평면(기하학)

정규 형태의 평면 방정식

수학에서 평면은 무한히 ^[1]뻗어나가는 평평한 2차원 표면이다.평면은 점(0차원), 선(1차원) 및 3차원 공간의 2차원 유사체입니다.평면은 방의 벽 중 하나와 같이 몇 개의 고차원 공간의 부분공간으로 발생할 수 있고, 2차원 [2] 유클리드 기하학의 설정처럼 그들 자신의 권리로 독립적인 존재를 즐길 수 있다.

2차원 유클리드 공간에서만 작업할 때는 한정사가 사용되기 때문에 평면은 공간 전체를 말합니다.수학, 기하학, 삼각법, 그래프 이론, 그래프에 관한 많은 기본 작업은 2차원 공간, 종종 평면 안에서 수행됩니다.

유클리드 기하학

유클리드는 수학사상의 첫 번째 위대한 이정표인 ^[3]기하학의 공리적인 취급을 제시했다.그는 정의되지 않은 용어(공통 개념이라고 함)와 공식(또는 공리)으로 이루어진 작은 핵심을 선택했고, 그 후 그가 다양한 기하학적 진술을 증명하기 위해 사용했다.현대적 의미의 평면은 원소 어디에도 직접 정의되어 있지 않지만, 일반적인 ^[4]개념의 일부로 생각될 수 있습니다.유클리드는 길이, 각도, 면적을 측정하기 위해 절대 숫자를 사용하지 않았다.선택된 데카르트 좌표계를 갖춘 유클리드 평면을 데카르트 평면이라고 부르고, 극좌표계를 갖춘 비데카르트 유클리드 평면을 극평면이라고 부른다.

평행 평면 3개

평면은 주름진 표면이다.

표현

이 섹션은 3차원, 특히 R에 $포함$ 된³ 평면만을 대상으로 한다.

포함된 점 및 선에 의한 결정

임의의 수의 차원이 있는 유클리드 공간에서 평면은 다음 중 하나에 의해 고유하게 결정된다.

3개의 비공선점(단일 선상에 있는 점이 아님)
선과 그 선에 없는 점.
뚜렷하지만 교차하는 두 개의 선.
두 개의 뚜렷하지만 평행한 선.

특성.

다음 문장은 3차원 유클리드 공간에서는 유지되지만 고차원에서는 유지되지 않습니다.

두 개의 다른 평면이 평행하거나 선으로 교차합니다.
선은 평면에 평행하거나 단일 점에서 교차하거나 평면에 포함됩니다.
동일한 평면에 수직인 두 개의 뚜렷한 선은 서로 평행해야 한다.
동일한 선에 수직인 두 개의 뚜렷한 평면은 서로 평행해야 합니다.

평면 방정식의 점-정규형 및 일반형

2차원 공간에서의 선이 점-경사 형태를 사용하여 방정식을 설명하는 것과 유사한 방법으로, 3차원 공간에서의 평면은 평면 내의 점 및 평면과 직교하는 벡터(통상 벡터)를 사용하여 "경사"를 나타내는 자연 기술을 가진다.

구체적으로, r을 어떤 점 $P 0$ = ( $x 0,$ $y 0,$ $z 0)$ 의 위치 벡터라고 $하고 0$ , n = ( $a,$ $b,$ $c)$ 를 0이 아닌 벡터라고 $하자$ . $점 0$ P와 $벡터$ n에 의해 결정되는 평면은 $P$ 에서₀ P로 $그려진$ 벡터가 n에 $수직$ 이 되도록 위치 $벡터$ r을 가진 점 $P$ 로 구성된다.두 벡터가 수직인 것을 상기하면, 원하는 평면이 다음과 같이 모든 점 $r$ 의 집합으로 설명될 수 있습니다.

{\boldsymbol {n}}\cdot {\boldsymbol {r}}-{\boldsymbol {r}_{0}}}=0.

이 점은 점(스칼라) 제품을 의미합니다.
확장:

\displaystyle a(x-x_{0})+b(y-y_{0})+c(z-z_{0})=0,}

평면 ^[5]방정식의 점-정규 형식입니다.이건 그냥 선형 방정식이야

ax+by+cz+d=0,

어디에

({displaystyle d=-(ax_{0}+by_{0}+cz_{0}),}

확장형식은

-{\boldsymbol {n}}\cdot {\boldsymbol {r}}_{0}.

r 0 입니다

.{

displaystyle -{\boldsymbol {n}}\cdot {boldsymbol {r}}_{0}.

}

수학에서 법선을 단위 벡터로 표현하는 것은 일반적인 규칙이지만, 위의 주장은 길이가 0이 아닌 법선 벡터에 적용된다.

