비피라미드

이중 통일 n-곤-비피라미드 집합
이중 균일 육각형 바이피라미드의 예
유형	이중관절 다면체의 의미에서의 이중관절
콕시터 다이어그램
슐레플리 기호	{ } + {n}[1]
얼굴	2n 합치 이등변 삼각형
가장자리	3n
정점	2 + n
면 구성	V4.4.n
대칭군	Dnh, [n,2], (*n22), 주문 4n
회전군	Dn, [n,2],+ (n22), 주문 2n
이중 다면체	(1964) 균일한 n-곤 프리즘
특성.	볼록한, 얼굴-변형, 정점[2]
그물	오각형 bipyramid net(n = 5) 예제

(대칭) n-곤 bipyramid 또는 dipyramid는 n-곤 피라미드와 그것의 거울 이미지를 base 대 base로 결합하여 형성된 다면체다.^[3][4] n-곤 bipyramid는 2n 삼각형 면, 3n 가장자리 및 2+n 정점을 가진다.

bipyramid의 이름으로 참조된 n곤은 얼굴이 아니라 내부 폴리곤 베이스로, 두 개의 피라미드 반쪽을 연결하는 거울 평면에 놓여 있다. (만약 그것이 얼굴이었다면, 각각의 가장자리는 두 개의 얼굴 대신에 세 개의 얼굴을 연결했을 것이다.)

"일반", 우측 바이피라미드

"일반적인" bipyramid는 일반 다각형 기초를 가지고 있다. 그것은 또한 보통 우측 바이피라미드라고 암시된다.

우측 bipyramid는 그것의 중심이나 그것의 폴리곤 베이스의 중심 바로 위와 바로 아래에 그것의 두 개의 유인원을 가지고 있다.

"일반" 오른쪽(대칭) n-곤 bipyramid에는 Schléfli 기호 {} + {n}이(가) 있다.

우측(대칭) bipyramid에는 폴리곤 베이스 P에 대해 Schléfli 기호 { } + P가 있다.

정점이^[2] 규칙적인 "정규" 우측(즉, 얼굴-변환) n-곤 bipyramid는 n-곤 균일(우측) 프리즘의 이중이며, 일치 이등변 삼각면을 가지고 있다.

"정규" 우측(대칭) n-곤 bipyramid는 "정규" 우측(대칭) n-곤 구형 bipyramid: 극에서 극으로 가는 경도의 동일한 간격의 선과 이를 이등분하는 적도 선으로 구 또는 지구상에 투영될 수 있다.

"일반" 오른쪽(대칭) n-곤 바이피라미드:

Bipyramid	디조날 bipyramid	삼각비피라미드 (참조: J12)	사각형 bipyramid (참조: O)	오각형 바이피라미드 (참조: J13)	육각형 bipyramid	헵타각형 바이피라미드	팔각형 비피라미드	반각형 비피라미드	십각형 bipyramid	...	아페이로겐 바이피라미드
다면체 이미지										...
구형 타일링 영상										평면 타일링 영상
면 구성.	V2.4.4	V3.4.4	V4.4.4	V5.4.4	V6.4.4	V7.4.4	V8.4.4	V9.4.4	V10.4.4	...	V∞.4.4
콕시터 다이어그램										...

정삼각형 바이프라임

3종류의 바이피라미드만이 같은 길이의 모든 가장자리를 가질 수 있다(모든 면이 등변 삼각형이고 따라서 바이피라미드는 삼각형이라는 것을 의미함). 즉, "정규" 우측 삼각형, 사방형, 오각형 바이피라미드. 길이가 같은 가장자리 또는 정규 8각형인 4각형 또는 사각형 비피라미드는 플라토닉 고형분 사이에서 계수되며, 길이가 같은 삼각형 및 5각형 비피라미드는 존슨 고형분 사이에서 계수된다₁₂(J와 J₁₃).

