벽지 그룹

벽지 그룹 p4m의 이집트 디자인 예시

벽지는 특정 등각선이 그림을 바꾸지 않는 방식으로 모티브를 무한정 반복함으로써 전체 유클리드 평면을 덮는 수학적 객체입니다.주어진 벽지에는 그룹 연산으로서의 함수 구성과 함께 이러한 일치 변환의 그룹이 대응합니다.따라서 벽지 그룹(또는 평면 대칭 그룹 또는 평면 결정학 그룹)은 패턴의 대칭에 기초한 2차원 반복 패턴의 수학적 분류에 있다.이러한 패턴은 건축과 장식 예술, 특히 직물, 테셀레이션, 타일, 벽지 등에서 자주 나타난다.

이 페이지의 패턴

이미지 1
반복 표면의 예
피타고라스의 타일 위에서요

이미지 2
가능한 반복 표면의 최소 면적

{\text{is  either }}\;a\;

는 색상을 무시하여

{\text{is  either }}\;a\;

\

displaystyle

\;

a

\;

{\text{ or  otherwise  }}\;4\,a.

displaystyle\;4,a입니다.

이러한 피타고라스식 타일링은 주기적인 것이기 때문에 벽지로 볼 수 있다.

주기적인 타일은 벽지로 볼 수 있습니다.특히 동일한 타일 가장자리에 의한 타일을 벽지로 간주하고, 반드시 주기적인 타일 요소를 모두 동일한 방식으로 장식함으로써 벽지를 구상할 수 있으며, 최종적으로 이들 타일 사이의 경계 일부를 완전히 지울 수 있습니다.반대로 모든 벽지에서 동일한 장식을 가진 동일한 타일 모서리로 이러한 타일을 구성할 수 있습니다. 타일의 윤곽은 원래 벽지에서는 볼 수 없습니다.이러한 반복된 경계는 여기에 점선으로 추가된 반복 표면을 나타냅니다.

주어진 벽지에 연결된 이러한 유사 타일은 무한히 많다.예를 들어, 그림 1은 ${\text{equal areas of }}\,a.$ 두 개의 다른 위치에 있는 두 개의 반복 정사각형 모델을 보여 줍니다 $.$ {{ $displaystyle {text},a$ $}}$ 의 $동일$ 한 ${\text{equal areas of }}\,a.$ 을 가지며, 다른 반복 정사각형은 $.{$ $.$ $~}$ 우리는 ${\text{area of 5 times}}\,~a.~$ 이러한 반복적인 정사각형을 무한히 더 크게 생각할 수 있다.이 피타고라스 타일링에는 이 벽지의 무한한 위치에서 무한대의 반복 구역 모양이 가능합니다.예를 들어 이미지 1의 오른쪽 하단 모서리에 있는 빨간색으로 반복 평행 사변형을 하나 또는 다른 위치에서 슬라이딩할 수 있습니다.처음 두 이미지에서 공통으로 작은 정사각형 타일이 반복되는 동심원형이며, 공통의 중심은 벽지의 점 대칭입니다.

동일한 타일 모서리 대 모서리 사이의 모서리가 반드시 오른쪽 선의 세그먼트일 필요는 없습니다.이미지 3의 왼쪽 상단 모서리에 있는 C 지점은 표면 전체에 두꺼운 줄무늬가 있는 반복 의사 마름모의 정점입니다. 같은 ${\text{of same area}}\,~a,~$ 의 동심원 반복 ${\text{of same area}}\,~a,~$ a $,\$ style $\text{of same$ area},~ $a,~}$ 에서 ${\text{of same area}}\,~a,~$ e를 붙여서 만든 것으로서 의사 마름모라고 불립니다.lsewhere, 그리고 그 지역을 변경하지 마십시오.그림 3의 동일한 프로세스에 의해 수직 줄무늬가 채워진 반복적인 정육각형은 ${\text{of area }}\,~a.~$ a ${\text{of area }}\,~a.~$ 의 마름모꼴 반복 ${\text{of area }}\,~a.~$ 에서 만들어집니다 $.$ {\ $displaystyle {text}},~a.$ $~}$ 반대로 ${\text{of area }}\,~a.~$ M. C. Escher와 같은 아티스트는 초등 기하학적 타일 가장자리부터 가장자리까지 여러 번 매력적인 표면을 만들었습니다. $그림$ 2에서 $a는$ 피타고라스 정리의 증명과 같이 5개의 조각으로 이루어진 점선 내의 각 반복 구역의 색을 무시하고 반복 표면의 최소 면적을 정사각형 또는 육각형으로 나타낸다 $.$

본문에서는 패턴은 벽지상의 정해진 위치에 최소 면적의 반복적인 평행사변형이다.이미지 1은 두 개의 평행사변형 패턴(사각형은 특정 평행사변형)을 보여줍니다.그림 3은 마름모꼴(마름모꼴은 특정 평행사변형) 패턴을 보여줍니다.

이 페이지에서는 (최소 면적의) 모든 반복 패턴은 벽지가 변하지 않는 모든 변환 그룹을 생성하는2개의 변환으로 구성됩니다.함수 구성의 동그라미 기호 of에서 $\{T,U\}$ { T , $\{T,U\}$ $\{\,U,\;T\circ U^{\,-1}\}$ , { $displaystyle$ \ { $\{T,U\}$ $\{\,U,\;T\circ U^{\,-1}\}$ , $\{\,U,\;T\circ U^{\,-1}\}$ $\{T,U\}$ } , { $\{\,U,\;T\circ U^{\,-1}\}$ $\{\,U,\;T\circ U^{\,-1}\}$ U - $}$ ( \ $displaystyle$ \ { , U , \ ; T \ $circ$ U ^ { , 1 \ $\{\,U,\;T\circ U^{\,-1}\}$ } )와 $\{\,U,\;T\circ U^{\,-1}\}$ 같은 $\{T,U\}$ 쌍이 피타고라일링 자체를 변환하는 모든 변환 그룹을 생성합니다.

이미지 3
어느 쪽이든 모든 마름모꼴은
어두운 점선으로 같은 패턴을 인스턴스화합니다.
중심 S의 회전과 -120° 이하의 각도로
벽지를 변경하지 않습니다.

이미지 4
컬러를 무시하고 기존과 같은 벽지.
그렇지 않으면, 색상을 고려한다면, 더 이상 없습니다.
회전의 중심은 벽지를 바꾸지 않습니다.
점 S, C 또는 H 중 하나.

이미지가 같은 패턴으로 간주됩니다.
벽지를 변경하지 않고 등각도 측정하구요.

패턴에 연결된 가능한 그룹

벽지는 특정 등각하에서는 전체적으로 변경되지 않은 상태로 유지되며, 벽지에 반복적인 성질을 부여하는 특정 번역부터 시작합니다.특정 번역에서 변하지 않는 이유 중 하나는 전체 평면을 커버하기 때문입니다.우리 마음 속의 어떤 수학적 물체도 움직이지 않는 벽에 붙어있지 않아요!반대로 관찰자나 그의 눈은 변화 앞에서 움직이지 않는다.그것은 결국 벽지를 미끄러뜨리거나 회전시키거나 뒤집거나 할 수 있지만, 그것은 우리의 주제에서 벗어납니다.

등각도가 특정 벽지에 변경되지 않은 경우, 역등각도도 변하지 ${\mathit {T}}{\text{ or }}{\mathit {T}}^{\,-1}~$ ${\mathit {T}}{\text{ or }}{\mathit {T}}^{\,-1}~$ 를 들어 이미지 1, 3 또는 4의 변환 T 또는 T - ${\mathit {T}}{\text{ or }}{\mathit {T}}^{\,-1}~$ 1 {\ $displaystyle {\text$ {\text{\ $mathit {T}}{,-1}~}$ 또는 ${\mathit {T}}{\text{ or }}{\mathit {T}}^{\,-1}~$ 이미지 3 또는 4의 S와 같은 점을 중심으로 ± 120° 회전합니다.벽지를 변경하지 않고 두 개의 속성을 모두 가진 경우, 둘 중 하나의 순서로 구성된 두 개의 등각선은 벽지를 변경하지 않고 그대로 두도록 동일한 속성을 가집니다.동그라미 모양의 기호 ,로 표현되는 함수 구성 아래의 군과 부분군의 개념을 철저히 하기 위해, 수학의 전통적인 진리는 다음과 같습니다: 모든 것이 항등 변환 아래 그대로 남아 있습니다.이 항등함수는 영벡터의 변환 또는 360°의 회전이라고 할 수 있습니다.

