포장 문제

느슨하게 채워진 구 또는 원(위)과 더 촘촘하게 채워진 원(아래)

패킹 문제는 컨테이너에 개체를 함께 패킹하는 것과 관련된 수학의 최적화 문제의 한 종류입니다.목표는 단일 컨테이너를 가능한 한 조밀하게 채우거나 가능한 한 적은 수의 컨테이너를 사용하여 모든 개체를 채우는 것입니다.이러한 문제의 대부분은 실제 포장, 보관 및 운송 문제와 관련이 있을 수 있습니다.각 포장 문제에는 이중 덮개 문제가 있습니다. 이중 덮개 문제는 컨테이너의 모든 영역을 완전히 덮는 데 동일한 물체의 수가 얼마나 필요한지 물어보는 것입니다. 이때 물체는 겹칠 수 있습니다.

휴지통 패킹 문제에서는 다음과 같이 표시됩니다.

용기, 보통 2차원 또는 3차원 볼록 영역이며 크기가 무한할 수 있습니다.문제에 따라 여러 개의 용기가 제공될 수 있습니다.
오브젝트 세트입니다.하나 이상의 용기에 일부 또는 전부를 포장해야 합니다.세트에는 크기가 지정된 여러 객체가 포함될 수도 있고 반복적으로 사용할 수 있는 고정 치수의 단일 객체가 포함될 수도 있습니다.

일반적으로 포장은 상품과 다른 상품 또는 용기 벽 사이에 겹치지 않아야 합니다.일부 변형에서는 최대 패킹 밀도로 단일 용기를 포장하는 구성을 찾는 것이 목적입니다.더 일반적으로, 목표는 가능한 ^[1]한 적은 수의 용기에 모든 개체를 포장하는 것입니다.일부 변형에서는 (물체가 서로 또는 용기의 경계와) 겹치는 것이 허용되지만 최소화되어야 합니다.

무한 공간에서의 포장

이러한 문제들 중 많은 것들이, 용기 크기가 모든 방향으로 증가하면, 무한 유클리드 공간에서 가능한 한 조밀하게 물체를 채우는 문제와 같아진다.이 문제는 많은 과학 분야와 관련이 있으며 상당한 관심을 받고 있다.케플러의 추측은 토마스 캘리스터 헤일스에 의해 그것이 맞다는 것이 증명되기 수백 년 전에 구를 채우기 위한 최적의 해결책을 가정했다.타원체,^[2]^[4]^[5] 사면체를 포함한 플라톤과 아르키메데스의^[3] 고체, 삼각대 (3개의 양의 축 평행선을 ^[6]따라 입방체의 합체), 그리고 불평등한 구체의 ^[7]이합체를 포함한 많은 다른 모양들이 주목을 받았다.

원의 육각형 패킹

2차원 유클리드 평면상의 원의 육각형 패킹.

이 문제들은 수학적으로 원 채우기의 개념과 다르다.관련된 원 패킹 문제는 평면이나 구와 같은 표면에서 크기가 다른 원을 패킹하는 문제를 다룹니다.

다른 차원에서의 원의 상대적인 부분은 1보다 큰 차원에서는 완전한 효율로 채워질 수 없습니다(1차원 우주에서는 원의 유사점은 2점에 불과합니다).즉, 동그라미만 채우면 항상 사용되지 않는 공간이 생깁니다.원을 채우는 가장 효율적인 방법인 육각형 패킹은 ^[8]약 91%의 효율성을 생성합니다.

고차원의 구형 패킹

3차원에서, 촘촘하게 채워진 구조물은 구의 가장 좋은 격자 패킹을 제공하며, 모든 패킹 중에서 최적의 것으로 여겨진다.'단순한' 구면 패킹을 3차원('단순한' 것은 신중하게 정의됨)으로 정의할 수 있는 9가지 ^[9]패킹이 있습니다.또한 8차원 E8 격자와 24차원 거머리 격자는 각각의 실제 차원 공간에서 최적의 것으로 입증되었습니다.

3차원 플라톤계 고체 포장

입체 공간을 완전히 채우도록 큐브를 쉽게 배치할 수 있으며, 가장 자연스러운 패킹은 큐빅 벌집입니다.다른 Platonic 솔리드는 공간을 타일링할 수 없지만 몇 가지 예비 결과는 알려져 있습니다.사면체는 최소 85%의 패킹을 달성할 수 있다.정십면체의 가장 좋은 패킹 중 하나는 전술한 면중심입방체(FCC) 격자에 기초한다.

