프로토타일

Prototile
이러한 형태의 aperiodicPenrose tiling은 두 개의 원자를 가지고 있는데, 두 개의 원자를 가지고 있는데, 그것은 두꺼운 rhombus(그림에 파란색으로 표시됨)와 얇은 rhombus(녹색으로 표시됨)이다.

테셀레이션의 수학적 이론에서 프로토타일은 테셀레이션의 기와 모양 중 하나이다.[1]

정의

평면이나 다른 공간의 다듬기는 타일이라 불리는 닫힌 모양에 의해 공간을 덮는 것으로, 내부가 이음매 없는 것이다. 일부 타일은 하나 이상의 타일과 일치할 수 있다. S가 테셀레이션의 타일 세트인 경우 R의 두 모양이 서로 합치되지 않으면 형상 R의 세트 R을 프로토타일 세트라고 하며, S의 모든 타일은 R의 형상 중 하나에 합치된다.[2]

타일링에 대해 많은 다른 프로토타일 집합을 선택할 수 있다. 즉, 프로토타일 중 하나를 번역하거나 회전시키면 또 다른 유효한 프로토타일 집합이 생성된다. 그러나 모든 원자의 집합은 동일한 카디널리티를 가지고 있기 때문에 원자의 수는 잘 정의되어 있다. 테셀레이션은 양성자가 정확히 한 개일 경우 단면체라고 한다.

아페리시티

수학의 미해결 문제:

2차원 주기적 프로토타일(prototile)이 존재하는가?

(수학에서 더 풀리지 않은 문제)

프로토타일 세트는 모든 프로토타일들이 무주기적인 타일링이라면 무주기적인 타일링이라고 한다. 무주기 타일링의 원자를 형성하는 단일한 2차원 형태(아인슈타인이라고 함)[3]가 존재하는지 여부는 알 수 없지만, 어떤 주기적인 타일링의 원형은 존재하지 않는다. 즉, 1타일(단면) 주기적 원발성 집합의 존재는 개방적인 문제다. 소콜라-테일러 타일은 2차원 주기적 기울기를 형성하지만, 순수한 형태보다는 조합적 일치 조건에 의해 정의된다. 더 높은 차원에서는 문제가 해결된다: Schmitt-Conway-Danzer 타일은 3차원 유클리드 공간의 단면성 무주기 타일링의 프로토타일이며, 주기적으로 공간을 타일링할 수 없다.

참조

  1. ^ Cederberg, Judith N. (2001), A Course in Modern Geometries, Undergraduate Texts in Mathematics (2nd ed.), Springer-Verlag, p. 174, ISBN 978-0-387-98972-3.
  2. ^ Kaplan, Craig S. (2009), Introductory Tiling Theory for Computer Graphics, Synthesis Lectures on Computer Graphics and Animation, Morgan & Claypool Publishers, p. 7, ISBN 978-1-60845-017-6.
  3. ^ Socolar, Joshua E. S.; Taylor, Joan M. (2012), "Forcing nonperiodicity with a single tile", The Mathematical Intelligencer, 34 (1): 18–28, arXiv:1009.1419, doi:10.1007/s00283-011-9255-y, MR 2902144.