활공은 평행하고 동일한 길이와 동일한 의미의 1개 또는 여러 개의 화살표로 나타낼 수 있다. 같은 방식으로 벽지는 몇 가지 패턴 또는 무한 수의 복제품을 가진 반복된 가장자리를 상상하는 의사 타일로 간주할 수 있다.이미지 3은 2개의 다른 내용을 가진 2개의 패턴을 나타내고 있으며, 진한 점선으로 표시된 $\,{\text{ rotation }}\,{\mathit {R}}\,{\text{ or }}\,{\mathit {R}}\,^{-1}\;$ 또는 회전 중인 $\,{\text{ rotation }}\,{\mathit {R}}\,{\text{ or }}\,{\mathit {R}}\,^{-1}\;$ 중 $\,{\text{ rotation }}\,{\mathit {R}}\,{\text{ or }}\,{\mathit {R}}\,^{-1}\;$ R $\,{\text{ rotation }}\,{\mathit {R}}\,{\text{ or }}\,{\mathit {R}}\,^{-1}\;$ R $\,{\text{ rotation }}\,{\mathit {R}}\,{\text{ or }}\,{\mathit {R}}\,^{-1}\;$ - 1 {\ $displaystyle$ \, ${\text {}}, {\text {}}, {\mathit$ {R $},$ {{-1 $}\;}},$ 다음 이미지 4의 색상을 무시하여 동일한 벽지를 나타냅니다 $\,{\text{ rotation }}\,{\mathit {R}}\,{\text{ or }}\,{\mathit {R}}\,^{-1}\;$ .확실히 색상은 주관적으로 인식되지만 벽지는 이상적인 물체이지만, 어떤 색도 특정 표면을 특징짓는 라벨로 볼 수 있습니다.우리는 16진수 색 코드를 특정 구역에 고유한 라벨로 생각할 수 있습니다.잘 알려진 정리가 색을 다룬다고 덧붙일 수 있다.

그룹은 복제본과 함께 평행 사변형의 모서리 간 속성을 검토하여 카탈로그에 등록됩니다.예를 들어 대각선은 내용의 대칭점이 아니라 평행사변형의 공통 중간점, 중심점 및 대칭점에서 교차합니다.다른 예에서는 2개의 패턴에 의해 공유되는 전면의 중간점은 2개의 패턴에 의해 형성되는 새로운 반복 평행사변형의 중심이며, 이 중심은 이 이중 평행사변형의 내용의 대칭점이 될 필요는 없다.다른 가능한 대칭점은 공통 정점에 대해 서로 대칭인 두 개의 패턴이 함께 새로운 반복 표면을 형성하며, 그 중심은 그 내용의 대칭점이 될 필요는 없다.

특정 패턴 모양에 대해서만 특정 회전 대칭이 가능합니다.예를 들어 그림 2에서 피타고라스의 타일링은 작은 타일 중심이나 큰 타일 복제의 중심에 대해 90도의 회전 대칭을 가지고 있기 때문에 바람개비 타일링이라고 불리기도 합니다.또한 이미지 4 또는 5(미래 이미지 5)와 같이 두 개의 정삼각형이 모서리 대 모서리 마름모꼴을 형성할 때 패턴의 두 변에 의해 형성된 120° 각도의 정점에 대한 120도의 회전대칭은 정점을 공유하는 세 개의 패턴에 의해 형성된 정육각의 내용물의 대칭점이 되지 않는다.항상 같은 모티브가 있는 것은 아닙니다.

그룹의 첫 번째 예

가장 단순한 벽지 그룹인 그룹 p1은 패턴이 2차원에서 일정한 간격으로 반복된다는 사실 이외에는 대칭이 없는 경우에 적용됩니다(아래 p1의 섹션 참조).

다음 예시는 더 많은 형태의 대칭을 가진 패턴입니다.

예 A: 옷감, 타히티
예 B: 아시리아 니네베의 장식화
예 C: 중국 도장 도자기

예 A와 B는 같은 벽지 그룹을 가지고 있습니다.IUCr 표기에서는 p4m, Orbifold 표기에서는 *442라고 불립니다.예 C에는 p4g 또는 4*2라고 불리는 다른 벽지 그룹이 있습니다.A와 B의 벽지 그룹이 동일하다는 것은 설계의 상세 내용에 관계없이 동일한 대칭을 갖는다는 것을 의미합니다.반면 C는 표면적인 유사성에 관계없이 대칭이 다르다는 것을 의미합니다.

대칭 그룹의 수는 패턴의 차원 수에 따라 달라집니다.벽지 그룹은 단순한 프리즈 그룹과 3차원 공간 그룹 사이의 복잡성 중간인 2차원 사례에 적용됩니다.미묘한 차이는 유사한 패턴을 다른 그룹에 배치하는 반면 스타일, 색상, 스케일 또는 방향이 매우 다른 패턴은 동일한 그룹에 속할 수 있습니다.

그러한 평면 대칭의 뚜렷한 그룹이 17개밖에 없다는 증거는 1891년^[1] 에브그라프 페도로프에 의해 처음 수행되었고 1924년 ^[2]조지 폴랴에 의해 독립적으로 도출되었다.벽지 그룹의 목록이 완성되었다는 증거는 훨씬 더 어려운 우주 그룹의 사례가 이루어진 후에야 나왔다.17개의 벽지 그룹을 다음에 나타냅니다.17개의 그룹 the 。

패턴의 대칭성

패턴의 대칭은 대략적으로 말하면 패턴을 변형하여 변환 후에도 완전히 동일하게 보이게 하는 방법입니다.예를 들어, 패턴이 일정한 유한 거리를 변환(즉, 이동)할 수 있고 변경되지 않은 것처럼 보일 때 변환 대칭이 존재합니다.세로 줄무늬 세트를 가로로 한 줄씩 이동한다고 생각해 보십시오.패턴은 변하지 않습니다.엄밀히 말하면, 진정한 대칭은 정확히 반복되고 무한히 계속되는 패턴에만 존재합니다.예를 들어, 5개의 스트라이프만 있으면 트랜슬레이션 대칭이 되지 않습니다.시프트하면 한쪽 끝의 스트라이프가 "소거"되고 다른 한쪽 끝에는 새로운 스트라이프가 "추가"됩니다.그러나 실제로는 분류가 유한 패턴에 적용되어 작은 결점은 무시될 수 있다.

여기서 관련된 변환의 유형을 유클리드 평면 등각성이라고 합니다.예를 들어 다음과 같습니다.

예제 B를 오른쪽으로 한 단위 이동시켜 각 정사각형이 원래 인접한 정사각형을 덮으면 결과 패턴이 시작 패턴과 완전히 동일합니다.이런 종류의 대칭을 번역이라고 합니다.예 A와 C는 대각선 방향으로 가능한 가장 작은 이동이 있다는 점을 제외하고는 유사하다.
예제 B를 시계 방향으로 90° 돌리면 정사각형의 중심 주위로 동일한 패턴을 얻을 수 있습니다.이것은 회전이라고 불립니다.예 A와 C도 90° 회전하지만, C에 대한 정확한 회전 중심을 찾기 위해서는 좀 더 창의력이 필요합니다.
이미지 중앙을 가로지르는 수평 축을 가로질러 예제 B를 플립할 수도 있습니다.이것을 반사라고 합니다.예제 B에는 수직축과 대각축 두 개에 걸친 반사도 있습니다.A도 마찬가지입니다.

