다면체

Polyhedron
다면체의 예시

정사면체

플라톤 고체


작은 별모양 십이면체

케플러-포인솔리드


정이십면체

아르키메데스 고체


대입방정팔면체

균일한 별-다면체


마름모삼면체

카탈루냐 고체


토로이달 다면체

기하학에서 다면체(polyhedron, 다면체)PL평면 다각형 , 직선형 모서리, 뾰족한 모서리 또는 꼭짓점을 가진 3차원 형상입니다.

볼록 다면체볼록 집합을 경계로 하는 다면체입니다.모든 볼록 다면체는 꼭짓점의 볼록 선체로 구성될 수 있으며, 같은 평면에 있는 모든 점이 아닌 모든 유한 집합에 대해 볼록 선체는 볼록 다면체입니다.정육면체피라미드는 볼록 다면체의 예입니다.

다면체는 다면체의 3차원 예시로, 어떤 차원에서든 더 일반적인 개념입니다.

정의.

레오나르도 다빈치가 루카 파치올리의 책을 설명하기 위해 그린 골격 다면체(구체적으로 마름모꼴의 정팔면체)

볼록 다면체는 몇 가지 동등한 표준 정의와 함께 잘 정의되어 있습니다.그러나 볼록하지 않아도 되는 다면체의 공식적인 수학적 정의는 문제가 있습니다."다면체"에 대한 많은 정의는 특정 맥락 내에서 제공되었으며,[1] 일부는 다른 것들보다 더 엄격하며, 이들 중 어떤 것을 선택할지에 대한 보편적인 합의는 없습니다.이러한 정의 중 일부는 다면체로 계산된 도형(예: 자기 교차 다면체)을 제외하거나, 유효 다면체로 계산되지 않은 도형(예: 경계가 다양체가 아닌 입체)을 포함합니다.브란코 그ü바움이 관찰한 바와 같이

"다면체 이론의 원죄는 유클리드로 거슬러 올라가며, 케플러, 포인소, 코시 등을 통해...각 단계마다...작가들은 다면체가 무엇인지 정의하지 못했습니다."[2]

그럼에도 불구하고, 다면체는 꼭짓점(모서리점), 모서리(꼭짓점 쌍을 연결하는 선분), (2차원 다각형)으로 설명할 수 있는 입체 또는 표면이며, 때때로 특정한 3차원 내부 부피를 갖는다고 말할 수 있다는 것에 일반적인 동의가 있습니다.다면체를 고체로 설명하는지, 표면으로 설명하는지, 입사 기하학적 구조를 바탕으로 더 추상적으로 설명하는지에 따라 이러한 다양한 정의를 구별할 수 있습니다.[3]

  • 다면체의 일반적이고 다소 순진한 정의는 무한히 많은 평면으로[4][5] 경계를 덮을 수 있는 고체 또는 무한히 많은 볼록 다면체의 결합으로 형성된 고체라는 것입니다.[6]이 정의의 자연적인 정교화는 고체가 경계를 이루고 내부가 연결되어 있어야 하며 또한 경계가 연결되어 있어야 합니다.이러한 다면체의 면은 경계를 덮는 각 평면 내의 경계 부분의 연결된 구성 요소로 정의될 수 있으며, 모서리와 꼭짓점은 면이 만나는 선분과 점으로 정의될 수 있습니다.그러나 이렇게 정의된 다면체는 면이 단순한 다각형을 형성하지 않을 수 있고 가장자리가 두 개 이상의 면에 속할 수 있는 자기 교차성 다면체를 포함하지 않습니다.[7]
  • 고체가 아닌 경계면에 기초한 정의도 일반적입니다.[8]예를 들어, O'Rourke(1993)는 다면체를 볼록 다각형(그 면들)의 결합으로 정의하고, 임의의 두 다각형의 교차가 공유된 꼭짓점 또는 가장자리 또는집합이 되고 그 결합이 다양체가 되도록 공간에 배열합니다.[9]만약 표면의 평면 부분이 볼록 다각형이 아니라면, O'Rourke는 표면을 평평한 다면체 각도를 사이에 두고 더 작은 볼록 다각형으로 세분화할 것을 요구합니다.다소 일반적으로, Grünbum은 각 꼭짓점이 적어도 세 개의 모서리에 입사하고 각 두 면이 각각의 공유 꼭짓점과 모서리에서만 교차하는, 내장된 다양체를 형성하는 단순한 다각형의 집합이라고 정의합니다.[10]Cromwell의 다면체는 비슷한 정의를 제공하지만 꼭짓점당 최소 3개의 모서리를 제한하지 않습니다.다시 말하지만, 이러한 유형의 정의는 자기 교차 다면체를 포함하지 않습니다.[8]유사한 개념은 위상 다양체를 점(수직), 위상 호(가장자리) 또는 빈 집합에 쌍방향 교차가 필요한 위상 디스크(면)로 세분화함으로써 다면체의 위상 정의의 기초를 형성합니다.그러나, (모든 면이 삼각형인 경우에도) 입체 다면체로 실현될 수 없는 위상 다면체가 존재합니다.[11]
  • 현대적인 접근법 중 하나는 추상 다면체 이론에 근거를 두고 있습니다.요소가 다면체의 꼭짓점, 모서리 및 면인 부분 순서 집합으로 정의할 수 있습니다.꼭짓점 또는 모서리 요소는 꼭짓점 또는 모서리가 모서리 또는 면의 일부일 때 모서리 또는 면 요소보다 작습니다.또한, 하나는 (빈 집합을 나타내는) 이 부분 순서의 특별한 바닥 요소와 전체 다면체를 나타내는 상부 요소를 포함할 수 있습니다.세 단계 떨어져 있는 요소들 사이의 부분 순서의 단면(즉, 각 면과 바닥 요소 사이, 그리고 꼭대기 요소와 각 꼭지점 사이)이 다각형의 추상적 표현과 동일한 구조를 가지면, 이 부분 순서 집합들은 위상 다면체와 정확히 동일한 정보를 전달합니다.[citation needed]그러나 이러한 요구사항은 종종 완화되며, 대신 두 수준의 요소 사이의 절이 선분의 추상적 표현과 동일한 구조를 갖도록 요구합니다.[12] (이것은 각 모서리가 두 개의 꼭짓점을 포함하고 두 면에 속하며, 면에 있는 각 꼭짓점은 해당 면의 두 모서리에 속한다는 것을 의미합니다.다른 방식으로 정의되는 기하 다면체는 이런 식으로 추상적으로 설명될 수 있지만, 추상 다면체를 기하 다면체 정의의 기초로 사용하는 것도 가능합니다.추상 다면체의 구현은 일반적으로 각 면의 점이 공면을 이루도록 추상 다면체의 꼭짓점에서 기하학적 점으로의 매핑으로 간주됩니다.기하 다면체는 추상 다면체의 구현으로 정의될 수 있습니다.[13]면 평면성 요건을 생략하거나 대칭성 요건을 추가로 부과하거나 정점을 고차원 공간에 매핑하는 실현도 고려되었습니다.[12]고체 기반 및 표면 기반 정의와 달리, 이는 항성 다면체에 완벽하게 적합합니다.그러나 추가적인 제한 없이 이 정의는 (예를 들어 모든 정점을 단일 지점에 매핑하여) 퇴화되거나 충실하지 않은 다면체를 허용하며 이러한 퇴화를 방지하기 위해 실현을 제한하는 방법에 대한 문제는 해결되지 않았습니다.

