배열(parasticy)을 보여주는 받침 식물 Aeonium tabuliforme의 세부 사항

요하네스 케플러는 "남자와 여자의 이미지는 신성한 비율에서 비롯됩니다. 식물의 번식과 동물의 자손 행위는 같은 비율이라고 생각합니다."[91]

심리학자 Adolf Zeising은 황금 비율이 유색성으로 나타난다는 것에 주목하고 자연의 이러한 패턴으로부터 황금 비율이 보편적인 법칙이라고 주장했습니다.[92] Zeising은 1854년에 "자연과 예술의 영역 모두에서 아름다움과 완전성을 위해 노력하는" 보편적인 직교적 법칙을 썼습니다.[93]

그러나, 어떤 사람들은 특히 동물의 차원과 관련하여 자연에서 황금 비율의 명백한 많은 표현이 허구라고 주장했습니다.[94]

물리학

준 1차원 아이싱 강자성체 6 코발트8 니오베이트)는 중성자 산란으로 조사했을 때 가장 낮은 2개가 황금 비율인 8개의 예측 여기 상태를 가지고 있습니다. 특히, 절대 영도에 가까운 온도에서 발생하는 스핀 여기 동안의 이러한 양자 위상 전이는 순서 위상에서 상자성 위상의 스핀 플립에 대한 한 쌍의 꼬임을 보여주었고, 임계 필드 바로 아래에 황금 평균에 접근하는 낮은 에너지에서 날카로운 모드를 가진 스핀 역학을 드러냈습니다.[95]

최적화

균등 분포에 대한 여러 정의 중 하나에 대해 주어진 수의 노드를 구에 균일하게 배열하는 알려진 일반적인 알고리즘은 없습니다(예: Thomson 문제 또는 Tammes 문제 참조). 그러나 구를 동일한 표면적의 평행 밴드로 나누고 각 밴드에 하나의 노드를 원의 황금 섹션(: ∘ / φ ≈ 222.5 ∘)으로 간격을 둔 길이로 하여 유용한 근사치를 도출합니다. ^{\varphi \approx 222. 방법은 학생 참여 위성 Starshine-3의 1500개 거울을 배열하는 데 사용되었습니다.[96]

황금 비율은 황금 구간 검색에도 중요한 요소입니다.

논란이 있는 관측치

황금 비율에 대한 논쟁적인 관측의 예로는 다음이 있습니다.

노틸러스 포탄은 종종 황금 비율이라고 잘못 주장됩니다.
  • 척추동물(인간을 포함한)의 몸에 있는 특정 비율은 종종 황금 비율이라고 주장됩니다. 예를 들어, 연속적인 지골대퇴골(손가락 뼈)의 비율은 황금 비율에 근사하다고 합니다. 그러나 특정 개인에 따라 이러한 요소의 실제 측정값에 큰 차이가 있으며 문제의 비율이 황금 비율과 크게 다른 경우가 많습니다.[97][98]
  • 노틸러스와 같은 연체동물의 껍질은 흔히 황금비율이라고 주장합니다.[99] 노틸러스 껍질의 성장은 대수 나선형을 따르며, 때때로 어떤 대수 나선형도 황금 비율과 관련이 있다고 잘못 주장하거나,[100] 때로는 각각의 새로운 챔버가 이전 챔버에 비해 황금 비율이라고 주장합니다.[101] 그러나 노틸러스 포탄의 측정은 이러한 주장을 뒷받침하지 않습니다.[102]
  • 역사학자 존(John Man)은 구텐베르크 성경의 페이지와 텍스트 영역 모두 "황금 섹션 모양에 기반을 두고 있다"고 말합니다. 그러나 그가 직접 측정한 바에 따르면, 페이지의 높이와 은 145입니다.[103]
  • Gustav Fechner 1876을 시작으로 [104]심리학자들의 연구는 황금비율이 아름다움에 대한 인간의 인식에 역할을 한다는 생각을 시험하기 위해 고안되었습니다. 페흐너는 황금 비율을 중심으로 한 직사각형 비율을 선호하는 것을 발견했지만, 그러한 가설을 신중하게 테스트하려는 이후의 시도는 기껏해야 결론이 나지 않았습니다.[105][74]
  • 투자에서 기술 분석의 일부 실무자는 황금 비율을 사용하여 주식 또는 상품의 가격 수준 또는 가격 상승에 대한 저항을 나타냅니다. 가격이 상승 또는 하락하면 황금 비율을 통해 시작 가격과 관련된 가격 또는 그 근처의 가격에서 새로운 지지 및 저항 수준이 발견됩니다.[106] 투자에서 황금 비율을 사용하는 것은 또한 피보나치 숫자로 설명되는 더 복잡한 패턴(예: 엘리엇 파동 원리피보나치 재추적)과 관련이 있습니다. 그러나 다른 시장 분석가들은 이러한 백분율과 패턴이 데이터에 의해 뒷받침되지 않는다는 분석을 발표했습니다.[107]