단, 예 C는 다릅니다.대각선 축이 아닌 수평 및 수직 방향의 반사만 있습니다.대각선을 넘어 플립하면 동일한 패턴이 반환되지 않지만 원래 패턴이 일정 거리만큼 이동됩니다.이것이 A와 B의 벽지 그룹이 C의 벽지 그룹과 다른 이유 중 하나입니다.

또 다른 변형은 "활공"으로, 반사선과 평행한 반사와 번역의 조합입니다.

활공 반사가 좌우 발자국 세트를 서로 매핑합니다.

정식 정의 및 논의

수학적으로 벽지군 또는 평면 결정군은 두 개의 선형 독립 변환을 포함하는 유클리드 평면의 위상적으로 분리된 그룹의 한 종류입니다.

평면의 아핀 변환까지 동일한 경우, 두 개의 등각선 그룹은 (동일한 벽지 그룹의) 동일한 유형이다.따라서 예를 들어 평면의 변환(따라서 거울과 회전 중심을 변환)은 벽지 그룹에 영향을 미치지 않는다.대칭을 추가 또는 제거하지 않는 한 변환 벡터 간의 각도 변경에도 동일하게 적용됩니다(이는 미러와 활공 반사가 없고 회전 대칭이 최대 2단계인 경우에만 해당).

3차원의 경우와 달리 아핀 변환을 방향을 유지하는 변환으로 등가적으로 제한할 수 있습니다.

비버바흐 정리로부터 모든 벽지 그룹은 추상적인 그룹으로서도 다르다(예를 들어, 두 개의 벽지 그룹은 Z와 동형이다).

2D 패턴은 대칭군 유형에 따라 분류할 수 있다.

유클리드 평면의 등각성

유클리드 평면의 등각은 네 가지 범주로 분류된다(자세한 내용은 유클리드 평면 등각법 기사 참조).

변환(T로_v 표시됨)입니다.여기서² v는 R의 벡터입니다.이것은 변위 벡터 v를 적용하여 평면을 이동시키는 효과가 있다.
R로 표시되는_c,θ 회전. 여기서 c는 평면의 점(회전 중심)이고 θ는 회전 각도이다.
반사, 즉 거울 등각선. 여기서_L L은 R의² 선입니다(F는 "플립"의 경우).이것은 반사축 또는 연관된 거울이라고 불리는 선 L의 평면을 반사하는 효과가 있습니다.
G로 표시되는_L,d 활공 반사. 여기서 L은 R의² 선이고 d는 거리입니다.이것은 L라인에서의 반사와 L라인에서의 거리 d의 변환의 조합입니다.

독립 번역 조건

선형 독립 변환의 조건은 그룹이 T와_w T를_v 모두 포함하도록 선형 독립 벡터 v와 w가 (R에²) 존재한다는 것을 의미합니다.

이 조건의 목적은 벽지 그룹과 2개의 선형 독립이 아닌 변환을 가진 프리즈 그룹 및 변환이 전혀 없는 2차원 이산 점 그룹을 구별하는 것입니다.즉, 벽지 그룹은 하나의 축을 따라만 반복되는 프리즈 그룹과 달리 두 가지 방향으로 반복되는 패턴을 나타냅니다.

(이 상황을 일반화할 수 있습니다.예를 들어 m개의 선형 독립 변환으로 R의ⁿ 등각계의 이산 그룹을 연구할 수 있다. 여기서 m은 0 µm µn 범위의 정수이다.)

불연속성 조건

그 불연속 적임. 조건이 포함되어 있는 모든 세트 이후 0벡터 일차 defini에 의존하고 있는 몇몇 긍정적인 실수 ε은 그룹의 모든 번역 된 티비에, 벡터 v길이 적어도(물론 제외하고 경우에 해당 v는 0벡터ε고 있지만 독립적인 번역 상태 이 주는 것을 뜻한다.t(이온으로 인해 허가되지 않음)

이 조건의 목적은 그룹이 평면을 통해 반복되는 0이 아닌 유한 영역의 콤팩트한 기본 도메인, 즉 "셀"을 갖도록 하는 것입니다.이 조건이 없으면 예를 들어 모든 유리수 x에 대해_x 변환T를 포함하는 그룹을 만들 수 있습니다.이것은 합리적인 벽지 패턴에 대응하지 않습니다.

독립 번역 조건과 조합하여 이산성 조건의 중요하고도 중요하지 않은 결과 중 하나는 그룹이 2, 3, 4, 또는 6의 회전만 포함할 수 있다는 것이다. 즉, 그룹의 모든 회전은 180°, 120°, 90° 또는 60° 회전이어야 한다.이 사실은 결정학적 제한 ^[3]정리로 알려져 있으며, 고차원의 경우로 일반화될 수 있다.

벽지 그룹에 대한 주석

결정학적 표기법

결정학에는 구별해야 할 230개의 공간 그룹이 있는데, 이는 17개의 벽지 그룹보다 훨씬 많은 수치이지만, 이 그룹의 많은 대칭들은 동일합니다.따라서 칼 헤르만과 샤를 빅토르 모귄의 두 그룹 모두에 대해 비슷한 표기법을 사용할 수 있다.Herman-Mauguin 스타일의 완전한 벽지 이름(IUCr 표기법이라고도 함)의 예로는 p31m이 있으며, 4개의 문자 또는 숫자가 있습니다. 보다 일반적인 것은 cmm 또는 pg와 같은 단축 이름입니다.

벽지 그룹의 경우 원시 셀 또는 면중심 셀의 경우 전체 표기법은 p 또는 c로 시작합니다.이러한 표기는 다음과 같습니다.그 뒤에 숫자 n이 이어지며 회전 대칭의 가장 높은 순서인 1배(없음), 2배, 3배, 4배 또는 6배를 나타냅니다.다음 2개의 기호는 패턴의 1개의 변환축에 상대적인 대칭을 나타냅니다.이것을 「메인」이라고 합니다.변환축에 수직인 미러(또는 2개가 있는 경우는 그 중 1개)가 있습니다.기호는 미러, 활공 반사 또는 없음의 경우 m, g 또는 1입니다.미러 또는 활공 반사의 축은 첫 번째 글자의 경우 주축에 수직이고 두 번째 글자의 경우 평행 또는 기울어진 180°/n(n > 2)입니다.많은 그룹에는 주어진 대칭이 암시하는 다른 대칭이 포함됩니다.단축 표기에서는 다른 그룹과 혼동되지 않는 한 숫자 또는 추론할 수 있는m을 드롭합니다.

원시 셀은 격자 변환에 의해 반복되는 최소 영역입니다.2개의 벽지 대칭군을 제외한 모든 그룹은 래티스의 변환 벡터를 사용하여 좌표 베이스인 원시 셀 축에 관해 기술된다.나머지 두 경우 대칭 설명은 원시 셀보다 크고, 따라서 내부 반복을 갖는 중심 셀에 관한 것이다. 즉, 그 변의 방향은 원시 셀을 가로지르는 변환 벡터의 방향과 다르다.결정 공간 그룹에 대한 헤르만-마우구인 표기법은 추가 셀 유형을 사용합니다.

예

p2 (p2) : 원시 셀, 2중 회전 대칭, 미러 또는 활공 반사 없음.
p4gm(p4mm):원시 셀, 4중 회전, 주축에 수직인 활공 반사, 45°의 미러 축.
c2mm(c2mm):중심 셀, 2중 회전, 미러 축 모두 주축과 수직 및 평행.
p31m(p31m):원시 세포, 3배 회전, 60° 거울 축

다음은 짧은 표기와 완전한 표기가 다른 모든 이름입니다.

**결정학적 짧은 이름 및 전체 이름**
짧다	오후	페이지	cm	ppm	pmg	pgg	cmm	p4m	p4g	p6m
가득한	p1m1	p1g1	c1m1	p2mm	p2mg	p2gg	c2mm	p4mm	p4gm	p6mm

나머지 이름은 p1, p2, p3, p3m1, p31m, p4 및 p6입니다.