사면체와 팔면체는 함께 사면체-팔면체 벌집이라고 알려진 배열로 모든 공간을 채울 수 있습니다.

단단한	격자 패킹의 최적 밀도
20면체	0.836357...^[10]
12면체	(5 + 55)/8 = 0.904508...^[10]
팔면체	18/19 = 0.947368...^[11]

국소 개선 방법과 랜덤 패킹을 결합한 시뮬레이션은 이코사면, 도데카면 및 팔면체에 대한 격자 패킹이 모든 ^[3]패킹의 광범위한 클래스에서 최적임을 시사한다.

3차원 용기 포장

서로 다른 입방체를 입방체로 변환

특정 항목 큐보이드 세트를 포장하는 데 필요한 큐보이드 용기(빈)의 최소 수를 결정합니다.패킹할 직사각형 입방체는 각 축에서 90도 회전할 수 있습니다.

구를 유클리드 공으로 만들다

k개의 분리된 열린 단위 볼이 채워질 수 $있는$ 가장 작은 볼을 찾는 문제는 k $k\leq n+1$ n + $k\leq n+1$ {\ $style$ k $\leq$ n $+1$ 인 경우 n차원 유클리드 공간과 제한 없는 무한 차원 힐베르트 공간에서 간단하고 완전한 답을 얻을 수 있다.일반적인 문제의 정취를 나타내기 위해 여기에 자세히 기술할 가치가 있다.이 경우 k쌍의 접선 단위 볼을 $구성$ 할 수 있습니다.엣지 2를 $(k-1)$ 가진 정규 $(k-1)$ ( $(k-1)$ - $(k-1)$ ) $(k-1)$ \ $displaystyle$ ( k - $1$ ) \ dots , $a _$ { $k$ } 치수 $a_{1},\dots ,a_{k}$ 심플렉스의 $a_{1},\dots ,a_{k}$ a 1, $a_{1},\dots ,a_{k}$ $a_{1},\dots ,a_{k}$ { $dots$ , a _ { $k$ }에 중심을 배치합니다.이것은 직교 정규 기준부터 쉽게 실현됩니다.작은 계산 결과, 중심에서 각 정점의 거리는 2 ${\textstyle {\sqrt {2{\big (}1-{\frac {1}{k}}{\big )}}}}$ - ${\textstyle {\sqrt {2{\big (}1-{\frac {1}{k}}{\big )}}}}$ )(\ $textstyle {2{\big (}1-{\frac {1}{k}}{\$ big ${\textstyle {\sqrt {2{\big (}1-{\frac {1}{k}}{\big )}}}}$ 입니다. 또한 공간의 다른 점은 $k개$ 의 정점 중 적어도 하나에서 더 큰 거리를 가질 필요가 있습니다.볼의 포함에 관해서는 $k개$ 의 $열린$ 단위 볼이 ${\textstyle r_{k}:=1+{\sqrt {2{\big (}1-{\frac {1}{k}}{\big )}}}}$ $:$ $=$ $a_{1},\dots ,a_{k}$ ${\textstyle r_{k}:=1+{\sqrt {2{\big (}1-{\frac {1}{k}}{\big )}}}}$ + ${\textstyle r_{k}:=1+{\sqrt {2{\big (}1-{\frac {1}{k}}{\big )}}}}$ ( ${\textstyle r_{k}:=1+{\sqrt {2{\big (}1-{\frac {1}{k}}{\big )}}}}$ - ${\textstyle r_{k}:=1+{\sqrt {2{\big (}1-{\frac {1}{k}}{\big )}}}}$ k $){$ $textstyle$ $r_{$ k:= $1+{\$ clacrt ${2g$ } (1 - ${\clacrt$ {1 - ${\$ flac ${k$ )의 볼에 $a_{1},\dots ,a_{k}$ $a_{1},\dots ,a_{k}$ 되어 있습니다.

