콘웨이 기준

Conway criterion
콘웨이 기준을 만족하는 양성자 중심대칭 대칭의 네 중간점은 검은 점으로 표시된다.

테셀레이션의 수학적 이론에서, 영국의 수학자 존 호튼 콘웨이의 이름을 딴 콘웨이 기준은 언제 양성자가 비행기를 타일링할 것인지에 대한 규칙을 기술하고 있다; 그것은 다음과 같은 요건으로 구성되어 있다.[1] 타일은 다음과 같은 경계의 연속 지점 A, B, C, D, E 및 F가 있는 닫힌 위상학적 디스크여야 한다.

  • A에서 B까지의 경계 부분은 T(A) = E와 T(B) = D의 번역 T에 의해 E에서 D까지의 경계 부분과 일치한다.
  • BC, CD, EF, FA의 경계 부분은 각각 중심대칭이다. 즉, 중간점을 중심으로 180도 회전할 때 각 경계 부분은 저절로 일치한다.
  • 6개의 점 중 일부는 일치할 수 있지만, 적어도 3개는 구별되어야 한다.[2]

콘웨이의 기준을 만족하는 모든 양성자는 비행기의 정기적인 타일링을 인정하며, 180도 회전만 사용하여 그렇게 한다.[1] 콘웨이 기준은 원발성이 비행기에 타일을 매지만 필요한 것은 아니라는 것을 증명하기에 충분한 조건이다. 기준을 어기고도 여전히 비행기에 타일을 다는 기와가 있다.[3]

모든 콘웨이 타일은 동위원소 또는 직사각형 다이헤드로 접을 수 있으며, 반대로 동위원소 또는 직사각형 다이헤드의 모든 그물은 콘웨이 타일이다.[4][3]

역사

콘웨이 기준은 닫힌 원반 형태에 적용되며, 그러한 형태의 경계가 기준을 만족하면 평면에 타일을 입힌다. 그래픽 아티스트인 M.C.에셔는 그 기준을 명확하게 밝히지 않았지만, 1920년대 중반에 그것을 발견했다. 그의 초기 테셀링 중 하나는 나중에 그가 1을 기록했는데, 그 기준의 조건에 대한 그의 이해를 보여준다. 그의 초창기 테셀링 작품 중 여섯 점이 모두 기준을 충족시킨다. 1963년 독일의 수학자 하인리히 헤쉬는 기준을 만족시키는 다섯 종류의 타일을 기술했다. 그는 CCC, CCCC, TCTC, TCCC, TCCTCC, TCCTCC 등 경계를 이동할 때 타일의 가장자리를 식별하는 표기법으로 각 유형을 보여주는데 여기서 C는 중심대칭적 가장자리를 의미하고 TCCTCC는 변환된 가장자리를 의미한다.[5]

콘웨이는 마틴 가드너가 1975년 7월 사이언티픽 아메리칸에서 어떤 볼록한 다각형이 비행기를 타일링할 수 있는지 논의한 칼럼에서 영감을 받은 것 같다.[6] 1975년 8월 가드너는 콘웨이가 108개의 헵토미노 중 어느 것이 비행기에 타일을 붙이는지를 알아내기 위한 효율적인 방법을 찾으려다 자신의 기준을 발견했다고 밝혔다.[7]

예

유형 1 육각형 타일을 사용한 다듬기 예제

가장 간단한 형태에서, 이 기준은 평행하고 합치된 한 쌍의 반대쪽 면을 가진 육각형이 비행기를 테셀링할 것이라고 간단히 명시한다.[8] 가드너의 글에서 이것을 유형 1 육각형이라고 한다.[7] 이것은 또한 평행사변형 문자에도 해당된다. 그러나 이들 타일의 반대쪽 가장자리와 일치하는 번역은 두 개의 180° 회전, 즉 육각 평행고곤의 경우 두 개의 인접한 가장자리의 중간점, 그리고 평행고그램의 경우 가장자리의 중간점과 그 정점 중 하나이다. 콘웨이 기준을 만족하는 타일이 중심대칭 가장자리의 중간점에 대해 180° 회전하면 일반화된 병렬형 또는 일반화된 6각형 병렬형(이들은 반대쪽 가장자리와 평행한 것을 가지고 있음)을 생성하므로 이중 타일은 번역에 의해 평면을 타일화할 수 있다.[4] 번역은 직선형 육각형 평행고곤이나 평행고그램의 경우와 마찬가지로 180° 회전으로 이루어진 구성이다.[9]

콘웨이 기준을 충족하지 못하는 타일링 노노미노
비행기를 타일링할 수 없는 네 명의 헵토미노는 구멍이 뚫린 헵토미노 1명을 포함했다.

콘웨이 기준은 놀라울 정도로 강력하다. 특히 폴리폼에 적용될 때 그렇다. 4개의 헵토미노를 제외하고, 순서 7까지 모든 폴리오미노는 콘웨이 기준을 충족시키거나 2개의 복사본이 기준을 만족하는 패치를 형성할 수 있다.[10]

참조

  1. ^ a b 타일이 될까? 도리스 샤츠슈나이더 수학 매거진의 콘웨이 기준을 시험해 보라. 제 53권, 제 4권(Sep, 1980), 페이지 224-233.
  2. ^ 주기적 타일링: 일반 폴리곤
  3. ^ a b 직관적인 지오메트리로 전환: 2016년 봄, 진 아키야마와 마쓰나가 기요코의 폴리곤과 폴리헤드라 세계 ISBN9784431558415
  4. ^ a b 두 개의 콘웨이 기하학적 보석, 도리스 샤츠슈나이더, 2021년 11월 1일 [비디오]
  5. ^ 플레첸슐러스 하인리히 헤쉬와 오토 키엔젤레, 베를린의 시스템 데어 포멘 뤼켄로스 아네인안데르슐리에센더 플라치틸레(Springer, 1963.
  6. ^ 가드너, 마틴 볼록한 폴리곤 타일 "수학적 게임" Scientific American, 제233권, 제1권 (75년 7월)
  7. ^ a b 가드너, 마틴 비행기 타일링에 대한 자세한 내용: "수학적 게임" Scientific American, vol. 233, no. 2 (75년 8월)
  8. ^ 폴리오미노스: 타일링의 퍼즐과 문제에 대한 안내서, 조지 마틴, 미국수학협회, 워싱턴 DC, 1991, 페이지 152, ISBN 0883855011
  9. ^ 벽지 패턴 그리기: 5가지 유형의 Conway Criteria 폴리곤 타일, PDF 파일
  10. ^ Rhoads, Glenn C. (2005). "Planar tilings by polyominoes, polyhexes, and polyiamonds". Journal of Computational and Applied Mathematics. 174 (2): 329–353. doi:10.1016/j.cam.2004.05.002.

외부 링크

  • 콘웨이의 마법 펜 오리지널 콘웨이 기준 타일과 테셀링을 직접 만들 수 있는 온라인 앱.