등각 삼각형 쌍방형:

"일반" 오른쪽(대칭) 2피라미드 이름	삼각비피라미드 (J12)	사방형 바이피라미드 (일반 팔면체)	오각형 바이피라미드 (J13)
Bipyramid 영상

케일리디스코픽 대칭

"정규" 우측(대칭) n-곤 bipyramid는 3가지 버전의 D를_4h 부분군으로 갖는 48의 더 큰 팔면대칭군 O를_h 갖는 일반 팔면체의 경우를 제외하고 4n의 치면대칭군 D를_nh 가진다. 회전 그룹은 순서 2n의 D로_n, 3가지 버전의 D를₄ 부분군으로 하는 순서 24의 회전 그룹 O가 큰 일반 옥타헤드론의 경우는 제외한다.

"정규" 오른쪽(대칭) 2n-곤-bipyramid의 4n 구면 삼각형 면으로 투영된 "정규" 오른쪽(대칭) 2n-곤-구면 bipyramid의 4n 삼각형은 D_nh, [n,2], (*n22), 순서 4n의 3차원 이면 대칭의 기본 영역을 나타낸다. 이러한 도메인은 색상 구면 삼각형으로 번갈아 표시할 수 있다.

• 코크리클릭 가장자리를 통과하는 반사면에서 미러 이미지 영역은 다른 색(반복 등위계)으로 표시된다.
• 반대 정점을 통과하는 n-폴드 회전 축에 대하여, 도메인과 그 이미지는 같은 색(직접 등위계)이다.

n-곤(대칭) bipyramid는 "상응" n-곤 dihedron의 클라이토프라고 볼 수 있다.

3차원의 치골 대칭의 기본 영역:

Dnh	D1h	D2h	D3h	D4h	D5h	D6h	...
기본 도메인 이미지							...

볼륨

(대칭) bipyramid의 볼륨:

여기서 B는 베이스의 면적이며, 베이스 평면에서 꼭지점까지의 높이를 말한다.

이것은 내부 폴리곤 베이스를 포함하는 평면으로부터의 수직 거리로 h가 측정되는 경우, 베이스의 모든 형태와 꼭지점 위치에 대해 작동한다. 따라서 다음과 같다.

(대칭) bipyramid의 부피(기본은 측면 길이 s의 일반 n측 다각형이고 높이는 h:

사선 바이피라미드

비우측 바이프라미드는 사선 바이프라미드라고 불린다.

오목양피라미드

오목한 비피라미드는 오목한 다각형 기단을 가지고 있다.

오목(대칭) 4각형 bipyramid 예(*)

(*) 그것의 기저부에는 분명한 중심이 없으며, 그것의 수심이 그 기저부의 중력 중심 바로 위/아래에 있지 않으면, 그것은 오른쪽 두피라미드가 아니다. 어쨌든 오목한 옥타헤드론이다.

비대칭/반전 우측 바이피라미드

비대칭 우측 bipyramid는 합치된 베이스가 있지만 높이가 같지 않은 베이스 대 베이스가 있는 두 개의 우측 피라미드와 결합한다.

뒤집힌 우측 바이피라미드는 서로 합치되지 않은 베이스가 있지만 높이가 같지 않은 베이스 대 베이스가 있는 두 개의 우측 피라미드와 결합하지만, 공통 베이스의 같은 측면에 있다.

비대칭 또는 반전 우측 바이피라미드의 이중은 좌절이다.

"일반" 비대칭/역전 우측 n-곤 bipyramid는 대칭 그룹 C_nv, 순서 2n을 갖는다.

"일반" 비대칭/반전 우측 육각형 바이피라미드의 예:

비대칭	반전된

스칼린 삼각형 바이피라미드

우측(대칭) di-n-곤 bipyramid는 우측(대칭) 2n-곤 bipyramid이며, 동위원소 평면 폴리곤 베이스가 있는 우측(대칭) 2n-곤 bipyramid이다. 옆면 주변의 2n 정점은 동일 평면이지만 두 개의 반지름으로 번갈아 나타난다.