오르비폴드 표기법

벽지 그룹의 Orbifold 표기법은 John Horton Conway(Conway, 1992년)가 제창하고 있으며 결정학이 아니라 토폴로지에 기초하고 있다.비행기의 무한 주기 타일링을 본질인 오비폴드로 접은 다음 몇 가지 기호로 설명할 수 있습니다.

자릿수 n은 오비폴드상의 원추점에 대응하는 n배 회전의 중심을 나타낸다.결정학적 제한정리에 따르면 n은 2, 3, 4, 또는 6이어야 한다.
별표 *는 오르비폴드의 경계에 대응하는 거울 대칭을 나타냅니다.다음과 같이 디지트와 상호 작용합니다.
1. * 앞의 숫자는 순수 회전(순환)의 중심을 나타냅니다.
2. * 뒤의 자릿수는 거울이 있는 회전 중심을 나타내며, 오르비폴드(이면체)의 경계에 있는 "모서리"에 해당합니다.
십자형 ×는 활공 반사가 존재할 때 발생하며, 오비폴드의 크로스 캡을 나타냅니다.순수한 거울은 격자 변환과 결합되어 활공을 생성하지만, 그것들은 이미 설명되었으므로 표기법이 필요하지 않습니다.
대칭 없음 기호 o는 단독으로 표시되며 다른 대칭이 없는 격자 변환만 있음을 나타냅니다.이 기호가 있는 오르비폴드는 토러스이며, 일반적으로 기호 o는 오르비폴드의 핸들을 나타냅니다.

결정학 표기법에서 cmm로 표시된 그룹은 Conway 표기법에서 2*22가 됩니다.* 앞에 있는 2는 2중 회전 중심이 있고 미러를 통과하지 않음을 나타냅니다.* 자체에는 거울이 있다고 되어 있습니다.* 뒤에 있는 첫 번째 2는 미러에 2중 회전 중심이 있음을 나타냅니다.마지막 2개는 거울에 독립적인 두 번째 두 번째 이중 회전 중심이 있다고 말하는데, 이 중 하나는 대칭 아래 첫 번째 회전 중심과 중복되지 않는다.

pgg로 표시되는 그룹은 22×가 됩니다.순수 2중 회전 중심 2개와 활공 반사 축 1개가 있습니다.이를 pmg, Conway 22*와 비교해 보십시오. 여기서 결정학적 표기법은 활공을 언급하지만, 오르비폴드의 다른 대칭에 암묵적인 표기법입니다.

반사 콕서터 그룹에 기초한 콕서터 괄호 표기법도 포함되며 회전, 부적절한 회전 및 변환을 설명하는 플러스 첨자로 수정된다.

**및 , 콕서터**
o		*×		632	*632
[⁺이, 이,⁺ 이, 이]	[(기대, 2), ⁺⁺]	[이, 이⁺,⁺ 이, 이]	[이, 이,⁺ 이, 이]	[6,3]⁺	[6,3]
p1	페이지	cm	11시	p6	p6m

333	*333	3*3	442	*442	4*2
[3^[3]]⁺	[3^[3]]	[3⁺,6]	[4,4]⁺	[4,4]	[4⁺,4]
p3	p3m1	p31m	p4	p4m	p4g

2222	22×	22*	*2222	2*22
[이, 이,⁺ 이, 이]	[(,,2),⁺ (,,2)]⁺	[(기대, 2), ⁺]	이, 이, 이, 이이, 이, 이, 이]	[이, 이⁺, 이, 이]
p2		pmg

의 그룹이

오비폴드는 면, 가장자리 및 정점이 있는 폴리곤으로 볼 수 있으며, 이 폴리곤은 구면, 평면 또는 쌍곡면 중 하나를 타일링하는 무한한 폴리곤 세트를 형성하기 위해 펼쳐질 수 있습니다.평면을 타일링하면 벽지 그룹이 표시되고 구면 또는 쌍곡면 타일링하면 구면 대칭 그룹 또는 쌍곡선 대칭 그룹이 됩니다.폴리곤 타일의 공간의 유형은 오일러 특성인 θ = V - E + F를 계산하여 찾을 수 있습니다. 여기서 V는 모서리 수(원점), E는 모서리 수, F는 면 수입니다.오일러 특성이 양의 경우, 오비폴드는 타원(구면) 구조를 가지고 있고, 0이면 포물선 구조, 즉 벽지 군을 가지고 있으며, 음의 경우 쌍곡선 구조를 가지고 있습니다.가능한 오르비폴드의 전체 집합을 열거할 때, 오직 17개만이 오일러 특성 0을 갖는다는 것을 발견한다.

오비폴드가 대칭에 의해 평면을 채우는 경우, 그 특징은 오일러 특성과 일치해야 하는 꼭지점, 모서리 및 다각형 면의 구조를 만듭니다.이 과정을 거꾸로 하면, 오비폴드의 특징에 숫자를 할당할 수 있지만, 정수가 아닌 분수를 할당할 수 있습니다.오비폴드 자체는 대칭군에 의한 전체 표면의 몫이기 때문에 오비폴드 오일러 특성은 대칭군의 순서에 의한 표면 오일러 특성의 몫이다.

오일러 을 뺀 됩니다.

*가 없거나 앞에 있는 숫자 n은 다음과 같이 카운트됩니다.n - 1/n
* 뒤에 숫자 n이 있으면 n - 1/2n으로 카운트됩니다.
*와 ×는 모두 1로 카운트됩니다.
됩니다.대칭 없음" o는 2로 카운트됩니다.

벽지 그룹의 경우 특성의 합계는 0이어야 하므로 피쳐 합계는 2여야 합니다.

»

632: 5/6 + 2/3 + 1/2 = 2
3*3: 2/3 + 1 + 2/6 = 2
4*2: 3/4 + 1 + 1/4 = 2
22×: 1/2 + 1/2 + 1 = 2

여기서 모든 벽지 그룹의 열거는 값이 2인 모든 피쳐 스트링을 나열하는 산술적인 문제가 됩니다.

다른 합계가 포함된 특징 문자열은 넌센스가 아닙니다.여기에서는 논하지 않습니다.(오비폴드 오일러 특성이 음수일 경우 타일은 쌍곡선입니다.양수, 구면 또는 불량일 경우)

그룹

어떤 벽지 그룹이 특정 설계에 해당하는지 계산하려면 다음 ^[4]표를 사용할 수 있습니다.

사이즈 ★★★★★★	★★★★★★★★★★★★★★★★★?
사이즈 ★★★★★★	.				.
6360°/6	p6m(*632)				p6(632)
360° / 4	45°니??				p4(442)
360° / 4	○: p4m (*442)		아니요: p4g (4*2)		p4(442)
360° / 3	앙앙 오오 미??				p3 (333)
360° / 3	있음: p31m (3*3)		아니요: p3m1 (*333)		p3 (333)
360° / 2	직직반 사사?				공공반 사사?
	.			.	공공반 사사?
	앙앙 오오 미??			pmg(22*)	있음: pgg(22×)	아니요: p2(2222)
	있음: cmm (2*22)	아니요: ppmm (*222)		pmg(22*)	있음: pgg(22×)	아니요: p2(2222)
	라이드 축프 ?러 ??? ???				공공반 사사?
	○: cm (*×)		아니요: pm (**)		○: pg (××)	아니요: p1 (o)

다이어그램과 함께 이 개요를 참조하십시오.

그룹 17개 그룹

이 섹션의 각 그룹은 2개의 셀 구조도를 가지고 있으며, 이는 다음과 같이 해석됩니다(색상이 아닌 중요한 모양입니다).

	2도 (180°)
	3도 (120°)
	4°(90°)
	6°(60°)
	반사의 축
	활공 반사의 축

오른쪽 다이어그램에서는 대칭 요소의 등가 클래스에 따라 색칠(및 회전)이 다릅니다.

갈색 또는 노란색 영역은 기본 영역, 즉 반복되는 패턴의 가장 작은 부분을 나타냅니다.