반대로, $a$ , $b$ , $c$ , d가 $상수$ 이고 $a$ , $b$ , c가 모두 0이 $아니라면$ , 방정식의 그래프는 쉽게 나타난다.

ax+by+cz+d=0,

는 벡터

n

=

(

a,

b,

c)

를 ^[6]법선으로 갖는 평면이다.이 익숙한 평면 방정식은 평면 ^[7]방정식의 일반적인 형태라고 불립니다.

예를 들어, $y$ = $d$ + ax + $cz$ $형식$ 의 회귀 방정식( $b$ = -1)은 두 개의 설명 변수가 있을 때 3차원 공간에서 가장 적합한 평면을 확립합니다.

점과 두 개의 벡터가 있는 평면 설명

또는 평면을 모수적으로 폼의 모든 점 집합으로 설명할 수 있습니다.

{\displaystyle {\boldsymbol {r}}_{0}+sboldsymbol {v}+tboldsymbol {w}},

평면의 벡터 설명

$여기$ 서 $s$ 와 t는 모든 실수에 걸쳐, $v$ 와 w는 평면을 정의하는 선형 독립 벡터가 $주어지고 0$ , r은 평면에서 임의의(그러나 고정된) 점의 위치를 나타내는 벡터이다. $벡터$ $v$ 와 w는 r에서 $시작$ 하여₀ 평면을 따라 다른 방향을 가리키는 벡터로 시각화할 수 있습니다. $벡터$ $v$ 와 w는 수직일 수 있지만 평행일 수는 없습니다.

세 점을 통과하는 평면 설명

$p 1$ = ( $x 1,$ $y 1, z 1$ ), $p 2$ = ( $x 2,$ $y 2, z 2$ ) $및 3$ p = ( $x 3,$ $y 3, z 3$ )를 비선형 점으로 합니다.

방법 1

p, $p 2$ $및 3$ p를 $통과$ 하는₁ 평면은 다음 결정 방정식을 충족하는 모든 점(x,y,z)의 집합으로 설명할 수 있습니다.

{vmatrix}x-x_{1}&y-y_{1}-x_{1}&y_{2}-x_{1}-z_{1}\x_{3}-x_{1}-{3}-{3}-{1}&z_{1}-{1}-y_1}-{1}-y-{1}-}-y-{1}-y-{1}-{1}-{1}-{1}-y-y-{1}-{1}-{1}-{1}-}-{1}-}-{1}-y-}-}-}-{1}-{1}-

방법 2

$ax+by+cz+d=0$ + $ax+by+cz+d=0$ + $ax+by+cz+d=0$ z + $ax+by+cz+d=0$ $ax+by+cz+d=0$ $ax+by+cz+d=0$ { $displaystyle$ ax + $by$ + $cz$ + $d= 0$ $ax+by+cz+d=0$ 의 방정식으로 평면을 기술하려면 다음 방정식 시스템을 해결합니다.

ax_{1}+by_{1}+cz_{1}+d=0

ax_{2}+by_{2}+cz_{2}+d=0

ax_{3}+by_{3}+cz_{3}+d=0.

이 시스템은 크레이머의 법칙과 기본적인 행렬 조작을 사용하여 해결할 수 있습니다.허락하다

D=begin{vmatrix}x_{1}&z_{1}\x_{2}&z_{2}&z_{2}&y_{3}&z_{3}\end{vmatrix}}.

D가 0이 아닌 $경우$ (원점을 통과하지 않는 평면의 경우) a, $b$ $및$ c의 $값$ 은 다음과 같이 계산할 수 있습니다.

a=backfrac {-d}{\begin{vmatrix}1&y_{1}&z_{2}&z_{2}\1&y_{3}&z_{3}\end{vmatrix}

b=paramfrac {-d}{\begin{vmatrix}x_{1}\x_{2}&1&z_{2}&1&z_{3}\end{vmatrix}

c=syslogfrac {-d}{\begin{vmatrix}x_{1}&1\x_{2}&y_{2}&1\x_{3}&1\end{vmatrix}}.

이 방정식은 d단위의 파라미터입니다.d를 0이 아닌 임의의 숫자와 동일하게 설정하고 이를 이들 방정식에 대입하면 하나의 솔루션 세트가 생성됩니다.

방법 3

이 평면은 위의 "점 및 정규 벡터" 처방으로도 설명할 수 있습니다.교차곱에 의해 적절한 법선 벡터가 주어진다.

(\displaystyle {\boldsymbol {n}}=boldsymbol {p}_{1}-{\boldsymbol {p}_{1})\times(\boldsymbol {p}-{3}-{\boldsymbol {p}_{1}),})

그리고 r

지점

은₀ 주어진

점 1

p 2

, p

또는 3

^[8] p(또는 평면의 다른 점) 중 하나로 간주할 수 있다.

