쌍곡선 공간의 균일한 꿀컴

쌍곡 기하학에서 쌍곡 공간에서의 균일한 벌집형태는 균일한 다면세포의 균일체 변형이다. 3차원 쌍곡선 공간에는 Wythoff 시공으로 생성되고 각 패밀리의 Coxeter 다이어그램 링 순열로 표현되는 콤팩트 볼록 균일한 벌집형 9개의 Coxeter 그룹 패밀리가 있다.

콤팩트한 일반 쌍곡선 허니컴 4개

{5,3,4}	{5,3,5}
{4,3,5}	{3,5,3}
푸앵카레 볼 모델 투영

쌍곡선 균일 벌집군

허니콤은 Coxeter 그룹이 정의한 컴팩트 형태와 파라콤팩트 형태로 나뉘는데, 첫 번째 범주는 유한한 세포와 꼭지점 수치(완료 부분군)만 포함하며, 두 번째 범주에는 아핀 하위군이 포함된다.

콤팩트한 균일 벌집형

9개의 컴팩트 Coxeter 그룹은 기본 심플렉스 도메인의 상대적 볼륨 순서로 Coxeter 다이어그램과 함께 여기에 나열되어 있다.^[1][2]

이들 9개 가구는 총 76개의 유니크한 유니폼 허니컴을 생산한다. 쌍곡선 유니폼의 전체 목록은 증명되지 않았고 알려지지 않은 수의 비 위트피안 형태들이 존재한다. 아래에 있는 {3,5,3}개 제품군에 대해 알려진 한 가지 예가 인용되어 있다. 거울 제거 반값으로 연관된 가족은 두 가족뿐이다: [5,3^1,1] £ [5,3,4,1⁺].

색인된	기본 심플렉스 부피[3]	비트 심볼	콕시터 표기법	정류자 부분군	콕시터 도표를 만들다	허니컴스
H1	0.0358850633	${\displaystyle {\bar{BH}_{3}}$	[5,3,4]	[(5,3)+,4,1+] = [5,31,1]+		15양식, 2정식
H2	0.0390502856	${\displaystyle {\bar{J}_{3}}$	[3,5,3]	[3,5,3]+		9개의 양식, 1개의 규칙적인 양식
H3	0.0717701267	${\displaystyle {\bar {DH}_{3}}$	[5,31,1]	[5,31,1]+		11가지 형태([5,3,4] 계열과 7가지 중복, 4가지 형태는 고유)
H4	0.0857701820	${\displaystyle {\widehat{AB}_{3}}$	[(4,3,3,3)]	[(4,3,3,3)]+		9가지 양식
H5	0.0933255395	${\displaystyle {\bar{K}_{3}}$	[5,3,5]	[5,3,5]+		9개의 양식, 1개의 규칙적인 양식
H6	0.2052887885	${\displaystyle {\widehat{AH}_{3}}$	[(5,3,3,3)]	[(5,3,3,3)]+		9가지 양식
H7	0.2222287320	${\displaystyle {\widehat{BB}_{3}}$	[(4,3)[2]]	[(4,3+,4,3+)]		6가지 양식
H8	0.3586534401	${\displaystyle}\widehat {BH}}_{3}}}$	[(3,4,3,5)]	[(3,4,3,5)]+		9가지 양식
H9	0.5021308905	$디스플레이 스타일 {\widehat {\displaystyle}HH}}_{3}}}$	[(5,3)[2]]	[(5,3)[2]]+		6가지 양식

짝수 분기별로 다른 모든 거울로 분리된 두 개 이상의 거울 세트를 제거하면 생성될 수 있는 비증상 도메인을 가진 급진적인 하위집단이 두 개 있을 뿐이다. 하나는 Coxeter 다이어그램으로 대표되는 [4,3,4,3^*]으로, 3각형 사다리꼴 기본 도메인을 가진 색인 6 부분군으로, 하나의 거울을 로 복원하여 확장할 수 있다. 다른 하나는 [4, (3,5)]^*이며, 도치형 기본 도메인을 가진 인덱스 120이다.

파라콤팩트 쌍곡선 균일 벌집

또한 무한하거나 무한하지 않은 면이나 정점 형상을 가진 파라콤팩트 균일 벌집들을 생산하는 4등급의 파라콤팩트 콕시터 그룹도 23개 있는데, 여기에는 무한하거나 무한하지 않은 정점들이 포함된다.