오른쪽 다이어그램은 가장 작은 변환에 해당하는 격자의 셀을 나타내고 왼쪽 다이어그램은 더 큰 면적을 나타낼 수 있습니다.

그룹 p1 (o)

p1의 예와 그림

격자 유형별 p1에 대한 셀 구조

			육 hex
사사 rectang rectang rectang				장

Orbifold 시그니처: o
콕서터 표기법(직사각형): [,,⁺ 2, ⁺]] 또는 []]×[]]⁺⁺
사선(): 사선(사선)
점 그룹:C₁.
그룹 p1에는 변환만 포함되어 있으며 회전, 반사 또는 활공 반사는 없습니다.

그룹 p1의 예

가 생성되었습니다.
중세 벽면 사열

2개의 변환(셀측)은 각각 다른 길이를 가지며 임의의 각도를 형성할 수 있습니다.

그룹 p2(2222)

p2의 예와 그림

격자 유형별 p2 셀 구조

			육 hex
사사 rectang rectang rectang				장

Orbifold 시그니처: 2222
콕서터 표기법(직사각형): [,,2,]]⁺
사선(): 사선(사선)
점 그룹:C₂.
그룹 p2는 2차(180°)의 회전 중심 4개를 포함하지만 반사나 활공 반사는 없다.

그룹 p2의 예

가 생성되었습니다.
옷감, 샌드위치 제도(하와이)
이집트 왕이 서 있던 매트
매트 )★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★」
이집트 무덤의 천장
철조망, 미국

그룹 pm (**)

pm의 예와 다이어그램

pm의 셀 구조

미러 ★★★★★★	미러 ★★★★★★

Orbifold 시그니처: **
콕서터 표기법 : [,, 2, ⁺]] 또는 [⁺2, 2, ]]
: 자 : 사사 lattice lattice lattice lattice
점 그룹:D₁.
pm 그룹은 로테이션이 없습니다.반사축이 있고, 모두 평행합니다.

그룹 pm의 예

번째 세 축이 , 두

가 생성되었습니다.
이집트 비반 엘 몰룩의 무덤에 있는 인물의 드레스
이집트 무덤 테베
이집트 구르나의 무덤 천장.반사축은 대각선입니다.
1851년 전시회에서 인도 금속공예품.이것은 거의 pm이다(타원 모티브 사이의 짧은 대각선을 무시하고 p1로 한다).

그룹 pg(××)

pg의 예와 다이어그램

pg의 셀 구조

수평 활공	수직 활공
직사각형

Orbifold 시그니처 : ××
콕서터 표기법 : [(,, 2), ⁺⁺]또는 [,,⁺ (2, ⁺)])]
격자: 직사각형
점 그룹:D₁.
그룹 pg는 활공 반사만 포함하며 축은 모두 평행합니다.회전이나 반사는 없습니다.

그룹 pg의 예

컴퓨터 생성
이집트 왕이 서 있던 헤링본 무늬 매트
이집트 매트(상세)
잘츠부르크에 있는 헤링본 무늬의 포장도로.활공 반사축이 북동-남서쪽으로 흐릅니다.
스너브 정사각형 타일링의 색상 중 하나. 활공 반사선은 왼쪽 위/오른쪽 아래 방향에 있습니다. 색상을 무시하면 pg보다 대칭이 훨씬 커집니다(같은 색의 ^[5]삼각형이 있는 이 이미지에 대해서는 여기를 참조).

지그재그 밴드 안에 디테일이 없으면 매트는 pmg, 디테일이 있으면 갈색과 검은색의 구별 없이 pgg입니다.

타일의 물결치는 테두리를 무시하고 포장은 pgg입니다.

그룹 cm(*×)

cm의 예와 다이어그램

cm의 셀 구조

수평 미러	수직 미러
마름모꼴

Orbifold 시그니처 : *×
콕서터 표기법 : [,,⁺ 2⁺, ]] 또는 [2⁺, 2, ⁺]]
격자: 마름모꼴
점 그룹:D₁.
cm 그룹에 회전이 없습니다.모두 평행한 반사축을 가지고 있습니다.축이 반사 축이 아닌 활공 반사가 하나 이상 있습니다. 이 반사는 인접한 두 평행 반사 축 사이의 중간에 있습니다.
이 그룹은 대칭 축이 행에 수직인 동일한 객체의 대칭 시차 행(즉, 행 내부의 변환 거리의 절반의 행당 이동이 있음)에 적용됩니다.

그룹 cm의 예

컴퓨터 생성
이집트 아부 심벨의 아문 드레스
이집트 비반 엘 몰룩에서 온 다도
아시리아 님라우드의 청동 선박
스페인, 알함브라 궁전의 아치형 방패
스페인 알함브라 궁전의 소피트
페르시아어 태피스트리
1851년 전시회에서 인도 금속 세공
이집트 비반 엘 몰룩의 무덤에 있는 인물의 드레스

그룹 pmm(*2222)

pmm의 예 및 다이어그램

pmm용 셀 구조

직사각형의	광장

Orbifold 시그니처 : *2222
콕서터 표기법(직사각형): [,, 2, ]] 또는 []]×[]]
콕서터 표기법(사각형): [4,1⁺,4] 또는 [1⁺,4,4,1⁺]
격자: 직사각형
점 그룹:D₂.
그룹 pmm는 2개의 수직 방향의 반사와 2차(180°)의 4개의 회전 중심이 있습니다.반사축의 교차점에 있습니다.

그룹 pmm의 예

미국 격자 울타리의 2D 영상(3D에는 추가적인 대칭이 있음)
루브르 박물관에 보관된 미라 케이스
루브르 박물관에 보관되어 있는 미라 케이스.색상의 불일치를 제외하고 p4m 타입이 됩니다.

그룹 pmg(22*)

pmg의 예와 다이어그램

pmg용 셀 구조

수평 미러	수직 미러

Orbifold 시그니처: 22*
콕서터 표기법 : [(,, 2), ⁺]또는 [,, (2, ⁺)])]
격자: 직사각형
점 그룹:D₂.
그룹 pmg에는 2차(180°)의 회전 중심이 두 개 있고 반사가 한 방향으로만 이루어진다.축이 반사축과 수직인 활공 반사가 있습니다.회전 중심은 모두 활공 반사 축에 있습니다.

그룹 pmg의 예

컴퓨터 생성
옷감, 샌드위치 제도(하와이)
이집트 무덤의 천장
체코 프라하의 바닥 타일
케르마에서 온 그릇
펜타곤 패킹

그룹 pgg(22×)

pgg 예제 및 다이어그램

격자 유형별 pgg용 셀 구조

직사각형	광장

Orbifold 시그니처: 22×
콕서터 표기법(직사각형): [(,,2),(,,⁺2)]⁺
콕서터 표기법(사각형): [4⁺,4⁺]
격자: 직사각형
점 그룹:D₂.
그룹 pgg에는 2차(180°)의 회전 중심 두 개와 수직 방향의 활공 반사가 포함된다.회전 중심은 활공 반사 축에 위치하지 않습니다.반사가 없어요.

그룹 pgg의 예

컴퓨터 생성
아시리아 님라우드의 청동 선박
헝가리 부다페스트의 도로

그룹 cmm (2*22)

cmm의 예와 다이어그램

격자 유형별 cmm 셀 구조

마름모꼴	광장

Orbifold 시그니처: 2*22
콕서터 표기법(롬빅):[이, 이⁺, 이, 이]
콕서터 표기법(사각형): [(4,4,2⁺)]
격자: 마름모꼴
점 그룹:D₂.
그룹 cmm는 2개의 수직 방향의 반사와 2차 회전(180°)을 가진다.그 중심이 반사축에 있지 않다.또한 중심부가 반사축 위에 있는 두 번의 회전도 있습니다.
이 그룹은 벽돌 건물의 가장 일반적인 벽돌 배열(런닝 본드)이 이 그룹을 사용하기 때문에 일상 생활에서 자주 볼 수 있습니다(아래 예 참조).