이 모든 정의에서 다면체는 일반적으로 다양한 차원에서 보다 일반적인 다면체의 3차원 예로 이해됩니다.예를 들어, 다각형은 2차원 몸체와 면이 없는 반면, 4-폴리토프는 4차원 몸체와 추가적인 3차원 "셀" 집합을 갖습니다.그러나, 고차원 기하학에 관한 몇몇 문헌들은 "다면체"라는 용어를 다른 의미로 사용합니다: 3차원 다면체가 아니라, 어떤 면에서 다면체와 다른 모양입니다.예를 들어, 일부 소스는 볼록 다면체를 유한 개의 반 공간의 교차점으로 정의하고, 폴리토프를 유계 다면체로 정의합니다.[14][15]이 글의 나머지 부분은 3차원 다면체만을 고려합니다.

특성.

면수

다면체는 분류될 수 있으며 종종 면의 수에 따라 이름이 지어집니다.이름 체계는 고전 그리스어에 기반을 두고 있으며, 접미사 "헤드론"과 함께 "베이스" 또는 "시트"를 의미하며 얼굴을 가리키는 접두사를 결합합니다.예를 들어, 사면체는 면이 4개인 다면체, 오면체는 면이 5개인 다면체, 육면체는 면이 6개인 다면체 등입니다.[16]그리스 숫자 접두사의 전체 목록은 그리스 숫자에 대한 열에서 숫자 접두사 § 영어의 숫자 접두사 표를 참조하십시오.테트라헤드라, 육각형, 옥타헤드라(8면 다면체), 십각형(12면 다면체), 이코사헤드라(20면 다면체)의 이름은 플라톤 입체를 지칭하는 추가 자격 없이 사용되기도 하며, 대칭성에 대한 가정 없이 주어진 변의 수를 가진 다면체를 더 일반적으로 지칭하는 데 사용되기도 합니다.[17]

위상분류

네 개의 삼각형 면(빨간색)과 세 개의 사각형 면(노란색)을 가진 비방향성 자기 교차 다면체인 사면체.뫼비우스 띠나 클라인 병과 같이, 이 다면체의 표면을 따라 연속적인 경로가 시작점으로부터 표면의 반대쪽의 점에 도달할 수 있으므로 표면을 안쪽과 바깥쪽으로 분리하는 것은 불가능합니다.

어떤 다면체는 표면에 두 개의 뚜렷한 면을 가지고 있습니다.예를 들어, 볼록 다면체 종이 모델의 안쪽과 바깥쪽에 각각 다른 색을 부여할 수 있습니다(내부 색은 보이지 않게 표시됨).이 다면체들은 방향을 잡을 수 있습니다.자체 교차가 없는 볼록 다면체가 아닌 경우에도 마찬가지입니다.일부 볼록하지 않은 자체 교차 다면체는 같은 방식으로 색을 칠할 수 있지만 영역이 "안쪽"으로 변하여 두 색이 다른 위치에서 바깥쪽에 나타납니다.그러나 테트라헤미헥사면체와 같이 단순 다각형 면을 갖는 일부 다른 자기 교차 다면체의 경우, 인접한 면이 일관된 색을 갖도록 각 면의 두 면을 두 가지 다른 색으로 색칠하는 것은 불가능합니다.이 경우 다면체는 방향을 잡을 수 없다고 합니다.면이 자체 교차하는 다면체의 경우, 인접 면이 일관되게 채색되는 것이 무엇을 의미하는지 명확하지 않을 수 있지만, 이러한 다면체의 경우 꼭짓점, 모서리 및 면 사이에 동일한 사건이 있는 위상 세포 복합체를 고려하여 방향성이 있는지 여부를 결정할 수 있습니다.[18]

다면체의 면 V E 를 공식에 의해 정의된 단일 수 χ 로 결합하는 그들의 오일러 특성에 의해 더 미묘한 차이가 주어집니다.

다른 종류의 위상 표면의 오일러 특성에도 동일한 공식이 사용됩니다.이는 표면의 불변성이며, 단일 표면이 두 가지 이상의 방법으로 정점, 가장자리 및 면으로 세분화될 때 오일러 특성은 이들 세분화에서 동일함을 의미합니다.볼록 다면체 또는 일반적으로 표면 위상 구를 가진 단순 연결 다면체의 경우 항상 2와 같습니다.더 복잡한 모양의 경우 오일러 특성은 표면에 있는 토로이드 구멍, 핸들 또는 크로스 캡의 수와 관련되며 2보다 작습니다.[19]홀수 오일러 특성을 가진 모든 다면체는 방향을 바꿀 수 없습니다.오일러 특성이 짝수인 주어진 도형은 방향을 잡을 수도 있고 그렇지 않을 수도 있습니다.예를 들어, 원 홀 토로이드클라인 병은 모두 χ = 0 = 0이며 첫 번째 병은 방향을 잡을 수 있고 다른 병은 방향을 잡을 수 없습니다.

다면체를 정의하는 많은(모든 것은 아니지만) 방법의 경우 다면체의 표면이 다양체여야 합니다.즉, 모든 모서리는 정확히 두 면의 경계의 일부이며(공유 모서리를 따라서만 만나는 두 정육면체의 결합과 같은 모양은 허용하지 않음), 모든 꼭지점은 모서리와 면의 교대로 이루어진 단일 주기로 입사됩니다(단 하나의 꼭지점만을 공유하는 두 정육면체의 결합과 같은 모양은 허용하지 않음).이러한 방식으로 정의된 다면체의 경우, 다양체의 분류는 표면의 위상 유형이 오일러 특성과 방향성의 조합에 의해 완전히 결정됨을 의미합니다.예를 들어, 표면이 방향성 다양체이고 오일러 특성이 2인 모든 다면체는 위상 구여야 합니다.[18]

토로이달 다면체오일러 특성이 0보다 작거나 같거나, 또는 동등하게 속이 1 이상인 다면체입니다.위상학적으로, 이러한 다면체의 표면들은 중간을 관통하는 하나 이상의 구멍들을 갖는 토러스 표면들입니다.[20]

이중성

정팔면체는 정육면체와 이중입니다.

