폴리토프


다면체는 3차원 다면체입니다.

기본 기하학에서 폴리토프는 평평한 면(면)을 가진 기하학적 물체입니다.다면체는 3차원 다면체를 임의의 차원으로 일반화하는 것입니다.폴리토프는 n차원 폴리토프 또는 n-폴리토프로서 일반적인 차원 $n$ 에 존재할 수 있습니다.예를 들어, 2차원 다각형은 2-다각형이고 3차원 다면체는 3-다각형입니다.이러한 맥락에서 "평탄한 변"은 ( $k$ + $1)-$ 폴리토프의 변이 ( $k$ – $1)-$ 폴리토프를 공통으로 가질 수 있는 k-폴리토프로 구성된다는 것을 의미합니다.

일부 이론은 무한한 아페로이토페와 테셀레이션, 구면 다면체를 포함한 곡선 다양체의 분해 또는 타일링, 집합 이론 추상 다면체와 같은 객체를 포함하도록 아이디어를 더 일반화합니다.

3차원 이상의 다면체는 1853년 이전에 루드비히 슐레플리(Ludwig Schläfli)에 의해 처음으로 발견되었으며, 그는 이러한 모습을 다면체라고 불렀습니다.^[1]폴리탑이라는 독일어 용어는 수학자 라인홀드 호페에 의해 만들어졌고, 알리샤 불 스토트에 의해 영국 수학자들에게 폴리탑으로 소개되었습니다.

정의에 대한 접근법

오늘날 폴리토프(polytope)라는 용어는 넓은 종류의 대상을 포괄하는 광범위한 용어이며, 수학 문헌에는 다양한 정의가 등장합니다.이러한 정의의 대부분은 서로 동일하지 않기 때문에 여러 겹친 개체 집합을 폴리토페라고 합니다.이들은 볼록 다포체를 유사한 속성을 가진 다른 개체를 포함하도록 일반화하는 다양한 접근 방식을 나타냅니다.

루드비히 슐레플리, 소롤드 고셋 등이 널리 따르는 원래의 접근법은 2차원과 3차원에서 각각 다각형과 다면체의 아이디어를 4차원 이상으로 유추하여 확장하는 것으로 시작됩니다.^[2]

다면체의 오일러 특성을 고차원의 다면체로 일반화하려는 시도는 위상수학의 발전과 분해 또는 CW-복합체를 다면체와 유사하게 취급하게 했습니다.^[3]이 접근법에서, 폴리토프는 어떤 주어진 다양체의 테셀레이션 또는 분해로 간주될 수 있습니다.이 접근법의 예는 폴리토프를 단순 분해를 인정하는 점들의 집합으로 정의합니다.이 정의에서 폴리토프(polytope)는 무한히 많은 단순들의 결합이며, 교집합이 비어 있지 않은 임의의 두 단순들에 대해 그들의 교집합이 두 단순들의 꼭짓점, 모서리 또는 더 높은 차원의 면이라는 추가적인 특성을 갖습니다.^[4]그러나 이 정의는 내부 구조를 가진 별 폴리토페를 허용하지 않으므로 수학의 특정 영역으로 제한됩니다.

항성 다면체와 다른 특이한 구조들의 발견은 다면체의 내부를 무시하고 경계면으로서 다면체의 아이디어를 이끌어냈습니다.^[5]이 빛의 볼록 다포체는 p-1-구의 타일링과 같으며, 다른 것들은 다른 타원형, 평면 또는 토로이드(p-1)-표면의 타일링일 수 있습니다 – 타원형 타일링과 토로이드 다면체를 참조하십시오.다면체는 면이 다각형인 면, 4-다면체는 다면체인 초면 등으로 이해됩니다.

낮은 차원의 폴리토프로부터 더 높은 폴리토프를 구성하는 아이디어는 때때로 차원이 아래로 확장되며, (가장자리)는 점 쌍으로 경계지어지는 1-폴리토프로 보이고 점 또는 꼭짓점은 0-폴리토프로 표시됩니다.이 접근법은 예를 들어 추상적 다포체 이론에서 사용됩니다.

수학의 특정 분야에서, "다면체"와 "다면체"라는 용어는 다른 의미로 사용됩니다: 다면체는 어떤 차원에서든 일반적인 물체이고 (이 글에서는 다면체라고 함), 다면체는 경계가 있는 다면체를 의미합니다.^[6]이 용어는 일반적으로 볼록한 다면체와 다면체에 국한됩니다.이 용어를 사용하면, 볼록 다면체는 유한한 수의 반공간의 교차점이며 그 측면에 의해 정의되는 반면, 볼록 다면체는 유한한 수의 점의 볼록 선체이며 그 꼭짓점에 의해 정의됩니다.