마름모꼴 측면의 중심에 회전 중심이 있는 순서 2의 회전 대칭은 다른 특성들의 결과입니다.

패턴은 다음 각 항목에 대응합니다.

같은 이중 대칭 물체의 대칭적으로 엇갈린 행
두 개의 교차하는 직사각형 타일의 체크보드 패턴으로, 각각은 이중 대칭이다.
2중 회전대칭 직사각형 타일과 그 거울상의 체커보드 패턴

그룹 cmm의 예

컴퓨터 생성
8개의 반규칙 테셀레이션 중 하나
런닝 본드 어레인지먼트를 사용한 교외 벽돌 벽, 미국,
이집트 무덤의 천장.색상을 무시하면 p4g이 됩니다.
이집트어
페르시아어 태피스트리
이집트어 무덤
터키 요리
두 가지 크기의 원으로 이루어진 컴팩트한 패킹
두 가지 크기의 원으로 이루어진 또 다른 컴팩트한 패킹
두 가지 크기의 원으로 이루어진 또 다른 컴팩트한 패킹

그룹 p4(442)

p4의 예와 그림

p4의 셀 구조

Orbifold 시그니처: 442
콕서터 표기법: [4,4]⁺
격자: 정사각형
점 그룹:C₄.
그룹 p4에는 4차 회전 중심 2개(90°)와 2차 회전 중심 1개(180°)가 있다.반사 또는 활공 반사가 없습니다.

그룹 p4의 예

p4 패턴은 4배 회전대칭의 등각 타일 행과 열의 반복으로 볼 수 있다.또, 이러한 2개의 타일의 체커보드 패턴으로서 2배 이상 작고 45° 회전하는 것으로 볼 수 있다.

컴퓨터 생성
이집트 무덤의 천장. 색상을 무시하면 p4, 그렇지 않으면 p2입니다.
이집트 무덤의 천장
중첩 패턴
프리즈, 알함브라, 스페인.반사가 없는 이유를 자세히 검사해야 합니다.
빈 지팡이
르네상스식 토기
피타고라스 타일링
사진에서 생성됨

그룹 p4m(*442)

p4m의 예와 그림

p4m용 셀 구조

Orbifold 시그니처 : *442
콕서터 표기법: [4,4]
격자: 정사각형
점 그룹:D₄.
그룹 p4m에는 4차(90°)의 회전 중심이 2개 있고, 4가지 뚜렷한 방향(수평, 수직 및 대각선)의 반사가 있다.축이 반사축이 아닌 추가적인 활공 반사가 있으며 2차 회전(180°)활공 반사축의 교차점에 중심을 맞춥니다.모든 회전 중심은 반사 축에 있습니다.

이는 4개의 반사 축이 있는 동일한 정사각형 행과 열의 직선 그리드에 해당합니다.또한 이러한 정사각형 중 두 개의 체커보드 패턴에 해당합니다.

그룹 p4m의 예

가장 작은 수평 및 수직 변환으로 표시되는 예(그림과 같이):

컴퓨터 생성
세 가지 규칙적인 테셀레이션 중 하나
삼각형이 있는 반규칙 타일링. 색상을 무시하면 p4m이고 그렇지 않으면 c2m입니다.
8개의 반규칙 테셀레이션 중 하나(번역된 작은 색상의 색상도 포함)
아시리아 니네베의 장식화
배수구, 미국
이집트 미라 케이스
페르시아 유약 타일
2가지 크기의 원을 컴팩트하게 패킹

가장 작은 대각선 변환으로 표시되는 예는 다음과 같습니다.

체커보드
옷감, 오타헤이트(타히티)
이집트어 무덤
부르주 대성당
터키 요리, 오스만 시대

그룹 p4g(4*2)

p4g의 예와 그림

p4g용 셀 구조

Orbifold 시그니처: 4*2
콕서터 표기법: [4⁺,4]
격자: 정사각형
점 그룹:D₄.
그룹 p4g은 서로 거울상인 4차(90°)의 회전 중심을 2개 가지고 있지만 수직인 두 방향에서만 반사가 일어난다.2차 회전(180°)이 있습니다.그 중심은 반사축의 교차점에 위치한다.반사축과 평행한 활공반사축을 가지며, 그 사이에 45°의 각도가 있습니다.

p4g 패턴은 4배 회전대칭 정사각형 타일의 복사와 그 거울상의 체커보드 패턴으로 볼 수 있다.또는 (반쪽 타일을 이동함으로써) 수평 및 수직 대칭 타일과 90° 회전 버전의 복사 체커보드 패턴으로 볼 수 있습니다.흑백 타일의 플레인 체커보드 패턴에는 적용되지 않습니다.이것은 그룹 p4m(대각 변환 셀 포함)입니다.

그룹 p4g의 예

화장실 리놀륨, 미국
도색 도자기, 중국
플라이스크린, 미국
그림, 중국
스누브 사각형 타일링의 착색 중 하나(pg도 참조)

그룹 p3(333)

p3의 예와 그림

p3의 셀 구조

Orbifold 시그니처: 333
콕서터 표기법: [(3,3,3)]⁺ 또는 [3^[3]]⁺
격자: 육각형
점 그룹:C₃.
그룹 p3에는 3차(120°)의 회전 중심이 3개 있지만 반사나 활공 반사는 없다.

같은 크기의 정삼각형으로 평면을 테셀레이션하고 변이 가장 작은 변환에 대응한다고 상상해 보십시오.그리고 삼각형의 절반은 한 방향으로, 나머지 절반은 거꾸로 되어 있습니다.이 벽지 그룹은 같은 방향의 모든 삼각형이 동일한 경우로, 두 유형 모두 3차 회전 대칭을 가지지만, 두 유형이 같지 않고, 서로의 거울 이미지가 아니며, 양쪽 대칭이 아닌 경우 p6입니다(두 유형이 같으면 p31m이고, 둘 다 대칭이면 p31m입니다).p3m1 이며, 3개 중2개가 적용되면 3번째도 적용되며, p6m)주어진 영상의 경우 이러한 테셀레이션 중 세 가지가 가능하며, 각각 회전 중심이 정점으로 지정됩니다. 즉, 모든 테셀레이션에 대해 2교대가 가능합니다.이미지의 관점에서: 정점은 빨간색, 파란색 또는 녹색 삼각형일 수 있습니다.

마찬가지로, 가장 작은 변환 거리에 해당하는 변을 θ3으로 나눈 정육각형 평면의 테셀레이션을 상상해 보십시오.그리고 이 벽지 그룹은 모든 육각형들이 동일하고 (같은 방향으로) 3차 회전대칭인 반면, 거울상 대칭이 없는 경우에 대응합니다(6차 회전대칭인 경우 p6, 주대각선에 대해 대칭인 경우 p31m, re와 대칭인 경우 p31m입니다).측면에 수직인 라인에 대한 스펙트럼은 p3m1이다. 세 개 중 두 개가 적용되면 세 번째도 p6m)이다.주어진 이미지에 대해 이러한 테셀레이션 중 3개가 가능하며, 각 테셀레이션은 회전 중심의 1/3을 육각의 중심으로 합니다.이미지의 관점에서: 육각형의 중심은 빨간색, 파란색 또는 녹색 삼각형이 될 수 있습니다.

그룹 p3의 예

컴퓨터 생성
8개의 반정규 테셀레이션 중 하나(색상: p6); 번역 벡터는 이미지의 밑부분 육각형 격자의 방향과 비교하여 약간 오른쪽으로 회전한다.
폴란드 자코파네의 도로 포장
스페인 알함브라의 벽 타일(및 전체 벽); 모든 색상을 무시한 이것은 p3입니다(별 색상만 무시한 것은 p1).