면, n반사 비행기 주위에 vertices과 APEX의 복수를 통해 vertices, APEX의 복수를 통한n-fold 회전축, 기지를 통해 반사 면, 그리고 apices,[4] 위해 대칭 그룹 Dnh,[n,2],(*22n),을 나타내는 것을 통해n-fold 회영 축을 통한"isotoxal" 옳(대칭)di-n-gonal bipyramid다 n로만 회전 축. 4n.(베이스 평면의 반사는 0° 회전 반사에 해당한다. n이 짝수일 경우 중심부에 대칭이 있으며, 이는 180° 회전반사에 해당한다.

그것의 모든 얼굴은 일치된 스칼린 삼각형이고, 그것은 등면이다. 그것은 또 다른 형태의 우 "대칭" di-n-gonal scalenoheadron으로 볼 수 있다.

참고: 최대 두 개의 특정 꼭지점 높이에서 삼각형 면은 등각선일 수 있다.^{[citation needed]}

예:

• 기본 정점이 있는 "이소톡스" 오른쪽(대칭) "다이오드"(*) bipyramid:

U = (1,0,0), U′ = (−1,0,0), V = (0,2,0), V′ = (0,−2,0),

다음 정보를 참조하십시오.

A = (0,0,1), A′ = (0,0,-1)

두 개의 다른 가장자리 길이:

UV = UV′ = U′V = U′V′ = √5,

AU = AU′ = A′U = A′U′ = √2,

AV = AV′ = A′V = A′V′ = √5;

따라서 그것의 모든 삼각형 면은 이등변이다.

• "이소톡스" 오른쪽(대칭) "디디곤셜"(*) bipyramid는 기본 정점은 같지만, 정점 높이가 2인 경우, ,5와 2√2의 서로 다른 두 에지 길이도 가지고 있다.

결정학에서는 "등각" 우(대칭) "디디골"(*) (8면), 이티골(12면), 이티골(ditragon), 이티골(ditragon)(16면), 이헥사골(24면) 이피라미드가 존재한다.^[4][3]

(*) 가장 작은 기하학적 di-n-gonal bipyramids는 8개의 면을 가지고 있으며, 위상학적으로 일반 팔면체와 동일하다. 이 경우(2n = 2×2):
"isotoxal" right (삼각형) "didigonal" bipyramid는 Rhombic bipyramid라고 불리는데,^[4][3] 그것의 평평한 폴리곤 베이스는 Rhombus이기 때문이다.

스칼레노헤드라속

"정규" 우측 "대칭" di-n-gonal 치골은 지그재그 스큐 2n-곤 베이스로 만들 수 있으며, 베이스 중심 바로 위와 바로 아래 두 개의 대칭 정점이며, 각 베이스 가장자리와 각 정점을 연결하는 삼각형 면이다.

그것은 옆면, 4n 면, 6n 가장자리 둘레에 2개의 정점과 2n 정점을 가지고 있다; 그것은 토폴로지로는 2n-곤 bipyramid와 동일하지만, 옆면 둘레 2n 정점은 중앙 위와 아래 두 개의 고리로 교대한다.^[3]

A "regular" right "symmetric" di-n-gonal scalenohedron has n two-fold rotation axes through mid-edges around sides, n reflection planes through vertices and apices, an n-fold rotation axis through apices, and an n-fold rotation-reflection axis through apices,^[4] representing symmetry group D_nv = D_nd, [2⁺,2n], (2*n), of order 4n. (If n is odd, there is a sy180° 회전 반사에 해당하는 중심에 대한 mmetry).

그것의 모든 얼굴은 일치된 스칼린 삼각형이고, 그것은 등면이다. 정규 지그재그 스큐 폴리곤 베이스가 있는 또 다른 형태의 우측 "대칭" 2n-곤 bipyramid로 볼 수 있다.