모든 볼록 다면체에 대하여, 다음을 가지는 이중 다면체가 존재합니다.

  • 원래의 꼭짓점 대신 면 또는 그 반대면.
  • 동일한 수의 모서리

볼록 다면체의 이중체는 극의 왕복 과정을 통해 얻어질 수 있습니다.[21]쌍대 다면체는 쌍으로 존재하며, 쌍대 다면체의 쌍대는 다시 원래의 다면체일 뿐입니다.어떤 다면체들은 자기 이중성을 가지고 있는데, 이것은 다면체의 이중성이 원래의 다면체와 일치한다는 것을 의미합니다.[22]

추상 다면체는 또한 다면체를 정의하는 부분 순서를 반대로 하여 이중 또는 반대 순서를 구함으로써 얻어지는 이중을 갖습니다.[13]이들은 초기 다면체와 동일한 오일러 특성과 방향성을 갖습니다.그러나 이러한 이중성의 형태는 이중 다면체의 형태를 설명하는 것이 아니라, 그것의 결합 구조만을 설명합니다.비볼록 기하 다면체의 일부 정의의 경우, 추상 이중체가 동일한 정의 하에서 기하 다면체로 실현될 수 없는 다면체가 존재합니다.[10]

꼭짓점 도형

모든 꼭짓점에 대해 꼭짓점 도형을 정의할 수 있으며, 꼭짓점 주변의 다면체의 국소 구조를 설명합니다.정확한 정의는 다양하지만 꼭짓점 도형은 다면체를 통해 절단된 부분이 꼭짓점을 잘라내는 다각형으로 간주할 수 있습니다.[8]Platonic 입체 및 다른 매우 대칭인 다면체의 경우, 이 절편은 정점에 입사하는 각 모서리의 중간점을 통과하도록 선택할 수 있지만,[23] 다른 다면체는 이 점을 통과하는 평면이 없을 수 있습니다.볼록 다면체의 경우, 그리고 일반적으로 꼭짓점이 볼록 위치에 있는 다면체의 경우, 이 절편은 꼭짓점과 다른 꼭짓점을 구분하는 평면으로 선택할 수 있습니다.[24]다면체가 대칭의 중심을 가질 때, 주어진 꼭지점과 중심을 지나는 선에 수직이 되도록 이 평면을 선택하는 것이 표준입니다.[25] 이 선택을 사용하면 꼭지점 도형의 모양이 스케일링까지 결정됩니다.다면체의 꼭짓점이 볼록한 위치에 있지 않을 때 각 꼭짓점과 나머지 꼭짓점을 구분하는 평면이 항상 존재하지는 않습니다.이 경우에는 꼭지점을 중심으로 하는 작은 구 단위로 다면체를 자르는 것이 일반적입니다.[26]다시, 이것은 정점 도형에 대해 축척까지 불변인 모양을 만듭니다.이 모든 선택은 적용할 수 있는 다면체에 대해 동일한 조합 구조를 가진 꼭지점 도형으로 이어지지만 다른 기하학적 모양을 제공할 수도 있습니다.

표면적 및 거리

다면체의 표면적은 면의 면적이 잘 정의된 다면체의 정의를 위해 면의 면적의 합입니다.다면체 표면의 임의의 두 점 사이의 측지선 거리는 표면 내에 남아 있는 두 점을 연결하는 가장 짧은 곡선의 길이를 측정합니다.알렉산드로프의 유일성 정리에 의해, 모든 볼록 다면체는 그 표면의 측지 거리의 미터법 공간에 의해 고유하게 결정됩니다.그러나 볼록하지 않은 다면체는 서로 동일한 표면 거리를 가질 수도 있고 특정 볼록 다면체와 동일할 수도 있습니다.[27]

용량

다면체 고체는 공간을 얼마나 차지하는지를 측정하는 부피라고 불리는 관련된 양을 가지고 있습니다.단순한 입체 계열은 부피에 대한 간단한 공식을 가질 수 있습니다. 예를 들어 피라미드, 프리즘, 평행선의 부피는 가장자리 길이나 다른 좌표로 쉽게 표현할 수 있습니다.(이러한 수식이 많이 포함된 목록은 볼륨 § 볼륨 수식을 참조하십시오.)

더 복잡한 다면체의 볼륨에는 간단한 공식이 없을 수 있습니다.이러한 다면체의 부피는 다면체를 더 작은 조각으로 세분화하여 계산할 수 있습니다(예: 삼각측량법).예를 들어, 정다면체의 부피는 합동 피라미드로 나누어서 계산할 수 있는데, 각 피라미드는 다면체의 면을 밑면으로 하고, 다면체의 중심을 꼭지점으로 합니다.

일반적으로 다면체 고체의 부피는 다음과 같이 주어진다는 발산 정리로부터 유도될 수 있습니다.

여기서 합은 다면체의 F 위에 있고, QF F 위의 임의의 점이며, NF 입체의 바깥을 가리키는 F에 수직인 단위 벡터이며, 곱셈 점은 점 입니다.[28]고차원에서 볼륨 계산은 부분적으로 정점으로만 지정된 볼록 다면체의 면을 나열하는 것이 어렵기 때문에 어려울 수 있으며, 이러한 경우에 볼륨을 결정하는 전문화된 알고리즘이 있습니다.[29]

덴 불변량

볼라이-게르위엔 정리는 2차원적으로 어떤 다각형이든 유한하게 많은 다각형 조각으로 잘라내고 다시 배열함으로써 같은 영역의 다른 다각형으로 변형될 수 있다고 주장합니다.다면체에 대한 유사한 질문은 힐베르트의 번째 문제의 주제였습니다.Max Dehn은 2-D의 경우와 달리 더 작은 다면체로 절단하여 서로 재조립할 수 없는 동일한 부피의 다면체가 존재함을 보여줌으로써 이 문제를 해결했습니다.이를 증명하기 위해 두 다면체가 동일한 부피와 동일한 Dehn 불변량을 가질 때에만 서로 해부될 수 있는 또 다른 값인 Dehn 불변량을 발견했습니다.이것이 해부의 유일한 장애물이라는 것이 나중에 시드러에 의해 증명되었습니다. 같은 부피와 데엔 불변량을 가진 유클리드 다면체 두 개마다 절단되어 서로 재조립될 수 있습니다.[30]덴 불변량은 수가 아니라 다면체의 가장자리의 길이와 다면체 각도로부터 결정되는 무한 차원 벡터 공간의 벡터입니다.[31]

힐베르트의 또 다른 문제인 힐베르트의 18번째 문제공간을 타일링하는 다면체에 관한 것입니다.이러한 모든 다면체는 Dehn 불변 0을 가져야 합니다.[32]덴 불변성은 또한 유연 다면체의 덴 불변성이 구부러짐에 따라 불변으로 유지된다는 강력한 벨로우즈 정리에 의해 유연 다면체와 연결되었습니다.[33]

볼록다각형

멕시코 시티의 Universum 박물관에 전시된 볼록 다면체 블록

3차원 입체는 두 점을 연결하는 모든 선분을 포함하는 경우 볼록 집합입니다.볼록 다면체는 입체로서 볼록 집합을 이루는 다면체입니다.볼록 다면체는 또한 무한히 많은 반공간경계 교차점 또는 유한하게 많은 점의 볼록 선체로 정의될 수 있습니다.

