유클리드 유니폼 틸팅 목록

List of Euclidean uniform tilings

이 표는 유클리드 평면의 11개의 볼록한 균일 기울기(정규 및 반경)와 이중 기울기를 보여준다.

그 비행기에는 세 개의 규칙적인 기울기와 여덟 개의 반정형 기울기가 있다. 반정형 기울기는 이중에서 새로운 기울기를 형성하는데, 각각은 한 종류의 불규칙한 얼굴에서 만들어졌다.

존 콘웨이는 이 균일한 듀얼을 카탈로니아 고체 다면체와 평행하게 카탈로니아 틸링이라고 부른다.

균일한 기울기는 정점 구성, 즉 각 정점에 존재하는 면의 순서에 의해 나열된다. 예를 들어, 4.8.8은 정점에 있는 하나의 정사각형과 두 개의 옥타곤을 의미한다.

이 11개의 균일한 틸팅은 32개의 다른 균일한 색상을 가지고 있다. 균일한 색상은 정점 사이의 정점 통일성과 변형적 조화를 유지하면서 정점에서의 동일한 면의 다각형을 다르게 색칠할 수 있게 한다. (참고: 아래에 표시된 일부 타일링 이미지는 색상 통일되지 않음)

11개의 볼록한 균일 기울기 외에 별 다각형을 사용하는 비콘벡스 기울기, 역방향 정점 구성을 사용하는 14개의 비콘벡스 기울기가 있다.

라브스 틸팅

1987년 저서 틸링과 패턴에서 브란코 그룬바움(Branko Grünbaum)은 정점 균일 기울기를 아르키메데스 고형물과 평행하게 아르키메데스라고 부른다. 그들의 이중 기울기결정학자 프리츠 라브스를 기리기 위해 라브스 기울기라고 불린다.[1][2] 알렉세이 슈브니코프의 이름을 따서 슈브니코프-라브스 기울기라고도 한다.[3] 존 콘웨이는 이 유니폼을 카탈루냐 고체 다면체와 평행하게 카탈루냐 틸링이라고 불렀다.

라브스 틸링은 일반 폴리곤의 중심에 정점이 있고, 가장자리를 공유하는 일반 폴리곤의 가장자리를 연결하는 가장자리가 있다. 라브스 기울기의 기와평지형이라고 불린다. 여기에는 3개의 일반 타일(삼각형, 사각형, 육각형)과 8개의 불규칙 타일이 포함된다.[4] 각 꼭지점에는 가장자리의 간격이 균일하다. 평면의 3차원 유사점을 스테레오헤드론이라고 한다.

이러한 이중 기울기는 얼굴 구성, 얼굴 각 정점에 있는 얼굴 수에 의해 나열된다. 예를 들어 V4.8.8은 하나의 모서리와 네 개의 삼각형이 있는 삼각형 타일을 의미하며, 두 개의 모서리가 8개의 삼각형을 포함하고 있다. 정점 평면(최대12 D)의 방향은 아래 절의 정점도와 일치한다.

11개의 평형
삼각형 사변측정감시 펜타곤 육각형

V63
CDel node.pngCDel split1.pngCDel branch.png

V4.82
CDel node.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node.png

V4.6.12
CDel node.pngCDel 6.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png

V3.122
CDel 2.png

V44
CDel labelinfin.pngCDel branch.pngCDel 2.pngCDel branch.pngCDel labelinfin.png

V(3.6)2
CDel 2.png

V3.4.6.4
CDel 2.png

V32.4.3.4
CDel 2.png

V34.6
CDel 2.png

V33.42
CDel 2.png

V36
CDel 2.png

유클리드 평면의 볼록 균일 기울기

모든 반사 형태는 와이트오프 기호로 대표되는 와이트오프 건설 또는 콕시터-딘킨 다이어그램에 의해 만들어질 수 있으며, 각각 3개의 슈바르츠 삼각형(4,4,2), (6,3,2), 또는 (3,3) 중 하나에서 작동하며, 콕시터 그룹은 [4,4], [6,3] 또는 [3[3]]으로 대표된다. 스너브와 같은 대체 형태도 각 시스템 내의 특수 마크업으로 나타낼 수 있다. 단 하나의 유니폼 타일링만이 와이토프 공정에 의해 건설될 수 없고 삼각 타일링의 길이에 의해 만들어질 수 있다. 직교 미러 구조[1998,2,198]도 존재하며, 직사각형의 기본 영역을 만드는 두 세트의 평행 미러로 보인다. 영역이 사각형인 경우, 대각선 거울에 의해 [4,4] 계열로 대칭이 두 배가 될 수 있다.