쌍곡선 포락선 그룹 요약

유형	콕시터 그룹
선형 그래프
삼차 그래프
순환 그래프
반복-n-테일 그래프

다른 파라콤팩트 콕시터 그룹은 빈버그 폴리토프 기본 도메인으로 존재하며, 병렬 미러를 포함한 5등급 그래프로 이러한 삼각형 bipyramid 기본 도메인(이중 테트라헤드라)을 포함한다. 균일한 허니콤은 이 그래프에 있는 모든 링 순열로 존재하며, 최소 한 개의 노드가 무한 순서 분기에 걸쳐 링링되어야 한다는 제약조건이 있다.

치수	순위	그래프
H3	5	, , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , ,

[3,5,3]가족

Coxeter 그룹의 링 순열에 의해 생성되는 9가지 형태가 있다: [3,5,3] 또는

관련되지 않은 하나의 형태는 정점이 4개 제거된 정점 {3,5,3}개의 정점 수치로 구성되며, 사면체 감소 도면체라고 불리는 오각형 반격과 틈새에 도데카헤드라를 채운다.^[4]

비트코인 및 런케이트 양식(5 및 6)에는 {4,10 3} 및 {10,4 3}의 두 가지 일반 스큐 다면체의 얼굴이 포함되어 있다.

#	벌집 이름 콕시터 다이어그램 그리고 슐레플리 기호	셀 카운트/버텍스 그리고 벌집 안의 위치들				정점수	사진
		0	1	2	3
1	동면체의 t0{3,5,3}				(12) (3.3.3.3.3)
2	교정된 이두면체 t1{3,5,3}	(2) (5.5.5)			(3) (3.5.3.5)
3	잘린 고드름 t0,1{3,5,3}	(1) (5.5.5)			(3) (5.6.6)
4	알 수 있는 동면체 t0,2{3,5,3}	(1) (3.5.3.5)	(2) (4.4.3)		(2) (3.5.4.5)
5	구릿빛 고드름 t0,3{3,5,3}	(1) (3.3.3.3.3)	(5) (4.4.3)	(5) (4.4.3)	(1) (3.3.3.3.3)
6	엷은 고드름이 있는 t1,2{3,5,3}	(2) (3.10.10)			(2) (3.10.10)
7	갈림길이 있는 이두각. t0,1,2{3,5,3}	(1) (3.10.10)	(1) (4.4.3)		(2) (4.6.10)
8	구불구불한 고드름. t0,1,3{3,5,3}	(1) (3.5.4.5)	(1) (4.4.3)	(2) (4.4.6)	(1) (5.6.6)
9	다량의 이두각류. t0,1,2,3{3,5,3}	(1) (4.6.10)	(1) (4.4.6)	(1) (4.4.6)	(1) (4.6.10)

#	벌집 이름 콕시터 다이어그램 그리고 슐레플리 기호	셀 카운트/버텍스 그리고 벌집 안의 위치들					정점수	사진
		0	1	2	3	알트
[77]	부분적으로 감소된 동면체 pd{3,5,3}[5]				(12) (3.3.3.5)	(4) (5.5.5)
통일형	전미동면체 ht0,1,2,3{3,5,3}	(1) (3.3.3.3.5)	(1) (3.3.3.3	(1) (3.3.3.3)	(1) (3.3.3.3.5)	(4) +(3.3.3)

[5,3,4]가족

Coxeter 그룹의 링 순열에 의해 생성된 15개의 형식이 있다: [5,3,4] 또는 .

이 가문은 순서 4 분기 후의 마지막 거울이 비활성일 때 또는 세 번째 거울이 비활성일 때 대칭이 반인 [5,3,4,1⁺] 또는 파운드인 그룹 [5,3^1,1]과 관련이 있다.