더 낮은 차원의 폴리토프는 다음과 같은 표준 이름을 갖습니다.

치수 다포체의	설명^[7]
−1	널리토프
0	모논
1	디온
2	다각형
3	다면체
4	폴리초론^[7]

요소들

폴리토프는 꼭짓점, 모서리, 면, 셀 등과 같은 차원이 다른 요소로 구성됩니다.이들에 대한 용어는 여러 작성자 간에 완전히 일치하지 않습니다.예를 들어, 어떤 저자들은 (n - 1)차원 요소를 나타내기 위해 얼굴을 사용하고, 다른 저자들은 2-얼굴을 구체적으로 나타내기 위해 얼굴을 사용합니다.작성자는 j 차원의 요소를 나타내기 위해 j 면 또는 j 면을 사용할 수 있습니다.어떤 사람들은 가장자리를 사용하여 능선을 가리키고, H.S.M. Coxeter는 셀을 사용하여 (n - 1)차원 요소를 나타냅니다.^[8]^{[citation needed]}

이 기사에 채택된 용어는 아래 표에 나와 있습니다.

치수 요소가 있는	용어 (n-폴리토프에서)
−1	귀무(추상이론에서 필요)^[7]
0	꼭짓점
1	가장자리
2	얼굴
3	감방
$\vdots$	$\vdots$
j	j면 – 순위 j의 원소 = -1, 0, 1, 2, 3, ..., n
$\vdots$	$\vdots$
n − 3	피크 – (n - 3)-면
n − 2	능선 또는 하위 면 – (n - 2)-면)
n − 1	면(facet) – (n - 1)-면
n	다포체 자체가

n차원 폴리토프는 다수의 (n - 1)차원 파셋으로 경계가 정해집니다.이 패싯들은 그 자체로 원래의 폴리토프의 (n - 2)차원 능선인 폴리토프입니다.모든 융기는 두 개의 패싯의 교차점으로 발생합니다(단, 두 패싯의 교차점이 융기일 필요는 없습니다).융선은 다시 한 번 원래의 폴리토프의 (n - 3)차원 경계를 생성하는 폴리토프입니다.이러한 경계 서브-폴리토프는 페이스, 특히 j 차원 페이스 또는 j-페이스로 지칭될 수 있습니다.0차원 면을 꼭짓점이라고 하며, 하나의 점으로 구성됩니다.1차원 페이스를 에지라고 하며 선 세그먼트로 구성됩니다.2차원 얼굴은 다각형으로 구성되어 있고, 셀이라고 불리는 3차원 얼굴은 다면체로 구성되어 있습니다.

폴리스토페의 중요한 부류

볼록다포체

다포체는 볼록한 모양일 수 있습니다.볼록 폴리토페는 폴리토페의 가장 단순한 종류이며, 폴리토페 개념의 여러 가지 다른 일반화의 기초를 형성합니다.볼록 폴리토프는 때때로 반공간 집합의 교집합으로 정의됩니다.이 정의를 통해 폴리토프는 유계 또는 유한하지 않을 수 있습니다.폴리토프는 선형 프로그래밍과 같은 방식으로 정의됩니다.폴리토프를 포함하는 유한한 반지름의 공이 있을 경우 폴리토프는 경계를 갖습니다.폴리토프는 하나 이상의 꼭짓점을 포함하는 경우 가리킨다고 합니다.경계가 비어 있지 않은 모든 폴리토프는 가리킵니다.점이 없는 폴리토프의 예로는 $\{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}\mid x\geq 0\}$ ∈ R $\{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}\mid x\geq 0\}$ ∣ $\{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}\mid x\geq 0\}$ ≥ $\{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}\mid x\geq 0\}$ $\{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}\mid x\geq 0\}$ $\{(x,y)\in \mathbb {R}^{2}\mid x\geq 0\$ 가 있습니다 $\{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}\mid x\geq 0\}$ 폴리토프가 유한한 수의 객체, 예를 들어 유한한 수의 반평면의 교집합으로 정의되면 유한합니다.모든 꼭짓점이 정수 좌표를 가지면 적분 폴리토프입니다.