참고: 최대 두 개의 특정 꼭지점 높이에서 삼각형 면은 등심일 수 있다.

결정학에서는 "정규적" 우측 "대칭적" "디디곤"(8면)과 직립(12면) 치데노가 존재한다.^[4][3]

가장 작은 기하학적 치골은 8개의 얼굴을 가지고 있으며, 위상학적으로 일반 팔면체와 동일하다. 이 경우(2n = 2×2):
A"정규"오른쪽"대칭""didigonal"편은 네모지스칼레노헤 드론, 여섯개의 vertices[4][3]0과 1사이에 여기에서 z변수(0,0,±1),(±1,0,z),(0,±1,−z),로, z0. 그것은 정팔면체;z1시에, 그것은 모든 합병 후 동일 평면상의 얼굴로(4합동 2등변의 삼각형)disphenoid은;표시할 것이 가능하다. z>1, 오목해진다.

"일반" 우측 "대칭" 8면 치골 기하학적 변화:

z = 0.1	z = 0.25	z = 0.5	z = 0.95	z = 1.5

참고: 2n-곤 베이스가 동위원소 인-아웃(in-out) 및 지그재그 스큐(zigzze skew)인 경우, "등각" 우측 "대칭" 고체의 모든 삼각형 면이 일치하지는 않는다.

예:

• 동위원소 인아웃 지그재그로 스큐 2×2-곤 베이스 꼭지점:

U = (1,0,1), U³ = (-1,0,1), V = (0,2,-1), V³ = (0,-2,-1),

"우측" 대칭 유사점 포함:

A = (0,0,3), A′ = (0,0,3)

다섯 개의 다른 가장자리 길이:

UV = UV′ = U′V = U′V′ = 3,

AU = AU′ = √5,

AV = AV′ = 2√5

A′U = A′U′ = √17,

A′V = A′V′ = 2√2;

따라서 그것의 삼각형 면들이 모두 일치하지는 않는다.

"일반적인" 별의 두피라미드

자기 교차형 또는 항성 bipyramid는 항성 다각형 기초를 가지고 있다.

"일반적인" 우측 대칭성 bipyramid는 일반 항성 폴리곤 베이스로 만들 수 있으며, 기준 중심 바로 위와 바로 아래에 두 개의 대칭적 정사각형이 있고, 따라서 각 베이스 가장자리와 각 꼭지점을 연결하는 일대일 대칭 삼각형 면이다.

"일반적인" 오른쪽 대칭 항성 bipyramid는 일치된 이등변 삼각형을 가지며, 등면이다.

참고: 특정 꼭지점 높이의 경우 삼각형 면은 등각형일 수 있다.

{p/q}-bipyramid에는 Coxeter 다이어그램이 있다.

"일반" 우측 대칭 항성 2피라미드의 예:

별 폴리곤 베이스	5/2곤	7/2곤	7/3곤	8/3곤	9/2곤	9/4곤
별 2피라미드 이미지
콕시터 다이어그램

"일반" 우측 대칭 항성 2피라미드의 예:

별 폴리곤 베이스	10/3곤	11/2곤	11/3곤	11/4곤	11/5곤	12/5곤
별 2피라미드 이미지
콕시터 다이어그램

스칼린 삼각형 별 비피라미드

"단독성" 우측 대칭 2p/q-곤 항성 bipyramid는 동위원소 내 항성 2p/q-곤 베이스로 만들어질 수 있으며, 기준 중심 바로 위와 바로 아래에 두 개의 대칭적 평형을 가지고 있으며, 따라서 1:1 대칭 삼각형이 각 베이스 가장자리와 각 꼭지점을 연결한다.

"이소독성" 우측 대칭 2p/q-곤란 항성 bipyramid는 일치된 스칼렌 삼각면을 가지며 등면이다. 그것은 다른 형태의 2p/q-gonal 우측 "대칭" 항성 뇌하수체로 볼 수 있다.

