삼육각 타일링

Trihexagonal tiling
삼육각 타일링
Trihexagonal tiling
유형 반규칙 타일링
정점 구성 Tiling 3-6 vertfig.svg
(3.6)2
슐레플리 기호 r{6,3} 또는 .3
h2{6,3}
위토프 기호 2 6 3
3 3 3
콕서터 다이어그램 CDel node.pngCDel 6.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.png
CDel branch 10ru.pngCDel split2.pngCDel node 1.png = CDel node h1.pngCDel 6.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node 1.png
대칭 p6m, [6,3], (*632)
회전 대칭 p6, [6,3]+, (632)
p3, [3[3]]+, (333)
Bowers 약자 그거
듀얼 롬빌 타일링
특성. 정점-이행 엣지-트랜시

기하학에서, 삼육각형 타일링은 정다각형에 [1]의한 유클리드 평면의 11개의 균일한 타일링 중 하나이다.정삼각형과 정육각형으로 구성되어 있으며, 각 육각형은 삼각형으로 둘러싸여 있고 그 반대도 마찬가지입니다.정육각형 타일링과 정삼각형 타일링이 합쳐진 이름에서 유래했다.각 정점을 중심으로 두 개의 육각형과 두 개의 삼각형이 번갈아 나타나며 모서리가 선의 무한 배열을 형성합니다.그것의 이중은 마름모꼴 [2]타일링이다.

이 패턴과 균일한 타일링의 분류에서 그것의 위치는 요하네스 케플러에게 1619년 저서 하모니테스 [3]먼디에서 이미 알려져 있었다.이 무늬는 오랫동안 일본의 바구니에 사용되어 왔으며, 카고메라고 불립니다.이 패턴의 일본어는 물리학에서 사용되고 있으며, 카고메 격자라고 불립니다.그것은 또한 특정 광물의 결정 구조에서도 발생한다.콘웨이는 이것을 육각 타일링(헥스틸)과 삼각 타일링(델틸)[4]의 대체 요소를 결합하여 육각 타일링이라고 부릅니다.

카고메

카고메 무늬가 보이는 일본 바구니

카고메(Kagoem)는 일본의 전통적인 대나무 무늬로, 바구니에 구멍이 뚫린 무늬를 뜻하는 '카고'와 '눈'을 뜻하는 '나'에서 이름을 따왔다.

상세하게 카고메 무늬

두 개의 라스가 교차하는 각 점이 인접한 4개의 점을 가지도록 교차된 삼각형으로 구성된 라스의 직물 배열로, 3각형의 타일 패턴을 형성합니다.직조 공정은 카고메에 키랄 벽지군 대칭 p6, (632).

가고메 격자

가고메 격자라는 용어는 일본의 물리학자 코디 후시미에 의해 만들어졌으며 1951년 그의 조수인 [5]이치로 쇼지에 의해 처음 등장했다.이런 의미에서 가고메 격자는 삼육각형 타일링의 정점과 가장자리로 구성됩니다.이름에도 불구하고 이러한 교차점은 수학적 격자를 형성하지 않습니다.

4분의 1 입방체 벌집의 정점과 모서리에 의해 형성되고, 정사면체와 잘린 사면체로 공간을 채우는 관련된 3차원 구조는 하이퍼 카고메 [6]격자라고 불립니다.그것은 정사각형 벌집의 정점과 가장자리로 표현되며, 정사각형과 잘린 사각형으로 공간을 채운다.점 및 선의 평행 평면 4세트를 포함하며, 각 평면은 2차원 카고메 격자입니다.3차원에서의 두 번째 표현은 2차원 격자의 평행한 층을 가지며 오르토롬-카고메 [6]격자라고 불립니다.삼육각형 프리즘 벌집은 모서리와 정점을 나타냅니다.

어떤 광물들, 즉 자로사이트와 허버트미사이트는 결정 구조에 원자의 2차원 층 또는 3차원 카고메 격자 배치를 포함한다.이 광물들은 기하학적으로 좌절된 자기와 관련된 새로운 물리적 특성을 보여준다.예를 들어 CoVO에서의328 자성 이온의 스핀 배치는 [7]저온에서 매력적인 자기 거동을 보이는 가고메 격자에 놓여 있다.카고메 금속에서 실현된 양자 자석은 예기치 않은 전자적, [8][9][10][11]자기적 현상을 많이 나타내는 것으로 밝혀졌다.또한 [12]불순물이 있는 2차원 카고메 격자에서 SYK 거동을 관찰할 수 있다고 제안한다.