이집트 피라미드

기자의 피라미드

기자 피라미드 (첨스 피라미드 또는 쿠푸로도 알려져 있음)는 피라미드 학자들에 의해 단면으로서 두 배의 케플러 삼각형을 갖는 것으로 분석되었습니다. 만약 이 이론이 사실이라면, 황금 비율은 피라미드의 한 변의 중간 지점에서 정점까지, 그리고 같은 중간 지점에서 피라미드 밑면의 중심까지의 거리의 비율을 설명할 것입니다. 그러나 부분적으로 피라미드의 외부 표면을 제거함으로써 발생하는 측정의 부정확성으로 인해 파이 또는 정수비에 기초한 피라미드의 비율에 대한 다른 수치 이론과 이 이론을 구별할 수 없습니다. 현대 학자들의 일치된 의견은 이 피라미드의 비율이 황금 비율을 기준으로 하지 않는다는 것입니다. 왜냐하면 그러한 근거는 피라미드 건설 당시부터 알려진 이집트 수학과 건축 및 비율에 대한 이집트 이론 모두와 일치하지 않을 것이기 때문입니다.[108]

파르테논 신전

파르테논 신전의 많은 비율들이 황금 비율을 나타낸다고 주장되고 있지만, 이것은 대체로 신빙성이 떨어졌습니다.[109]

파르테논 신전의 정면(c. 기원전 432년경)과 그 정면의 요소들과 다른 곳들은 황금 직사각형들로 둘러싸여 있다고 일부 사람들은 말합니다.[110] 다른 학자들은 그리스인들이 황금 비율과 어떤 미적 연관성이 있었다는 것을 부인합니다. 예를 들어, Keith Devlin은 말합니다. "확실히, 아테네의 파르테논 신전이 황금 비율에 기초하고 있다는 반복되는 주장은 실제 측정에 의해 뒷받침되지 않습니다. 사실 그리스인과 황금비율에 관한 모든 이야기는 근거가 없는 것 같습니다."[111] Midhat J. Gazalé는 "유클리드가 되어서야 황금비의 수학적 성질이 연구되었습니다."라고 단언합니다.[112]

기원전 5세기부터 서기 2세기까지 15개의 사원, 18개의 기념비적인 무덤, 8개의 석관, 58개의 무덤에 대한 측정으로부터, 한 연구자는 황금 비율이 고전적인 기원전 5세기의 그리스 건축물에서 완전히 존재하지 않았고, 그 이후 6세기 동안 거의 존재하지 않았다고 결론지었습니다.[113] 비트루비우스(기원전 1세기)와 같은 후대의 자료들은 비합리적인 비율이 아닌 정수로 표현될 수 있는 비율, 즉 상응하는 비율에 대해서만 논의합니다.

