최소 표면

수학에서 최소 표면은 국소적으로 면적을 최소화하는 표면입니다.이는 평균 곡면성이 0인 것과 같습니다(아래 정의 참조).

"최소 표면"이라는 용어가 사용되는 이유는 이러한 표면이 원래 일부 제약에 따른 총 표면적을 최소화하는 표면으로 생성되었기 때문이다.와이어프레임을 비누용액에 담그고 와이어프레임을 경계로 하는 최소표면인 비누막을 형성함으로써 최소표면의 물리모델을 만들 수 있다.그러나 이 용어는 자체 교차할 수 있거나 구속조건이 없는 보다 일반적인 표면에 사용됩니다.주어진 제약조건에 대해 서로 다른 면적을 가진 여러 개의 최소 표면(예: 최소 회전 표면 참조)이 존재할 수도 있습니다. 표준 정의는 전역 최적값이 아닌 국소 최적값에만 관련됩니다.

정의들

최소 표면은 R에서 여러³ 가지 동등한 방법으로 정의할 수 있습니다.그것들이 동등하다는 사실은 최소 표면 이론이 몇 가지 수학 분야, 특히 미분 기하학, 변이의 미적분학, 잠재 이론, 복소 분석 그리고 수학 ^[1]물리학의 교차로에 어떻게 놓여 있는지를 보여주는 역할을 한다.

로컬 최소 영역 정의:표면 M δ R은 모든 점 p δ³ M이 동일한 경계를 가진 모든 표면 중 최소 면적을 갖는 단순 폐곡선에 의해 경계되는 근방을 갖는 경우에만 최소이다.

이 속성은 로컬입니다.경계가 동일한 작은 면적의 다른 표면과 함께 최소 표면에 영역이 존재할 수 있습니다.이 특성은 비누막과의 연결을 확립합니다. 비누막이 와이어 프레임을 경계로 변형되어 면적이 최소화됩니다.

변형 정의:표면 M µ³ R은 콤팩트하게 지원되는 모든 변형에 대해 기능하는 영역의 임계점인 경우에만 최소이다.

이 정의는 최소 표면을 길이의 임계점으로 유추적으로 정의되는 지오데식스와 2차원적으로 유사하게 만든다.

평균 곡률 정의:표면 M r³ R은 평균 곡률이 모든 점에서 0인 경우에만 최소입니다.

이 정의의 직접적인 의미는 표면의 모든 점이 동일하고 반대되는 주요 곡선을 가진 안장점이라는 것이다.또한, 이는 최소 표면을 평균 곡률 흐름의 정적 용액으로 만듭니다.영-라플라스 방정식에 따르면 비누막의 평균 곡률은 변 사이의 압력 차이에 비례합니다.비누 필름에 영역이 포함되지 않으면 평균 곡률이 0이 됩니다.반면 구형 비누방울은 외부 영역과 압력이 다른 영역을 감싸고 있어 평균 곡률이 0이 아니다.

미분 방정식의 정의:표면 M δ³ R은 국소적으로 다음 용액의 그래프로 표현될 수 있는 경우에만 최소이다.

${\displaystyle (1+u_{x}^2}u_{y}-2u_{x}u_{xy}+(1+u_{y}^2}u_{x}=0}$

이 정의의 편미분 방정식은 원래 1762년 ^[2]라그랑주에 의해 발견되었고, 장 베티스트 뫼스니에가 1776년 사라지는 평균 ^[3]곡률을 암시한다는 것을 발견했습니다.

에너지 정의:컨포멀 침지 X: M → R은³ 콤팩트하게 지지된 모든 변동에 대해 디리클레 에너지의 임계점인 경우에만 최소이며, 어떤 점 p δ M이 경계에 대해 에너지가 최소인 근방을 갖는 경우에는 동등하다.

이 정의는 최소 표면을 조화 함수 및 잠재 이론과 연결합니다.

조화 정의:X = (x₁, x₂, x₃): M → R이³ 리만 표면을 3공간으로 등각 침지하는 경우, x가 각 i에 대해 M 위의 고조파 함수일 때마다_i X는 최소라고 한다.

이 정의와 고조파 함수의 최대 원리의 직접적인 의미는 R에는³ 콤팩트한 완전 최소 표면이 없다는 것이다.

가우스 맵 정의:표면 M δ³ R은 그 입체 투영된 가우스 맵 g: M → C δ {θ}이 기초 리만 표면 구조에 대하여 자형상하고 M이 구체의 일부가 아닌 경우에만 최소이다.

이 정의에서는 평균 곡률이 형상 연산자의 배선의 절반이며, 이는 가우스 맵의 도함수에 연결되어 있다.만약 투영된 가우스 지도가 코시-리만 방정식을 따른다면, 궤적이 사라지거나 M의 모든 점이 구체의 한 조각인 탯줄이 된다.

국소 최소 면적과 변동 정의를 통해 최소 표면을 R이³ 아닌 다른 리만 다양체로 확장할 수 있다.