볼록 다포체의 특정 부류는 반사 다포체입니다. $d$ d {\ $displaystyle d}$ - ${\mathcal {P}}$ P ${\displaystyle {\mathcal {P}},$ 만약 일부 적분 $\mathbf {A}$ A $\mathbf {A}$ {\ $displaystyle \mathbf {A},$ ${\mathcal {P}}=\{\mathbf {x} \in \mathbb {R} ^{d}:\mathbf {Ax} \leq \mathbf {1} \}$ = ${\mathcal {P}}=\{\mathbf {x} \in \mathbb {R} ^{d}:\mathbf {Ax} \leq \mathbf {1} \}$ { ${\mathcal {P}}=\{\mathbf {x} \in \mathbb {R} ^{d}:\mathbf {Ax} \leq \mathbf {1} \}$ ∈ ${\mathcal {P}}=\{\mathbf {x} \in \mathbb {R} ^{d}:\mathbf {Ax} \leq \mathbf {1} \}$ ${\mathcal {P}}=\{\mathbf {x} \in \mathbb {R} ^{d}:\mathbf {Ax} \leq \mathbf {1} \}$ : ${\mathcal {P}}=\{\mathbf {x} \in \mathbb {R} ^{d}:\mathbf {Ax} \leq \mathbf {1} \}$ A ${\mathcal {P}}=\{\mathbf {x} \in \mathbb {R} ^{d}:\mathbf {Ax} \leq \mathbf {1} \}$ ${\mathcal {P}}=\{\mathbf {x} \in \mathbb {R} ^{d}:\mathbf {Ax} \leq \mathbf {1} \}$ ${\mathcal {P}}=\{\mathbf {x} \in \mathbb {R} ^{d}:\mathbf {Ax} \leq \mathbf {1} \}$ ${\mathcal {P}}=\{\mathbf {x} \in \mathbb {R} ^{d}:\mathbf {Ax} \leq \mathbf {1} \}$ ${\displaystyle {\mathcal {$ P}} = \{\ $mathbf {x} \in \mathbf {R}$ ^{ $d}$ \ $leq \mathbf {1}$ $\},$ 여기서 1 {\ $displaystyle$ \ $mathbf$ { $1}$ 은 모든 $\mathbf {1}$ 것의 벡터를 나타냅니다 $.$ 부등식은 성분 단위로 이루어집니다.이 정의에 따라 ${\mathcal {P}}$ {\ $displaystyle {\mathcal {P}}$ 는 $(t+1){\mathcal {P}}^{\circ }\cap \mathbb {Z} ^{d}=t{\mathcal {P}}\cap \mathbb {Z} ^{d}$ ( $(t+1){\mathcal {P}}^{\circ }\cap \mathbb {Z} ^{d}=t{\mathcal {P}}\cap \mathbb {Z} ^{d}$ + $(t+1){\mathcal {P}}^{\circ }\cap \mathbb {Z} ^{d}=t{\mathcal {P}}\cap \mathbb {Z} ^{d}$ $(t+1){\mathcal {P}}^{\circ }\cap \mathbb {Z} ^{d}=t{\mathcal {P}}\cap \mathbb {Z} ^{d}$ ∘ ∩ Z $(t+1){\mathcal {P}}^{\circ }\cap \mathbb {Z} ^{d}=t{\mathcal {P}}\cap \mathbb {Z} ^{d}$ = $(t+1){\mathcal {P}}^{\circ }\cap \mathbb {Z} ^{d}=t{\mathcal {P}}\cap \mathbb {Z} ^{d}$ $(t+1){\mathcal {P}}^{\circ }\cap \mathbb {Z} ^{d}=t{\mathcal {P}}\cap \mathbb {Z} ^{d}$ ∩ Z $(t+1){\mathcal {P}}^{\circ }\cap \mathbb {Z} ^{d}=t{\mathcal {P}}\cap \mathbb {Z} ^{d}$ ${\displaystyle (t$ + $1){\mathcal {P}^{\circ}\cap \mathbb {Z}^{d$ }= $t{\mathcal {P}}\cap \mathbb {Z}^{d}$ 모든 $t\in \mathbb {Z} _{\geq 0}$ ∈ $t\in \mathbb {Z} _{\geq 0}$ ≥ 0 $t\in \mathbb {Z} _{\geq 0$ 인 경우에만 반사적임을 알 수 있습니다 $t\in \mathbb {Z} _{\geq 0}$ 즉, ${\mathcal {P}}$ $(t+1)$ + $(t+1)$ ${\displaystyle(t$ + $1)}$ ${\$ ${\$ $mathcal {$ $P}}$ 의 {\displaystyle {\ ${\mathcal {P}}$ { $P}}$ 의 $(t+1)$ {\ $displaystyle t}$ -dilate는 경계에서 얻은 격자점에 의해서만 ${\mathcal {P}}$ ${\mathcal {P}}$ 다릅니다 $.$ ${\mathcal {P}}$ 와 동일하게, ${\mathcal {P}}$ P {\ $displaystyle$ {\ $mathcal$ {P $}}$ 은(는) 이중 ${\mathcal {P}}^{*}$ P ∗ {\ $displaystyle$ {\ $mathcal$ {P $}^{*}$ 인 경우에만 반사적입니다.