운용

점에서 평면까지의 거리

평면 $\Pi :ax+by+cz+d=0$ 의 경우 : $\Pi :ax+by+cz+d=0$ x + $\Pi :ax+by+cz+d=0$ + $\Pi :ax+by+cz+d=0$ + $\Pi :ax+by+cz+d=0$ $\Pi :ax+by+cz+d=0$ { { $displaystyle \ Pi$ : $ax$ + $by$ + $cz$ + d $\Pi :ax+by+cz+d=0$ = $0$ } a $\Pi :ax+by+cz+d=0$ ${\boldsymbol {p}}_{1}=(x_{1},y_{1},z_{1})$ a ${\boldsymbol {p}}_{1}=(x_{1},y_{1},z_{1})$ ${\boldsymbol {p}}_{1}=(x_{1},y_{1},z_{1})$ p $=$ ( ${\boldsymbol {p}}_{1}=(x_{1},y_{1},z_{1})$ ${\boldsymbol {p}}_{1}=(x_{1},y_{1},z_{1})$ , ${\boldsymbol {p}}_{1}=(x_{1},y_{1},z_{1})$ ${\boldsymbol {p}}_{1}=(x_{1},y_{1},z_{1})$ , ${\boldsymbol {p}}_{1}=(x_{1},y_{1},z_{1})$ z 1) { $displaystyle {p} _$ { { 1 } = ( $x _$ { 1 ${\boldsymbol {p}}_{1}=(x_{1},y_{1},z_{1})$ } , y _ { $1$ , { $1$ } )

({displaystyle D=cfrac {left ax_{1}+by_{1}+cz_{1}+d\right }{\cfrt {a^{2}+c^{2}}}}).}

${\boldsymbol {p}}_{1}$ p 1 $({$ 은 ${\boldsymbol {p}}_{1}$ D = 0인 경우에만 평면에 놓입니다.

$a^{2}+b^{2}+c^{2}=1$ 2 $a^{2}+b^{2}+c^{2}=1$ + $a^{2}+b^{2}+c^{2}=1$ + $a^{2}+b^{2}+c^{2}=1$ 2 $=$ $a^{2}+b^{2}+c^{2}=1$ {\ $displaystyle a^{2$ } + $b^{2$ } + $c$ ^{ $2$ 1} 이면 a, b, c가 ^[9]정규화 된다.

D=\left ax_{1}+by_{1}+cz_{1}+d\right .

헤세 정규형으로 알려진 평면의 방정식을 위한 또 다른 벡터 형식은 매개변수 D에 의존합니다.이 폼은 다음과 같습니다.^[7]

{\boldsymbol {n}}\cdot {r}-D_{0}=0,

${\boldsymbol {n}}$ 서 n ${\boldsymbol {n}}$ {\ $displaystyle$ {\boldsymbol {n $}}$ 은 $\boldsymbol{n}$ 평면에 대한 단위 법선 벡터, ${\boldsymbol {r}}$ {\ $displaystyle$ {\ $boldsymbol {r}}$ 은 ${\boldsymbol {r}}$ 평면 점의 위치 벡터, D는₀ 원점으로부터의 평면 거리입니다.