역사

최소 표면 이론은 라그랑주가 1762년에 주어진 닫힌 등고선에 걸쳐 뻗은 최소 면적의 표면 z = z(x, y)를 찾는 변동 문제를 고려하면서 시작되었다.그는 해답에 대한 오일러-라그랑주 방정식을 도출했다.

${\displaystyle {frac}\leftfrac {z_{x}{\fracrt {1+z_{x}^2}+z_{y}}}\right)+{\frac {d}{dy}\frac {z_{y}}{\frac {1+z}^{2}}^{{\right}}}}{{\fracr}}{{2}}}}}}}}}}{{{\y}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}{$

그는 비행기 밖에서는 어떤 해결책도 찾지 못했다.1776년에 Jean Batiste Marie Meusnier는 헬리코이드와 카테노이드가 방정식을 만족시키고 미분식이 표면의 평균 곡률의 두 배에 대응한다는 것을 발견했고, 평균 곡률이 0인 표면은 면적을 최소화한다는 결론을 내렸다.

라그랑주 방정식을 확장해서

$\displaystyle \left(1+z_{x}^2}\right)z_{y}-2z_{x}z_{xy}+\left(1+z_{y}^2}\right)z_{x}=0}$

Gaspard Monge와 Legendre는 1795년에 솔루션 표면의 표현식을 도출했습니다.1830년 하인리히 셰르크가 그의 표면을 도출하기 위해 성공적으로 사용했지만, 그것들은 일반적으로 실질적으로 사용할 수 없는 것으로 여겨졌습니다.카탈로니아는 1842/43년에 헬리코이드가 유일하게 줄지어 있는 최소 표면이라는 것을 증명했다.

비요를링 문제가 복잡한 방법으로 해결된 세기 중반까지 진보는 상당히 느렸다.최소 표면의 "제1의 황금기"가 시작되었다.슈바르츠는 복잡한 방법을 사용하여 1865년 정사각형과 1867년 일반 사각형에 대한 고원 문제의 해답을 발견했다.Weierstrass와 Enneper는 최소 표면을 복잡한 분석 및 조화 함수와 확실하게 연결하면서 보다 유용한 표현 공식을 개발했습니다.다른 중요한 공헌은 벨트라미, 보닛, 다르부스, 리, 리만, 세레트, 그리고 와인가튼으로부터 왔다.

1925년과 1950년 사이에 최소 표면 이론이 부활했고, 현재는 주로 비모수 최소 표면을 목표로 하고 있다.제시 더글라스와 티보르 라도가 고원 문제를 완전히 해결한 것은 중요한 이정표였다.번스타인의 문제와 유한한 총 곡률의 완전한 최소 표면에 대한 로버트 오서만의 연구 또한 중요했다.

또 다른 부흥은 1980년대에 시작되었다.한 가지 원인은 1982년 Celso Costa에 의해 평면, 카테노이드 및 헬리코이드가 유한 위상 유형의 R에 유일하게³ 완전히 내장된 최소 표면이라는 추측을 반증하는 표면이 발견되었기 때문이다.이것은 오래된 파라메트릭 방법을 사용하는 새로운 작업을 자극했을 뿐만 아니라 연구된 표면을 시각화하기 위한 컴퓨터 그래픽의 중요성과 "주기 문제"를 해결하기 위한 수치적 방법(공역 표면 방법을 사용하여 더 큰 대칭 표면으로 조립할 수 있는 표면 패치를 결정할 때, 특정 p)을 보여주었다.내장된 표면을 만들려면 아라메터를 수치적으로 일치시켜야 합니다.)또 다른 원인은 1970년 Alan Schoen에 의해 경험적으로 기술된 3중 주기 최소 표면이 실제로 존재한다는 H. Karcher의 검증이었다.이로 인해 표면 패밀리가 풍부해지고 핸들을 추가하거나 왜곡하여 기존 표면에서 새 표면을 파생하는 방법이 개발되었습니다.

현재 최소 표면의 이론은 다른 주변 기하학에서 최소 서브매니폴드로 다양화되어 수리 물리학(예: 양의 질량 추측, 펜로즈 추측)과 3개의 매니폴드 기하학(예: 스미스 추측, 푸앵카레 추측, 서스턴 기하학 추측)과 관련된다.

예

최소 표면의 고전적인 예는 다음과 같습니다.

• 사소한 경우인 비행기
• 카티노이드: 현수막을 직행렬 주위에 한 번 회전시킴으로써 만들어지는 최소 표면
• 헬리코이드:선에 수직인 축을 중심으로 일정한 속도로 회전하면서 동시에 균일한 속도로 축을 따라 이동하는 선에 의해 쓸려나간 표면

19세기 황금기의 표면은 다음과 같다.

• 슈바르츠 최소 표면: R을 채우는³ 3배의 주기 표면
• 리만의 최소 표면:사후에 기술된 주기적 표면
• 엔네퍼 표면
• 헤네버그 표면: 최초의 방향성이 없는 최소 표면
• 부르 최소 표면
• 네오비우스 표면: 3중 주기 표면

최신 표면은 다음과 같습니다.

