음악과 수학

음악 이론은 음악의 음조, 시기, 구조를 분석합니다.그것은 템포, 코드 진행, 형태, 미터와 같은 음악의 요소들을 연구하기 위해 수학을 사용한다.음악을 작곡하고 듣는 새로운 방법을 구조화하고 전달하려는 시도는 집합론, 추상 대수학, 숫자 이론의 음악적 응용으로 이어졌다.

음악 이론이 현대 수학에서 자명한 기초를 가지고 있지 않지만, 음악 소리의 기초는 수학적으로 묘사될 수 있고 (음향을 사용하여) "놀라운 배열의 수 특성"^[1]을 나타낸다.

역사

비록 고대 중국인, 인도인, 이집트인들과 Mesopotamians o. sound,[2]의 고대 그리스의 피타 고라스 학파(특정 직경 약 74km. 그리고 직경 약 33km.에서)[3]고 있는 첫번째 연구원들 수치 ratios,[4]의 조건 특히 비율로 음계의 표현 조사한 것으로 알려져 그 수학적 원리 연구를 하는 것으로 알려져 있f 작은 나는ntegers.그들의 중심 교리는 "모든 자연은 수에서 생기는 조화로 이루어져 있다"^[5]는 것이었다.

플라톤의 시대부터, 조화는 현재 음악 음향학으로 알려진 물리학의 근본적인 분야로 여겨졌다.초기 인도와 중국의 이론가들은 비슷한 접근법을 보여준다: 모두 조화나 리듬의 수학적 법칙이 세계에 대한 우리의 이해뿐만 아니라 인간의 ^[6]행복에 기초적이라는 것을 보여주려 했다.공자는 피타고라스처럼 작은 숫자 1,2,3,4를 ^[7]모든 완벽함의 원천으로 여겼다.

시간, 리듬 및 미터

리드미컬한 구조의 경계(펄스 반복, 악센트, 구절, 지속시간의 근본적 동일하고 규칙적인 배열)가 없다면 ^[8]음악은 불가능할 것이다.미터와 측정과 같은 용어의 현대적인 음악적 사용은 또한 천문학과 함께 음악의 역사적 중요성을 반영합니다.^{[citation needed]} 계산, 산술 그리고 물리학의 기본인 시간과 주기성의 정확한 측정의 발전입니다.

음악 형식의 요소들은 종종 엄격한 비율이나 하이퍼메트릭 구조를 형성한다.^[9]

음악 형식

음악 형태는 짧은 음악을 확장하는 계획이다."계획"이라는 용어는 종종 음악 형태를 비교하는 건축에서도 사용된다.건축가와 마찬가지로, 작곡가는 작품이 의도하는 기능과 이용 가능한 수단을 고려해야 하며, 절약을 실천하고 반복과 ^[10]질서를 이용해야 한다.바이너리와 삼진법으로 알려진 일반적인 형태의 ^[11][12]"2중"과 "3중"은 음악의 이해력과 매력에 있어 작은 적분 가치의 중요성을 다시 한번 보여준다.

주파수와 조화

음계는 음악을 만들거나 묘사하는 데 사용되는 분리된 음조 세트입니다.서양 전통에서 가장 중요한 척도는 온음계이지만, 많은 다른 척도가 다양한 역사 시대와 세계에서 사용되고 제안되어 왔다.각 피치는 헤르츠(Hz)로 표현되는 특정 주파수에 해당하며, 때로는 초당 주기(c.p.s.)라고도 합니다.음계에는 반복 간격(일반적으로 옥타브)이 있습니다.어떤 음의 옥타브도 주어진 음의 정확히 두 배 주파수를 말합니다.

다음 슈퍼옥타브는 기본 주파수의 4, 8, 16회 등에서 볼 수 있는 피치입니다.기본 주파수의 1/2, 1/4, 8분의 1 등의 음을 서브옥타브라고 합니다.만약 주어진 음이 일치한다고 여겨진다면, 그 옥타브가 달리 고려되는 경우는 음악적 조화에서 없다.따라서, 모든 음표와 그 옥타브는 일반적으로 음악 시스템에서 비슷하게 명명될 것이다(예: 모든 음표는 경우에 따라 doh 또는 A 또는 Sa로 불릴 것이다).