정다포체

일반 폴리토페는 모든 폴리토페 중 가장 높은 대칭도를 가지고 있습니다.규칙적인 다포체의 대칭군은 그 깃발에 과도적으로 작용합니다. 따라서 규칙적인 다포체의 이중 다포체 또한 규칙적입니다.

다양한 차원에서 발생하는 규칙 폴리토프의 주요 클래스는 세 가지입니다.

정삼각형과 정사면체를 포함한 단순함.
사각형과 정육면체를 포함한 다면체를 하이퍼큐브로 측정하거나 측정합니다.
정팔면체와 정팔면체를 포함한 정다각형 또는 십자다각형.

2차원, 3차원, 4차원은 5배 대칭을 갖는 규칙적인 도형과 일부는 볼록하지 않은 별이고, 2차원에서는 n배 대칭을 갖는 볼록한 다각형과 (n ≥ 5인 경우) 별이 무한히 많은 규칙적인 다각형이 있습니다.그러나 더 높은 차원에서는 다른 규칙적인 폴리토프가 없습니다.^[2]

3차원에서 볼록 플라톤 입체는 5배 대칭 십이면체와 이십면체를 포함하며, 5배 대칭을 가진 4개의 별 케플러-포인소 다면체도 있어 총 9개의 정다면체가 됩니다.

4차원에서 규칙적인 4-폴리토프는 4배 대칭을 가진 하나의 추가적인 볼록 입체와 5배 대칭을 가진 두 개를 포함합니다.10개의 별 슐레플리-헤스 4개의 다면체가 있으며, 모두 5중 대칭을 가지며, 16개의 일반적인 4개의 다면체를 모두 제공합니다.

별다래톱스

비볼록 폴리토프는 자기 교차일 수 있습니다. 이 폴리토프 종류에는 별 폴리토프가 포함됩니다.어떤 규칙적인 폴립은 별이에요.^[2]

특성.

오일러 특성

$d$ 의 볼록 다포체 P는 점으로 수축되므로 경계 ∂P의 오일러 특성 χ $\chi$ 은(는) 교대 합으로 주어집니다.

\chi =n_{0}-n_{1}+n_{2}-\cdots \pm n_{d-1}=1+(-1)^{d-1}

=

n

\chi =n_{0}-n_{1}+n_{2}-\cdots \pm n_{d-1}=1+(-1)^{d-1}

-

\chi =n_{0}-n_{1}+n_{2}-\cdots \pm n_{d-1}=1+(-1)^{d-1}

\chi =n_{0}-n_{1}+n_{2}-\cdots \pm n_{d-1}=1+(-1)^{d-1}

+

\chi =n_{0}-n_{1}+n_{2}-\cdots \pm n_{d-1}=1+(-1)^{d-1}

n

\chi =n_{0}-n_{1}+n_{2}-\cdots \pm n_{d-1}=1+(-1)^{d-1}

-

\chi =n_{0}-n_{1}+n_{2}-\cdots \pm n_{d-1}=1+(-1)^{d-1}

± n

\chi =n_{0}-n_{1}+n_{2}-\cdots \pm n_{d-1}=1+(-1)^{d-1}

\chi =n_{0}-n_{1}+n_{2}-\cdots \pm n_{d-1}=1+(-1)^{d-1}

\chi =n_{0}-n_{1}+n_{2}-\cdots \pm n_{d-1}=1+(-1)^{d-1}

1

+

\chi =n_{0}-n_{1}+n_{2}-\cdots \pm n_{d-1}=1+(-1)^{d-1}

( -

\chi =n_{0}-n_{1}+n_{2}-\cdots \pm n_{d-1}=1+(-1)^{d-1}

) d

\chi =n_{0}-n_{1}+n_{2}-\cdots \pm n_{d-1}=1+(-1)^{d-1}

-

\chi =n_{0}-n_{1}+n_{2}-\cdots \pm n_{d-1}=1+(-1)^{d-1}

{\displaystyle \

= n_

{0}

-

n_{1}

+

n_{2

} -

\cdots \pm n_{

1 + ( - 1

)^{d-1

n_{j}

서

n_{j}

j

n_{j

는 j

{\displaystyle

j

}

차원 면의

j

입니다.