이 설정이 최적인 것을 $x_{1},\dots ,x_{k}$ x $x_{1},\dots ,x_{k}$ 1, $x_{1},\dots ,x_{k}$ $x_{1},\dots ,x_{k}$ k(\ $displaystyle x_{1},\dots,x_{$ k $x_{1},\dots ,x_{k}$ })를 $x_{0}$ 0(\ $display x_0$ 을 중심으로 하는 $반지름$ r의 볼에 포함되는 k개의 분리된 열린 $유닛볼$ 의 $x_{1},\dots ,x_{k}$ 이라고 합니다.유한 $\{x_{1},\dots ,x_{k}\}$ { $\{x_{1},\dots ,x_{k}\}$ 1, $\{x_{1},\dots ,x_{k}\}$ …, $\{x_{1},\dots ,x_{k}\}$ }, k, { $display$ style $\{x}$ 의 $맵$ 을 고려합니다.{k}\}}{1,…, k}{\displaystyle\와 같이{a_{1},\dots ,a_{k}\에}모든 1≤에 나는 <}}은 해당하는은 j{\displaystyle a_{j}에}1≤ j.;j≤ k{\displaystyle 1\leq i<, j\leq k}, ‖ 바삭바삭한 j− ‖ xj{\displaystyle x_{j}≤ k{1\leq j\leq k\displaystyle}를 복용하고 있다. =2≤ $\|a_{i}-a_{j}\|=2\leq \|x_{i}-x_{j}\|$ $\|a_{i}-a_{j}\|=2\leq \|x_{i}-x_{j}\|$ - $x$ j ${\$ { display $\ a$ _ { i } - $a$ _ { j } $\ =$ 2 \ $leq$ \ x _ { $i$ } - $x$ _ { j } 이 $\|a_{i}-a_{j}\|=2\leq \|x_{i}-x_{j}\|$ 맵은 1-립시츠이며, Kirszbraun 정리에 의해 1-립시츠 맵까지 확장됩니다. $특히, 0-style$ 의 포인트가 존재합니다. $\|a_{0}-a_{j}\|\leq \|x_{0}-x_{j}\|$ - $\|a_{0}-a_{j}\|\leq \|x_{0}-x_{j}\|$ j $\|a_{0}-a_{j}\|\leq \|x_{0}-x_{j}\|$ $\|a_{0}-a_{j}\|\leq \|x_{0}-x_{j}\|$ - $\|a_{0}-a_{j}\|\leq \|x_{0}-x_{j}\|$ j $\|a_{0}-a_{j}\|\leq \|x_{0}-x_{j}\|$ { $displaystyle$ \ a $_$ { 0 $\|a_{0}-a_{j}\|\leq \|x_{0}-x_{j}\|$ } - $r_{k}\leq 1+\|a_{0}-a_{j}\|\leq 1+\|x_{0}-x_{j}\|\leq r$ $_$ { $j$ } $\$ $leq$ $\|a_{0}-a_{j}\|\leq \|x_{0}-x_{j}\|$ \ $x _$ $r_{k}\leq 1+\|a_{0}-a_{j}\|\leq 1+\|x_{0}-x_{j}\|\leq r$ { $0$ }\ $\|a_{0}-a_{j}\|\leq \|x_{0}-x_{j}\|$ $r_{k}\leq 1+\|a_{0}-a_{j}\|\leq 1+\|x_{0}-x_{j}\|\leq r$ $r_{k}\leq 1+\|a_{0}-a_{j}\|\leq 1+\|x_{0}-x_{j}\|\leq r$ k $r_{k}\leq 1+\|a_{0}-a_{j}\|\leq 1+\|x_{0}-x_{j}\|\leq r$ $r_{k}\leq 1+\|a_{0}-a_{j}\|\leq 1+\|x_{0}-x_{j}\|\leq r$ + $r_{k}\leq 1+\|a_{0}-a_{j}\|\leq 1+\|x_{0}-x_{j}\|\leq