참고: 최대 두 개의 특정 꼭지점 높이에서 삼각형 면은 등심일 수 있다.

"이항성" 우측 대칭 항성 bipyramid의 예:

별 폴리곤 베이스	동위원소 인아웃 8/3-곤
스칼린 삼각형 별 bipyramid 이미지

별모양목

"정규" 우측 "대칭" 2p/q-곤 항성 치골은 지그재그 스큐 항성 2p/q-곤 베이스, 베이스 중심 바로 위와 바로 아래 두 개의 대칭 첨탑, 각 베이스 가장자리와 각 꼭지점을 연결하는 삼각형 면으로 만들 수 있다.

"일반적인" 우측 "대칭" 2p/q-곤란 항성 치골은 일치된 스칼렌 삼각형을 가지며, 등면이다. 지그재그로 고정된 지그재그 스큐 스타 폴리곤 베이스가 있는 또 다른 형태의 우측 "대칭" 2p/q-곤 항성 bipyramid로 볼 수 있다.

참고: 최대 두 개의 특정 꼭지점 높이에서 삼각형 면은 등각선일 수 있다.

"정규" 오른쪽 "대칭" 항성 치상술의 예:

별 폴리곤 베이스	정규 지그재그 스큐 8/3곤
별 치골 이미지

참고: 항성 2p/q-곤 베이스가 동위원소 인아웃 및 지그재그 스큐인 경우, "등각" 우측 "대칭" 항성 다면체의 모든 삼각형 면이 일치하지는 않는다.

"이항산화" 오른쪽 "대칭" 별 다면체의 예:

별 폴리곤 베이스	동위원소 인아웃 지그재그 스큐 8/3-곤
별 다면체 이미지

기본 꼭지점 포함:

U₀ = (1,0,1), U₁ = (0,1,1), U₂₃ = (-1,1), U = (0,-1,1)

V₀ = (2,-1), V₁ = (-2,2,-1), V₂ = (-2,-2,-1), V₃ = (2,-1),

다음 정보를 참조하십시오.

A = (0,0,3), A′ = (0,0,−3),

네 개의 다른 가장자리 길이를 가지고 있다:

UV₀₁ = VU₁₃ = UV₃₀ = VU₀₂ = UV₂₃ = UV₃₁ = UV₁₂ = VU = vu17₂₀,

AU₀ = AU₁ = AU₂ = AU₃ = √5,

AV₀ = AV₁₂ = AV₃ = 2√6,

A′U₀ = A′U₁ = A′U₂ = A′U = A′U₃ = √17,

A′V₀ = A′V₁ = A′V₂ = A′V₃ = 2√3;

따라서 그것의 삼각형 면들이 모두 일치하지는 않는다.

2중성세포가 있는 4중성상판

각 볼록형 정규 4폴리토프의 정류의 이중은 두피라미달세포가 있는 세포 전이 4폴리토프다. 다음에서 bipyramid의 꼭지점은 A이고 적도 꼭지점은 E이다. 적도 EE = 1의 인접 정점 사이의 거리는 적도 가장자리까지의 정점은 AE이고 정점 사이의 거리는 AA이다. bipyramid 4-폴리토프는 N_A bipyramid의 유인원이 만나는 V 정점을_A 가질 것이다. 그것은_E N bipyramids의 E형 정점이 만나는 V_E 정점을 가질 것이다. n개의_AE bipyramids는 각 타입 AE 가장자리를 따라 만난다. n개의_EE bipyramids는 각 유형의 EE 가장자리를 따라 만난다. C는_AE AE 가장자리를 따라 있는 이음각의 코사인이다. C는_EE EE 가장자리를 따라 있는 이음각의 코사인이다. 세포는 가장자리 둘레에 맞아야 하므로 N_AA cos⁻¹(C_AA) ≤ 2π, N cos_AE⁻¹(C_AE) ≤ 2π.