패밀리:

  • (4,4,2), C~ 2 [4,4] – 일반 사각 타일링의 대칭
    • ~ 2 2 [1998,2,16]
  • (6,3,2), ~ 2 [6,3] – 일반 육각 타일링삼각 타일링의 대칭성.
    • (3,3,3) ~ [3[3]]

[4,4] 그룹 계열

균일 틸팅
(플라토닉 및 아르키메데스)
정점 피규어 및 이중 면
Wythoff 기호
대칭군
콕시터 다이어그램
이중 통일 틸팅
(레이브스 또는 카탈루냐 기울기라고 함)
Tiling 4a simple.svg
사각 타일링(쿼드릴)
Tiling 4a vertfig.svgTiling 4a dual face.svg
4.4.4.4 (또는4 4)
4 2 4
p4m, [4,4], (*442)
CDel node 1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node.png
CDel node 1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node 1.png
CDel node.pngCDel 4.pngCDel node 1.pngCDel 4.pngCDel node.png
CDel node 1.pngCDel infin.pngCDel node.pngCDel 2.pngCDel node 1.pngCDel infin.pngCDel node.png
CDel node 1.pngCDel infin.pngCDel node 1.pngCDel 2.pngCDel node 1.pngCDel infin.pngCDel node.png
CDel node 1.pngCDel infin.pngCDel node 1.pngCDel 2.pngCDel node 1.pngCDel infin.pngCDel node 1.png
Tiling 4b simple.svg
자가 제조(자율)
Tiling truncated 4a simple.svg
잘린 사각 타일링(잘린 쿼드릴)
Tiling truncated 4a vertfig.svgTiling truncated 4a dual face.svg
4.8.8
2 4 4
4 4 2
p4m, [4,4], (*442)
CDel node 1.pngCDel 4.pngCDel node 1.pngCDel 4.pngCDel node.png
CDel node 1.pngCDel 4.pngCDel node 1.pngCDel 4.pngCDel node 1.png 또는
Tiling truncated 4a dual simple.svg
테트라키스 사각 타일링(키스콰드리유)
Tiling snub 4-4 left simple.svg
스너브 사각 타일링(스너브 쿼드릴)
Tiling snub 4-4 left vertfig.svgTiling snub 4-4 left dual face.svg
3.3.4.3.4
4 4 2
p4g, [4+,4], (4*2)
CDel node h.pngCDel 4.pngCDel node h.pngCDel 4.pngCDel node.png
CDel node h.pngCDel 4.pngCDel node h.pngCDel 4.pngCDel node h.png 또는
Tiling snub 4-4 left dual simple.svg
카이로 오각형 타일링(4배 펜틸)

[6,3] 그룹 계열

플라토닉 및 아르키메데스 기울기 정점 피규어 및 이중 면
Wythoff 기호
대칭군
콕시터 다이어그램
듀얼 라브스 틸팅
Tiling 6 simple.svg
육각 타일링(헥스티유)
Tiling 6 vertfig.svgTiling 6 dual face.svg
6.6.6 (또는 63)
3 6 2
2 6 3
3 3 3
p6m, [6,3], (*632)
CDel node 1.pngCDel 6.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png
CDel node.pngCDel 6.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node 1.png
CDel node 1.pngCDel split1.pngCDel branch 11.png
Tiling 3 simple.svg
삼각 타일링(델틸유)
Tiling 3-6 simple.svg
삼헥사각 타일링(헥사델틸트유)
Tiling 3-6 vertfig.svgTiling 3-6 dual face.svg
(3.6)2
2 6 3
3 3 3
p6m, [6,3], (*632)
CDel node.pngCDel 6.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.png
CDel branch 10ru.pngCDel split2.pngCDel node 1.png = CDel node h1.pngCDel 6.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node 1.png
Tiling 3-6 dual simple.svg
롬빌 타일링(롬빌)
Tiling truncated 6 simple.svg
잘린 육각 타일링(잘린 헥스티유)
Tiling truncated 6 vertfig.svgTiling truncated 6 dual face.svg
3.12.12
2 3 6
p6m, [6,3], (*632)
CDel node 1.pngCDel 6.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.png
Tiling truncated 6 dual simple.svg
트리아키스 삼각 타일링(kisdeltille)
Tiling 3 simple.svg
삼각 타일링(델틸유)
Tiling 3 vertfig.svgTiling 3 dual face.svg
3.3.3.3.3.3 (또는6 3)
6 3 2
3 3 3
3 3 3
p6m, [6,3], (*632)
CDel node.pngCDel 6.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node 1.png
CDel node.pngCDel 6.pngCDel node h.pngCDel 3.pngCDel node h.png
CDel node 1.pngCDel split1.pngCDel branch.png = CDel node h1.pngCDel 6.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png
CDel node h.pngCDel split1.pngCDel branch hh.png
Tiling 6 simple.svg
육각 타일링(헥스티유)
Tiling small rhombi 3-6 simple.svg
Rhombitrihexangle tiling (Rhombihexadeltille)
Tiling small rhombi 3-6 vertfig.svgTiling small rhombi 3-6 dual face.svg
3.4.6.4
3 6 2
p6m, [6,3], (*632)
CDel node 1.pngCDel 6.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node 1.png
Tiling small rhombi 3-6 dual simple.svg
델토이탈삼각형 타일링(테트릴레)
Tiling great rhombi 3-6 simple.svg
잘린 3hexangel tiling(잘린 육각형 타일링)
Tiling great rhombi 3-6 vertfig.svgTiling great rhombi 3-6 dual face.svg
4.6.12
2 6 3
p6m, [6,3], (*632)
CDel node 1.pngCDel 6.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node 1.png
Tiling great rhombi 3-6 dual simple.svg
키스롬빌 타일링(키스롬빌)
Tiling snub 3-6 left simple.svg
스너브 3헥스각 타일링(스너브 헥스틸)
Tiling snub 3-6 left vertfig.svgTiling snub 3-6 left dual face.svg
3.3.3.3.6
6 3 2
p6, [6,3]+, (632)
CDel node h.pngCDel 6.pngCDel node h.pngCDel 3.pngCDel node h.png
Tiling snub 3-6 left dual simple.svg
플로레트 오각형 타일링(6배 펜틸)