#	벌집 이름 콕시터 다이어그램	꼭지점당 위치 및 카운트별 셀				정점수	사진
		0	1	2	3
10	order-4 deadecheadral. ↔	-	-	-	(8) (5.5.5)
11	시정명령-4도면체 ↔	(2) (3.3.3.3)	-	-	(4) (3.5.3.5)
12	수정 순서-5입방체 ↔	(5) (3.4.3.4)	-	-	(2) (3.3.3.3.3)
13	오더-5 입방체	(20) (4.4.4)	-	-	-
14	잘린 순서-4도면체 ↔	(1) (3.3.3.3)	-	-	(4) (3.10.10)
15	오더-5 입방체 ↔	(2) (4.6.6)	-	-	(2) (5.6.6)
16	잘린 순서-5입방체	(5) (3.8.8)	-	-	(1) (3.3.3.3.3)
17	알 수 있는 주문-4도면체 ↔	(1) (3.4.3.4)	(2) (4.4.4)	-	(2) (3.4.5.4)
18	알 수 있는 주문-5 입방체	(2) (3.4.4.4)	-	(2) (4.4.5)	(1) (3.5.3.5)
19	런케이트 오더-5 입방체	(1) (4.4.4)	(3) (4.4.4)	(3) (4.4.5)	(1) (5.5.5)
20	칸타트롤드 순서-4 도데카헤드랄 ↔	(1) (4.6.6)	(1) (4.4.4)	-	(2) (4.6.10)
21	캔트런치 오더-5 입방체	(2) (4.6.8)	-	(1) (4.4.5)	(1) (5.6.6)
22	시차순서-4도면체	(1) (3.4.4.4)	(1) (4.4.4)	(2) (4.4.10)	(1) (3.10.10)
23	구획 순서-5 입방체	(1) (3.8.8)	(2) (4.4.8)	(1) (4.4.5)	(1) (3.4.5.4)
24	전분량 순서-5입방체	(1) (4.6.8)	(1) (4.4.8)	(1) (4.4.10)	(1) (4.6.10)

#	벌집 이름 콕시터 다이어그램	꼭지점당 위치 및 카운트별 셀					정점수	사진
		0	1	2	3	알트
[34]	교번 오더-5 입방체 ↔	(20) (3.3.3)			(12) (3.3.3.3.3)
[35]	캔틱 오더-5 입방체 ↔	(1) (3.5.3.5)	-	(2) (5.6.6)	(2) (3.6.6)
[36]	런치 오더-5 입방체 ↔	(1) (5.5.5)	-	(3) (3.4.5.4)	(1) (3.3.3)
[37]	런시코틱 오더-5 입방체 ↔	(1) (3.10.10)	-	(2) (4.6.10)	(1) (3.6.6)
통일형	스너브 수정 주문-4 도데카헤드랄	(1) (3.3.3.3.3)	(1) (3.3.3)	-	(2) (3.3.3.3.5)	(4) +(3.3.3)	관개 삼면체
통일형	Runcic snub 수정 순서-4 dodecaheadral.	(3.4.4.4)	(4.4.4.4)	-	(3.3.3.3.5)	+(3.3.3)
통일형	옴니스너브 오더-5 입방체	(1) (3.3.3.3.4)	(1) (3.3.3.4)	(1) (3.3.3.5)	(1) (3.3.3.3.5)	(4) +(3.3.3)

[5,3,5]가족

Coxeter 그룹의 링 순열에 의해 생성되는 9가지 형태가 있다: [5,3,5] 또는

비트코인 및 런케이트 양식(29 및 30)에는 {4,6 5} 및 {6,4 5}의 두 가지 일반 스큐 다면체의 얼굴이 포함되어 있다.

#	벌집 이름 콕시터 다이어그램	꼭지점당 위치 및 카운트별 셀				정점수	사진
		0	1	2	3
25	(정규) 주문-5도면체 t0{5,3,5}				(20) (5.5.5)
26	시정명령-5도면체 t1{5,3,5}	(2) (3.3.3.3.3)			(5) (3.5.3.5)
27	잘린 순서-5도면체 t0,1{5,3,5}	(1) (3.3.3.3.3)			(5) (3.10.10)
28	지시 5도면체 t0,2{5,3,5}	(1) (3.5.3.5)	(2) (4.4.5)		(2) (3.5.4.5)
29	런케이티드 오더-5 도데카헤드랄 t0,3{5,3,5}	(1) (5.5.5)	(3) (4.4.5)	(3) (4.4.5)	(1) (5.5.5)
30	bitruncated order-5 dodecahedral t1,2{5,3,5}	(2) (5.6.6)			(2) (5.6.6)
31	cantitruncated order-5 dodecahedral t0,1,2{5,3,5}	(1) (5.6.6)	(1) (4.4.5)		(2) (4.6.10)
32	runcitruncated order-5 dodecahedral t0,1,3{5,3,5}	(1) (3.5.4.5)	(1) (4.4.5)	(2) (4.4.10)	(1) (3.10.10)
33	omnitruncated order-5 dodecahedral t0,1,2,3{5,3,5}	(1) (4.6.10)	(1) (4.4.10)	(1) (4.4.10)	(1) (4.6.10)

