대체 타일링

기하학에서 타일 치환은 고차 타일링을 구성하는 방법이다.가장 중요한 것은 일부 타일 치환에서 비주기적 타일링이 생성된다는 것입니다. 이 타일링은 원형 타일링이 번역 대칭을 가진 타일링을 허용하지 않는 타일링입니다.이 중 가장 유명한 것은 펜로즈 타일링이다.대체 타일은 기하학적으로 견고할 필요가 없는 유한 분할 규칙의 특수한 경우입니다.

서론

타일 치환은 일련의 프로토타일(타일 $T_{1},T_{2},\dots ,T_{m}$ $T_{1},T_{2},\dots ,T_{m}$ , $…,$ $Tm, T_{2},\dots, T_$ m $QT_{i}$ }, 전개 $맵$ Q(\ $displaystyle$ Q $)$ 및 $Q$ 전개된 $QT_{i}$ $QT_{i}$ (\displaystyle Q $)를 해석$ 하는 방법을 나타내는 절단 규칙으로 기술된다. $T_{j}$ {\ $displaystyle T_{j$ 직관적으로 타일 치환을 점점 더 많이 반복하면 치환 타일링이라고 하는 평면의 타일이 생성됩니다 $.$ 일부 대체 타일링은 주기적인 것으로, 변환 대칭을 갖는 것으로 정의됩니다.모든 대체 타일링(완만한 조건까지)은 "일치 규칙에 의해 적용"될 수 있습니다. 즉, 시스템에 의해 생성된 대체 타일링만 정확하게 형성할 수 있는 마크된 타일 세트가 있습니다.이러한 마크된 타일에 의한 타일은 반드시 ^[1]^[2]비주기적입니다.

주기 타일링을 생성하는 간단한 예로는 정사각형이라는 하나의 원형타일이 있습니다.

이 타일 치환을 반복함으로써 평면의 보다 큰 영역을 정사각형 그리드로 덮는다.두 개의 원생체를 가진 보다 정교한 예가 아래에 나와 있으며, 폭파 및 해부 두 단계가 한 단계로 합쳐져 있습니다.

이 절차가 전체 평면의 대체 타일을 생성하는 방법을 직관적으로 알 수 있습니다.수학적으로 엄밀한 정의는 다음과 같습니다.치환 타일링은 결정학과 화학뿐만 아니라 자동 이론, 조합론, 이산 기하학, 동적 시스템, 군 이론, 조화 분석과 수 이론을 포함한 수학의 많은 분야에서 관심 있는 대상인 비주기 타일링을 정의하는 방법으로 특히 유용합니다.특히 유명한 펜로즈 타일링은 비주기 치환 타일링의 한 예이다.

역사

1973년과 1974년에, 로저 펜로즈는 현재 펜로즈 타일링이라고 불리는 비주기 타일링을 발견했습니다.첫 번째 설명은 프로토타일들을 직소 퍼즐 조각으로 취급하는 '매칭 규칙'의 관점에서 제시되었다.이러한 프로토타일의 복사본을 조합하여 평면의 타일을 형성할 수 있지만 정기적으로 구성할 수 없다는 증거는 프로토타일의 대체 타일로 주조할 수 있는 구조를 사용합니다.1977년 로버트 암만은 비주기적 타일링을 강제하는 일치 규칙을 가진 다수의 비주기적 프로토타일 세트를 발견했다; 특히, 펜로즈의 첫 번째 예를 재발견했다.이 연구는 결정학에 종사하는 과학자들에게 영향을 주었고, 결국 준결정체의 발견으로 이어졌다.차례로, 준결정체에 대한 관심은 잘 정돈된 몇 가지 비주기 타일링의 발견으로 이어졌다.이들 중 상당수는 대체 타일링으로 쉽게 설명할 수 있습니다.

수학적 정의

R ${\mathbb {R} }^{d}$ \ style \ $display$ \ $mathbb$ { R $}^{$ d ${\mathbb {R} }^{d}$ } $d$ 、지역은 내부 폐쇄인 비어 있지 않은 콤팩트 서브셋이라는 점에서 동작이 양호한 영역을 검토한다.

$\mathbf {P} =\{T_{1},T_{2},\dots ,T_{m}\}$ P $\mathbf {P} =\{T_{1},T_{2},\dots ,T_{m}\}$ { $\mathbf {P} =\{T_{1},T_{2},\dots ,T_{m}\}$ 1 , $\mathbf {P} =\{T_{1},T_{2},\dots ,T_{m}\}$ T $\mathbf {P} =\{T_{1},T_{2},\dots ,T_{m}\}$ , $\mathbf {P} =\{T_{1},T_{2},\dots ,T_{m}\}$ , $\mathbf {P} =\{T_{1},T_{2},\dots ,T_{m}\}$ $\mathbf {P} =\{T_{1},T_{2},\dots ,T_{m}\}$ $}$ { $display$ \ $mathbf$ { $P$ } = \ { $T$ _ { 1} , $T_{2}$ , \ $dots$ , $T_{m}$ \ } 를 $\mathbf {P} =\{T_{1},T_{2},\dots ,T_{m}\}$ 프로토타일로 취합니다. $T_{i}$ Ti(\ $displaystyle T_{$ i $T_{i}$ $})$ 의 $(T_{i},\varphi )$ 배치는 $(T_{i},\varphi )$ ))입니다 $(T_{i},\varphi )$ . $\varphi$ 서 ${\displaystyle$ \ $varphi$ $}$ 는 $\varphi$ R ${\mathbb {R} }^{d}$ \ $displaystyle \mathbb$ {R}^{ $d$ 의 등축입니다. $\varphi (T_{i})$ $\varphi (T_{i})$ ( $\varphi (T_{i})$ \ $displaystyle$ \ $varphi$ ( $T_$ { $i$ } )는 $\varphi (T_{i})$ 배치 영역이라고 불립니다.타일링 T는 영역이 쌍방향으로 분리된 내부를 갖는 일련의 원형 배치입니다.타일링 T는 W의 타일링이라고 합니다.여기서 W는 T의 배치 영역의 합집합입니다.

