이코사헤드랄 벌집

이코사헤드랄 벌집
푸앵카레 디스크 모델
유형	쌍곡선 정규 벌집 균일 쌍곡선 벌집
슐레플리 기호	{3,5,3}
콕시터 다이어그램
세포	{3,5}
얼굴	삼각형 {3}
에지 피겨	삼각형 {3}
정점수	도데면체
이중	셀프듀얼
콕시터군	${\displaystyle {\stackrel{\text{'}\text{'}}{J}}_{}}$ ${\displaystyle 3_{\mathrm{}}}$ ${\$ [3,5,3]
특성.	정규

이코사이드 벌집은 쌍곡선 3공간의 테셀레이션(혹은 벌집)을 채우는 네 개의 콤팩트한 정규 공간 중 하나이다. 슐레플리 기호 {3,5,3}을(를) 사용하여 각 가장자리 둘레에는 3개의 아이코사헤드라가 있고, 각 꼭지점 둘레에는 12개의 아이코사헤드라가 있으며, 일반적인 도두사면 정점 그림이다.

기하학적 벌집이란 다면체나 고차원적 세포의 공간을 채워서 틈이 생기지 않도록 하는 것이다. 그것은 어떤 차원에서도 보다 일반적인 수학적 타일링 또는 테셀레이션의 예다.

허니컴은 보통 볼록한 균일한 허니컴과 같은 일반적인 유클리드("평평평한") 공간에서 만들어진다. 그것들은 쌍곡선 균일 벌집과 같은 비유클리드 공간에도 건설될 수 있다. 어떤 유한 균일 폴리토프는 구면 공간에 균일한 벌집을 형성하기 위해 그것의 원주에 투영될 수 있다.

설명

일반 이코사면체의 이면각은 약 138.2°이므로 유클리드 3공간의 가장자리 둘레에 이코사면 3개를 맞추는 것은 불가능하다. 그러나 쌍곡선 공간에서는 적절한 크기의 이코사헤드라가 정확히 120도의 이면각을 가질 수 있기 때문에 그 중 3개는 가장자리에 들어갈 수 있다.

관련 정규 꿀컴

3D 쌍곡선 공간에는 4개의 일반 소형 꿀콤이 있다.

일반³ 소형 허니컴 4개 H

{5,3,4}

{4,3,5}

{3,5,3}

{5,3,5}

관련 일반 폴리탑 및 허니컴

탈상세포가 있는 일반 폴리초라와 꿀콤{3,p,3}의 시퀀스 멤버다.

{3,p,3}개의 폴리토페스
공간	S3		H3
형태	유한한		작은	파라콤팩트	비컴팩트
{3,p,3}	{3,3,3}	{3,4,3}	{3,5,3}	{3,6,3}	{3,7,3}	{3,8,3}	... {3,∞,3}
이미지
세포	{3,3}	{3,4}	{3,5}	{3,6}	{3,7}	{3,8}	{3,∞}
꼭지점 형상을 나타내다	{3,3}	{4,3}	{5,3}	{6,3}	{7,3}	{8,3}	{∞,3}

또한 오각형(Pentagon)으로 구성된 꼭지점 형상을 가진 정규 폴리초라와 허니컴{p,5,p}의 시퀀스의 멤버이기도 하다.

일반 벌꿀컴 {p,5,p}개
공간	H3
형태	파라콤팩트	비컴팩트
이름	{3,5,3}	{4,5,4}	{5,5,5}	{6,5,6}	{7,5,7}	{8,5,8}	...{∞,5,∞}
이미지
세포 {p,5}	{3,5}	{4,5}	{5,5}	{6,5}	{7,5}	{8,5}	{∞,5}
꼭지점 형상을 나타내다 {5,p}	{5,3}	{5,4}	{5,5}	{5,6}	{5,7}	{5,8}	{5,∞}

균일 벌집

[3,5,3] Coxeter 그룹 계열에는 9개의 균일한 벌집이 있는데, 이 정규 형태뿐만 아니라 약간 깎인 형태인_1,2 t{3,5,3}도 있으며, 각각의 세포는 잘린 도데카헤드라라고도 한다.