이것은 다면체에 대한 오일러 공식을 일반화합니다.^[10]

내각

그람-엘러 정리는 볼록 다면체에서 고차원 다면체에 대한 내각 ∑ φ ${\textstyle \sum \varphi}$ 의 교대 합을 비슷하게 일반화합니다.

\sum \varphi = (-1)^{d-1

폴리토프의 일반화

무한다포체

모든 다양체가 유한한 것은 아닙니다.폴리토프가 다양체의 타일링 또는 분해로 이해되는 경우, 이 아이디어는 무한 다양체로 확장될 수 있습니다. 평면 타일링, 공간 채우기 (허니콤) 및 쌍곡 타일링은 이러한 의미에서 폴리토프이며, 셀이 무한히 많기 때문에 때때로 페이로토프라고 불립니다.

이 중 규칙적인 형태로는 규칙적인 꼬임 다면체와 규칙적인 어페아이로곤, 사각타일링, 입방정 벌집 등으로 대표되는 무한계열의 타일링이 있습니다.

추상다포체

추상 폴리토페의 이론은 폴리토페의 순수한 조합적 특성을 고려하여 폴리토페를 포함하는 공간으로부터 분리하려고 시도합니다.이를 통해 용어의 정의를 확장하여 11셀과 같이 직관적인 기본 공간을 정의하기 어려운 객체를 포함할 수 있습니다.

추상 폴리토프는 부분적으로 순서가 매겨진 요소 또는 구성원 집합으로, 특정 규칙을 따릅니다.그것은 순수하게 대수적인 구조이며, 일관된 수학적 틀 안에서 다양한 기하학적 계급들을 조화시키기 어렵게 만드는 몇 가지 문제들을 피하기 위해 이론이 개발되었습니다.기하 폴리토프는 연관된 추상 폴리토프의 어떤 실제 공간에서 실현된다고 합니다.^[11]

복소다포체

다면체와 유사한 구조는 복잡한 힐베르트 공간 $\mathbb {C} ^{n}$ ${\$ 에 $\mathbb {C} ^{n}$ 존재하며, n개의 실제 차원은 n개의 가상 차원을 동반합니다.일반적인 복잡한 폴리토프는 구성으로 더 적절하게 취급됩니다.^[12]

이중성

모든 n-폴리토프는 요소 간의 연결 또는 입사를 유지하면서 (j = 1 ~ n - 1의 경우) 일반적으로 (j - 1) 차원 요소를 (j = 1 ~ n - 1의 경우) (j - 1) 차원 요소를 변경하여 얻은 이중 구조를 가지고 있습니다.

추상 폴리토프의 경우 집합의 순서를 단순히 반대로 설정합니다.이러한 반전은 일반 폴리토프에 대한 Schläfli 기호에서 볼 수 있는데, 이중 폴리토프에 대한 기호는 단순히 원본의 반대입니다.예를 들어 {4, 3, 3}은(는) {3, 3, 4}과(는) 이중입니다.

기하학적 다면체의 경우 이중화를 위한 기하학적 규칙이 필요합니다. 예를 들어 이중 다면체에 대해 설명된 규칙을 참조하십시오.상황에 따라 이중 도형은 또 다른 기하학적 다면체일 수도 있고 아닐 수도 있습니다.^[13]

듀얼을 반대로 하면 원래 폴리토프가 복구됩니다.따라서 다포체는 이중쌍으로 존재합니다.

자가이중다중다중성다포체

폴리토프가 패싯과 같은 수의 정점, 가장자리가 융기와 같은 등의 연결을 가지고 있다면, 이중 도형은 원래와 유사하고 폴리토프는 자기 이중입니다.

일부 일반적인 자기 이중 폴리토프는 다음과 같습니다.

슐레플리 기호 {3}이ⁿ(가) 있는 모든 정규 n-심플렉스, 차원 수에 상관없이.정삼각형 {3}, 정사면체 {3,3}, 5셀 {3,3,3}이 이에 해당합니다.
모든 초입체 벌집들, 어떤 차원에서든.여기에는 어각형 {∞}, 정사각형 타일링 {4,4}, 입방정 벌집 {4,3,4} 등이 포함됩니다.
정이십면체 벌집 {3,5,3}, 차수-5 오각형 타일링 {5,5}과 같은 수많은 소형, 파라콤팩트 및 비콤팩트 쌍곡선 타일링.
2차원, 모든 일반 다각형(일반 2-다중형)
3차원에서, 정준 다각뿔과 길쭉한 피라미드, 그리고 사면체로 축소된 십이면체.
4차원에서 슐레플리 기호가 {3,4,3}인 24셀입니다.또한 거대한 120셀 {5,5/2,5}과 거대한 별 모양의 120셀 {5/2,5,5/2}.