#	Name of honeycomb Coxeter diagram	Cells by location and count per vertex					Vertex figure	Picture
		0	1	2	3	Alt
Nonuniform	omnisnub order-5 dodecahedral ht0,1,2,3{5,3,5}	(1) (3.3.3.3.5)	(1) (3.3.3.5)	(1) (3.3.3.5)	(1) (3.3.3.3.5)	(4) +(3.3.3)

[5,3^1,1] family

There are 11 forms (and only 4 not shared with [5,3,4] family), generated by ring permutations of the Coxeter group: [5,3^1,1] or . If the branch ring states match, an extended symmetry can double into the [5,3,4] family, ↔ .

#	Honeycomb name Coxeter diagram	Cells by location (and count around each vertex)				vertex figure	Picture
		0	1	0'	3
34	alternated order-5 cubic ↔	-	-	(12) (3.3.3.3.3)	(20) (3.3.3)
35	cantic order-5 cubic ↔	(1) (3.5.3.5)	-	(2) (5.6.6)	(2) (3.6.6)
36	runcic order-5 cubic ↔	(1) (5.5.5)	-	(3) (3.4.5.4)	(1) (3.3.3)
37	runcicantic order-5 cubic ↔	(1) (3.10.10)	-	(2) (4.6.10)	(1) (3.6.6)

#	Honeycomb name Coxeter diagram ↔	Cells by location (and count around each vertex)				vertex figure	Picture
		0	1	3	Alt
[10]	Order-4 dodecahedral ↔	(4) (5.5.5)	-	-
[11]	rectified order-4 dodecahedral ↔	(2) (3.5.3.5)	-	(2) (3.3.3.3)
[12]	rectified order-5 cubic ↔	(1) (3.3.3.3.3)	-	(5) (3.4.3.4)
[15]	bitruncated order-5 cubic ↔	(1) (5.6.6)	-	(2) (4.6.6)
[14]	truncated order-4 dodecahedral ↔	(2) (3.10.10)	-	(1) (3.3.3.3)
[17]	cantellated order-4 dodecahedral ↔	(1) (3.4.5.4)	(2) (4.4.4)	(1) (3.4.3.4)
[20]	cantitruncated order-4 dodecahedral ↔	(1) (4.6.10)	(1) (4.4.4)	(1) (4.6.6)
Nonuniform	snub rectified order-4 dodecahedral ↔	(2) (3.3.3.3.5)	(1) (3.3.3)	(2) (3.3.3.3.3)	(4) +(3.3.3)	Irr. tridiminished icosahedron

[(4,3,3,3)] family

There are 9 forms, generated by ring permutations of the Coxeter group:

The bitruncated and runcinated forms (41 and 42) contain the faces of two regular skew polyhedrons: {8,6 3} and {6,8 3}.

#	Honeycomb name Coxeter diagram	Cells by location (and count around each vertex)					vertex figure	Picture
		0	1	2	3	Alt
38	tetrahedral-cubic {(3,3,3,4)}	(4) (3.3.3)	-	(4) (4.4.4)	(6) (3.4.3.4)
39	tetrahedral-octahedral {(3,3,4,3)}	(12) (3.3.3.3)	(8) (3.3.3)	-	(8) (3.3.3.3)
40	cyclotruncated tetrahedral-cubic ct{(3,3,3,4)}	(3) (3.6.6)	(1) (3.3.3)	(1) (4.4.4)	(3) (4.6.6)
41	cyclotruncated cube-tetrahedron ct{(4,3,3,3)}	(1) (3.3.3)	(1) (3.3.3)	(3) (3.8.8)	(3) (3.8.8)
42	cyclotruncated tetrahedral-octahedral ct{(3,3,4,3)}	(4) (3.6.6)	(4) (3.6.6)	(1) (3.3.3.3)	(1) (3.3.3.3)
43	rectified tetrahedral-cubic r{(3,3,3,4)}	(1) (3.3.3.3)	(2) (3.4.3.4)	(1) (3.4.3.4)	(2) (3.4.4.4)
44	truncated tetrahedral-cubic t{(3,3,3,4)}	(1) (3.6.6)	(1) (3.4.3.4)	(1) (3.8.8)	(2) (4.6.8)
45	truncated tetrahedral-octahedral t{(3,3,4,3)}	(2) (4.6.6)	(1) (3.6.6)	(1) (3.4.4.4)	(1) (4.6.6)
46	omnitruncated tetrahedral-cubic tr{(3,3,3,4)}	(1) (4.6.6)	(1) (4.6.6)	(1) (4.6.8)	(1) (4.6.8)
Nonuniform	omnisnub tetrahedral-cubic sr{(3,3,3,4)}	(1) (3.3.3.3.3)	(1) (3.3.3.3.3)	(1) (3.3.3.3.4)	(1) (3.3.3.3.4)	(4) +(3.3.3)