r$ j $r_{k}\leq 1+\|a_{0}-a_{j}\|\leq 1+\|x_{0}-x_{j}\|\leq r$ 1 + $r_{k}\leq 1+\|a_{0}-a_{j}\|\leq 1+\|x_{0}-x_{j}\|\leq r$ ‖ $r_{k}\leq 1+\|a_{0}-a_{j}\|\leq 1+\|x_{0}-x_{j}\|\leq r$ + $r_{k}\leq 1+\|a_{0}-a_{j}\|\leq 1+\|x_{0}-x_{j}\|\leq r$ x $r_{k}\leq 1+\|a_{0}-a_{j}\|\leq 1+\|x_{0}-x_{j}\|\leq r$ 0 - $r_{k}\leq 1+\|a_{0}-a_{j}\|\leq 1+\|x_{0}-x_{j}\|\leq r$ j $r_{k}\leq 1+\|a_{0}-a_{j}\|\leq 1+\|x_{0}-x_{j}\|\leq r$ ≤ ≤ $r_{k}\leq 1+\|a_{0}-a_{j}\|\leq 1+\|x_{0}-x_{j}\|\leq r$ {\ {\ $（$ \ $displaystyle$ ） $r\geq r_{k}$ r $(\$ r $\geq r_{k$ 무한 차원 Hilbert 공간에서는 $r\geq 1+{\sqrt {2}}$ 이 1 $r\geq 1+{\sqrt {2}}$ + $r\geq 1+{\sqrt {2}}$ r $\geq$ 1 + {\ $sqrt {2$ 인 $r\geq 1+{\sqrt {2}}$ 에만 $r$ 의 볼 내에 무한히 많은 열린 유닛볼이 있음을 알 수 있습니다.예를 들어 유닛볼은 $jdisplay$ ${\sqrt {2}}e_{j}$ ${\sqrt {2}}e_{j}$ (\ $s$ 에 중심을 맞춥니다.rt ${2}} e_{$ $j$ $\{e_{j}\}_{j}$ $\{e_{j}\}_{j}$ $\{e_{j}\}_{j}$ { $displaystyle$ \ { $e$ _ { $j$ } \ $}$ _ $\{e_{j}\}_{j}$ { $j$ } )는 직교 정규 기준이며, 원점을 중심으로 한 $1+{\sqrt {2}}$ 1 $1+{\sqrt {2}}$ + $({$ $displaystyle$ 1 + { \ $rt$ {2 $}})$ 의 $1+{\sqrt {2}}$ 볼에 포함되어 $있습니다$ .또한 $r<1+{\sqrt {2}}$ r < $r<1+{\sqrt {2}}$ + $r<1+{\sqrt {2}}$ { $style$ r < $1$ + { \ $sqrt {$ } $r<1+{\sqrt {2}}$ } $r<1+{\sqrt {2}}$ r $r$ r ${\textstyle {\big \lfloor }{\frac {2}{2-(r-1)^{2}}}{\big \rfloor }}$ ${\textstyle {\big \lfloor }{\frac {2}{2-(r-1)^{2}}}{\big \rfloor }}$ - ${\textstyle {\big \lfloor }{\frac {2}{2-(r-1)^{2}}}{\big \rfloor }}$ ( ${\textstyle {\big \lfloor }{\frac {2}{2-(r-1)^{2}}}{\big \rfloor }}$ - ${\textstyle {\big \lfloor }{\frac {2}{2-(r-1)^{2}}}{\big \rfloor }}$ ) ${\$ \ $textstyle$ { $2 -$ ( r - 1 )^ $2 }$ { \ $frac$ { 2 - ( r - 1 )^2 } { \ $flo$ } { \ $flo$ } ${\textstyle {\big \lfloor }{\frac {2}{2-(r-1)^{2}}}{\big \rfloor }}$ } $。$