[3,5,3]가족꿀컴

{3,5,3}	t1{3,5,3}	t0,1{3,5,3}	t0,2{3,5,3}	t0,3{3,5,3}
	t1,2{3,5,3}	t0,1,2{3,5,3}	t0,1,3{3,5,3}	t0,1,2,3{3,5,3}

정류된 이도면 벌집

정류된 이도면 벌집
유형	쌍곡선 공간의 균일한 꿀컴
슐레플리 기호	r{3,5,3} 또는 t1{3,5,3}
콕시터 다이어그램
세포	r{3,5} {5,3}
얼굴	삼각형 {3} 펜타곤 {5}
정점수	삼각 프리즘
콕시터군	${\displaystyle {\stackrel{\text{'}\text{'}}{J}}_{}}$ ${\displaystyle 3_{\mathrm{}}}$ ${\$ [3,5,3]
특성.	정점 변환, 에지 변환

정류된 이코사면 벌집 t₁{3,5,3} 은 도데면체와 이코시도데카면체 세포가 교대로 있으며, 삼각형 프리즘 꼭지점 형상은 다음과 같다.

Poincaré 디스크 모델의 중심에서 투시 투영

관련 벌집

정류된 소형 일반 벌꿀컴은 다음과 같은 네 가지가 있다.

수리된 일반 컴팩트 벌집 4개(H³)

이미지
기호	r{5,3,4}	r{4,3,5}	r{3,5,3}	r{5,3,5}
꼭지점 형상을 나타내다

잘린 이도면 벌집

잘린 이도면 벌집
유형	쌍곡선 공간의 균일한 꿀컴
슐레플리 기호	t{3,5,3} 또는 t0,1{3,5,3}
콕시터 다이어그램
세포	t{3,5} {5,3}
얼굴	펜타곤 {5} 육각형 {6}
정점수	삼각 피라미드
콕시터군	${\displaystyle {\stackrel{\text{'}\text{'}}{J}}_{}}$ ${\displaystyle 3_{\mathrm{}}}$ ${\$ [3,5,3]
특성.	정점 변환

잘린 이등면 벌집 t_0,1{3,5,3}은 도데면체와 잘린 이등면 세포를 번갈아 가지고 있으며, 삼각형의 피라미드 정점 모양을 하고 있다.

관련 허니컴

잘린 일반 컴팩트 벌집 4개(H³)

이미지
기호	t{5,3,4}	t{4,3,5}	t{3,5,3}	t{5,3,5}
꼭지점 형상을 나타내다

엷게 말린 이두면체

엷게 말린 이두면체
유형	쌍곡선 공간의 균일한 꿀컴
슐레플리 기호	2t{3,5,3} 또는 t1,2{3,5,3}
콕시터 다이어그램
세포	t{5,3}
얼굴	삼각형 {3} {10} 데카곤
정점수	사방형 분산형
콕시터군	${\displaystyle 2\times {}_{}}$의 ${\displaystyle 3_{\mathrm{}}}$ ${\$ [3,5,3]
특성.	정점 변환, 에지 변환, 셀 변환

약간 잘린 이코사면 벌집 t_1,2{3,5,3}는 사방형 분산 정점 형상을 가진 도데면체 세포가 잘려 있다.

관련 허니컴

3개의 비트코인 콤팩트 벌집(H³)

이미지
기호	2t{4,3,5}	2t{3,5,3}	2t{5,5}
꼭지점 형상을 나타내다

알 수 있는 이도사면 벌집

알 수 있는 이도사면 벌집
유형	쌍곡선 공간의 균일한 꿀컴
슐레플리 기호	rr{3,5,3} 또는 t0,2{3,5,3}
콕시터 다이어그램
세포	rr{3,5} r{5,3} {}x{3}
얼굴	삼각형 {3} 정사각형 {4} 펜타곤 {5}
정점수	쐐기를 박다
콕시터군	${\displaystyle {\stackrel{\text{'}\text{'}}{J}}_{}}$ ${\displaystyle 3_{\mathrm{}}}$ ${\$ [3,5,3]
특성.	정점 변환

쐐기정점 모양인_0,2 이코사헤드형 벌집, t{3,5,3}는 쐐기정점 형상을 가진 롬비코시도데카헤드론, 이코시도데카헤드론, 삼각 프리즘 세포를 가지고 있다.