역사

다각형과 다면체는 고대부터 알려져 왔습니다.

1827년 아우구스트 페르디난트 뫼비우스가 두 개의 거울상 고체 중 하나를 네 번째 수학 차원을 통해 회전시킴으로써 중첩될 수 있다는 것을 발견하면서 고차원의 초기 힌트가 나타났습니다.1850년대까지 Arthur Cayley와 Hermann Grassmann과 같은 소수의 다른 수학자들도 더 높은 차원을 고려했습니다.

루드비히 슐레플리는 이러한 고등 공간에서 다각형과 다면체의 유사체를 처음으로 고려했습니다.그는 1852년에 볼록한 규칙적인 4장형 여섯 개를 묘사했지만, 그의 작품은 그가 죽은 지 6년이 지난 1901년까지 출판되지 않았습니다.1854년까지 베른하르트 리만의 하빌리테스(Habilites) 조각은 더 높은 차원의 기하학을 확고히 확립했고, 따라서 n차원 다포체의 개념이 받아들여지게 되었습니다.슐레플리의 다포체는 이후 수십 년 동안, 심지어 그가 생전에 여러 번 재발견되었습니다.

1882년 라인홀드 호페(Reinhold Hoppe)는 독일어로 글을 쓰면서 다각형과 다면체에 대한 보다 일반적인 개념을 언급하기 위해 다각형이라는 단어를 만들었습니다.적절한 시기에 논리학자 조지 불의 딸인 Alicia Boole Stott는 영어에 영어화된 폴리토프를 도입했습니다.^[2]^{: vi}

1895년, 소롤드 고셋은 슐레플리의 정다포체를 재발견했을 뿐만 아니라 반정형 다포체와 공간을 채우는 테셀레이션의 아이디어를 더 높은 차원에서 연구했습니다.폴리토프는 쌍곡 공간과 같은 비유클리드 공간에서도 연구되기 시작했습니다.

1948년 H. S. M. Coxeter의 책 Regular Polytopes로 중요한 이정표를 세웠고, 지금까지의 연구를 요약하고 그 자신의 새로운 발견을 추가했습니다.

한편, 프랑스 수학자 앙리 푸앵카레(Henri Poincaré)는 다양체의 부분적 분해(예: CW-복합체)로서 다포체의 위상학적 아이디어를 개발했습니다.브란코 그ü바움은 1967년에 볼록 다포체에 대한 영향력 있는 작품을 출판했습니다.

1952년 제프리 콜린 셰퍼드(Geoffrey Colin Shephard)는 이 아이디어를 복잡한 공간의 복잡한 다면체로 일반화했으며, 각 실제 차원은 이와 관련된 가상의 차원을 가지고 있습니다.콕서터는 그 이론을 더욱 발전시켰습니다.

복잡한 다면체, 비볼록성, 이중성 및 기타 현상에 의해 제기된 개념적 문제는 Grünbaum과 다른 사람들이 정점, 가장자리, 면 등과 관련된 추상적 조합 특성에 대한 보다 일반적인 연구로 이어졌습니다.이와 관련된 아이디어는 다양한 요소들의 발생 또는 서로의 연관성을 연구하는 발생 복합체의 아이디어였습니다.이러한 발전은 결국 부분적으로 순서화된 집합, 즉 그러한 요소들의 집합으로서 추상적인 다면체 이론으로 이어졌습니다.Peter McMullen과 Egon Schulte는 2002년에 그들의 책 Abstract Regular Polytopes를 출판했습니다.

볼록하고 볼록하지 않은 균일한 다면체를 4차원 이상으로 열거하는 것은 여전히 미해결 문제로 남아 있습니다.볼록한 균일한 4-폴리토프는 1965년 존 콘웨이와 마이클 가이가 컴퓨터를 사용하여 완전히 열거했습니다;^[14]^[15] 더 높은 차원에서 이 문제는 1997년 현재도 여전히 열려 있습니다.^[16]볼록하지 않은 균일한 폴리토프에 대한 전체 열거는 2008년 현재 4차원 이상으로 알려져 있지 않습니다.^[17]

현대에는 컴퓨터 그래픽, 최적화, 검색 엔진, 우주론, 양자 역학 및 수많은 다른 분야와 같이 다양한 분야에서 폴리토프 및 관련 개념이 중요한 응용 분야를 많이 발견했습니다.2013년에는 이론물리학의 특정 계산에서 단순화된 구성으로 진폭면체가 발견되었습니다.