볼록 다면체의 중요한 부류는 매우 대칭적인 플라톤 입체, 아르키메데스 입체와 그들의 이중체인 카탈란 입체, 그리고 규칙적인 면을 가진 존슨 입체를 포함합니다.

대칭

대칭축을 중심으로 회전하는 다면체(Matemateca IME-USP)

가장 많이 연구된 다면체들 중 많은 수는 매우 대칭적입니다. 즉, 그들의 모습은 공간의 반사나 회전에 의해 변하지 않습니다.이러한 각 대칭은 주어진 꼭지점, 면 또는 모서리의 위치를 변경할 수 있지만 모든 꼭지점의 집합(예를 들어 면, 모서리)은 변경되지 않습니다.다면체의 대칭들의 집합을 대칭군이라고 합니다.

대칭에 의해 서로 겹쳐질 수 있는 모든 원소들은 대칭 궤도를 형성한다고 합니다.예를 들어, 정육면체의 모든 면은 한 궤도에 놓여 있는 반면, 모든 모서리는 다른 궤도에 놓여 있습니다.주어진 차원의 모든 요소들, 예를 들어 모든 면들이 같은 궤도에 놓여 있다면, 그 도형은 그 궤도에서 과도적이라고 합니다.예를 들어, 절단된 정육면체는 면의 대칭 궤도가 두 개인 반면, 정육면체는 면의 전이성입니다.

동일한 추상 구조가 더 많거나 덜 대칭적인 기하 다면체를 지원할 수 있습니다.그러나 정이십면체와 같은 다면체 이름이 주어진 경우, 달리 명시되지 않는 한, 가장 대칭적인 기하학은 거의 항상 내포됩니다.[citation needed]

면, 모서리, 꼭짓점 등의 요소가 하나의 대칭 궤도에 속하는 여러 종류의 고대칭 다면체가 있습니다.

  • 정칙: 꼭짓점 전이, 모서리 전이, 면 전이. (이것은 모든 면이 동일한 정칙 다각형임을 의미하며, 모든 꼭짓점이 정칙임을 의미하기도 합니다.)
  • 준정규: 꼭짓점-전이성 및 에지-전이성(따라서 규칙적인 면을 가짐)이지만 면-전이성은 아닙니다.준정규 듀얼은 면전이적이고 에지전이적이지만(따라서 모든 정점은 규칙적입니다) 정점전이적이 아닙니다.
  • 반규칙: 꼭짓점 전이형이지만 에지 전이형은 아니며, 모든 면은 정다각형입니다.(이는 저자에 따라 용어에 대한 여러 정의 중 하나입니다.준정규 클래스와 중복되는 정의도 있습니다.)이 다면체는 반규칙 프리즘반원형 프리즘을 포함합니다.반정규 듀얼은 얼굴 전이형이지만 꼭짓점 전이형은 아니며, 모든 꼭짓점은 규칙적입니다.
  • 균일: 꼭짓점 전이형이며 모든 면이 규칙적인 다각형, 즉 규칙적이거나 준규칙적이거나 반규칙적입니다.균일한 쌍대형은 면전이적이고 규칙적인 꼭짓점을 갖지만 꼭짓점전이적일 필요는 없습니다.
  • 등사: 꼭짓점-전이성입니다.
  • 아이소톡살: 엣지 트랜지티브.
  • 이등변체: 얼굴 전이.
  • Noble: 면경과 및 꼭짓점경과(반드시 모서리경과는 아님).일반 다면체는 또한 고귀한 것입니다. 그들은 유일한 고귀한 균일 다면체입니다.고귀한 다면체의 이중인은 그 자체로 고귀합니다.

다면체의 어떤 부류는 대칭축 하나만 가지고 있습니다.여기에는 피라미드, 쌍각뿔, 사다리꼴, 큐폴라 뿐만 아니라 반규칙 프리즘과 안티프리즘이 포함됩니다.

정다면체

규칙적인 다면체는 가장 대칭적입니다.총 9개의 정다면체가 있는데, 5개의 볼록한 다면체와 4개의 별 다면체가 있습니다.

다섯 개의 볼록한 예는 고대부터 알려져 왔으며 플라톤 고체라고 불립니다.삼각뿔 또는 사면체, 정육면체, 팔면체, 십이면체이십면체입니다.

또한 발견자의 이름을 따서 케플러-포인소 다면체로 알려진 네 개의 규칙적인 항성 다면체가 있습니다.

정다면체의 쌍대 역시 정다면체입니다.

균일 다면체와 그 이중체

균일 다면체는 꼭짓점 전이형이고 모든 면은 정다각형입니다.그것들은 규칙, 준규칙, 반규칙으로 세분될 수 있고, 볼록하거나 별이 있을 수 있습니다.

균일 다면체의 쌍성은 불규칙한 면을 가지지만 면전이적이며, 모든 꼭짓점 도형은 정다각형입니다.균일한 다면체는 면과 꼭짓점이 단순히 뒤바뀌는 이중체와 동일한 대칭 궤도를 가지고 있습니다.볼록한 아르키메데스 다면체의 쌍대는 때때로 카탈란 입체라고 불립니다.

균일 다면체와 그들의 쌍대는 전통적으로 대칭의 정도와 볼록한지 아닌지에 따라 분류됩니다.

볼록유니폼 볼록균일이중 스타유니폼 스타유니폼듀얼
규칙적인. 플라톤 고체 케플러-포인소 다면체
준정규 아르키메데스 고체 카탈루냐 고체 균일한 별 다면체
반규칙적인
프리즘 바이피라미드 별의 프리즘 별 두 개의 쌍성
안티프리즘 사다리꼴 별 반원형 사다리꼴

아이소헤드라

정이면체는 면에 대칭이 전이적으로 작용하는 다면체입니다.그들의 토폴로지는 면 구성으로 나타낼 수 있습니다.플라톤 고체 5개와 카탈루냐 고체 13개는 모두 등각체이며, 사다리꼴쌍각체의 무한한 계열입니다.일부 등각형은 오목한 형태와 자체 교집합 형태를 포함한 기하학적 변형을 허용합니다.