관련 허니컴

4개의 캔터링된 일반 컴팩트 벌집(H3)
이미지 기호 rr{5,3,4} rr{4,3,5} rr{3,5,3} rr{5,3,5} 꼭지점 형상을 나타내다

캔티트런(Cantitrun) 건조 이코사헤드랄 벌집

캔티트런(Cantitrun) 건조 이코사헤드랄 벌집
유형	쌍곡선 공간의 균일한 꿀컴
슐레플리 기호	tr{3,5,3} 또는 t0,1,2{3,5,3}
콕시터 다이어그램
세포	tr{3,5} t{5,3} {}x{3}
얼굴	삼각형 {3} 정사각형 {4} 육각형 {6} {10} 데카곤
정점수	거울에 비친 스페노이드
콕시터군	${\displaystyle {\stackrel{\text{'}\text{'}}{J}}_{}}$ ${\displaystyle 3_{\mathrm{}}}$ ${\$ [3,5,3]
특성.	정점 변환

칸티트런으로 갈린 이코사헤드럴 벌집, t_0,1,2{3,5,3}은 잘린 이코사이드스크론, 잘린 도데카헤드론, 삼각 프리즘 셀을 가지고 있으며, 대칭된 정점모양이다.

관련 허니컴

4칸트런 일반 소형 허니컴(H³)

이미지
기호	tr{5,3,4}	tr{4,3,5}	tr{3,5,3}	tr{5,3,5}
꼭지점 형상을 나타내다

런케이트 이코사헤드랄 벌집

런케이트 이코사헤드랄 벌집
유형	쌍곡선 공간의 균일한 꿀컴
슐레플리 기호	t0,3{3,5,3}
콕시터 다이어그램
세포	{3,5} {}×{3}
얼굴	삼각형 {3} 정사각형 {4}
정점수	오각적 반감
콕시터군	${\displaystyle 2\times {}_{}}$의 ${\displaystyle 3_{\mathrm{}}}$ ${\$ [3,5,3]
특성.	정점 변환, 에지 변환

룬케이트된 이코사면 벌집 t_0,3{3,5,3}는 이코사면체와 삼각 프리즘 세포를 가지고 있으며, 오각형 항정신병 정점 모양을 하고 있다.

삼각 프리즘의 중심에서 바라본 것

관련 허니컴

3개의 런케이트 일반 컴팩트 허니컴(H³)

이미지
기호	t0,3{4,3,5}	t0,3{3,5,3}	t0,3{5,3,5}
꼭지점 형상을 나타내다

런시트런드 이코사이드 벌집

런시트런드 이코사이드 벌집
유형	쌍곡선 공간의 균일한 꿀컴
슐레플리 기호	t0,1,3{3,5,3}
콕시터 다이어그램
세포	t{3,5} rr{3,5} {}×{3} {}×{6}
얼굴	삼각형 {3} 정사각형 {4} 펜타곤 {5} 육각형 {6}
정점수	이소체-트라페지오이드의 피라미드를 짓다
콕시터군	${\displaystyle {\stackrel{\text{'}\text{'}}{J}}_{}}$ ${\displaystyle 3_{\mathrm{}}}$ ${\$ [3,5,3]
특성.	정점 변환

런시트가 잘린 이코사헤드형 벌집, t_0,1,3{3,5,3}은 잘린 이코사헤드론, 롬비코사이드echadron, 육각 프리즘, 삼각 프리즘 셀을 가지고 있으며, 이소체-트라페조이드 피라미드 정점 형상을 가지고 있다.

런시컨텔링 아이코사헤드랄 벌집은 런시토사이드 벌집과 동일하다.