비위토피아 유니폼 타일링

플라토닉 및 아르키메데스 기울기 정점 피규어 및 이중 면
Wythoff 기호
대칭군
콕시터 다이어그램
듀얼 라브스 틸팅
Tiling elongated 3 simple.svg
길이가 긴 삼각 타일링(Isosnub 쿼드릴)
Tiling elongated 3 vertfig.svgTiling elongated 3 dual face.svg
3.3.3.4.4
2 2 (2 2)
cmm, [message,2+,mess], (2*22)
CDel node.pngCDel infin.pngCDel node h.pngCDel 2x.pngCDel node h.pngCDel infin.pngCDel node 1.png
CDel node h.pngCDel infin.pngCDel node h.pngCDel 2x.pngCDel node h.pngCDel infin.pngCDel node 1.png
Tiling elongated 3 dual simple.svg
프리즘 오각형 타일링(iso(4-)펜틸)

균일 배색

11개의 유니폼 틸팅에는 총 32개의 유니폼 색상이 있다.

  1. 삼각 타일링 – 9개의 균일한 색상, 4개의 와이토피안, 5개의 비와이토피안
    • Uniform tiling 63-t2.svg Uniform tiling 333-t1.svg Uniform tiling 333-snub.png Uniform tiling 63-h12.png Uniform triangular tiling 111222.png Uniform triangular tiling 112122.png Uniform triangular tiling 111112.png Uniform triangular tiling 111212.png Uniform triangular tiling 111213.png
  2. 사각 타일링 – 9가지 색상: 와이토피안 7개, 비와이토피안 2개
    • Square tiling uniform coloring 1.svg Square tiling uniform coloring 2.png Square tiling uniform coloring 7.png Square tiling uniform coloring 8.png Square tiling uniform coloring 3.png Square tiling uniform coloring 6.png Square tiling uniform coloring 4.png Square tiling uniform coloring 5.png Square tiling uniform coloring 9.png
  3. 육각 타일링 – 3가지 컬러링, 모든 와이토피아
    • Uniform tiling 63-t0.svg Uniform tiling 63-t12.svg Uniform tiling 333-t012.svg
  4. 삼헥사각 타일링 – 2가지 컬러링, 양쪽 와이토피안
    • Uniform tiling 63-t1.svg Uniform tiling 333-t01.png
  5. 스너브 사각 타일링 – 컬러링 2개, 둘 다 교체된 와이토피안
    • Uniform tiling 44-h01.png Uniform tiling 44-snub.svg
  6. 잘린 사각 타일링 – 2가지 컬러링, 양쪽 와이토피안
    • Uniform tiling 44-t12.svg Uniform tiling 44-t012.svg
  7. 잘린 육각형 타일링 – 컬러링 1개, 와이토피아
    • Uniform tiling 63-t01.svg
  8. Rhombitrihexangular tiling – 1 컬러링, wythoffian
    • Uniform tiling 63-t02.svg
  9. 잘린 3hexangel 타일링 – 컬러링 1개, 와이토피안
    • Uniform tiling 63-t012.svg
  10. 스너브 육각 타일링 – 컬러링 1개, 교류 와이토피아
    • Uniform tiling 63-snub.svg
  11. 긴 삼각 타일링 – 컬러링 1개, 비와이토피안
    • Elongated triangular tiling 1.png

참고 항목

참조

  1. ^ Grünbaum, Branko; Shephard, G. C. (1987). Tilings and Patterns. W. H. Freeman and Company. pp. 59, 96. ISBN 0-7167-1193-1.
  2. ^ Conway, John H.; Burgiel, Heidi; Goodman-Strauss, Chaim (April 18, 2008). "Chapter 21, Naming the Archimedean and Catalan polyhedra and tilings, Euclidean Plane Tessellations". The Symmetries of Things. A K Peters / CRC Press. p. 288. ISBN 978-1-56881-220-5. Archived from the original on September 19, 2010.
  3. ^ 수학 백과사전: 궤도 - Rayleigh 방정식, 1991
  4. ^ Ivanov, A. B. (2001) [1994], "Planigon", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press

추가 읽기

외부 링크