대칭군

정이십면체 대칭은 구를 120개의 삼각형 영역으로 나눕니다.

3차원의 많은 대칭 또는그룹은 관련 대칭을 갖는 다면체의 이름을 따서 명명됩니다.여기에는 다음이 포함됩니다.

카이랄 대칭을 가진 것들은 반사 대칭을 가지지 않기 때문에 서로의 반사인 두 개의 반동형 형태를 갖습니다.예를 들면, 스너브 정팔면체스너브 정이십면체가 있습니다.

다른 중요한 다면체 과는

얼굴이 일정한 다면체

규칙적이고 균일한 다면체 외에도, 규칙적인 면을 가지지만 전체적인 대칭이 더 낮은 다른 부류들이 있습니다.

등정면

모든 면이 동일한 종류의 정다각형인 볼록 다면체는 세 과 중에서 찾을 수 있습니다.

  • 삼각형:이 다면체들은 델타 헤드라라고 불립니다.여덟 개의 볼록 삼각형이 있는데, 플라톤 입체 중 세 개와 균일하지 않은 다섯 개의 예가 있습니다.
  • 사각형:정육면체가 유일한 볼록한 예입니다.다른 예(다각형)는 정육면체를 서로 결합하여 얻을 수 있지만, 공면 을 피하려면 주의해야 합니다.
  • 오각형:정십이면체는 유일하게 볼록한 예입니다.

6개 이상의 변으로 합동 정칙면을 갖는 다면체는 모두 비볼록입니다.

따라서 동일한 정칙면을 갖는 볼록 다면체의 총 개수는 10개입니다: 플라톤 입체 5개와 불균일 삼각뿔 5개.[8]볼록하지 않은 예는 무한히 많습니다.이러한 과들 중 일부에는 무한한 스큐 다면체라고 불리는 무한한 스폰지와 같은 예들이 존재합니다.

존슨 고체

Norman Johnson은 어떤 볼록한 불균일 다면체가 반드시 다 비슷하지는 않지만 규칙적인 면을 가지고 있는지 찾았습니다.1966년, 그는 92개의 고체 목록을 발표하고, 그들에게 이름과 숫자를 주고, 다른 것들은 없다고 추측했습니다.빅터 잘갤러는 1969년에 존슨 고체의 목록이 완성되었다는 것을 증명했습니다.

피라미드

피라미드는 사면이 있는 이집트 피라미드와 같이 모든 다면체 중에서 가장 오래되고 유명한 것들을 포함합니다.

스텔레이션 및 페이셋팅

스텔라 팔각형은 팔면체의 별모양이면서 정육면체의 면상이기도 합니다.
작은 별모양의 십이면체는 또한 이십면체의 면입니다.

다면체의 성상은 면들이 새로운 다면체를 형성하기 위해 만나도록 면들을 확장하는 과정입니다.

패싱은 새로운 꼭짓점을 만들지 않고 다면체의 일부를 제거하여 새로운 면 또는 패싯을 만드는 과정입니다.[34][35]다면체의 면(面)은 모서리가 다면체의 꼭짓점인 다각형이며 이 아닙니다.[34]

성상과 면상은 역과정 또는 역과정입니다. 일부 성상의 이중은 원래 다면체에 대한 이중의 면상입니다.

조노헤드라

정팔면체는 모든 면이 180° 회전하에서 대칭인 다각형인 볼록 다면체입니다.Zonohedra는 또한 선분의 민코프스키 합으로 특징지어질 수 있으며, 몇 가지 중요한 공간 채우기 다면체를 포함합니다.[36]

공간채움 다면체

공간을 채우는 다면체는 공간을 채우기 위해 자신의 복사본으로 포장합니다.이러한 촘촘한 포장 또는 공간을 채우는 것은 종종 공간의 테셀레이션 또는 벌집이라고 불립니다.공간을 채우는 다면체는 0과 같은 Dehn 불변량을 가져야 합니다.어떤 벌집은 한 종류 이상의 다면체를 포함합니다.

격자 다면체

모든 꼭짓점이 정수 좌표를 가지는 볼록 다면체를 격자 다면체 또는 적분 다면체라고 합니다.격자 다면체의 Ehrhart 다항식은 척도 인자의 함수로 다면체의 축척 복사본 내에 있는 정수 좌표를 가진 점의 수를 계산합니다.이 다항식들에 대한 연구는 조합론교환 대수의 교차점에 있습니다.[37]격자 다면체와 토릭 품종이라고 불리는 특정 대수적 품종 사이에는 광범위한 동등성이 있습니다.[38]Stanley는 이 방법을 사용하여 단순 폴리토프에 대한 Dehn-Sommerville 방정식을 증명했습니다.[39]

신축성 다면체

일부 다면체는 모서리의 각도를 달리함으로써 얼굴 모양을 동일하게 유지하면서 전체적인 모양을 변경할 수 있습니다.이것을 할 수 있는 다면체를 유연 다면체라고 합니다.코시의 강직성 정리에 의해, 유연 다면체는 반드시 비볼록이어야 합니다.유연한 다면체의 부피는 휘어질 때 일정하게 유지되어야 합니다. 이 결과를 벨로우즈 정리라고 합니다.[40]

컴파운드

다면체 화합물은 두 개 이상의 다면체가 공통 중심을 공유하며 구성됩니다.대칭적인 화합물은 종종 다른 잘 알려진 다면체와 같은 꼭짓점을 공유하고 종종 별 모양에 의해 형성될 수도 있습니다.일부는 Wenninger 다면체 모델 목록에 나와 있습니다.

직교 다면체

소마 정육면체 조각으로 만든 직각 다면체, 그 자체가 다면체입니다.

직교 다면체는 면이 직각으로 만나는 모든 면과 가장자리가 직각좌표계의 축과 평행한 면 중 하나입니다.(Jessen의 정이십면체는 다면체가 이 두 조건을 모두 충족하지는 않지만 하나를 충족시키는 예를 제공합니다.)직육면체 외에 직교 다면체는 볼록하지 않습니다.직선형 다각형이라고도 하는 2차원 직교 다각형의 3차원 유사체입니다.직교 다면체는 계산 기하학에서 사용되는데, 여기서 그들의 제한된 구조는 임의의 다면체에 대해 해결되지 않은 문제에 대한 발전을 가능하게 했습니다. 예를 들어, 다면체의 표면을 다각형 그물로 펼치는 것입니다.[41]

다면체는 동일한 다면체로 분해될 수 있는 직교 다면체의 특별한 경우이며 평면 다면체의 3차원 유사체입니다.[42]

평면도가 포함된 내장 정규 지도

정규 지도는 플래그 트랜지션 추상 2-매니폴드이며 이미 19세기에 연구되었습니다.그들 중 일부는 클라인의 4중주를 나타내는 것과 같은 3차원 다면체 임베딩을 가지고 있습니다.