현대미술

앨버트 글리제스, 레스 바이네우스 (1912)

황금종려상(Section d'Ord)은 입체파와 오르피즘관련된 화가, 조각가, 시인, 비평가들의 모임이었습니다.[114] 1911년부터 1914년까지 활동한 그들은 큐비즘이 고립된 운동이 아니라 거대한 전통의 지속을 상징한다는 것을 강조하고 조르주 쇠라와 관련된 수학적 조화에 경의를 표하기 위해 이 이름을 채택했습니다.[115] (몇몇 작가들은 쇠라가 자신의 그림에 황금비율을 사용했다고 주장했지만 쇠라의 글과 그림들은 그가 단순한 정수비율을 사용했으며 황금비율에 대한 어떤 근사치도 우연의 일치였음을 암시합니다.)[116] 입체파는 조화, 운동과 형태의 기하학적 구조, "자연에 대한 관념의 우선성", "개념의 절대적인 과학적 명확성"을 관찰했습니다.[117] 그러나 수학적 조화에 대한 이러한 일반적인 관심에도 불구하고 1912 살롱 드 라 섹션(Salon de la Section d'Or) 전시회에 등장한 그림들이 어떤 구도에서도 황금 비율을 사용했는지는 더 알아보기 어렵습니다. 예를 들어, Livio는 그들이 하지 않았다고 주장하고 [118]있고, Marcel Duchamp는 인터뷰에서 그만큼 말했습니다.[119] 한편, 후안 그리스가 황금비율을 이용해 전시회에서 보여준 작품들을 작곡했다는 분석도 있습니다.[119][120] 미술 역사가 다니엘 로빈스는 수학 용어를 참조하는 것 외에도 전시회 이름이 알베르 글라이즈와 다른 아바예 크레틸의 이전 구성원들이 참여했던 이전의 반도 오르 그룹을 가리킨다고 주장했습니다.[121]

Piet Mondrian은 그의 기하학적인 그림에서 황금 부분을 광범위하게 사용했다고 알려졌지만,[122] 비평가 Yve-Alain Bois를 포함한 다른 전문가들은 이러한 주장을 신뢰하지 않습니다.[74][123]

참고 항목

참고문헌

설명각주

  1. ^ 보다 큰 {\ a {\ b에 대한 제약이 해제되면 이 방정식에는 실제로 양수와 음수의 두 해가 있습니다. {\\varphi}은(는) 양의 솔루션으로 정의됩니다. 음수 솔루션은-φ - = 1 - 5 ) 입니다. {\displaystyle -\varphi^{-1} = {\tfrac {1}{2}{\bigl(}1-{\sqrt {5}}{\bigr )}입니다. 두 솔루션의 합은 1 이고 두 솔루션의 곱은 입니다
  2. ^ 다른 이름으로는 황금평균, 황금구간,[4] 황금컷,[5] 황금비율, 황금수,[6] 중간구간, 신성구간 등이 있습니다.
  3. ^ 유클리드, 원소, 제II권, 명제 11; 제IV권, 명제 10-11; 제VI권, 명제 30; 제13권, 명제 1-6, 명제 8-11, 16-18.
  4. ^ "῎Ακρον καὶ μέσον λόγον εὐθεῖα τετμῆσθαι λέγεται, ὅταν ᾖ ὡς ἡ ὅλη πρὸς τὸ μεῖζον τμῆμα, οὕτως τὸ μεῖζον πρὸς τὸ ἔλαττὸν."[18]
  5. ^ 고전 그리스 조각가 피디아스 (기원전 490년경-430년) 이후,[33] 바는 피디아스가 실제로 황금 비율을 사용했을 가능성은 낮다고 생각했다고 나중에 썼습니다.[34]

인용

  1. ^ a b c Sloane, N. J. A. (ed.). "Sequence A001622 (Decimal expansion of golden ratio phi (or tau) = (1 + sqrt(5))/2)". The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences. OEIS Foundation.
  2. ^ Euclid. "Book 6, Definition 3". Elements.
  3. ^ Pacioli, Luca (1509). De divina proportione. Venice: Luca Paganinem de Paganinus de Brescia (Antonio Capella).
  4. ^ Livio 2002, pp. 3, 81.
  5. ^ Summerson, John (1963). Heavenly Mansions and Other Essays on Architecture. New York: W.W. Norton. p. 37. And the same applies in architecture, to the rectangles representing these and other ratios (e.g., the 'golden cut'). The sole value of these ratios is that they are intellectually fruitful and suggest the rhythms of modular design.
  6. ^ Herz-Fischler 1998.
  7. ^ Herz-Fischler 1998, 20-25쪽.
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