고차원에 대한 일반적인 공식은 벡터 표기법을 사용하여 빠르게 구할 수 있습니다.하이퍼플레인에 0 ${\boldsymbol {n}}\cdot ({\boldsymbol {r}}-{\boldsymbol {r}}_{0})=0$ - ${\boldsymbol {n}}\cdot ({\boldsymbol {r}}-{\boldsymbol {r}}_{0})=0$ 0) $= 0(\$ $displaystyle$ ${boldsymbol {r}-{\boldsymbol$ ${r$ $}}_{0$ })= $0$ 이라고 합니다 $.$ 서 n(\ $displaystyle$ {\ $boldsymbol$ {n})은 ${\boldsymbol {n}}$ 정규 벡터 ${\boldsymbol {r}}_{0}=(x_{10},x_{20},\dots ,x_{N0})$ ( ${\boldsymbol {r}}_{0}=(x_{10},x_{20},\dots ,x_{N0})$ $)$ 입니다 ${\boldsymbol {r}}_{0}=(x_{10},x_{20},\dots ,x_{N0})$ ${\boldsymbol {r}}_{0}=(x_{10},x_{20},\dots ,x_{N0})$ , $x_{N0}}$ 은 ${\boldsymbol {r}}_{0}=(x_{10},x_{20},\dots ,x_{N0})$ (는) 하이퍼플레인 내의 한 점에 대한 위치 벡터입니다 $.$ ${\boldsymbol {r}}_{1}=(x_{11},x_{21},\dots ,x_{N1})$ ${\boldsymbol {r}}_{1}=(x_{11},x_{21},\dots ,x_{N1})$ 1 ${\boldsymbol {r}}_{1}=(x_{11},x_{21},\dots ,x_{N1})$ ( ${\boldsymbol {r}}_{1}=(x_{11},x_{21},\dots ,x_{N1})$ ${\boldsymbol {r}}_{1}=(x_{11},x_{21},\dots ,x_{N1})$ ${\boldsymbol {r}}_{1}=(x_{11},x_{21},\dots ,x_{N1})$ ${\boldsymbol {r}}_{1}=(x_{11},x_{21},\dots ,x_{N1})$ ${\boldsymbol {r}}_{1}=(x_{11},x_{21},\dots ,x_{N1})$ , ${\boldsymbol {r}}_{1}=(x_{11},x_{21},\dots ,x_{N1})$ , ${\boldsymbol {r}}_{1}=(x_{11},x_{21},\dots ,x_{N1})$ ${\boldsymbol {r}}_{1}=(x_{11},x_{21},\dots ,x_{N1})$ 1 ${\boldsymbol {r}}_{1}=(x_{11},x_{21},\dots ,x_{N1})$ ) { $display$ { bold $symbol {r} _$ {1} = ( $x_{11}$ , $x_{211}$ ,\ $display$ , $x_{N1$ )까지의 수직 거리를 원합니다.하이퍼플레인은 $\{a_{i}\}$ {i}({ $displaystyle \{a_{i}$ $=-a_{0$ $\{a_{i}\}$ 에 대해 scalar 방정식 ${\boldsymbol {n}}$ ${\textstyle \sum _{i=1}^{N}a_{i}x_{i}=-a_{0}}$ ${\textstyle \sum _{i=1}^{N}a_{i}x_{i}=-a_{0}}$ ${\textstyle \sum _{i=1}^{N}a_{i}x_{i}=-a_{0}}$ ${\textstyle \sum _{i=1}^{N}a_{i}x_{i}=-a_{0}}$ ${\textstyle \sum _{i=1}^{N}a_{i}x_{i}=-a_{0}}$ ${\textstyle \sum _{i=1}^{N}a_{i}x_{i}=-a_{0}}$ x i = 1 n a x i ${\textstyle \sum _{i=1}^{N}a_{i}x_{i}=-a_{0}}$ $\{a_{i}\}$ 1 n bold ${\textstyle \sum _{i=1}^{N}a_{i}x_{i}=-a_{0}}$ boldbold bold bold boldboldboldboldbold $boldbold$ （ $textstyle$ \ $sum$ _ { i = $1$ }^{i }^{ n }^{ n } } ） $a_{$ n ${\boldsymbol {n}}$ } boldboldboldboldboldboldboldboldboldboldboldboldboldboldboldboldboldboldboldboldboldboldboldbold $(a_{1},a_{2},\dots ,a_{N})$ ${\boldsymbol {r}}_{1}-{\boldsymbol {r}}_{0}$ $)({displaystyle (a_{2},\$ $display,$ $a_{$ N $(a_{1},a_{2},\dots ,a_{N})$ 벡터 r 1 - r ${\boldsymbol {r}}_{1}-{\boldsymbol {r}}_{0}$ { $r}_{1}-{\$ $boldsymbol {r$ $}_{0$ ${\boldsymbol {n}}$ 을 ${\boldsymbol {r}}_{1}-{\boldsymbol {r}}_{0}$ ${\boldsymbol {n}}$ ${\boldsymbol {n}}\cdot {\boldsymbol {r}}_{0}={\boldsymbol {r}}_{0}\cdot {\boldsymbol {n}}=-a_{0}$ $displaystyle}$ 방향으로 스칼라 투영해야 ${\boldsymbol {n}}\cdot {\boldsymbol {r}}_{0}={\boldsymbol {r}}_{0}\cdot {\boldsymbol {n}}=-a_{0}$ . ${n}}\cdot {boldsymbol {r}_{0}=cdot {boldsymbol$ ${\boldsymbol {r}}_{0}$ {n}}=- $a_{0}($ ${\boldsymbol {r}}_{0}$ 0 $\$ 은 하이퍼플레인 방정식을 충족합니다.

디스플레이 스타일D&, ={\frac{({\boldsymbol{r}}_{1}-{\boldsymbol{r}}_{0})\cdot{\boldsymbol{n}}}{{\boldsymbol{n}}}}\\&, ={\frac{{\boldsymbol{r}}_{1}\cdot{\boldsymbol{n}}-{\boldsymbol{r}}_{0}\cdot{\boldsymbol{n}}}{{\boldsymbol{n}}}}\\&, ={\frac{{\boldsymbol{r}}_{1}\cdot{\boldsymbol{n}}+a_{0}}{{\boldsymbol{n}}}}\\&^{\frac{a_{1.}{2x_{11}+a_}x_{21}+\dots +a_{N1}+a_{0}{\sqrt {a_{1}^{2}+a_{2}}^{2}+\dots +a_{N}^2}}}.\end { aligned}}

선-평면 교차로

해석기하학에서 3차원 공간에서의 선과 평면의 교점은 빈 집합, 점 또는 선일 수 있습니다.