정준 다면체

모든 볼록 다면체는 조합적으로 각각의 가장자리에 접하는 중간 구를 갖는 다면체인 본질적으로 고유한 표준 다면체와 동등합니다.[43]

다면체의 일반화

'다면체'라는 이름은 전통적인 다면체와 유사한 구조적 특징을 가진 다양한 물체에 사용되게 되었습니다.

아페이로헤드라

고전적인 다면체 표면은 가장자리를 따라 쌍으로 결합된 유한한 수의 면을 가지고 있습니다.원뿔은 무한히 많은 면을 가진 관련된 종류의 물체를 형성합니다.아피로헤드라의 예는 다음과 같습니다.

복소 다면체

복소 다면체라고 불리는 물체들이 있는데, 이를 위해 기본 공간은 실제 유클리드 공간이 아닌 복소 힐베르트 공간입니다.정확한 정의는 대칭군이 복소 반사군인 정다각형에 대해서만 존재합니다.복잡한 다면체는 실제 다면체보다 구성과 수학적으로 더 밀접한 관련이 있습니다.[44]

곡선다면체

일부 연구 분야에서는 다면체가 곡면과 모서리를 가질 수 있습니다.곡면은 양의 영역과 함께 대각선 면이 존재할 수 있습니다.

구면다면체

구의 표면이 유한하게 많은 대호(동등하게 구의 중심을 지나는 평면에 의해)로 나누어질 때, 그 결과는 구면 다면체라고 불립니다.어느 정도의 대칭성을 가진 많은 볼록 다포체(예를 들어 모든 플라톤 입체)는 동심원의 표면에 투영되어 구형 다면체를 생성할 수 있습니다.그러나 역과정이 항상 가능한 것은 아닙니다. 일부 구형 다면체(호소헤드라 등)에는 평면 유사체가 없습니다.[45]

곡면 공간 메우기 다면체

볼록한 면뿐만 아니라 오목한 면을 허용하는 경우, 인접한 면이 간격 없이 함께 만나게 할 수 있습니다.이 곡선 다면체 중 일부는 공간을 채우기 위해 함께 포장할 수 있습니다.두 가지 중요한 유형은 다음과 같습니다.

이상 다면체

볼록 다면체는 유클리드 공간에서와 같은 방식으로 3차원 쌍곡 공간에서 유한한 점 집합의 볼록 선체로 정의될 수 있습니다.그러나 쌍곡 공간에서는 공간 내에 놓여 있는 점뿐만 아니라 이상적인 점을 고려하는 것도 가능합니다.이상적인 다면체는 유한한 이상적인 점들의 볼록한 선체입니다.면은 이상적인 다각형이지만, 모서리는 선분이 아닌 전체 쌍곡선으로 정의되며, 꼭짓점(이상적인 점은 볼록 껍질)은 쌍곡 공간 내에 있지 않습니다.

골격 및 다면체를 그래프

면 구조를 잊어버림으로써, 임의의 다면체는 대응하는 꼭짓점과 모서리를 갖는 그 뼈대라고 불리는 그래프를 생성합니다.그런 인물들은 긴 역사를 가지고 있습니다: 레오나르도 다빈치파치올리의 책 Divina Proportione을 위해 그렸던, 규칙적인 고체의 뼈대 모델을 고안했고, 비슷한 철조망 다면체는 M.C. 에셔의 인쇄물 Stars에 나타납니다.[48]이 접근법의 한 가지 하이라이트는 볼록 다면체의 골격에 대한 순수한 그래프 이론적 특성을 제공하는 슈타이니츠의 정리입니다. 모든 볼록 다면체의 골격은 3개의 연결된 평면 그래프이고, 모든 3개의 연결된 평면 그래프는 일부 볼록 다면체의 골격이라는 것을 명시합니다.

추상 다면체의 초기 아이디어는 "공동의 면 다면체"에 대한 Branko Grunbaum의 연구에서 개발되었습니다. Grunbaum은 면을 순환적으로 정렬된 꼭짓점 집합으로 정의하고 평면뿐만 아니라 꼬임질 수 있도록 했습니다.[2]

그래프 원근법을 사용하면 그래프 용어와 속성을 다면체에 적용할 수 있습니다.예를 들어, 사면체와 Csásár 다면체는 골격이 완전 그래프(K4)인 유일한 다면체이며, 다면체에 대한 다양한 대칭 제한은 대칭 그래프인 골격을 생성합니다.

대체사용

20세기 후반부터, 다양한 수학적 구조들이 전통적인 다면체에도 존재하는 것으로 밝혀졌습니다."다면체"라는 용어를 3차원의 다면체를 설명하기 위해 한정하는 것이 아니라, 다양한 관련이 있지만 다른 종류의 구조를 설명하기 위해 채택되었습니다.

고차원 다면체

다면체는 평평한 면을 가진 모든 차원 n실제 아핀(또는 유클리드) 공간의 점들의 집합으로 정의되었습니다.또는 무한히 많은 반공간의 교차점으로 정의할 수도 있습니다.기존의 다면체와 달리 경계가 있거나 경계가 없을 수 있습니다.이 의미에서 다포체는 유계 다면체입니다.[14][15]

분석적으로, 그러한 볼록 다면체는 선형 부등식 시스템에 대한 해 집합으로 표현됩니다.이런 식으로 다면체를 정의하면 선형 프로그래밍의 문제에 대한 기하학적 관점을 제공할 수 있습니다.많은 전통적인 다면체 형태들은 이런 의미에서 다면체입니다.다른 예로는 다음이 있습니다.

  • 비행기 안의 사분면.예를 들어, 가로축 위의 모든 점과 세로축의 오른쪽으로 구성된 데카르트 평면의 영역: { (x, y ) : x 0, y ≥ 0 }. 그 측면은 두 개의 양의 축이고, 그렇지 않으면 경계가 없습니다.
  • 유클리드 3-공간의 팔분의 하나, {(x, y, z ) : x 0, y 0, z0 }.
  • 무한한 범위의 프리즘.예를 들어, z 축을 따라 스윕된 xy 평면의 정사각형으로 구성된 3-공간의 이중 무한 사각 프리즘: { (x, y, z ) : 0 x 1, 0 y 1 }
  • 보로노이 테셀레이션의 각 은 볼록 다면체입니다.집합 S의 보로노이 테셀레이션에서, cS에 해당하는 셀 A는 C가 S볼록 껍질내부에 있을 때 경계지어지고(따라서 전통적인 다면체), 그렇지 않으면(C가 S의 볼록 껍질의 경계에 있을 때) A는 경계지어지지 않습니다.

