셀프 타일 세트
Self-tiling tile set
순서 n의 자체 타일 세트 또는 세티셋은 n 형상 또는 조각의 집합으로, 대개 평면이며, 각각은 전체 n 형상 집합의 더 작은 복제본으로 타일링될 수 있다. 즉, n개의 모양은 각각의 경우에서 규모 증가가 동일한 더 큰 복사본을 만들 수 있도록 n개의 다른 방법으로 조립될 수 있다. 그림 1은 n = 4에 대한 예로서 뚜렷한 형태의 분해물을 사용한다. 그 개념은 더 높은 차원의 조각들을 포함하도록 확장될 수 있다. 세티세츠라는 이름은 2012년 Lee Sallows에 의해 만들어졌지만,[1][2] n = 4에 대한 그러한 세트를 찾는 문제는 앞서 C에 의해 수십 년 전에 물어본 적이 있다. 더들리 랭포드, 그리고 폴리아볼로(Martin Gardner, Wade E에 의해 발견됨)의 예. 필포트 등)과 폴리오미노스(Maurice J. 포바에 의해 발견됨)는 가드너에 의해 이전에 출판되었다.[3]
예제 및 정의
위의 정의에서 n개의 동일한 조각으로 구성된 세티셋은 '자기복제 타일'이나 리피타일(rep-tile)과 동일한 것이며, 그 중 세티셋은 따라서 일반화된다.[4] 그림 1과 같이 n개의 뚜렷한 형태를 사용하는 세티세트를 완전체라고 부른다. 그림 2는 구성요소 형상 중 두 개가 동일하기 때문에 불완전한 n = 4의 예를 보여준다.
세티셋에서 사용되는 모양은 연결할 필요가 없다. 두 개 이상의 분리된 섬으로 구성된 분리형 조각도 허용된다. 그러한 조각은 그림 3에 나타낸 것과 같이 분리되거나 약하게 연결된 것으로 설명된다(섬이 한 지점에서만 결합되는 경우).
세티셋에서 가장 적은 것은 두 개다. 그림 4는 각각 P와 Q의 두 삼각형으로 구성된 순서의 2개 세티셋의 무한 패밀리를 캡슐화한다. 그림과 같이 후자를 경첩하여 경첩이 완전히 열리는지 또는 완전히 닫히는지에 따라 P나 Q와 같은 모양의 복합 삼각형을 만들 수 있다. 따라서 이 특이한 표본은 경첩이 달린 해부의 예를 제공한다.
인플레이션과 디플레이션
세티셋의 특성은 그 조각들이 대체 기울기 또는 프로토타일들을 해부하거나 결합할 수 있는 테셀레이션을 형성하여 더 작거나 더 큰 복제물을 만들어 내는 것을 의미한다. 분명히, 여전히 더 크고 큰 복사를 형성하는 (인플레라고 알려져 있다), 또는 여전히 더 작고 더 작은 전파 (디플레이션)를 형성하는 두 가지 작용은 무한히 반복될 수 있다. 이러한 방식으로 세티셋은 비주기적 기울기를 발생시킬 수 있다. 그러나 지금까지 발견된 비주기적 기울기 중 어떤 것도 주기적 기울기(aperiodic)로 적합하지 않다. 왜냐하면 프로토타일(prototile)은 항상 주기적 타일을 발생시키기 위해 재배열할 수 있기 때문이다. 그림 5는 비주기적 타일링으로 이어지는 주문 4 세트의 처음 두 단계를 보여준다.
루프스
길이 1의 루프로 해석될 수 있는 자체 타일 세트 외에도, 모든 세트들이 그것의 후계자와 타일을 맞추는 더 긴 루프, 즉 닫힌 체인 세트들이 존재한다.[5] 그림 6은 쌍으로 타일링된 분해물 세트, 즉 길이의 루프 2. 살로우와 쇼텔은 옥토미노로 구성된 순서 4세트를 철저히 조사했다. 7개의 일반 세트 세트(즉, 길이 1의 루프) 외에도, 그들은 모든 길이의 루프가 최대 14개까지라는 놀라운 다양성을 발견했다. 확인된 전체 루프 수는 거의 150만 개였다. 이 분야에 대한 더 많은 연구가 이루어져야 하지만, 다른 모양도 루프를 수반할 수 있다고 가정하는 것은 안전해 보인다.[6]
시공방법
현재까지 세티세트를 생산하는 데 두 가지 방법이 사용되어 왔다. 일체형 피스 사이즈를 수반하는 폴리오미노와 같은 모양으로 구성된 세트의 경우, 관련 피스 수인 n이 엄두도 내지 않는 한 컴퓨터에 의한 무차별적인 힘 검색이 가능하다. n은 그 때 완벽한 사각형이 되어야 한다는 것을 쉽게 알 수 있다.[4] 그림 1,2,3,5,6은 모두 이 방법에 의해 발견되는 예들이다.
또는, 세트 세트를 생성하는 모양을 산출하기 위해 특정 방법으로 여러 개의 복제품을 해부할 수 있는 방법이 있다. 그림 7과 8은 이 수단에 의해 생산된 세트세트를 보여주는데, 각 세트가 각각 2와 3의 리피타일의 조합이다. 그림 8에서 위의 9개 조각이 아래의 3개의 rep-tile 모양과 타일을 이루는 방법을 볼 수 있으며, 9개 조각 각각은 3개의 rep-tile 모양과 결합하여 형성된다. 따라서 각 모양은 전체 9개 세트의 작은 복제품으로 타일링될 수 있다.[4]
참조
- ^ Sallows, Lee (December 2012). "On Self-Tiling Tile Sets". Mathematics Magazine. 85 (5): 323–333. doi:10.4169/math.mag.85.5.323.
- ^ 셀프 타일 세트의 알레한드로 에릭슨
- ^ Mathematical Magic Show의 Martin Gardner, Knopf, 1977, 페이지 146-159에 의한 폴리헥스와 폴리아볼로
- ^ a b c Sallows, Lee (April 2014). "More On Self-Tiling Tile Sets". Mathematics Magazine. 87 (2): 100–112. doi:10.4169/math.mag.87.2.100.
- ^ 2013년 4월 7일 장 폴 들라헤이의 Scilogs의 기하학적 숨겨진 보석
- ^ 자체 타일 세트 웹 사이트