주파수 대역폭으로 나타낼 때 옥타브₂ A–A는₃ 110Hz ~ 220Hz(스팬=110Hz)에 걸쳐 있습니다.다음 옥타브는 220Hz에서 440Hz(스팬=220Hz)까지 확장됩니다.세 번째 옥타브 범위는 440Hz에서 880Hz(스팬=180Hz)까지입니다.연속되는 각 옥타브는 이전 옥타브의 두 배 주파수 범위에 걸쳐 있습니다.

음계를 설명할 때 정확한 음고 자체보다는 음고 사이의 관계나 비율(간격으로 알려져 있음)에 관심이 있는 경우가 많기 때문에, 일반적으로 음고로서 기능하는 음고인 1의 값(종종 1/1)이 주어지는 특정 음고에서 비율의 관점에서 모든 음계를 참조하는 것이 일반적입니다.저울의 강장제간격 크기 비교에는 센트가 자주 사용됩니다.

흔한 용어	예 이름.	Hz(헤르츠)	의 배수 근본적인	비율 옥타브 내에서	센츠 옥타브 내에서
근본적인	A2.	110	${\displaystyle 1x}$	${\displaystyle 1/1=1x}$	0
옥타브	A3.	220	${\displaystyle 2x}$	${\displaystyle 2/1=2x}$	1200
				${\displaystyle 2/2=1x}$	0
퍼펙트 파이브	E4.	330	${\displaystyle 3x}$	${\displaystyle 3/2=1.5x}$	702
옥타브	A4.	440	${\displaystyle 4x}$	${\displaystyle 4/2=2x}$	1200
				${\displaystyle 4/4=1x}$	0
메이저 3	C♯5	550	${\displaystyle 5x}$	${\displaystyle 5/4=1.25x}$	386
퍼펙트 파이브	E5.	660	${\displaystyle 6x}$	${\displaystyle 6/4=1.5x}$	702
고조파 7	G5	770	$(\displaystyle 7x)$	${\displaystyle 7/4=1.75x}$	969
옥타브	A5.	880	${\displaystyle 8x}$	${\displaystyle 8/4=2x}$	1200
				${\displaystyle 8/8=1x}$	0

튜닝 시스템

튜닝 시스템에는 두 가지 주요 패밀리가 있습니다. 동일한 기질과 단순한 튜닝입니다.동일한 온도 척도는 한 옥타브를 로그 척도에서 동일한 간격으로 분할하여 구축되며, 이는 완전히 균등하게 분할된 척도로 나타나지만 비합리적인 수치인 주파수 비율을 가지고 있습니다.주파수에 유리수를 곱하면 스케일 배율이 높아지지만 스케일 배율은 일정하지 않습니다.

동일한 음성의 음정과 단순한 음정의 한 가지 큰 차이는 두 음이 함께 울릴 때 음향 박자의 차이이며, 이는 자음과 부조화의 주관적 경험에 영향을 미칩니다.이 두 시스템 모두, 그리고 대부분의 음악은 모든 옥타브의 간격에서 반복되는 음계를 가지고 있으며, 이는 2:1의 주파수 비율로 정의된다.즉, 주파수가 2배로 증가할 때마다 주어진 스케일이 반복됩니다.

Ogg Vorbis 파일은 단순한 억양과 동일한 성질의 차이를 보여줍니다.차이를 탐지하려면 표본을 여러 번 재생해야 할 수 있습니다.

• 두 개의 사인파가 연속적으로 재생됩니다. 이 샘플은 550Hz(조절 배율에서는 CΩ)에서 반스텝이 발생하고 이어서 554.37Hz(동일한 온도 배율에서는 Cµ)에서 반스텝이 재생됩니다.
• A440 페달에 세팅된 동일한 두 개의 노트 – 이 샘플은 "dyad"로 구성됩니다.아래 음은 상수 A(어느 음계든 440Hz)이고, 위 음은 첫 번째 1인치에서는 등화 음계의 Cµ, 마지막 1인치에서는 정확한 억양 음계의 Cµ입니다.위상 차이로 인해 이전 샘플보다 전이를 더 쉽게 감지할 수 있습니다.