위상다각형

위상 다포체(topological polytope)는 볼록 다포체와 위상적으로 동등하고 서로 일정한 방식으로 부착된 형태로 특정 분해와 함께 제공되는 위상 공간입니다.

각 영역이 단순한 경우, n차원 공간에서 각 영역이 n+1개의 꼭짓점을 갖는 경우 이러한 도형을 단순이라고 합니다.심플 폴리토프의 이중성은 심플하다고 불립니다.마찬가지로, 기본 구성 블록이 n차원 정육면체일 때 널리 연구되는 다면체(다면체)의 종류는 정육면체 다면체입니다.

추상 다면체

추상 폴리토프는 부분 순서가 특정 발생 규칙(연결성)과 순위를 따르는 요소의 부분 순서 집합(포셋)입니다.집합의 요소는 폴리토프의 꼭짓점, 모서리, 면 등에 해당합니다. 꼭짓점은 랭크 0, 모서리는 랭크 1 등이며 부분적으로 순서화된 순위는 기하학적 요소의 차원성에 해당합니다.집합 이론에서 요구하는 빈 집합은 -1의 순위를 가지며 때때로 귀무 폴리토프에 해당한다고 말합니다.추상 다면체는 다음과 같은 순위를 가지는 추상 다면체입니다.

  • 랭크 3: 최대 요소, 때로는 신체와 동일시되기도 합니다.
  • 랭크 2: 다각형의 면.
  • 랭크 1: 가장자리.
  • 랭크 0: 정점들.
  • 순위 -1:빈 집합으로, 때때로 null polytop 또는 nullitop으로 식별됩니다.[49]

임의의 기하학적 다면체는 위에서 설명한 것처럼 추상 포셋의 실제 공간에서 "실현"이라고 합니다.

역사

비포 더 그리스

모스크바 수학 파피루스 14번 문제, 파피루스의 부피 계산에 관하여

다면체는 정육면체와 정육면체와 같은 초기 건축 형태로 나타났으며, 가장 초기의 사면으로 이루어진 이집트 피라미드기원전 27세기부터 존재했습니다.[50]대략 기원전 1800년에서 1650년 사이의 모스크바 수학 파피루스에는 다면체와 그 부피(특히 파피루스의 부피)에 대한 초기의 저술 연구가 포함되어 있습니다.[51]구 바빌로니아 제국의 수학은 모스크바 파피루스와 거의 같은 시기부터 정육면체(그리고 다면체가 아닌 원기둥)[52]의 부피를 계산하고 주어진 부피를 얻기 위해 필요한 그러한 형태의 높이를 계산하는 것도 포함했습니다.

에트루리아인들은 적어도 정다면체의 일부에 대한 인식에 있어서 그리스인들보다 앞섰고, 이는 몬테 로파에서 비누돌로 만들어진 에트루리아 십이면체가 발견된 것으로 증명됩니다.그것의 얼굴들은 다른 디자인으로 표시되어 있어서, 몇몇 학자들에게 그것이 게임용 다이로 사용되었을 수도 있다는 것을 암시합니다.[53]

고대 그리스

고대 그리스 수학자들은 플라톤 입체라고 알려지게 된 볼록한 정다면체를 발견하고 연구했습니다.그들의 첫 번째 기록된 설명은 플라톤의 티마이오스 (기원전 360년경)에 있는데, 티마이오스는 그들 중 네 개의 요소를 네 의 요소와 연관시키고 다섯 번째는 우주의 전체적인 형태와 연관시킵니다.이 다섯 다면체에 대한 더 많은 수학적인 처리는 유클리드원소들에서 곧 쓰여졌습니다.유클리드에 대한 초기 주석가 (게미누스일 가능성이 있음)는 이 도형들을 플라톤에 귀속시키는 것은 옳지 않다고 쓰고 있습니다: 피타고라스사면체, 정육면체, 그리고 십이면체를 알고 있었고, 테아에테투스 (기원전 417년경)는 나머지 두 개인 팔면체이십면체를 발견했습니다.[54]나중에, 아르키메데스는 그의 연구를 현재 그의 이름을 가지고 있는 볼록하고 균일한 다면체로 확장시켰습니다.그의 원래 작품은 분실되고 그의 고체는 파푸스를 통해 우리에게 내려옵니다.[55]

고대 중국

전국시대의 14면 다이

중국의 절단된 팔면체 모양의 정육면체 주사위와 14개의 면으로 이루어진 주사위는 일찍이 전국시대로 거슬러 올라갑니다.[56]

서기 236년까지, 류후이는 정육면체의 특징적인 사면체 (정형체)와 관련된 고체로 분해되는 것을 기술하고 있었습니다. 이 고체들의 집합체를 공학적 발굴 동안 이동할 지구의 부피를 계산하는 기초로 사용했습니다.[57]

중세 이슬람교

고전 시대가 끝난 후, 이슬람 문명의 학자들은 그리스 지식을 계속 발전시켰습니다(중세 이슬람의 수학 참조).[58]9세기 학자인 타비트 이븐 쿠라는 부피 계산을 그의 연구에 포함시켰고,[59] 정팔면체에 대한 연구를 썼습니다.그 후 10세기에 Abu'l Wafa는 볼록한 규칙과 준규칙 구면 다면체를 묘사했습니다.[60]

르네상스

자코포 데 바르바리가 만든 도피오리트라토루카 파치올리와 물이 반쯤 차 있는 유리 마름모 팔면체를 연구하는 한 학생을 묘사하고 있습니다.[61]

이슬람 학자들에 의해 유지되고 향상된 그리스 사상의 다른 영역과 마찬가지로, 다면체에 대한 서양의 관심은 이탈리아 르네상스 기간 동안 부활했습니다.예술가들은 인생에서 원근법에 대한 연구의 일부로 그것들을 묘사하면서 뼈대 다면체를 만들었습니다.[62]나무로 만들어져 헤드기어를 지탱하는 데 사용된 토로이드 다면체는 원근법 그리기에서 일반적인 운동이 되었고, 기하학의 상징으로서 그 시대의 시장식 패널에 묘사되었습니다.[63]피에로 델라 프란체스카는 다면체의 투시도를 만드는 것에 대해 썼고, 아르키메데스 고체의 많은 부분을 재발견했습니다.레오나르도 다빈치루카 파치올리의 책을 위해 여러 다면체의 뼈대 모델을 설명했는데,[64] 주로 델라 프란체스카의 글을 표절했습니다.[65]다면체 그물은 알브레히트 뒤러의 작품에 등장합니다.[66]