두 평면 사이의 교차선

3차원 공간에서 두 개의 교차 평면

2개의 평면 $\Pi _{1}:{\boldsymbol {n}}_{1}\cdot {\boldsymbol {r}}=h_{1}$ 1 $\Pi _{1}:{\boldsymbol {n}}_{1}\cdot {\boldsymbol {r}}=h_{1}$ : n $\Pi _{1}:{\boldsymbol {n}}_{1}\cdot {\boldsymbol {r}}=h_{1}$ $\Pi _{1}:{\boldsymbol {n}}_{1}\cdot {\boldsymbol {r}}=h_{1}$ $\Pi _{1}:{\boldsymbol {n}}_{1}\cdot {\boldsymbol {r}}=h_{1}$ $\Pi _{1}:{\boldsymbol {n}}_{1}\cdot {\boldsymbol {r}}=h_{1}$ $\Pi _{1}:{\boldsymbol {n}}_{1}\cdot {\boldsymbol {r}}=h_{1}$ { { $displaystyle$ \ $Pi _$ { { 1 } : \ $boldsymbol$ { $n }$ } _ { { $n }$ \ $cdot$ { $boldsymbol$ { $r$ } = $\Pi _{1}:{\boldsymbol {n}}_{1}\cdot {\boldsymbol {r}}=h_{1}$ h _ { $n$ } $\Pi _{2}:{\boldsymbol {n}}_{2}\cdot {\boldsymbol {r}}=h_{2}$ $\Pi _{2}:{\boldsymbol {n}}_{2}\cdot {\boldsymbol {r}}=h_{2}$ $\Pi _{2}:{\boldsymbol {n}}_{2}\cdot {\boldsymbol {r}}=h_{2}$ $\Pi _{2}:{\boldsymbol {n}}_{2}\cdot {\boldsymbol {r}}=h_{2}$ $\Pi _{2}:{\boldsymbol {n}}_{2}\cdot {\boldsymbol {r}}=h_{2}$ 2 \ $displaystylpi _$ { 2 } { 2 } { 2 \ $symboldsymbol$ { { { { $n}$ } } } } } } } } } } } {에 의해 정규화되어 있다.

{\boldsymbol {r}}=(c_{1}{\boldsymbol {n}}_{1}+c_{2}}{\boldsymbol {n}_{2}+{\boldsymbol {n}}_{1}\times {\boldsymbol {n}}_{2}

어디에

({displaystyle c_{1}=bladfrac {h_{1}-h_{2}({\boldsymbol {n}}_{2})\cdot {1-({\boldsymbol {n}_{1})\cdot {\boldsymbol {n}_{2})

({displaystyle c_{2}=boldfrac {h_{1}-h_{1}({\boldsymbol {n}}_{2})\cdot {1-({\boldsymbol {n}_{1}\cdot {\boldsymbol {n}_{2}) {{2})}

이는 선이 양쪽 평면 노멀에 수직이어야 하며 ${\boldsymbol {n}}_{1}\times {\boldsymbol {n}}_{2}$ ${\boldsymbol {n}}_{1}\times {\boldsymbol {n}}_{2}$ 1 × ${\boldsymbol {n}}_{1}\times {\boldsymbol {n}}_{2}$ 2 $($ { $n}}_{1}\$ times { $bold symbol {n}}_{$ 2}) ${\boldsymbol {n}}_{1}\times {\boldsymbol {n}}_{2}$ 에 평행해야 한다는 것을 알아냄으로써 알 수 있다(이 교차곱은 평면이 평행한 경우에만 0이므로 교차하지 않거나 완전히 일치함).