삼각 프리즘의 중심에서 바라본 것

관련 허니컴

4개의 런시트가 달린 일반 소형 허니컴(H3)
이미지 기호 t0,1,3{5,3,4} t0,1,3{4,3,5} t0,1,3{3,5,3} t0,1,3{5,3,5} 꼭지점 형상을 나타내다

잡티트런드 이코사면 벌집

잡티트런드 이코사면 벌집
유형	쌍곡선 공간의 균일한 꿀컴
슐레플리 기호	t0,1,2,3{3,5,3}
콕시터 다이어그램
세포	tr{3,5} {}×{6}
얼굴	정사각형 {4} 육각형 {6} 도데카곤 {10}
정점수	식물성 분산체
콕시터군	${\displaystyle 2\times {}_{}}$의 ${\displaystyle 3_{\mathrm{}}}$ ${\$ [3,5,3]
특성.	정점 변환

전분해된 이코사면 벌집 t_0,1,2,3{3,5,3}는 잘린 이코사면체 및 육각 프리즘 세포를 가지고 있으며, 식물성 분산 정점 형상을 가지고 있다.

육각 프리즘 중심

관련 허니컴

H에3 있는 3개의 잡종 소형 소형 벌집
이미지 기호 t0,1,2,3{4,3,5} t0,1,2,3{3,5,3} t0,1,2,3{5,3,5} 꼭지점 형상을 나타내다

옴니스누브 이코사헤드랄 벌집

옴니스누브 이코사헤드랄 벌집
유형	쌍곡선 공간의 균일한 꿀컴
슐레플리 기호	h(t0,1,2,3{3,5,3})
콕시터 다이어그램
세포	sr{3,5} s{2,3} 관개 {3,3}
얼굴	삼각형 {3} 펜타곤 {5}
정점수
콕시터군	[[3,5,3]]+
특성.	정점 변환

옴니스너브 이코사면 벌집, h(t_0,1,2,3{3,5,3})은 스너브 도데면체, 팔면체, 사면체 세포를 가지고 있으며, 정점 모양이 불규칙하다. 정점 변환이지만 균일한 세포로는 만들 수 없다.

부분적으로 감소된 쇄골 벌집

부분적으로 감소된 쇄골 벌집 포물선 제거된 이도사면 벌집
유형	균일 벌집
슐레플리 기호	pd{3,5,3}
콕시터 다이어그램	-
세포	{5,3} s{2,5}
얼굴	삼각형 {3} 펜타곤 {5}
정점수	사면이 깎인. 도데면체
콕시터군	1/5[3,5,3]+
특성.	정점 변환

부분적으로 감소된 고두면 벌집 또는 파라비디 제거된 고두면 벌집, pd{3,5,3}는 도두면체 및 오각형 항정신병 세포가 있는 비위두피안 균일 벌집이며, 사두면체 정점 형상이 있다. {3,5,3}의 이코사면세포는 정점 반대(파라비드 제거)에서 감소되어 오각형 항정신병(파라비드 제거 이코사면)핵이 남으며 위아래에 새로운 도데면세포가 생성된다.^[1][2]

참고 항목

• 쌍곡선 공간의 볼록 균일 벌집
• 쌍곡선 3공간의 정기 테셀레이션
• 세이퍼트-베버 공간
• 11-cell - {3,5,3} Schléfli 기호를 공유하는 추상적인 일반 폴리초론.

참조

• Coxeter, 일반 폴리토페즈, 3번째, Dover Publishments, 1973. ISBN 0-486-61480-8. (테이블 I 및 II: 일반 폴리탑 및 허니컴, 페이지 294–296)
• 콕시터, 기하학의 아름다움: 12개의 에세이, 도버 출판물, 1999 ISBN 0-486-40919-8 (제10장: 쌍곡선 공간의 일반 꿀컴, 요약표 II,III,IV,V,p212-213)
• 노먼 존슨유니폼 폴리토페스, 원고
  • N.W. 존슨: 균일다각체와 허니컴의 이론, 박사학위. 1966년 토론토 대학교의 논문
  • N.W. 존슨: 기하학과 변환, (2018) 13장: 쌍곡선 콕시터 그룹
• Klitzing, Richard. "Hyperbolic H3 honeycombs hyperbolic order 3 icosahedral tesselation".