[(5,3,3,3)] family

There are 9 forms, generated by ring permutations of the Coxeter group:

The bitruncated and runcinated forms (50 and 51) contain the faces of two regular skew polyhedrons: {10,6 3} and {6,10 3}.

#	Honeycomb name Coxeter diagram	Cells by location (and count around each vertex)				vertex figure	Picture
		0	1	2	3
47	tetrahedral-dodecahedral	(4) (3.3.3)	-	(4) (5.5.5)	(6) (3.5.3.5)
48	tetrahedral-icosahedral	(30) (3.3.3.3)	(20) (3.3.3)	-	(12) (3.3.3.3.3)
49	cyclotruncated tetrahedral-dodecahedral	(3) (3.6.6)	(1) (3.3.3)	(1) (5.5.5)	(3) (5.6.6)
52	rectified tetrahedral-dodecahedral	(1) (3.3.3.3)	(2) (3.4.3.4)	(1) (3.5.3.5)	(2) (3.4.5.4)
53	truncated tetrahedral-dodecahedral	(1) (3.6.6)	(1) (3.4.3.4)	(1) (3.10.10)	(2) (4.6.10)
54	truncated tetrahedral-icosahedral	(2) (4.6.6)	(1) (3.6.6)	(1) (3.4.5.4)	(1) (5.6.6)

#	Honeycomb name Coxeter diagram	Cells by location (and count around each vertex)			vertex figure	Picture
		0,1	2,3	Alt
50	cyclotruncated dodecahedral-tetrahedral	(2) (3.3.3)	(6) (3.10.10)
51	cyclotruncated tetrahedral-icosahedral	(10) (3.6.6)	(2) (3.3.3.3.3)
55	omnitruncated tetrahedral-dodecahedral	(2) (4.6.6)	(2) (4.6.10)
Nonuniform	omnisnub tetrahedral-dodecahedral	(2) (3.3.3.3.3)	(2) (3.3.3.3.5)	(4) +(3.3.3)

[(4,3,4,3)] family

There are 6 forms, generated by ring permutations of the Coxeter group: . There are 4 extended symmetries possible based on the symmetry of the rings: , , , and .

This symmetry family is also related to a radical subgroup, index 6, ↔ , constructed by [(4,3,4,3^*)], and represents a trigonal trapezohedron fundamental domain.

The truncated forms (57 and 58) contain the faces of two regular skew polyhedrons: {6,6 4} and {8,8 3}.

#	Honeycomb name Coxeter diagram	Cells by location (and count around each vertex)				vertex figure	Pictures
		0	1	2	3
56	cubic-octahedral	(6) (3.3.3.3)	-	(8) (4.4.4)	(12) (3.4.3.4)
60	truncated cubic-octahedral	(1) (4.6.6)	(1) (3.4.4.4)	(1) (3.8.8)	(2) (4.6.8)

#	Honeycomb name Coxeter diagram	Cells by location (and count around each vertex)			vertex figure	Picture
		0,3	1,2	Alt
57	cyclotruncated octahedral-cubic	(6) (4.6.6)	(2) (4.4.4)
Nonuniform	cyclosnub octahedral-cubic	(4) (3.3.3.3.3)	(2) (3.3.3)	(4) +(3.3.3.3)

#	Honeycomb name Coxeter diagram	Cells by location (and count around each vertex)		vertex figure	Picture
		0,1	2,3
58	cyclotruncated cubic-octahedral	(2) (3.3.3.3)	(6) (3.8.8)