그룹 p3m1(*333)

p3m1의 예와 그림

p3m1의 셀 구조

Orbifold 시그니처 : *333
콕서터 표기법: [(3,3,3)] 또는 [3^[3]]
격자: 육각형
점 그룹:D₃.
그룹 p3m1에는 3차(120°)의 회전 중심이 3개 있다.그것은 정삼각형의 세 변에 반사를 가지고 있다.모든 회전의 중심은 반사 축에 있습니다.세 가지 방향에는 추가적인 활공 반사가 있으며, 그 축은 인접한 평행 반사 축의 중간에 위치합니다.

p3의 경우와 마찬가지로 크기가 동일한 정삼각형으로 평면을 테셀레이션하고 변이 가장 작은 변환에 대응한다고 상상해 보십시오.그리고 삼각형의 절반은 한 방향으로, 나머지 절반은 거꾸로 되어 있습니다.이 벽지 그룹은 같은 방향의 모든 삼각형이 동일한 경우 두 유형 모두 3차 회전 대칭을 가지며 둘 다 대칭이지만 두 유형이 동일하지 않고 서로의 미러 이미지가 아닌 경우에 해당합니다.주어진 영상의 경우 회전 중심을 정점으로 하는 세 가지 테셀레이션이 가능합니다.이미지의 관점에서: 정점은 빨간색, 짙은 파란색 또는 녹색 삼각형이 될 수 있습니다.

그룹 p3m1의 예

3가지 일반 테셀레이션 중 하나(표준 색상: p6m)
다른 일반 테셀레이션(표준 색상: p6m)
8개의 반규칙 테셀레이션 중 하나(표준 색상: p6m)
페르시아 유약 타일 (무시색 : p6m)
페르시아 장식품
그림, 중국(상세 이미지 참조)

그룹 p31m(3*3)

p31m의 예와 그림

p31m용 셀 구조

Orbifold 시그니처: 3*3
콕서터 표기법: [6,3⁺]
격자: 육각형
점 그룹:D₃.
그룹 p31m에는 3차(120°)의 서로 다른 회전 중심이 있으며, 그 중 2개는 서로의 거울 이미지입니다.그것은 세 방향의 뚜렷한 반사를 가지고 있다.중심부가 반사축에 있지 않은 회전이 하나 이상 있습니다.세 가지 방향에는 추가적인 활공 반사가 있으며, 그 축은 인접한 평행 반사 축의 중간에 위치합니다.

p3 및 p3m1과 마찬가지로 크기가 동일한 정삼각형으로 평면을 테셀레이션하고 변이 가장 작은 변환에 대응한다고 상상해 보십시오.그리고 삼각형의 절반은 한 방향으로, 나머지 절반은 거꾸로 되어 있습니다.이 벽지 그룹은 같은 방향의 모든 삼각형이 동일한 경우 두 유형 모두 3차 회전 대칭을 가지며 서로의 거울 이미지이지만 대칭 자체는 아니며 동일하지 않은 경우에 해당합니다.주어진 이미지에 대해 이러한 테셀레이션은 하나만 가능합니다.이미지의 관점에서: 정점은 진한 파란색 삼각형일 수 없습니다.

그룹 p31m의 예

페르시아 유약 타일
도색 도자기, 중국
그림, 중국
2가지 크기의 원을 컴팩트하게 패킹

그룹 p6(632)

p6의 예와 그림

p6의 셀 구조

Orbifold 시그니처: 632
콕서터 표기법: [6,3]⁺
격자: 육각형
점 그룹:C₆.
그룹 p6에는 6차(60°)의 회전 중심이 하나 있습니다.; 60° 회전 시 서로의 이미지인 3차 회전 중심 2개(120°) 및 2차 회전 중심 3개(180°)60° 회전하는 서로의 이미지이기도 합니다.반사 또는 활공 반사가 없습니다.

이 대칭을 가진 패턴은 C 대칭을 가진₃ 동등한 삼각형 타일을 가진 평면의 테셀레이션 또는 C 대칭을 가진₆ 동등한 육각형 타일을 가진 평면의 테셀레이션으로 볼 수 있다(패턴의 가장자리는 반드시 패턴의 일부가 아니다).

그룹 p6의 예

컴퓨터 생성
일반 폴리곤
스페인 알함브라 궁전 벽면 패널링
페르시아 장식품

그룹 p6m(*632)

p6m의 예와 그림

p6m용 셀 구조

Orbifold 시그니처 : *632
콕서터 표기법: [6,3]
격자: 육각형
점 그룹:D₆.
그룹 p6m은 순서 6(60°)의 회전 중심이 하나이고, 순서 3의 회전 중심이 두 개이며, 순서 2의 회전 중심은 60°(또는 동등하게 180°)만 다르다.그것은 또한 6개의 뚜렷한 방향으로 반사된다.6개의 뚜렷한 방향으로 추가적인 활공 반사가 있으며, 그 축은 인접한 평행 반사 축의 중간에 위치합니다.

이 대칭을 가진 패턴은 D 대칭을 가진 동등한₃ 삼각형 타일을 가진 평면의 테셀레이션 또는 D 대칭을 가진₆ 동등한 육각형 타일을 가진 평면의 테셀레이션으로 볼 수 있다(패턴의 가장자리가 반드시 패턴의 일부일 필요는 없음).따라서 가장 간단한 예로는 선이 연결되거나 연결되지 않은 삼각형 격자, 육각형 타일링과 육각형 타일링이 있습니다.

그룹 p6m의 예

컴퓨터 생성
8개의 반규칙 테셀레이션 중 하나
또 다른 반규칙 테셀레이션
또 다른 반규칙 테셀레이션
페르시아 유약 타일
아시리아의 코르사바드 왕의 드레스, 이것은 거의 p6m입니다(꽃의 안쪽 부분을 무시하고 cmm를 만듭니다).
아시리아 님라우드의 청동 선박
비잔틴 대리석 포장도로, 로마
도색 도자기, 중국
도색 도자기, 중국
2가지 크기의 원을 컴팩트하게 패킹
두 가지 크기의 원으로 이루어진 또 다른 컴팩트한 패킹

격자형

격자 자체의 5가지 가능한 벽지 그룹에 해당하는 5가지 격자 유형 또는 Bravais 격자 유형이 있습니다.이 반향 대칭 격자를 가진 패턴의 벽지 그룹은 더 많은 것을 가질 수 없지만 격자 자체보다 더 적은 대칭을 가질 수 있습니다.

3차 또는 6차 회전 대칭의 5가지 경우 단위 셀은 두 개의 정삼각형(16각형 격자 자체 p6m)으로 구성됩니다.그들은 60°와 120°의 각도를 가진 마름모를 형성한다.
순서 4의 회전 대칭인 세 가지 경우 셀은 정사각형(사각형 격자, 자체 p4m)입니다.
둘 다 아닌 반사 또는 활공 반사의 5가지 경우 셀은 직사각형(직각 격자 자체 pmm)입니다.이것은 중심 마름모꼴 격자로 해석될 수도 있다.특수한 경우: 정사각형.
활공반사와 결합된 2가지 반사의 경우 세포는 마름모꼴(마름모꼴 격자, 그 자체 cmm)이다.중심 직사각형 격자로 해석할 수도 있습니다.특수한 경우: 정사각형, 육각형 단위 셀.
차수 2의 회전대칭만 있고 다른 대칭이 없는 경우 셀은 일반적으로 평행사변형(평행격자 또는 경사격자, p2)이다.특수한 경우: 직사각형, 정사각형, 마름모꼴, 육각형 단위 셀.

대칭군

실제 대칭 그룹은 벽지 그룹과 구별되어야 합니다.벽지 그룹은 대칭 그룹의 집합입니다.17개의 컬렉션이 있지만 각 컬렉션마다 대칭 그룹이 무한히 많습니다. 즉, 실제 등각성 그룹이라는 의미에서는요.벽지 그룹과는 별도로 변환 벡터의 여러 파라미터, 반사축 및 회전중심 방향 및 위치에 따라 달라집니다.

자유도는 다음과 같습니다.

p2의 경우 6
pmm, pmg, pgg 및 cmm의 경우 5
나머지는 4개.

그러나 각 벽지 그룹 내에서 모든 대칭 그룹은 대수적으로 동형입니다.