이 용어는 오늘날 과학 문헌, 특히 이론적인 카고메 격자의 자기 특성을 연구하는 이론가들에 의해 많이 사용되고 있다.

참고 항목: 카고메 볏.

대칭

p6m(*632) 대칭의 30-60-90 삼각형 기본 도메인

삼육각 타일링은 Schléfli 기호 r{6,3} 또는 콕서터 다이어그램 {6,3}을 가지고 있으며, 이는 직교된 육각 타일링임을 상징합니다.대칭은 벽지 그룹 p6mm, (*632)[13]로 설명할 수 있으며, 타일링은 이 그룹의 반사 기본 도메인 내에서 Wythoff 구성으로 도출할 수 있습니다.삼육각 타일링은 정점 구성(3.6)2을 가진 두 가지 유형의 폴리곤을 번갈아 사용하는 준규격 타일링입니다.또한 정육각형 타일링에서 파생된 8개 중 하나인 균일한 타일링입니다.

균일한 착색

삼육각형 타일링에는 두 가지 뚜렷한 균일한 색상이 있습니다.꼭지점 주위의 4개의 면(3.6.3.6): 1212, 1232.[1]두 번째는 p3m1(*333) 대칭으로 존재하는 두 가지 색의 삼각형을 가진 칸틱 육각형 타일링(h2{6,3})이라고 합니다.

대칭 p6m, (*632) p3m, (*333)
색칠 Uniform polyhedron-63-t1.png Uniform tiling 333-t12.png
근본적인
영역 		632 fundamental domain t1.png 333 fundamental domain t01.png
와이토프 2 6 3 3 3 3
콕서터 CDel node.pngCDel 6.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.png CDel branch 10ru.pngCDel split2.pngCDel node 1.png = CDel node h1.pngCDel 6.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node 1.png
슐레플리 r{6,3} r{3[3]} = h2{6,3}

서클 패킹

삼육각 타일링은 모든 [14]점의 중심에 동일한 직경의 원을 배치하여 원 패킹으로 사용할 수 있습니다.모든 원은 패킹의 다른 4개의 원(키스 번호)과 접촉합니다.

1-uniform-7-circlepack.svg

위상 등가 타일링

삼육각 타일링은 낮은 [1]대칭의 위상적으로 동등한 타일링으로 기하학적으로 왜곡될 수 있습니다.이러한 변형 타일링에서는 가장자리가 직선을 형성하기 위해 일직선이 될 필요는 없습니다.

p3m1, (*333) p3, (333) p31m, (3*3) cmm, (2*22)
Trihexagonal tiling unequal.png 3-9-star-tiling.png Hex-hexstar-tiling.svg Trihexagonal tiling unequal2.svg Distorted trihexagonal tiling.png Triangle and triangular star tiling.png Trihexagonal tiling in square tiling.svg

관련 준규격 타일링

삼육각형 타일링은 정점 구성(3.2n)을 가진 준정규형 타일링의 대칭 시퀀스로 존재하며, 구의 타일링에서 유클리드 평면 및 쌍곡면으로 진행됩니다.*n32의 오르비폴드 표기 대칭을 사용하는 경우 이러한 모든 타일링은 기본 대칭 영역 내에서 와이토프 구조이며 영역의 [15][16]직각 모서리에 제너레이터 포인트가 있습니다.

*n32 준규형 타일링의 오비폴드 대칭: (3.n)2
Quasiregular fundamental domain.png
건설 		구면 유클리드 쌍곡선
*332 *432 *532 *632 *732 *832... *∞32
준규격
수치		 Uniform tiling 332-t1-1-.png Uniform tiling 432-t1.png Uniform tiling 532-t1.png Uniform tiling 63-t1.svg Triheptagonal tiling.svg H2-8-3-rectified.svg H2 tiling 23i-2.png
꼭지점 (3.3)2 (3.4)2 (3.5)2 (3.6)2 (3.7)2 (3.8)2 (3.2199)

관련 정규 복합 아페이로곤

삼육각 타일링의 정점을 공유하는 2개의 정칙 복소 아페이로곤이 있습니다.일반 복합 아파이로곤에는 정점과 모서리가 있으며, 모서리에는 두 개 이상의 정점이 포함될 수 있습니다.정칙 아파이로곤 p{q}r은 1/p + 2/q + 1/r = 1로 구속된다. 모서리에는 정다각형처럼 배치된 p개의 정점이 있으며 정점 도형은 r-고날이다.[17]

첫 번째는 삼각형 모서리, 두 번째는 모든 정점 둘레, 두 번째는 육각형 모서리, 두 번째는 모든 정점 둘레입니다.