• 자이로이드:1970년 쇤의 표면 중 하나로 액정 구조에 특히 관심이 있는 3중 주기 표면입니다.
• 안장탑과: 셔크의 제2표면의 일반화
• 코스타의 최소 표면:유명한 추측은 반증이다.1982년 Celso Costa에 의해 기술되었으며 나중에 Jim Hoffman에 의해 시각화되었습니다.그런 다음 Jim Hoffman, David Hoffman 및 William Meeks III는 정의를 확장하여 서로 다른 회전 대칭을 가진 일련의 표면을 만들었습니다.
• Enneper 표면에 핸들을 추가하는 Chen-Gackstatter 표면 패밀리.

일반화와 다른 분야로의 링크

최소 표면은 쌍곡선 공간, 고차원 공간 또는 리만 다양체와 같은 R이 아닌³ 다른 다양체에서 정의할 수 있습니다.

최소 표면의 정의는 0이 아닐 필요가 없는 일정한 평균 곡률을 가진 표면, 즉 일정한 평균 곡률을 가진 표면을 포함하도록 일반화/확장할 수 있습니다.

이산 미분 기하학에서는 이산 최소 표면이 연구된다. 즉, 정점 ^[4]위치의 작은 섭동 하에서 면적을 최소화하는 단순한 삼각형의 복합체이다.이러한 이산화는 닫힌 형태 식을 알 수 없는 경우에도 최소 지표면을 수치적으로 근사하는 데 종종 사용됩니다.

최소 표면에서 갈색 운동은 최소 ^[5]표면에서 여러 이론의 확률론적 증명으로 이어진다.

최소 표면은 복잡한 ^{[citation needed]}재료의 자가 조립에 응용될 것으로 예상되기 때문에 특히 분자 공학 및 재료 과학 분야에서 집중적인 과학적 연구 영역이 되었습니다.세포생물학의 중요한 구조인 소포체는 중요하지 않은 최소 ^[6]표면에 적합하도록 진화적인 압력을 받는 것으로 제안되었다.

일반 상대성 이론과 로렌츠 기하학 분야에서, 겉으로 보이는 지평선으로 알려진 최소 표면의 개념의 특정한 확장과 수정은 중요하다.^[7]사건의 지평선과는 대조적으로, 그것들은 블랙홀 경계를 이해하는 곡률 기반 접근법을 나타낸다.

표면이 최소인 구조물은 텐트로 사용할 수 있다.

최소 표면은 현대 디자이너가 사용하는 생성 설계 도구 상자의 일부입니다.건축학에서는 최소 표면과 밀접한 관련이 있는 인장 구조에 많은 관심이 있었습니다.유명한 예는 프레이 오토가 비누 표면에서 영감을 얻어 뮌헨에 있는 올림피아파크입니다.

미술계에서, 최소한의 표면은 로버트 엥그만(1927–), 로버트 롱허스트(1949–), 찰스 오의 조각에서 광범위하게 탐구되어 왔다. 페리(1929~2011).

「 」를 참조해 주세요.

레퍼런스

추가 정보

교재

• 토바이어스 홀크 콜딩과 윌리엄 P.미니코지, II최소 표면 코스입니다.수학 대학원, 121.미국수학회, 프로비던스, RI, 2011.12+313pp.ISBN 978-0-8218-5323-8
• R. Courant.디리클레의 원리, 컨포멀 매핑 및 최소 표면.부록 M.쉬퍼.뉴욕, 뉴욕, 인터사이언스 퍼블리셔스, Inc., 1950년13+330pp.
• 울리히 디어크스, 스테판 힐데브란트, 프리드리히 쇼비니.최소 표면제2판을 개정 증보.A의 도움과 공헌으로.Küster와 R. Jakob.Grundlehren der Mathischen Wissenschaften, 339.스프링거, 하이델베르크, 2010년16+688pp.ISBN 978-3-642-11697-1, 도이:10.1007/978-3-642-11698-8, MR2566897
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온라인 자원

• Karcher, Hermann; Polthier, Konrad (1995). "Touching Soap Films - An introduction to minimal surfaces". Retrieved December 27, 2006. (최소한의 표면과 비누 필름에 대한 도입이 필요합니다.)
• Jacek Klinowski. "Periodic Minimal Surfaces Gallery". Retrieved February 2, 2009. (클래식 및 현대적 예시와 함께 최소 표면 컬렉션)
• Martin Steffens and Christian Teitzel. "Grape Minimal Surface Library". Retrieved October 27, 2008. (최소 표면 집합)
• Various (2000). "EG-Models". Retrieved September 28, 2004. (최소 표면의 여러 공개 모델이 있는 온라인 저널)

외부 링크

• "Minimal surface", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]
• 3D-XplorMath-J 홈페이지 - 대화형 수학적 시각화를 위한 Java 프로그램 및 애플릿
• 회전 가능한 최소 표면 갤러리
• WebGL 기반의 회전/축소 가능한 최소 표면 갤러리