식의 나머지 부분은 선상에서 임의의 점을 발견함으로써 도달합니다.이를 위해 공간의 임의의 점은 r ${\boldsymbol {r}}=c_{1}{\boldsymbol {n}}_{1}+c_{2}{\boldsymbol {n}}_{2}+\lambda ({\boldsymbol {n}}_{1}\times {\boldsymbol {n}}_{2})$ ${\boldsymbol {r}}=c_{1}{\boldsymbol {n}}_{1}+c_{2}{\boldsymbol {n}}_{2}+\lambda ({\boldsymbol {n}}_{1}\times {\boldsymbol {n}}_{2})$ ${\boldsymbol {r}}=c_{1}{\boldsymbol {n}}_{1}+c_{2}{\boldsymbol {n}}_{2}+\lambda ({\boldsymbol {n}}_{1}\times {\boldsymbol {n}}_{2})$ ${\boldsymbol {r}}=c_{1}{\boldsymbol {n}}_{1}+c_{2}{\boldsymbol {n}}_{2}+\lambda ({\boldsymbol {n}}_{1}\times {\boldsymbol {n}}_{2})$ + ${\boldsymbol {r}}=c_{1}{\boldsymbol {n}}_{1}+c_{2}{\boldsymbol {n}}_{2}+\lambda ({\boldsymbol {n}}_{1}\times {\boldsymbol {n}}_{2})$ ${\boldsymbol {r}}=c_{1}{\boldsymbol {n}}_{1}+c_{2}{\boldsymbol {n}}_{2}+\lambda ({\boldsymbol {n}}_{1}\times {\boldsymbol {n}}_{2})$ n ${\boldsymbol {r}}=c_{1}{\boldsymbol {n}}_{1}+c_{2}{\boldsymbol {n}}_{2}+\lambda ({\boldsymbol {n}}_{1}\times {\boldsymbol {n}}_{2})$ + ${\boldsymbol {r}}=c_{1}{\boldsymbol {n}}_{1}+c_{2}{\boldsymbol {n}}_{2}+\lambda ({\boldsymbol {n}}_{1}\times {\boldsymbol {n}}_{2})$ ( ${\boldsymbol {r}}=c_{1}{\boldsymbol {n}}_{1}+c_{2}{\boldsymbol {n}}_{2}+\lambda ({\boldsymbol {n}}_{1}\times {\boldsymbol {n}}_{2})$ 1 × ${\boldsymbol {r}}=c_{1}{\boldsymbol {n}}_{1}+c_{2}{\boldsymbol {n}}_{2}+\lambda ({\boldsymbol {n}}_{1}\times {\boldsymbol {n}}_{2})$ ) ${\boldsymbol {r}}=c_{1}{\boldsymbol {n}}_{1}+c_{2}{\boldsymbol {n}}_{2}+\lambda ({\boldsymbol {n}}_{1}\times {\boldsymbol {n}}_{2})$ { $displaystyle$ { bold $symbol {r$ } = $c_{1}$ {\ $bold$ symbol { $n}$ + $c_{2$ } 로 쓸 수 있습니다. $}{\boldsymbol {n}_{2}+\boldsymbol$ { $n$ $}_{$ 1}\times {{1}\ $times$ { $n$ $\{{\boldsymbol {n}}_{1},{\boldsymbol {n}}_{2},({\boldsymbol {n}}_{1}\times {\boldsymbol {n}}_{2})\}$ ${$ 2 $n$ × $\{{\boldsymbol {n}}_{1},{\boldsymbol {n}}_{2},({\boldsymbol {n}}_{1}\times {\boldsymbol {n}}_{2})\}$ 2) $}$ } {displaystyle $\{\boldsymbol {n}$ {n} {n} { $n$ } } {{2} $\{{\boldsymbol {n}}_{1},{\boldsymbol {n}}_{2},({\boldsymbol {n}}_{1}\times {\boldsymbol {n}}_{2})\}$ 양쪽 평면(즉, 교차점)에 있는 점을 찾고 싶기 때문에 이 방정식을 평면의 각 방정식에 삽입하여 c $({$ 과 $c_{1}$ $c_{2}$ 2 $({$ c_ ${2$ 에 대해 풀 수 있는 두 개의 연립 방정식을 얻습니다.

$({$ displaystyle { $n}_$ ${\boldsymbol {n}}_{2}$ $({$ 가 ${\boldsymbol {n}}_{2}$ 직교 정규적이라고 가정하면 원점에 대한 교차선의 가장 가까운 ${\boldsymbol {r}}_{0}=h_{1}{\boldsymbol {n}}_{1}+h_{2}{\boldsymbol {n}}_{2}$ 은 r ${\boldsymbol {r}}_{0}=h_{1}{\boldsymbol {n}}_{1}+h_{2}{\boldsymbol {n}}_{2}$ $=$ ${\boldsymbol {r}}_{0}=h_{1}{\boldsymbol {n}}_{1}+h_{2}{\boldsymbol {n}}_{2}$ ${\boldsymbol {r}}_{0}=h_{1}{\boldsymbol {n}}_{1}+h_{2}{\boldsymbol {n}}_{2}$ + ${\boldsymbol {r}}_{0}=h_{1}{\boldsymbol {n}}_{1}+h_{2}{\boldsymbol {n}}_{2}$ ${\boldsymbol {r}}_{0}=h_{1}{\boldsymbol {n}}_{1}+h_{2}{\boldsymbol {n}}_{2}$ 2({ $displaystyle {bold symbol {r}}_0$ ={ $1})$ 이다. $}{\boldsymbol {n}}_{$ 2 ${\boldsymbol {r}}_{0}=h_{1}{\boldsymbol {n}}_{1}+h_{2}{\boldsymbol {n}}_{2}$ 그렇지 않은 경우 보다 복잡한 절차를 ^[10]사용해야 합니다.