타일 대체는 종종 문헌에서 느슨하게 정의된다.정확한 정의는 다음과 같습니다.^[3]

원타일 P에 대한 타일 치환은 쌍 $(Q,\sigma )$ $Q:{\mathbb {R} }^{d}\to {\mathbb {R} }^{d}$ $)$ { $displaystyle($ $Q:{\mathbb {R} }^{d}\to {\mathbb {R} }^{d}$ $,\sigma$ $d}$ {{ $d}$ {\mathbb { $R}$ } {{d}} $\to$ { $mathbb {R} }$ {{ $d}$ {{d}}}} {{d}} {{d}}}} {{d}}}}} {{d}}}}}}}}} {{d}}}} {\mathb} {\mathb}}} {{d $Q:{{\mathbb R}}^{d}\to {{\mathbb R}}^{d}$ }}}}}}}}}} $ma$ $}:$ $T_{i}$ $($ T_ ${i$ })를 $T_{i}$ $($ i $QT_{i}$ 의 타일로 $QT_{i}$ .치환규칙 $「\displaystyle \sigma」$ 는 $\sigma$ $\sigma$ W의 $Q_{\sigma }(\mathbf {W} )$ 의 타일링 T에서 Q $Q_{\sigma }(\mathbf {W} )$ ( \ $displaystyle$ Q _ { \ $sigma$ ( \ $mathbf$ { $T }$ )의 $\sigma (\mathbf {T} )$ 타일링 $\sigma (\mathbf {T} )$ ( \ $displaystyle$ \ $sigma$ （ \ $mathbf$ { $W$ ） )로 맵을 유도합니다.

\displaystyle \displaystyle (\mathbf {T})=\bigcup _{(T_{i},\varphi)\{(T_{j},Q\circ \varphi \circ \rho}\displaystyle Q^{-1}\circircuff {T}:(T_{j},\rhi})\displaycup {T}\mathbf {i}\mathbf {t}\mathf {t}\discup}}

프로토타일은 타일 치환에서 추론할 수 있습니다.따라서 타일 치환 $(Q,\sigma )$ , $(Q,\sigma )$ ) { $displaystyle (Q,\sigma$ ^[4]에는 포함할 필요가 없습니다.

${\mathbb {R} }^{d}$ d ${\mathbb {R} }^{d}$ \ $display$ \ $style$ \ $mathbb$ { $R }^{$ $d$ ${\mathbb {R} }^{d}$ } { d } { $\sigma ^{k}(T_{i})$ every { every { every{{ every every ${$ every every every every every every every every every $every$ k ( $T$ _ { $i }$ )의 $\sigma ^{k}(T_{i})$ 서브셋과 일치하는 부분을 치환 $(Q,\sigma )$ 타일( $,$ $(Q,\sigma )$ 이라고 $합니다$ .

「」를 참조해 주세요.

레퍼런스

^ C. Goodman-Strauss, 일치 규칙 및 대체 타일링, 실록 수학, 147(1998), 181-223.
^ Fernique와 N.Olinger, Combinatory 대체 및 Sofic 타일링, Journees Automates Cellulaires 2010, J. Kari ed., TUCS 강의 노트 13(2010), 100-110.
^ D. Frettlöh, 치환에 의해 생성된 모델 집합의 이중성, 루마니아 순수 및 응용 수학 저널, 2005. 50,
^ A. Vince, 유클리드 공간의 숫자 타일링, 수학 준결정에서의 방향, eds: M. Baake, R.V. Moody, AMS, 2000

추가 정보

Pytheas Fogg, N. (2002). Berthé, Valérie; Ferenczi, Sébastien; Mauduit, Christian; Siegel, A. (eds.). Substitutions in dynamics, arithmetics and combinatorics. Lecture Notes in Mathematics. Vol. 1794. Berlin: Springer-Verlag. ISBN 3-540-44141-7. Zbl 1014.11015.

외부 링크

더크 프레틀뢰와 에드먼드 해리스의 대체 타일링 백과사전

[1] C. Goodman-Strauss, 일치 규칙 및 대체 타일링, 실록 수학, 147(1998), 181-223.

[2] Fernique와 N.Olinger, Combinatory 대체 및 Sofic 타일링, Journees Automates Cellulaires 2010, J. Kari ed., TUCS 강의 노트 13(2010), 100-110.

[3] D. Frettlöh, 치환에 의해 생성된 모델 집합의 이중성, 루마니아 순수 및 응용 수학 저널, 2005. 50,

[4] A. Vince, 유클리드 공간의 숫자 타일링, 수학 준결정에서의 방향, eds: M. Baake, R.V. Moody, AMS, 2000

[1]

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