일부 대칭 그룹 동형:

p1: Z²
pm: Z × D_∞
pmm: D_∞ × D_∞.

변혁에 대한 벽지 그룹의 의존성

패턴의 벽지 그룹은 등각선 및 균일한 스케일링(유사성 변환)에서 불변합니다.
번역 대칭은 임의의 비주사적 아핀 변환 하에서 보존됩니다.
2차 회전 대칭. 또한 4배와 6배 회전 중심이 최소 2배 회전 대칭을 유지합니다.
선내 반사 및 활공 반사는 반사 및 활공 반사의 축을 따라 또는 수직인 신축 시 보존된다.신축 방향에 따라 p6m, p4g, p3m1을 cmm, p3m1을 cm, p4m을 pmm 또는 cmm로 바꾼다.대칭적으로 엇갈린 점 행의 패턴은 p6m에서 p4m로 확장/수축으로 변환할 수 있다는 점에서 특별하다.

변환이 대칭을 감소시키는 경우 일부 패턴에 대해 분명히 같은 종류의 변환(역)이 대칭을 증가시킵니다.패턴의 이러한 특수 특성(예: 한 방향으로의 확장이 4중 대칭을 갖는 패턴을 생성함)은 추가 대칭의 형태로 간주되지 않는다.

변경 전 같은 색상의 2개 점, 변경 후 같은 색상의 2개 점, 변경 전 다른 색상의 2개 점 모두 변경 후 다른 색상의 2개 점일 경우 색상 변경은 벽지 그룹에 영향을 주지 않습니다.

컬러 이미지를 흑백으로 변환하는 경우 등 후자가 아닌 전자가 적용되면 대칭은 유지되지만 증가하여 벽지 그룹을 변경할 수 있습니다.

웹 데모 및 소프트웨어

여러 소프트웨어 그래픽 도구를 사용하여 벽지 대칭 그룹을 사용하여 2D 패턴을 만들 수 있습니다.일반적으로 원본 타일을 편집할 수 있으며 전체 패턴의 타일 복사본이 자동으로 업데이트됩니다.

17개의 벽지 그룹을 지원하는 Adobe Illustrator 템플릿의 무료 세트인 MadPattern
Tess는 여러 플랫폼용 셰어웨어 테셀레이션 프로그램으로서 모든 벽지, 프리즈, 로제트 그룹 및 Heesch 타일링을 지원합니다.
Wallpage Symmetry는 17개의 그룹을 지원하는 무료 온라인 JavaScript 그리기 도구입니다.메인 페이지에는 벽지 그룹에 대한 설명과 그림 도구 및 다른 평면 대칭 그룹에 대한 설명이 있습니다.
테셀레이션 기능을 포함한 교육용으로 설계된 무료 소프트웨어 '테일즈 게임'
Kali Archived 2018-12-16 at the Wayback Machine, 온라인 그래피컬 대칭 에디터 Java 애플릿(브라우저에서는 기본적으로 지원되지 않음)
Kali Archived 2020-11-21 Wayback Machine, Windows 및 Mac Classic용 무료 다운로드 가능 Kali.
자유 벡터 그래픽 편집기인 Inkscape는 17개 그룹 모두에 대해 임의의 축척, 이동, 회전 및 색상 변경을 지원합니다(옵션으로 지정된 각도로 랜덤화).([1] 참조)
SymmetryWorks는 Adobe Illustrator용 상용 플러그인으로 17개 그룹을 모두 지원합니다.
EscherSketch는 17개의 그룹을 지원하는 무료 온라인 JavaScript 그리기 도구입니다.
Repper는 17개의 그룹과 다수의 비주기적 타일을 지원하는 상용 온라인 그리기 도구입니다.

「」를 참조해 주세요.

메모들

^ E. 페도로프(1891) "Simmetrija na floskosti, symmetry in the plane", "Simmetrija na floskosti", "Simmetrija na floskosti", "Symmetry in the plane", "Symmetryja na na na na floskosti", "Sy", "Symetrymetrymetrymetrymetrykosti", "S" 등입니다.페테르부르크 광물학회), 시리즈 2, 28: 345-390(러시아어).
^ Pólya, George (November 1924). "Über die Analogie der Kristallsymmetrie in der Ebene" [On the analog of crystal symmetry in the plane]. Zeitschrift für Kristallographie (in German). 60 (1–6): 278–282. doi:10.1524/zkri.1924.60.1.278. S2CID 102174323.
^ Klarreich, Erica (5 March 2013). "How to Make Impossible Wallpaper". Quanta Magazine. Retrieved 2021-04-07.
^ Radaelli, Paulo G. Symmetry in Crystallography. Oxford University Press.
^ 정사각형을 배경으로 생각하면 마름모꼴의 단순한 패턴을 볼 수 있다.

레퍼런스

오웬 존스가 쓴 '장식의 문법'(1856년).이 기사의 많은 이미지들은 이 책에서 가져온 것입니다. 더 많은 이미지들이 포함되어 있습니다.
존 H. 콘웨이(1992)"표면 그룹에 대한 Orbifold 표기법"인: M. W. Liebeck and J. Saxl (ed.) , 그룹, 조합론 및 기하학, L.M.S. Durham 심포지엄의 진행, 1990년 7월 5일부터 15일까지 영국 더럼, 런던 수학.Soc. 강의 노트 시리즈 165.케임브리지 대학 출판부, 케임브리지. 페이지 438~447
John H. Conway, Heidi Burgiel 및 Chaim Goodman-Strauss (2008) :사물의 대칭성A.K. 피터스ISBN 1-56881-220-5.
브란코 그룬바움과 G.C.Shephard(1987년):타일링 및 패턴.뉴욕: 프리먼.ISBN 0-7167-1193-1.
패턴 디자인, 루이스 F.요일

외부 링크

국제결정학표 A권: 국제결정학연맹에 의한 공간-군대칭
데이비드 E에 의한 17개의 평면 대칭 그룹.조이스
Chaim Goodman-Strauss와 Heidi Burgiel의 벽지 패턴 소개
설명(Silvio Levy)
각 그룹에 대한 타일링 예제(속성의 동적 데모 포함)
Brian Sanderson의 각 그룹별 타일링 예제를 사용한 개요
17개의 평면 대칭 그룹에 모두 그리기 위한 대화형 도구가 있는 Java 애플릿인 Escher Web Sketch
대칭 그룹을 그리기 위한 Java 애플릿인 Burak.Wayback Machine에서 2009-02-18 아카이브 완료
벽지 패턴을 그리기 위한 JavaScript 앱
그리스 로마 모자이크의 원무늬
17가지 벽지 패턴 2017-10-12년 웨이백 머신에 보관된 일본 전통 패턴의 17가지 대칭.
Baloglou, George (2002). "An elementary, purely geometrical classification of the 17 planar crystallographic groups (wallpaper patterns)". Archived from the original on 2018-08-07. Retrieved 2018-07-22.

[1] E. 페도로프(1891) "Simmetrija na floskosti, symmetry in the plane", "Simmetrija na floskosti", "Simmetrija na floskosti", "Symmetry in the plane", "Symmetryja na na na na floskosti", "Sy", "Symetrymetrymetrymetrymetrykosti", "S" 등입니다.페테르부르크 광물학회), 시리즈 2, 28: 345-390(러시아어).

[2] Pólya, George (November 1924). "Über die Analogie der Kristallsymmetrie in der Ebene" [On the analog of crystal symmetry in the plane]. Zeitschrift für Kristallographie (in German). 60 (1–6): 278–282. doi:10.1524/zkri.1924.60.1.278. S2CID 102174323.

[3] Klarreich, Erica (5 March 2013). "How to Make Impossible Wallpaper". Quanta Magazine. Retrieved 2021-04-07.

[4] Radaelli, Paulo G. Symmetry in Crystallography. Oxford University Press.

[5] 정사각형을 배경으로 생각하면 마름모꼴의 단순한 패턴을 볼 수 있다.

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