이면각

$\Pi _{1}:a_{1}x+b_{1}y+c_{1}z+d_{1}=0$ 1로 $\Pi _{1}:a_{1}x+b_{1}y+c_{1}z+d_{1}=0$ 된 두 개의 교차 평면: $\Pi _{2}:a_{2}x+b_{2}y+c_{2}z+d_{2}=0$ $\Pi _{1}:a_{1}x+b_{1}y+c_{1}z+d_{1}=0$ + b $\Pi _{1}:a_{1}x+b_{1}y+c_{1}z+d_{1}=0$ y + $\Pi _{1}:a_{1}x+b_{1}y+c_{1}z+d_{1}=0$ $\Pi _{1}:a_{1}x+b_{1}y+c_{1}z+d_{1}=0$ + $\Pi _{1}:a_{1}x+b_{1}y+c_{1}z+d_{1}=0$ $\Pi _{1}:a_{1}x+b_{1}y+c_{1}z+d_{1}=0$ $\Pi _{2}:a_{2}x+b_{2}y+c_{2}z+d_{2}=0$ $\Pi _{1}:a_{1}x+b_{1}y+c_{1}z+d_{1}=0$ { $displaystyle$ \ $Pi _$ { $1} x$ + $b _$ { $1} y$ $\Pi _{2}:a_{2}x+b_{2}y+c_{2}z+d_{2}=0$ + $c$ + $d _$ {1} $z$ $\Pi _{2}:a_{2}x+b_{2}y+c_{2}z+d_{2}=0$ + $\Pi _{1}:a_{1}x+b_{1}y+c_{1}z+d_{1}=0$ $\Pi _{2}:a_{2}x+b_{2}y+c_{2}z+d_{2}=0$ 및 $δ$ $\Pi _{2}:a_{2}x+b_{2}y+c_{2}z+d_{2}=0$ + $\Pi _{2}:a_{2}x+b_{2}y+c_{2}z+d_{2}=0$ z + $\Pi _{2}:a_{2}x+b_{2}y+c_{2}z+d_{2}=0$ 2 \ $style$ $(\displaystyle \alpha$ $）$ 。

\cos \alpha = snfrac {\hat {n}_{2}\cdot {{hat {n}}_{1} {{hat {n}}= snfrac {a_{1}+b_{1}b_{2}+c_{c}_{rt}{rt} {rt} {rt} {rt} {rt} {n} {n} {n} {n} {n} {n} {a}}^{2}+c_{1}^{2}}{\sqrt {a_{2}^2}+b_{2}}^{2}+c_{2}^{2}}}}}.

수학의 다양한 영역의 평면

익숙한 기하학적 구조뿐만 아니라, 일반적인 내부 생성물에 대한 등형사상과 함께 평면을 다양한 추상화 수준에서 볼 수 있다.각 추상화 수준은 특정 범주에 해당합니다.

극단적으로 모든 기하학적 및 미터법 개념은 위상 평면을 벗어나기 위해 드롭될 수 있으며, 이는 근접 개념을 유지하지만 거리가 없는 이상적인 호모토픽적으로 사소한 무한 고무 시트로 간주될 수 있다.위상 평면에 선형 경로의 개념이 있지만 직선의 개념은 없습니다.위상 평면 또는 이에 상당하는 오픈 디스크는 저차원 위상으로 분류된 표면(또는 2-매니폴드)을 구성하는 데 사용되는 기본 위상 근방입니다.위상평면의 동형상은 모두 연속분사형이다.위상평면은 평면그래프와 4색정리와 같은 결과를 다루는 그래프 이론의 분과에서 자연스러운 맥락이다.

평면을 아핀 공간으로 볼 수도 있는데, 그 동형은 변환과 비단일 선형 맵의 조합이다.이 관점에서는 거리는 없지만 어떤 선상의 거리 비율과 공선성은 유지된다.

미분기하학에서는 평면을 미분구조를 가진 위상평면인 2차원 실다양체로 본다.이 경우에도 거리 개념은 없지만, 이제 지도의 평활도 개념이 있습니다. 예를 들어 (적용되는 미분 구조의 유형에 따라) 미분 가능 경로 또는 평활 경로입니다.이 경우 동형상은 미분성의 정도가 선택된 분사형이다.

추상화의 반대 방향에서, 우리는 기하학적 평면에 양립 가능한 필드 구조를 적용하여 복잡한 평면과 복잡한 해석의 주요 영역을 발생시킬 수 있다.복소 필드에는 실선을 고정시키는 두 개의 동형사상, 즉 동일성과 활용만이 있습니다.

실제와 같은 방법으로, 평면은 복소선이라고도 불리는 가장 단순한 1차원(복소수 위에 있는) 복합 다양체로 볼 수도 있다.그러나 이 관점은 2차원 실다양체로서의 평면과 극명한 대조를 이룬다.동형사상은 모두 복소평면의 등각분사형이지만, 유일한 가능성은 복소수와 변환에 의한 곱셈의 구성에 대응하는 지도이다.