이 시기의 몇몇 작품들은 항성 다면체와 플라톤의 기본 형태에 대한 다른 설명들을 조사합니다. 바닥에 있는 대리석 타르시아. 파올로 우첼로가 설계한 베네치아의 마르크 바실리카 성당은 별이 달린 십이면체를 묘사하고 있습니다.[67]르네상스가 이탈리아를 넘어 퍼지면서, 웬젤 잼니처, 뒤러와 같은 후대의 예술가들 또한 상상력이 풍부한 에칭으로 복잡성이 증가하는 다면체를 묘사했고, 그들 중 많은 것이 참신했습니다.[62]요하네스 케플러 (1571–1630)는 별 다면체를 만들기 위해 전형적으로 오각형인 별 다각형을 사용했습니다.이 도형들 중 일부는 케플러의 시대 이전에 발견되었을 수도 있지만, 그는 규칙적인 다면체가 볼록해야 한다는 제한을 제거한다면 그것들이 "규칙적"으로 여겨질 수 있다는 것을 처음으로 인식했습니다.[68]

같은 시기에, 오일러의 다면체 공식, 즉 다면체의 꼭짓점, 모서리, 면의 수와 관련된 선형 방정식프란체스코 모롤리코에 의해 출판되지 않은 원고에서 1537년 플라톤 입체에 대해 언급되었습니다.[69]

17-19세기

르네 데카르트는 1630년경에 그의 책 De solidorum elementis를 플라톤 입체와 그들의 정교함에 국한되지 않고 일반적인 개념으로서 볼록 다면체를 연구하고 있습니다.그 작품은 분실되었고, 19세기까지 재발견되지 않았습니다.그것의 기여 중 하나는 오일러의 다면체 공식과 밀접한 관련이 있는 총각결함에 대한 데카르트의 정리였습니다.[70]공식의 이름이 붙여진 레온하르트 오일러는 1758년에 비록 부정확한 증명을 가지고 있기는 하지만 좀 더 일반적으로 볼록 다면체에 대해 공식을 소개했습니다.[71]오일러의 업적은 (그의 초기 해결책인 쾨니히스베르크의 일곱 다리의 퍼즐과 함께) 새로운 위상학 분야의 기초가 되었습니다.[72]다면체 공식의 일반화를 포함한 이 분야의 핵심 개념은 19세기 후반 앙리 푸앵카레, 엔리코 베티, 베른하르트 리만 등에 의해 개발되었습니다.[73]

19세기 초, Louis Poinsot는 케플러의 연구를 연장했고, 나머지 두 개의 정다면체를 발견했습니다.곧이어 오거스틴-루이 코시는 각 다각형 변의 꼭짓점과 모서리의 순서가 반복을 허용할 수 없다는 진술되지 않은 가정(A. F. L. 마이스터의 이전 연구에서 고려되었지만 거부된 가정)에 따라 푸앵소의 목록이 완전하다는 것을 증명했습니다.[74]그것들은 케플러-포인소 다면체로 알려지게 되었고, 그들의 보통 이름은 아서 케일리에 의해 지어졌습니다.[75]한편, 19세기 초에 더 높은 차원의 발견은 1853년에 루트비히 슐레플리가 더 높은 차원의 다포체에 대한 생각을 하게 만들었습니다.[76]또한 19세기 후반 러시아의 결정학자 에브그라프 페도로프는 공간을 타일링하는 평행 다면체, 볼록 다면체의 분류를 번역으로 완성했습니다.[77]

20-21세기

20세기의 수학은 힐베르트의 문제들과 함께 시작되었는데, 그 중 하나는 힐베르트의 세 번째 문제인 다면체와 그들의 해부에 관한 것이었습니다.힐베르트의 제자 막스 데인이 다면체의 데인 불변성을 소개하면서 빠르게 해결했습니다.[78]1992년 에른스트 슈타이니츠가 발표한 슈타이니츠의 정리는 볼록 다면체의 그래프를 특징짓고 그래프 이론조합론에서 나온 현대적인 아이디어를 다면체 연구에 끌어들였습니다.[79]

케플러-포인소 다면체는 성상이라고 불리는 과정에 의해 플라톤 고체로 만들어질 수 있습니다.대부분의 별자리는 규칙적이지 않습니다.플라톤 고체의 항성에 대한 연구는 H.S.M. Coxeter와 다른 사람들에 의해 1938년에 현재 유명한 논문 The 59 icosahedra로 크게 추진되었습니다.[80]콕서터의 분석은 기하학에 대한 관심의 재탄생을 의미했습니다.콕서터 자신은 처음으로 별의 균일한 다면체를 열거했고, 평면의 타일링을 다면체로 취급했으며, 규칙적인 꼬임 다면체를 발견했으며 1952년 셰퍼드가 처음 발견한 복잡한 다면체 이론을 발전시켰으며, 기하학의 많은 다른 분야에 근본적인 기여를 했습니다.[81]

20세기 후반에, Branko Grünbaum과 Imre Lakatos 둘 다 수학자들 사이에서 "다면체"를 그 순간의 필요에 맞게 서로 다르고 때로는 양립할 수 없는 방법으로 정의하는 경향을 지적했습니다.[1][2]일련의 논문에서, 그ü바움은 다면체의 인정되는 정의를 넓혔고, 많은 새로운 정다면체를 발견했습니다.20세기 말에 이러한 후자의 아이디어는 사고 복합체에 대한 다른 연구와 결합하여 추상 다면체(추상 3-다극체로서)의 현대적인 아이디어를 만들어 냈으며, 특히 맥멀런과 슐테가 제시했습니다.[82]

다면체는 분산된 데이터 포인트로부터 다면체 표면 또는 표면 메쉬의 재구성,[83] 다면체 표면의 지오데식,[84] 다면체 장면의 가시성 및 조명,[85] 다면체 및 기타 비볼록 다면체를 포함하는 주제로 현대 컴퓨터 기하학, 컴퓨터 그래픽스기하학 설계에 자주 등장합니다.축-평행 변,[86] 슈타이니츠 정리의 알고리즘 형태,[87] 그리고 볼록 다면체를 위한 다면체 그물의 존재에 대한 여전히 해결되지 않은 문제.[88]

자연에서

정다각형의 자연 발생에 대해서는 정다각형 § 정다각형의 자연 발생을 참조하십시오.

불규칙 다면체는 자연에서 결정체로 나타납니다.

참고 항목

참고문헌

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외부 링크

총론

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