적용들

최적화 분야에서 선형 프로그래밍은 선형 함수의 최대치와 최소치를 연구합니다. 이러한 최대치와 최소치는 n차원 폴리토프의 경계에서 발생합니다.선형 프로그래밍에서 폴리토프는 일반화된 중중심 좌표와 슬랙 변수를 사용할 때 발생합니다.

이론물리학의 한 분야인 트위스터 이론에서, 진폭면체라고 불리는 다면체는 아원자 입자가 충돌할 때의 산란 진폭을 계산하는 데 사용됩니다.이 구성은 알려진 물리적 표현 없이 순수하게 이론적이지만 특정 계산을 크게 단순화한다고 합니다.^[18]

참고 항목

참고문헌

인용문

^ Coxeter 1973, pp. 141-144, §7-x. 역사적 발언
^ ^a ^b ^c ^d 콕서터 (1973)
^ Richeson, D. (2008). Euler's Gem: The Polyhedron Formula and the Birth of Topology. Princeton University Press.
^ 그ü바움 (2003)
^ Cromwell, P.; Polyhedra, CUP (ppbk 1999) pp 205 ff.
^ Nemhauser와 Wolsey, "정수와 조합 최적화", 1999, ISBN 978-0471359432, 정의 2.2.
^ ^a ^b ^c Johnson, Norman W.; Geometrys and Transformations, Cambridge University Press, 2018, p.224
^ 규칙적인 다포체, p. 127 초평면 중 하나에 있는 다포체의 부분은 세포라고 불립니다.
^ Beck, Matthias; Robins, Sinai (2007), 연속체 계산 이산: 다면체의 정수점 열거, 수학 학부 텍스트, 뉴욕: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-29139-0, MR 2271992
^ ^a ^b M. A. Perles 와 G. C.셰퍼드 1967년에"볼록볼록 폴리토프의 각 합"수학 스칸디나비카, 21권, 2번1967년 3월 199-218쪽
^ McMullen, Peter; Schulte, Egon (December 2002), Abstract Regular Polytopes (1st ed.), Cambridge University Press, ISBN 0-521-81496-0
^ Coxeter, H.S.M.;정규 복합 폴리토페스, 1974
^ Wenninger, M.; Dual Models, CUP (1983).
^ 존 호튼 콘웨이: 수학의 마법사 - 리처드 케이 가이
^ Curtis, Robert Turner (June 2022). "John Horton Conway. 26 December 1937—11 April 2020". Biographical Memoirs of Fellows of the Royal Society. 72: 117–138. doi:10.1098/rsbm.2021.0034.
^ Polytopes와 Polyhedra의 대칭, Egon Schulte. p. 12: "그러나 더 많은 균일한 Polytopes가 있지만 완전한 목록은 d=4 [Joh]에 대해서만 알려져 있습니다.
^ 존 호튼 콘웨이, 하이디 버기엘, 채임 굿맨-스트라우스:사물의 대칭, 페이지 408. "아르키메데스 다면체의 별을 닮은 유사체들도 있습니다...아직까지 4차원 이상의 아날로그를 열거한 사람은 아무도 없습니다.
^ Arkani-Hamed, Nima; Trnka, Jaroslav (2013). "The Amplituhedron". Journal of High Energy Physics. 2014. arXiv:1312.2007. Bibcode:2014JHEP...10..030A. doi:10.1007/JHEP10(2014)030.

서지학

Coxeter, Harold Scott MacDonald (1973), Regular Polytopes, New York: Dover Publications, ISBN 978-0-486-61480-9.
Grünbaum, Branko (2003), Kaibel, Volker; Klee, Victor; Ziegler, Günter M. (eds.), Convex polytopes (2nd ed.), New York & London: Springer-Verlag, ISBN 0-387-00424-6.
Ziegler, Günter M. (1995), Lectures on Polytopes, Graduate Texts in Mathematics, vol. 152, Berlin, New York: Springer-Verlag.