또한, 유클리드 기하학(모든 곳에 곡률이 0인)만이 평면이 가질 수 있는 기하학이 아닙니다.평면은 입체 투영을 사용하여 구면 형상을 제공할 수 있습니다.이는 (바닥에 있는 공과 마찬가지로) 평면에 구를 배치하고, 맨 위 점을 제거하고, 이 지점에서 평면에 구를 투영하는 것으로 간주할 수 있습니다.이것은 지구 표면의 평평한 지도를 만드는 데 사용될 수 있는 투영법 중 하나이다.결과 지오메트리는 일정한 양의 곡률을 가집니다.

혹은 평면에는 쌍곡면을 주는 일정한 음의 곡률을 주는 메트릭이 주어질 수도 있다.후자의 가능성은 특수상대성이론에서 2개의 공간차원과 1개의 시간차원이 있는 단순화된 경우에 적용된다.(쌍곡면은 3차원 민코프스키 공간의 시간적 초서면입니다.)

위상 및 미분 기하학적 개념

평면의 1점 콤팩트화는 구(입체 투영 참조)와 동일하며, 열린 디스크는 "북극"이 누락된 구와 동일하며, 이 점을 더하면 (콤팩트) 구가 완성됩니다.이 콤팩트화의 결과는 리만 구 또는 복소 사영선이라고 불리는 다양체이다.유클리드 평면에서 점 없는 구면으로의 투영은 미분형이며 심지어 등각 지도이다.

평면 자체는 개방형 디스크와 동형(및 미분형)입니다.쌍곡면에서는 그러한 미분동형은 등각적이지만 유클리드 평면에 대해서는 그렇지 않다.

「」를 참조해 주세요.

메모들

^ 유클리드 기하학에서는 무한히 확장되지만, 예를 들어 타원 기하학에서는 감깁니다.
^ 유클리드의 원소는 입체 기하학도 다루었다.
^ Eves 1963, 페이지 19
^ Joyce, D.E. (1996), Euclid's Elements, Book I, Definition 7, Clark University, retrieved 8 August 2009
^ 안톤 1994, 페이지 155
^ 안톤 1994, 페이지 156
^ ^a ^b Weisstein, Eric W. (2009), "Plane", MathWorld--A Wolfram Web Resource, retrieved 8 August 2009
^ Dawkins, Paul, "Equations of Planes", Calculus III
^ 임의의 계수를 정규화하려면 a, b, c 및 d의 각 계수를 ${\sqrt {a^{2}+b^{2}+c^{2}}}$ + ${\sqrt {a^{2}+b^{2}+c^{2}}}$ 2 + ${\sqrt {a^{2}+b^{2}+c^{2}}}$ 로 나눕니다(\displaystyle $\sqrt {a^{2}+b^{2}+c^{2$ }). $}}}}}$ (0은 사용할 수 없습니다).이제 "새" 계수가 정규화되고 "새" 계수에 대해 다음 공식이 유효합니다.
^ 평면 교차로 - Wolfram MathWorld에서.수학 세계wolfram.com 를 참조해 주세요.2013-08-20 취득.

레퍼런스

Anton, Howard (1994), Elementary Linear Algebra (7th ed.), John Wiley & Sons, ISBN 0-471-58742-7
Eves, Howard (1963), A Survey of Geometry, vol. I, Boston: Allyn and Bacon, Inc.

외부 링크

"Plane", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]
Weisstein, Eric W. "Plane". MathWorld.
"산술과 평면 기하학의 난이도 완화"는 평면 기하학과 산수에 대한 튜토리얼 역할을 하는 15세기 아랍어 필사본이다.

[1] 유클리드 기하학에서는 무한히 확장되지만, 예를 들어 타원 기하학에서는 감깁니다.

[2] 유클리드의 원소는 입체 기하학도 다루었다.

[3] Eves 1963, 페이지 19

[4] Joyce, D.E. (1996), Euclid's Elements, Book I, Definition 7, Clark University, retrieved 8 August 2009

[5] 안톤 1994, 페이지 155

[6] 안톤 1994, 페이지 156

[Weisstein2009-7] Weisstein, Eric W. (2009), "Plane", MathWorld--A Wolfram Web Resource, retrieved 8 August 2009

[PaulsPlanes-8] Dawkins, Paul, "Equations of Planes", Calculus III

[9] 임의의 계수를 정규화하려면 a, b, c 및 d의 각 계수를 ${\sqrt {a^{2}+b^{2}+c^{2}}}$ + ${\sqrt {a^{2}+b^{2}+c^{2}}}$ 2 + ${\sqrt {a^{2}+b^{2}+c^{2}}}$ 로 나눕니다(\displaystyle $\sqrt {a^{2}+b^{2}+c^{2$ }). $}}}}}$ (0은 사용할 수 없습니다).이제 "새" 계수가 정규화되고 "새" 계수에 대해 다음 공식이 유효합니다.

[10] 평면 교차로 - Wolfram MathWorld에서.수학 세계wolfram.com 를 참조해 주세요.2013-08-20 취득.

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