영국 해안은 얼마나 길까요? 통계적 자기 유사성과 분수 차원

How Long Is the Coast of Britain?
지리와 길이에 대한 그림은 영국 해안선을 참조하십시오.
해안선 역설의 한 예입니다. 영국의 해안선 길이를 100km(62mi) 단위로 측정하면 해안선 길이는 약 2,800km(1,700mi)입니다. 50km(31mi) 단위로 총 길이는 약 3,400km(2,100mi)로 약 600km(370mi) 더 깁니다.

"영국 해안은 얼마나 길까요? 통계적 자기 유사성과 분수 차원은 1967년 5월 5일 사이언스에 처음 발표된 수학자 베누아 만델브로의 논문입니다.[1] 이 논문에서 만델브로는 하우스도르프 차원이 1과 2 사이인 자기 유사 곡선에 대해 논의합니다. 이러한 곡선은 프랙탈의 예이지만 만델브로는 1975년까지 이 용어를 사용하지 않았기 때문에 논문에서 이 용어를 사용하지 않습니다. 이 논문은 프랙탈을 주제로 한 만델브로의 첫 번째 출판물 중 하나입니다.[2]

개요

이 논문은 해안선 역설을 조사합니다: 길게 뻗은 해안선의 측정 길이가 측정 규모에 따라 달라지는 특성. 경험적 증거에 따르면 측정 증분이 작을수록 측정 길이가 길어집니다. 잣대로 해안선의 너비를 측정한다면, 1피트(30.48cm) 자로 같은 너비를 측정했을 때보다 짧은 결과를 얻을 수 있습니다. 이것은 사람들이 그 다음에 잣대를 들이대는 것보다 더 곡선적인 경로를 따라 자를 눕히는 것이기 때문입니다. 경험적 증거는 외삽하면 측정 척도가 0으로 감소함에 따라 측정 길이가 제한 없이 증가한다는 규칙을 제시합니다.

이러한 논의는 해안선의 길이에 대해 이야기하는 것이 무의미하다는 것을 의미합니다. 해안선을 정량화하는 다른 방법이 필요합니다. Mandelbrot는 Lewis Fry Richardson에 의해 발견된 경험적 법칙에 대해 논의합니다. 그는 다양한 지리적 경계의 측정된 길이 L(G)는 측정 척도 G의 프랙털 곡선이라고 관찰했습니다. Richardson은 몇 가지 다른 예로부터 데이터를 수집하면서 L(G)는 형태의 함수에 의해 밀접하게 근사될 수 있다고 추측했습니다.

여기서 M은 양의 상수이고 D는 1보다 크거나 같은 차원이라 불리는 상수입니다. 직관적으로 해안선의 모양이 매끄러우면 1에 가까운 치수를 가져야 하고, 해안선의 모양이 불규칙할수록 치수가 2에 가까워야 합니다. Richardson의 연구의 예들은 남아프리카의 해안선의 경우 1.02에서 영국의 서해안의 경우 1.25까지 다양한 차원을 가지고 있습니다.

그런 다음 만델브로트는 코흐 눈송이와 관련된 다양한 수학적 곡선을 설명하는데, 이 곡선들은 엄밀하게 자기 유사한 방식으로 정의됩니다. Mandelbrot는 이들 각 곡선의 하우스도르프 차원을 계산하는 방법을 보여줍니다. 각 곡선의 차원 D는 1과 2 사이입니다(그는 정확히 2의 차원을 가진 공간을 채우는 Peano 곡선에 대한 구성도 언급하지만 제공하지 않습니다). 그는 길이가 G인 이 곡선들의 근사치가 - 형태의 길이를 갖는다고 지적합니다 리처드슨의 법칙과 닮은 점은 두드러집니다. 이 논문은 해안선이나 지리적 경계가 실제로 분수 차원을 가지고 있다고 주장하지 않습니다. 대신 리처드슨의 경험 법칙은 해안선과 같은 지리적 곡선이 분수 차원의 무작위 자기 유사 도형에 의해 모델링될 수 있다는 아이디어와 양립할 수 있다는 점에 주목합니다.

논문 말미에 만델브로는 자연에서 규칙적인 것이 아니라 무작위적으로 보이는 프랙탈과 같은 물체에 대한 연구에 어떻게 접근할 수 있는지에 대해 간략하게 논의합니다. 이를 위해 그는 통계적으로 자기 유사한 수치를 정의하고 이러한 수치가 자연에서 마주친다고 말합니다.

이 논문이 중요한 이유는 프랙탈에 대한 만델브로의 초기 생각에서 "전환점"이기 때문입니다.[3] 그것은 그의 후기 작품의 많은 주제였던 수학적 대상과 자연적 형태의 연결을 보여주는 한 예입니다.

참고 항목

참고문헌

  1. ^ Mandelbrot, B. (1967). "How Long Is the Coast of Britain? Statistical Self-Similarity and Fractional Dimension" (PDF). Science. 156 (3775): 636–638. doi:10.1126/science.156.3775.636. PMID 17837158. S2CID 15662830.
  2. ^ "맨델브로트 박사는 프랙탈에 대한 그의 연구를 젊은 연구자로서 처음 접한 질문으로 추적했습니다: 영국의 해안은 얼마나 길까요?": 베누아 만델브로 (1967). 뉴욕타임스 "소설 수학자 베노 î트 만델브로, 85세 사망"
  3. ^ "예를 들어, 해안선의 본질은 무엇일까요? 만델브로는 그의 생각의 전환점이 된 논문에서 이렇게 질문했습니다: '영국의 해안은 얼마나 길까요': 제임스 글릭 (1988) 혼돈: 새로운 과학 만들기, 94쪽. ISBN 978-0747404132.