정육면체의 구

$a\times b\times c$ × $a\times b\times c$ × $a\times b\times c$ c \ $displaystyle$ a \ $times$ b \ $times$ c $a\times b\times c$ 의 입방체에 넣을 수 있는 d $직경$ 의 구형 객체의 수를 결정합니다.

실린더 내의 동일한 구

$반지름$ r $(<$ $R)$ ^[12]의 n개의 동일한 구를 $채우는$ $주어진$ 반지름 R을 가진 실린더의 $최소$ 높이 h를 결정한다.작은 $반지름$ R의 경우, 구들은 기둥 구조라고 불리는 질서 있는 구조들로 배열된다.

구체의 다면체

n개의 동일한 ^[13]단위 부피 다면체를 $채우는$ 최소 $반지름$ R을 결정합니다.

2차원 용기 포장

원 안에 10개의 원을 최적으로 채우는 방법

2차원 패킹 문제의 많은 변형이 연구되어 왔다.자세한 내용은 링크된 페이지를 참조하십시오.

원의 패킹

n개의 단위 원이 $주어지고$ 가능한 한 작은 용기에 포장해야 합니다.몇 가지 종류의 컨테이너가 연구되었습니다.

원 안에 원을 채우는 것 - 점 사이의 $최소 n$ 간격 d를 찾기 위해 단위 원 안에 점을 펼치는 것과 밀접하게 관련되어 있습니다. $최적$ 솔루션은 n $13$ 13, $n$ = 19에 $대해$ 입증되었습니다.
정사각형에 원을 채우는 것 - 점 사이의 최소 간격 $d$ 를_n 찾기 위해 단위 정사각형에 점을 펼치는 것과 밀접하게 관련되어 있습니다.문제의 두 공식 사이를 변환하려면 단위 원의 정사각형 변은 L $L=2+2/d_{n}$ + $L=2+2/d_{n}$ / $L=2+2/d_{n}$ n { $displaystyle$ L $= 2$ + $2$ / $d$ _ { $n$ } 이 $L=2+2/d_{n}$ .

정사각형에 15개의 원을 최적으로 채우는 방법
최적 솔루션은 n $/30$ 에 $대해$ 검증되었습니다.
이등변 직각 삼각형의 패킹 원 - n < $300$ 에 $대해$ 적절한 추정치가 알려져 있습니다.
정삼각형 내 패킹 원 - 최적 용액은 n < $13$ 으로 $알려져$ 있으며, n < $28$ 로 ^[14] $추측$ 할 수 있다.

정사각형 패킹

n개의 단위 정사각형이 $주어지고$ 가능한 가장 작은 용기에 채워야 합니다. 여기서 용기 유형은 다양합니다.

정사각형에 정사각형 채우기:1-10, 14-16, 22-25, 33-36, 62-64, 79-81, 98-100 및 임의의 제곱 정수에 $대해$ 최적의 솔루션이 검증되었습니다.낭비된 공간은 $점근적$ 으로 O $(a 7/11)$ 입니다.
원 안의 정사각형 채우기: 좋은 용액은 n are $35$ 로 $알려져$ 있습니다.

정사각형 10개의 최적 패킹

직사각형 패킹

직사각형에 동일한 직사각형 채우기:90° 회전을 허용하는 단일 직사각형( $l, w)$ 의 여러 인스턴스(instance)를 큰 직사각형 $(L, W)$ 으로 포장하는 문제는 팔레트, 특히 우드펄프 보관함에 박스를 적재하는 것과 같은 몇 가지 응용이 있다.예를 들어 크기(1600,1230)의 직사각형에 크기(137,95)의 직사각형 147개를 채울 수 있습니다.
직사각형에 서로 다른 직사각형 채우기:최소 면적의 둘러싸인 직사각형(단, 둘러싸인 직사각형의 너비 또는 높이의 경계가 없음)에 폭과 높이가 다른 여러 직사각형을 채우는 문제는 이미지를 하나의 큰 이미지로 결합하는 데 중요한 응용 프로그램이 있습니다.하나의 큰 이미지를 로드하는 웹 페이지는 웹 서버에서 각 이미지를 요구할 때 오버헤드가 발생하기 때문에 같은 페이지에서 여러 개의 작은 이미지를 로드하는 것보다 브라우저에서 더 빨리 렌더링됩니다.문제는 일반적으로 NP-complete이지만 작은 인스턴스를 해결하기 위한 빠른 알고리즘이 있습니다.

불규칙한 물건의 포장

불규칙한 물건을 포장하는 것은 폐쇄적인 형태의 해결책에 적합하지 않은 문제이지만, 실용적인 환경 과학에 대한 적용은 매우 중요하다.예를 들어, 불규칙한 모양의 토양 입자는 크기와 모양이 다양할수록 다르게 채워지며, 식물 종들이 뿌리 형성을 적응하고 ^[17]토양에서 물이 이동할 수 있도록 하는 중요한 결과를 초래한다.

주어진 폴리곤 집합이 주어진 정사각형 용기에 들어갈 수 있는지 여부를 결정하는 문제는 ^[18]실존론에 대해 완전한 것으로 나타났다.

「」를 참조해 주세요.

메모들

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레퍼런스

외부 링크

수학 저널뿐만 아니라 많은 퍼즐북에는 포장 문제에 대한 기사가 실려 있다.

포장에 관한 다양한 Math World 기사 링크
MathWorld에서는 정사각형 패킹에 대해 설명합니다.
에리히의 포장 센터
www.packomania.com 표, 그래프, 계산기, 레퍼런스 등이 있는 사이트
Ed Pegg, Jr.의 "Box Packing", 울프램 데모 프로젝트, 2007.
최대 1100개의 원 안에 동일한 원을 채우는 것으로 가장 잘 알려져 있습니다.

Python의 원 패킹 챌린지 문제

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[17] C. 마이클 호건, 2010년비생물학적 요인. 지구 백과사전. Ed Emily Monosson과 C. 클리블랜드. 전미 과학 환경 위원회워싱턴 DC

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