외부 링크

Weisstein, Eric W. "Polytope". MathWorld.
"수학은 당신의 세계를 뒤흔들 것입니다" – 인터넷을 통해 맞춤형 뉴스 피드를 지원하는 데 사용되는 기사 데이터베이스에 폴리토페를 적용합니다 – (비즈니스 위크 온라인)
정규 및 반정규 볼록 다포체 짧은 이력 개요:

v t 기본 볼록 규칙적이고 균일한 폴리토페 2-10 차원
가족	A_n	B_n	I₂(p) / D_n	E₆/E₇/E₈/F₄/G₂	ㅇ_n
정다각형	삼각형	광장	피곤	육각형	펜타곤
균일 다면체	사면체	팔면체 • 정육면체	데미큐브		십이면체 • 정이면체
균일 폴리코론	펜타코론	16셀 • 테서랙트	디미테스액트	24셀	120셀 • 600셀
균일한 5폴리토프	5-simplex	5-오쏘펙스 • 5-큐브	5-디미큐브
균일한 6폴리토프	6-simplex	6-오쏘펙스 • 6-큐브	6-디미큐브	1₂₂ • 2₂₁
균일한 7폴리토프	7-simplex	7-orthophlex • 7-cube	7디미큐브	1₃₂ • 2₃₁ • 3₂₁
균일한 8폴리토프	8-simplex	8-orthophlex • 8-cube	8 데시큐브	1₄₂ • 2₄₁ • 4₂₁
균일한 9-폴리토프	9- simplex	9-orthophlex • 9-cube	9-디미큐브
균일한 10폴리토프	10- simplex	10-orthophlex • 10-cube	10 데시큐브
균일한 n-폴리토프	n- simplex	n-orthophlex • n-cube	n-디미큐브	1_k2 • 2_k1 • k₂₁	n-오각 폴리톱
항목: 폴리토프 계열 • 일반 폴리토프 • 일반 폴리토프 및 화합물 목록

[FOOTNOTECoxeter1973141–144§7-x._Historical_remarks-1] Coxeter 1973, pp. 141-144, §7-x. 역사적 발언

[coxeter1973-2] 콕서터 (1973)

[3] Richeson, D. (2008). Euler's Gem: The Polyhedron Formula and the Birth of Topology. Princeton University Press.

[Grünbaum2003-4] 그ü바움 (2003)

[5] Cromwell, P.; Polyhedra, CUP (ppbk 1999) pp 205 ff.

[6] Nemhauser와 Wolsey, "정수와 조합 최적화", 1999, ISBN 978-0471359432, 정의 2.2.

[johnson224-7] Johnson, Norman W.; Geometrys and Transformations, Cambridge University Press, 2018, p.224

[8] 규칙적인 다포체, p. 127 초평면 중 하나에 있는 다포체의 부분은 세포라고 불립니다.

[9] Beck, Matthias; Robins, Sinai (2007), 연속체 계산 이산: 다면체의 정수점 열거, 수학 학부 텍스트, 뉴욕: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-29139-0, MR 2271992

[pands-10] M. A. Perles 와 G. C.셰퍼드 1967년에"볼록볼록 폴리토프의 각 합"수학 스칸디나비카, 21권, 2번1967년 3월 199-218쪽

[11] McMullen, Peter; Schulte, Egon (December 2002), Abstract Regular Polytopes (1st ed.), Cambridge University Press, ISBN 0-521-81496-0

[12] Coxeter, H.S.M.;정규 복합 폴리토페스, 1974

[13] Wenninger, M.; Dual Models, CUP (1983).

[14] 존 호튼 콘웨이: 수학의 마법사 - 리처드 케이 가이

[15] Curtis, Robert Turner (June 2022). "John Horton Conway. 26 December 1937—11 April 2020". Biographical Memoirs of Fellows of the Royal Society. 72: 117–138. doi:10.1098/rsbm.2021.0034.

[16] Polytopes와 Polyhedra의 대칭, Egon Schulte. p. 12: "그러나 더 많은 균일한 Polytopes가 있지만 완전한 목록은 d=4 [Joh]에 대해서만 알려져 있습니다.

[17] 존 호튼 콘웨이, 하이디 버기엘, 채임 굿맨-스트라우스:사물의 대칭, 페이지 408. "아르키메데스 다면체의 별을 닮은 유사체들도 있습니다...아직까지 4차원 이상의 아날로그를 열거한 사람은 아무도 없습니다.

[18] Arkani-Hamed, Nima; Trnka, Jaroslav (2013). "The Amplituhedron". Journal of High Energy Physics. 2014. arXiv:1312.2007. Bibcode:2014JHEP...10..030A. doi:10.1007/JHEP10(2014)030.

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