그냥 튜닝

단순한 억양의 가장 일반적인 형태인 5-limit 튜닝은 단일 기본 주파수의 정규 숫자 고조파인 톤을 사용하는 시스템입니다.이것은 요하네스 케플러가 행성 운동과 관련하여 그의 하모니테스 먼디 (1619)에서 제시한 음계 중 하나였다.같은 음계는 스코틀랜드의 수학자이자 음악 이론가인 알렉산더 말콤이 1721년 그의 '뮤식 조약:20세기의 이론가 호세 우어슈미트에 의해 쓰여진 '사변적, 실용적, 역사적'^[13]이다.그것의 형태는 북부 인도의 음악에서 사용된다.

미국 작곡가 테리 라일리도 그의 "Harp of New Albion"에서 역형을 사용했다.코드 진행이 거의 없을 때 억양만으로 뛰어난 결과를 얻을 수 있습니다.목소리나 기타 악기는 가능한 한 억양으로 끌립니다.그러나 피아노와 같은 고정 튜닝된 악기는 ^[14]키를 변경할 수 없기 때문에 두 개의 다른 전체 톤 간격(9:8과 10:9)을 제공합니다.비율에 따라 주어진 음계의 음표 주파수를 계산하기 위해 주파수 비율에 강장 주파수를 곱한다.예를 들어 강장제 A4(중간 C보다 높은 자연)의 경우 주파수는 440Hz이고, 적정하게 조정된 5번째(E5)는 단순히 440×(3:2) = 660Hz이다.

반토네	비율	간격	자연의	하프 스텝
0	1:1	일치하다	480	0
1	16:15	반음	512	16:15
2	9:8	메이저 세컨드	540	135:128
3	6:5	마이너 서드	576	16:15
4	5:4	메이저 3	600	25:24
5	4:3	퍼펙트 포어드	640	16:15
6	45:32	디아톤성 트리톤	675	135:128
7	3:2	만점 5위	720	16:15
8	8:5	마이너 제6	768	16:15
9	5:3	제6장자	800	25:24
10	9:5	마이너 세븐	864	27:25
11	15:8	메이저 7	900	25:24
12	2:1	옥타브	960	16:15

피타고라스 음조는 완벽한 자음, 완벽한 옥타브, 완벽한 5번째, 완벽한 4번째만을 바탕으로 조율하는 것이다.따라서 장음 3번째는 3번째가 아니라 문자 그대로 "두 개의 음"인 디톤으로 간주되며, 바로 아래의 독립적이고 조화로운 5:4 = 80:64가 아니라 (9:8) ²= 81:64이다.전체 톤은 2차 구간으로, 2개의 완벽한 5분의 1에서 1옥타브를 뺀 값(3:2)/²2 = 9:8이다.

3번째 줄자 5:4와 3번째 줄자 6:5는 각각 81:64와 32:27에 해당하는 피타고라스어와 별개로, 81:80의 동의어 쉼표이다.칼 달하우스(1990, 페이지 187)에 따르면, "의존적인 세 번째가 피타고라스에 부합하고, 독립적인 세 번째가 구간의 조화로운 튜닝에 부합한다."

서양의 일반적인 연습음악은 보통 억양으로 연주될 수 없고 체계적인 음계를 필요로 한다.담금질은 우물 기질의 불규칙성을 포함하거나 일정한 기질의 어떤 형태 또는 다른 규칙적인 기질로 구성될 수 있지만, 모든 경우에 평균적인 기질의 근본적인 특징을 포함할 것입니다.예를 들어, 코드 ii의 뿌리는 우세음 위의 5분의 1로 조정되면 강장음 위의 큰 전체 톤(9:8)이 됩니다.단, 4:3의 약간 하위 수준보다 약간 낮은 3분의 1(6:5)만 튜닝하면 강장음으로부터의 간격은 마이너한 전체 톤(10:9)과 같아집니다.평균 한 기질은 9:8과 10:9의 차이를 줄입니다.이 비율은 (9:8)/(10:9) = 81:80으로 통일됩니다.Didymus의 syntonic 콤마 또는 콤마라고 불리는 81:80 의 간격은 하나의 성질을 의미하는 핵심 쉼표입니다.