Complex apeirogon 3-12-2.png Complex apeirogon 6-6-2.png
3{12}2 또는 6 { 6 } 2 또는

「 」를 참조해 주세요.

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레퍼런스

  1. ^ a b c Grünbaum, Branko; Shephard, G. C. (1987). Tilings and Patterns. W. H. Freeman. ISBN 978-0-7167-1193-3. 특히 정리 2.1.3, 페이지 59(균일한 타일링 분류)를 참조한다.그림 2.1.5, 페이지 63 (이 타일링의 그림),정리 2.9.1, 페이지 103(착색 타일링 분류), 그림 2.9.2, 페이지 105(착색 타일링 그림), 그림 2.5.3(d), 페이지 83(토폴로지적으로 동등한 별 타일링), 연습 4.1.3, 페이지 171(삼각 및 2-삼각 타일링의 위상적 등가).
  2. ^ Williams, Robert (1979). The Geometrical Foundation of Natural Structure: A Source Book of Design. Dover Publications, Inc. p. 38. ISBN 0-486-23729-X.
  3. ^ 를 클릭합니다Aiton, E. J.; Duncan, Alistair Matheson; Field, Judith Veronica, eds. (1997), The Harmony of the World by Johannes Kepler, Memoirs of the American Philosophical Society, vol. 209, American Philosophical Society, pp. 104–105, ISBN 9780871692092.
  4. ^ Conway, John H.; Burgiel, Heidi; Goodman-Strauss, Chaim (2008). "Chapter 21: Naming Archimedean and Catalan polyhedra and tilings; Euclidean plane tessellations". The Symmetries of Things. Wellesley, MA: A K Peters, Ltd. p. 288. ISBN 978-1-56881-220-5. MR 2410150.
  5. ^ Mekata, Mamoru (February 2003). "Kagome: The story of the basketweave lattice". Physics Today. 56 (2): 12–13. Bibcode:2003PhT....56b..12M. doi:10.1063/1.1564329.
  6. ^ a b Lawler, Michael J.; Kee, Hae-Young; Kim, Yong Baek; Vishwanath, Ashvin (2008). "Topological spin liquid on the hyperkagome lattice of Na4Ir3O8". Physical Review Letters. 100 (22): 227201. arXiv:0705.0990. Bibcode:2008PhRvL.100v7201L. doi:10.1103/physrevlett.100.227201. PMID 18643453. S2CID 31984687.
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  10. ^ Yin, Jia-Xin; Zhang, Songtian S.; Chang, Guoqing; Wang, Qi; Tsirkin, Stepan S.; Guguchia, Zurab; Lian, Biao; Zhou, Huibin; Jiang, Kun; Belopolski, Ilya; Shumiya, Nana (2019). "Negative flat band magnetism in a spin–orbit-coupled correlated kagome magnet". Nature Physics. 15 (5): 443–8. arXiv:1901.04822. Bibcode:2019NatPh..15..443Y. doi:10.1038/s41567-019-0426-7. S2CID 119363372.
  11. ^ Yazyev, Oleg V. (2019). "An upside-down magnet". Nature Physics. 15 (5): 424–5. Bibcode:2019NatPh..15..424Y. doi:10.1038/s41567-019-0451-6. S2CID 128299874.
  12. ^ Wei, Chenan; Sedrakyan, Tigran (2021-01-29). "Optical lattice platform for the Sachdev-Ye-Kitaev model". Phys. Rev. A. 103 (1): 013323. arXiv:2005.07640. Bibcode:2021PhRvA.103a3323W. doi:10.1103/PhysRevA.103.013323. S2CID 234363891.
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  17. ^ Coxeter, H.S.M. (1991). Regular Complex Polytopes (2nd ed.). Cambridge University Press. pp. 111–2, 136. ISBN 9780521394901.

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