4각형 속성									Bipyramid 속성
의 이중	콕시터 도표를 만들다	세포	VA	VE	NA	NE	NAE	NEE	셀	콕시터 도표를 만들다	AA	AE***	CAE	CEE
수정 5-셀		10	5	5	4	6	3	3	삼각비피라미드		${\textstyle {\frac {2}{3}}$	0.667	${\textstyle -{\frac {1}{7}}$	${\textstyle -{\frac {1}{7}}$
수정시방사선		32	16	8	4	12	3	4	삼각비피라미드		${\textstyle {\frac {\sqrt{2}}{3}}$	0.624	${\textstyle -{\frac {2}{5}}$	${\textstyle -{\frac {1}{5}}$
정류 24-셀		96	24	24	8	12	4	3	삼각비피라미드		${\textstyle {\frac {2{\sqrt {2}}{3}}}$	0.745	${\textstyle {\frac {1}{11}}$	${\textstyle -{\frac {5}{11}}}$
정류된 120 셀		1200	600	120	4	30	3	5	삼각비피라미드		${\textstyle {\frac {{\sqrt{5}-1}{3}}$	0.613	${\textstyle -{\frac {10+9{\sqrt{5}}{61}}}$	${\textstyle -{\frac {7-12{\sqrt{5}}{61}}}$
정류 16-셀		24*	8	16	6	6	3	3	사각형 bipyramid		${\textstyle {\sqrt{2}}$	1	${\textstyle -{\frac {1}{3}}$	${\textstyle -{\frac {1}{3}}$
정류입방 벌집		∞	∞	∞	6	12	3	4	사각형 bipyramid		${\textstyle 1}$	0.866	${\textstyle -{\frac {1}{2}}:}$	${\textstyle 0}$
정류 600셀		720	120	600	12	6	3	3	오각형 바이피라미드		${\textstyle {\frac {5+3{\sqrt {5}{5}}}$	1.447	${\textstyle -{\frac {11+4{\sqrt{5}}{41}}}}$	${\textstyle -{\frac {11+4{\sqrt{5}}{41}}}}$

* 교정된 16-셀은 정규 24-셀이며 정점은 모두 등가이다. – 옥타헤드라는 정규 바이프라임이다.

** 더 복잡한 형태로 인해 숫자로 지정됨.

상위 치수

일반적으로 bipyramid는 (n - 1)-폴리토프로 구성된 n-폴리토프(n-polytope)로 하이퍼플레인에서 직각으로 같은 거리를 두고 반대 방향으로 두 점을 갖는 하이퍼플레인에서 구성되는 n-폴리토프로 볼 수 있다. 만약 (n - 1) 폴리토프가 일반적인 폴리토프라면, 그것은 동일한 피라미드 면들을 가질 것이다. 그 예로 팔면체 2피라미드인 16셀을 들 수 있으며, 보다 일반적으로 n-정형체는 (n - 1)정형 2피라미드다.

2차원 bipyramid는 rhombus이다.

참고 항목

• 사다리꼴

참조

인용구

일반참조

• Anthony Pugh (1976). Polyhedra: A visual approach. California: University of California Press Berkeley. ISBN 0-520-03056-7. 제4장: 아르키메데스 다면체, 프리즘, 반격체의 이중체

외부 링크

위키미디어 커먼즈에는 비피라미드와 관련된 미디어가 있다.

• Weisstein, Eric W. "Dipyramid". MathWorld.
• Weisstein, Eric W. "Isohedron". MathWorld.
• 균일 폴리헤드라
• 가상현실 폴리헤드라 폴리헤드라 백과사전
  • VRML 모델(조지 하트)
    • Polyhedra Try에 대한 Conway 표기법: "dPn" 여기서 n = 3, 4, 5, 6, ... 예시 "dP4"는 8면체다.