등온도 튜닝

동일한 기질에서 옥타브는 로그 스케일에서 동일한 부분으로 나뉩니다.임의의 수의 음표(예를 들어 24음 아랍음계)로 균일한 온도 음계를 구성할 수 있지만, 가장 일반적인 숫자는 12로 균일한 온도 반음계를 구성합니다.서양음악에서는 특별히 명시되지 않는 한 12개의 음정으로 나누는 것이 일반적이다.

반음계의 경우 옥타브는 12개의 동일한 부분으로 나뉘며, 각 반음(반음계)은 12개의 동일한 반음계 중 12개가 정확히 1옥타브가 되도록 2의 12번째 루트의 간격이다.플렛 기구의 경우 프렛이 현에 걸쳐 균일하게 정렬되도록 동일한 온도를 사용하는 것이 매우 유용합니다.유럽 음악 전통에서, 같은 기질은 루트와 기타 음악에 음악 키보드와 같은 다른 악기들보다 훨씬 더 일찍 사용되었다.이러한 역사적 힘 때문에, 12음 균등 기질은 현재 서구와 대부분의 비서구 세계에서 지배적인 억양 체계이다.

균등하게 강화된 척도가 사용되었고, 다양한 다른 균등 간격 수를 사용하여 계측기가 제작되었습니다.16세기에 기욤 코스텔리에 의해 처음 제안되고 사용된 19개의 등간격의 성질은 일반적인 12개의 반음 같은 성질에 비해 장음 3분의 1과 장음 3분의 1이 훨씬 더 좋고 단음 3분의 1이 훨씬 더 좋다.전체적인 효과는 더 큰 자음의 하나이다.아랍 음악의 교육학 및 표기법에는 24개의 균일한 음색을 가진 24개의 균일한 기질이 널리 퍼져 있다.그러나 이론적으로나 실제로 아랍음악의 억양은 이성적인 비율과 일치하며, 반대로 똑같이 강화된 시스템의 ^[15]비합리적인 비율과 반대된다.

아랍어 억양 시스템에는 균등하게 강화된 쿼터 톤의 아날로그가 전혀 없지만, 3/4 톤의 아날로그, 즉 중립적인 초가 자주 발생합니다.그러나 이러한 중립 초는 지역뿐만 아니라 maqam에 따라 비율이 약간 다릅니다.실제로 아랍 음악사학자 하비브 하산 투마는 "이 음악 스텝의 폭은 아라비아 음악의 독특한 풍미의 중요한 요소이다.옥타브를 같은 크기의 24개의 4분의 1톤으로 나누어 음계를 조절하는 것은 이 음악 ^[15]문화의 가장 특징적인 요소 중 하나를 포기하는 것입니다."

53의 동등한 기질은 53의 완벽한 5분의 1과 31옥타브의 거의 동등한 것에서 생겨나며, 징팡과 니콜라스 메르카토르는 이를 주목했다.

수학과의 관계

집합론

음악 집합론은 수학적 집합론의 언어를 음악적 대상을 구성하고 그 관계를 설명하기 위해 기초적인 방식으로 사용한다.음악 세트 이론을 사용하여 (일반적으로 무음) 음악의 구조를 분석하려면, 사람들은 보통 동기나 화음을 형성할 수 있는 일련의 음조로 시작합니다.전치, 반전 등 간단한 연산을 적용하면 음악 속 깊은 구조를 발견할 수 있다.전위나 반전 등의 연산을 등각이라고 하는데, 그 이유는 일련의 톤 사이의 간격을 유지하기 때문입니다.

추상 대수

음악 집합론의 방법을 확장하면서, 일부 이론가들은 음악을 분석하기 위해 추상 대수학을 사용했다.예를 들어, 균등하게 강화된 옥타브의 피치 클래스는 12개의 요소를 가진 아벨 그룹을 형성한다.자유 ^[16][17]아벨군의 관점에서 억양만을 설명할 수 있다.

변형이론은 데이비드 르윈에 의해 개발된 음악 이론의 한 분야이다.이 이론은 음악적 대상 자체보다는 음악적 대상 간의 변화를 강조하기 때문에 큰 보편성을 허용한다.

이론가들은 또한 보다 정교한 대수적 개념의 음악적 응용을 제안했다.규칙적인 기질에 대한 이론은 예를 들어, 각각의 규칙적인 기질을 그래스만인의 유리점과 연관시킴으로써 광범위한 정교한 수학과 함께 광범위하게 발전되었습니다.