#	Honeycomb name Coxeter diagram	Cells by location (and count around each vertex)		vertex figure	Picture
		0,2	1,3
59	rectified cubic-octahedral	(2) (3.4.3.4)	(4) (3.4.4.4)

#	Honeycomb name Coxeter diagram	Cells by location (and count around each vertex)		vertex figure	Picture
		0,1,2,3	Alt
61	omnitruncated cubic-octahedral	(4) (4.6.8)
Nonuniform	omnisnub cubic-octahedral	(4) (3.3.3.3.4)	(4) +(3.3.3)

[(4,3,5,3)] family

There are 9 forms, generated by ring permutations of the Coxeter group:

The truncated forms (65 and 66) contain the faces of two regular skew polyhedrons: {10,6 3} and {6,10 3}.

#	Honeycomb name Coxeter diagram	Cells by location (and count around each vertex)				vertex figure	Picture
		0	1	2	3
62	octahedral-dodecahedral	(6) (3.3.3.3)	-	(8) (5.5.5)	(1) (3.5.3.5)
63	cubic-icosahedral	(30) (3.4.3.4)	(20) (4.4.4)	-	(12) (3.3.3.3.3)
64	cyclotruncated octahedral-dodecahedral	(3) (4.6.6)	(1) (4.4.4)	(1) (5.5.5)	(3) (5.6.6)
67	rectified octahedral-dodecahedral	(1) (3.4.3.4)	(2) (3.4.4.4)	(1) (3.5.3.5)	(2) (3.4.5.4)
68	truncated octahedral-dodecahedral	(1) (4.6.6)	(1) (3.4.4.4)	(1) (3.10.10)	(2) (4.6.10)
69	truncated cubic-dodecahedral	(2) (4.6.8)	(1) (3.8.8)	(1) (3.4.5.4)	(1) (5.6.6)

#	Honeycomb name Coxeter diagram	Cells by location (and count around each vertex)			vertex figure	Picture
		0,1	2,3	Alt
65	cyclotruncated dodecahedral-octahedral	(2) (3.3.3.3)	(8) (3.10.10)
66	cyclotruncated cubic-icosahedral	(10) (3.8.8)	(2) (3.3.3.3.3)
70	omnitruncated octahedral-dodecahedral	(2) (4.6.8)	(2) (4.6.10)
Nonuniform	omnisnub octahedral-dodecahedral	(2) (3.3.3.3.4)	(2) (3.3.3.3.5)	(4) +(3.3.3)

[(5,3,5,3)] family

There are 6 forms, generated by ring permutations of the Coxeter group: . There are 4 extended symmetries possible based on the symmetry of the rings: , , , and .

The truncated forms (72 and 73) contain the faces of two regular skew polyhedrons: {6,6 5} and {10,10 3}.

#	Honeycomb name Coxeter diagram	Cells by location (and count around each vertex)					vertex figure	Picture
		0	1	2	3	Alt
71	dodecahedral-icosahedral	(12) (3.3.3.3.3)	-	(20) (5.5.5)	(30) (3.5.3.5)
72	cyclotruncated icosahedral-dodecahedral	(3) (5.6.6)	(1) (5.5.5)	(1) (5.5.5)	(3) (5.6.6)
73	cyclotruncated dodecahedral-icosahedral	(1) (3.3.3.3.3)	(1) (3.3.3.3.3)	(3) (3.10.10)	(3) (3.10.10)
74	rectified dodecahedral-icosahedral	(1) (3.5.3.5)	(2) (3.4.5.4)	(1) (3.5.3.5)	(2) (3.4.5.4)
75	truncated dodecahedral-icosahedral	(1) (5.6.6)	(1) (3.4.5.4)	(1) (3.10.10)	(2) (4.6.10)
76	omnitruncated dodecahedral-icosahedral	(1) (4.6.10)	(1) (4.6.10)	(1) (4.6.10)	(1) (4.6.10)
Nonuniform	omnisnub dodecahedral-icosahedral	(1) (3.3.3.3.5)	(1) (3.3.3.3.5)	(1) (3.3.3.3.5)	(1) (3.3.3.3.5)	(4) +(3.3.3)

Summary enumeration of compact uniform honeycombs

This is the complete enumeration of the 76 Wythoffian uniform honeycombs. The alternations are listed for completeness, but most are non-uniform.

Index	Coxeter group	Extended symmetry	Honeycombs		Chiral extended symmetry	Alternation honeycombs
H1	${\displaystyle {\bar {BH}}_{3}}$ [4,3,5]	[4,3,5]	15		[1+,4,(3,5)+]	(2)	(= )
					[4,3,5]+	(1)
H2	${\displaystyle {\bar {J}}_{3}}$ [3,5,3]	[3,5,3]	6
		[2+[3,5,3]]	5		[2+[3,5,3]]+	(1)
H3	${\displaystyle {\bar {DH}}_{3}}$ [5,31,1]	[5,31,1]	4
		[1[5,31,1]]=[5,3,4] ↔	(7)		[1[5,31,1]]+ =[5,3,4]+	(1)
H4	${\displaystyle {\widehat {AB}}_{3}}$ [(4,3,3,3)]	[(4,3,3,3)]	6
		[2+[(4,3,3,3)]]	3		[2+[(4,3,3,3)]]+	(1)
H5	${\displaystyle {\bar {K}}_{3}}$ [5,3,5]	[5,3,5]	6
		[2+[5,3,5]]	3		[2+[5,3,5]]+	(1)
H6	${\displaystyle {\widehat {AH}}_{3}}$ [(5,3,3,3)]	[(5,3,3,3)]	6
		[2+[(5,3,3,3)]]	3		[2+[(5,3,3,3)]]+	(1)
H7	${\displaystyle {\widehat {BB}}_{3}}$ [(3,4)[2]]	[(3,4)[2]]	2
		[2+[(3,4)[2]]]	1
		[2+[(3,4)[2]]]	1
		[2+[(3,4)[2]]]	1		[2+[(3+,4)[2]]]	(1)
		[(2,2)+[(3,4)[2]]]	1		[(2,2)+[(3,4)[2]]]+	(1)
H8	${\displaystyle {\widehat {BH}}_{3}}$ [(5,3,4,3)]	[(5,3,4,3)]	6
		[2+[(5,3,4,3)]]	3		[2+[(5,3,4,3)]]+	(1)
H9	${\displaystyle {\widehat {HH}}_{3}}$ [(3,5)[2]]	[(3,5)[2]]	2
		[2+[(3,5)[2]]]	1
		[2+[(3,5)[2]]]	1
		[2+[(3,5)[2]]]	1
		[(2,2)+[(3,5)[2]]]	1		[(2,2)+[(3,5)[2]]]+	(1)

See also

Wikimedia Commons has media related to Uniform tilings of hyperbolic 3-space.

• Uniform tilings in hyperbolic plane
• List of regular polytopes#Tessellations of hyperbolic 3-space

Notes

References

• James E. Humphreys, Reflection Groups and Coxeter Groups, Cambridge studies in advanced mathematics, 29 (1990)
• The Beauty of Geometry: Twelve Essays (1999), Dover Publications, LCCN 99-35678, ISBN 0-486-40919-8 (Chapter 10, Regular Honeycombs in Hyperbolic Space)
• Coxeter, Regular Polytopes, 3rd. ed., Dover Publications, 1973. ISBN 0-486-61480-8. (Tables I and II: Regular polytopes and honeycombs, pp. 294–296)
• Jeffrey R. Weeks The Shape of Space, 2nd edition ISBN 0-8247-0709-5 (Chapters 16–17: Geometries on Three-manifolds I,II) [3]
• Coxeter Decompositions of Hyperbolic Tetrahedra, arXiv/PDF, A. Felikson, December 2002
• C. W. L. Garner, Regular Skew Polyhedra in Hyperbolic Three-Space Can. J. Math. 19, 1179–1186, 1967. PDF [4]
• Norman Johnson, Geometries and Transformations (2018), Chapters 11,12,13
• N. W. Johnson, R. Kellerhals, J. G. Ratcliffe, S. T. Tschantz, The size of a hyperbolic Coxeter simplex, Transformation Groups 1999, Volume 4, Issue 4, pp 329–353 [5]
• N.W. Johnson, R. Kellerhals, J.G. Ratcliffe,S.T. Tschantz, Commensurability classes of hyperbolic Coxeter groups H³: p130. [6]
• Klitzing, Richard. "Hyperbolic honeycombs H3 compact".