반음계에는 주기 $그룹{\displaystyle \mathbb{}}$Z / $(\$ /$12\mathbb {Z$의 자유 및 전이 작용이 있으며, 이 작용은 음표 전이를 통해 정의됩니다.그래서 반음계는 그룹의 비틀림이라고 생각할 수 있습니다.

숫자와 시리즈

몇몇 작곡가들은 황금 비율과 피보나치 숫자를 그들의 ^[18][19]작품에 포함시켰다.

범주론

수학자이자 음악학자 게리노 마졸라는 음악 이론의 기초로서 범주 이론(토포스 이론)을 사용했는데, 여기에는 리듬과 동기 이론의 기초로서 위상을 사용하고 음악적 표현, 템포, ^[20]억양 이론의 기초로서 미분 기하학을 사용하는 것을 포함한다.

수학자였거나 수학자이기도 한 음악가들

• 알버트 아인슈타인 - 뛰어난 피아니스트이자 바이올리니스트.
• Art Garfunkel (Simon & Garfunkel)– 컬럼비아 대학교 수학 교육 석사
• 브라이언 메이 (여왕) - 런던 임페리얼 칼리지에서 수학 및 물리학 학사, 천체물리학 박사.
• Dan Snaith – 임페리얼 칼리지 런던, 수학 박사
• 델리아 더비셔 - 케임브리지에서 수학과 음악 학사.
• 조니 버클랜드(콜드플레이) - University College London에서 천문학과 수학을 공부했습니다.
• Kit Armstrong - 음악학위, 수학학위.
• 만줄 바르가바 - 타블라를 연주하며 2014년 필즈상을 수상했습니다.
• Phil Alvin (The Blasters) – 캘리포니아 대학교 로스앤젤레스 수학
• Philip Glass - 시카고 대학에서 수학과 철학을 공부했습니다.
• 톰 레러 - 하버드 대학교에서 수학 학사 학위를 받았습니다.
• 윌리엄 허셜 - 천문학자로 오보에, 바이올린, 하프시코드, 오르간을 연주했습니다.그는 교회 음악뿐만 아니라 24개의 교향곡과 많은 협주곡을 작곡했다.
• 제롬 하인즈 - 수학잡지 1951-6에 실린 다섯 개의 기사.
• Donald Knuth - Knuth는 오르간 연주자이자 작곡가이다.2016년에 그는 판타지아 아포칼립티카라는 제목의 오르간 음악 작품을 완성했다.2018년 1월 10일 스웨덴에서 초연되었다.

「 」를 참조해 주세요.

음악 포털

레퍼런스

• Dahlhaus, Carl. 1990. Wagners Konzeption des musikalischen Dramas. Deutscher Taschenbuch Verlag. Kassel: Bärenreiter. ISBN 9783423045384; ISBN 9783761845387.
• Ivor Grattan-Guines(1995년) "모차르트 18, 베토벤 32: 클래식 음악에서 정수의 숨겨진 그림자", 수학사 29~47쪽: States of the Art, Joseph W. Dauben, Menso Folkerts, Eberhard Nobloch 및 Hans Wussing 편집자, 학술 프레스 ISBN 0-12-204055-4

외부 링크

• S.M.의 악리 음악 이론네마티
• 토마스 E의 음악과 수학.피오레
• 12음계의 음계.
• 음파측정학이나 수학 분야로서의 음악.
• 음악: Dave Benson의 수학적 제공.
• 니콜라우스 메르카토르의 컨버전스 음악에서의 비율 이론 활용
• 유리구슬 게임 헤르만 헤세는 음악과 수학을 그의 유리구슬 게임의 발전에 중요한 역할을 했다.
• 하모니와 비례 피타고라스, 음악과 우주
• 선형대수와 음악
• Notefreqs : 미디, 피아노, 기타, 베이스 및 바이올린의 음표 주파수와 비율의 완전한 표.건물 계측기의 플렛 측정(cm 및 인치)을 포함합니다.
• 수학과 음악, BBC 라디오 4와 Marcus du Sautoy, Robin Wilson & Ruth Tatlow와의 토론 (In Our Time, 2006년 5월 25일)
• 양의 유한 커널과의 노트 유사성 측정, 양의 유한 커널과의 노트 유사성 측정