등각도

수학에서 등각도(등각도, 합동변환)는 보통 ^[1]비분사적인 것으로 가정되는 미터법 공간 사이의 거리 보존 변환이다.

두 개의 반대되는 등각선의 구성은 직접 등각선이다.선의 반사는 이미지의 R

또는 2

R과 같은

1

반대 등각선입니다.Translation

T는 직접 등각선입니다.강체 ^[2]운동입니다.

서론

메트릭 공간(즉, 세트의 요소 간 거리를 할당하기 위한 세트 및 스킴)이 주어졌을 때, 등각은 새로운 메트릭 공간 내의 화상 요소 간 거리가 원래 메트릭 공간 내의 요소 간 거리와 동일하도록 요소를 동일 또는 다른 메트릭 공간에 매핑하는 변환이다.2차원 또는 3차원 유클리드 공간에서, 두 기하학적 도형이 등각계에 ^[3]의해 관련지어지면 일치한다; 그것들을 관련짓는 등각계는 강체 운동(변환 또는 회전) 또는 강체 운동과 반사의 구성이다.

등각선은 한 공간이 다른 공간에 삽입되는 구조에서 종종 사용됩니다.예를 들어 미터법 공간 M의 완성에는 M에서 M 위의 코시 수열 공간의 몫 집합인 M'까지의 등각도가 포함된다.따라서 원래 공간 M은 완전한 메트릭 공간의 부분 공간과 등각적으로 동일하며, 일반적으로 이 부분 공간과 동일하다.다른 임베딩 구조는 모든 메트릭 공간이 일부 노름 벡터 공간의 닫힌 부분 집합과 등각적으로 동일하며, 모든 완전한 메트릭 공간이 일부 바나흐 공간의 닫힌 부분 집합과 등각적으로 동일하다는 것을 보여준다.

힐베르트 공간상의 등각사상 선형 연산자를 유니터리 연산자라고 한다.

등각정의

X와 Y를 메트릭(예를 들어 거리) d와_X_Y d를 가진 메트릭 공간이라고 가정합니다.지도 f : X → Y는 a, b x X에 대해 다음을 갖는다면 등각도 또는 거리 보존이라고 불린다.

\displaystyle d_{Y}\!\left(f(a),f(b)\right)=d_{X}(a,b).}

^[4]

등각계는 자동으로 ^[1]주입된다. 그렇지 않으면 두 개의 서로 다른 점, a와 b가 동일한 점에 매핑될 수 있으며, 따라서 메트릭 d의 일치 공리와 모순될 수 있다.이 증명은 부분적으로 순서가 매겨진 집합 사이에 순서가 매겨진다는 증명과 유사합니다.분명히 미터법 공간 사이의 모든 등각은 위상 매립이다.

전역 등각, 등각 동형 또는 합동 매핑은 생물 등각이다.다른 생물분사처럼, 지구등각계는 역함수를 가지고 있다.지구등각계의 역수는 지구등각계이기도 하다.

X에서 Y까지의 생체 등각도가 있는 경우 두 메트릭 공간 X와 Y를 등각도라고 합니다.미터법 공간에서 그 자체로 이어지는 일련의 생물적 등각은 등각군이라고 불리는 기능 구성에 관한 그룹을 형성합니다.

경로 등각계 또는 호상 등각계의 개념도 약하다.

경로 등각계 또는 호상 등각계는 곡선의 길이를 보존하는 지도이다. 이러한 지도는 거리 보존 의미에서 반드시 등각계일 필요는 없으며, 반드시 생물적, 심지어 주입적일 필요도 없다.이 용어는 종종 단순히 등각도로 요약되므로 어떤 유형이 의도되는지를 맥락에서 판단하기 위해 주의해야 한다.

예

모든 반사, 변환 및 회전은 유클리드 공간의 전지구적 등각계이다.유클리드 군과 유클리드 공간 is 등각계를 참조한다.
R ${\mathbb {R} }$ {\ $displaystyle$ {\ $mathbb$ {R $}}}$ 의 ${\mathbb R}$ $x\mapsto |x|$ x $x\mapsto |x|$ x {\ $displaystyle x\mapsto$ x }는 $x\mapsto |x|$ 경로 등각계이지만 등각계는 아닙니다.등각도와는 달리 주입식은 아니라는 점에 유의하십시오.

표준 공간 사이의 등각도

다음 정리는 마주르와 울람에 기인한다.

정의:^[5]두가지 요소)의 벡터 공간의 중간부와 y가 벡터 .mw-parser-output .sfrac{white-space:nowrap}.mw-parser-output.sfrac.tion,.mw-parser-output.sfrac .tion{디스플레이:inline-block, vertical-align:-0.5em, font-size:85%;text-align:센터}.mw-parser-output.sfrac .num,.mw-parser-output.sfrac .den{디스플레이:블록, line-height:1em, 마진:00입니다.1em}.mw-parser-output.sfrac .den{border-top:1px 고체}.mw-parser-output .sr-onlyᆫ1(x+y).

정리 — A : $X$ → $Y$ 를 0 ~ 0을 매핑하는 노름 공간(Stefan Banach는 이러한 맵 회전이라고 함) 사이의 투영 등각이라고 $하자$ . 여기서^[5]^[6] A는 선형 등각이라고 가정하지 않는다. $다음$ 으로 A는 중간점을 매핑하여 실수 $(\$ 위의 $\mathbb {R}$ 맵으로서 선형입니다.X와 $Y$ 가 복소 벡터 공간인 $경우$ A는 C $(\$ $\mathbb {C}$ 의 맵으로서 선형에 실패할 수 있습니다.

선형등각법

두 개의 정규 벡터 $공간$ V(\ $style$ V $)$ 와 $V$ W $(\displaystyle$ W $W$ 가 주어졌을 때 선형 등각계는 선형 $A:V\to W$ $A:V\to W$ $→$ W(\ $display$ A: $표준$ 을 $A:V\to W$ 유지하는 V $\to$ W $}:$

{\displaystyle\Av\=\v\}

모든 $v\in V$ † $v\in V$ { $displaystyle$ v $\in$ V $v\in V$ ^[7] 선형 등각선은 위와 같은 의미의 거리 유지 맵입니다.그것들은 만약 그들이 초강경이라면, 그리고 단지 그것만이 지구적인 등각성이다.

내부 제품 공간에서 위의 정의는 다음과 같이 감소합니다.

(\displaystyle \displaystyle v,v\rangle =\displayle Av,Av\rangle }

모든 $v\in V$ $v\in V$ {\ $displaystyle$ v $\in$ V $v\in V$ 에 대해 A $A^{\dagger }A=\operatorname {I} _{V}$ $A^{\dagger }A=\operatorname {I} _{V}$ V {\ $displaystyle$ A $^{\dagger}A$ = \ $operatorname {I}$ _ ${V$ 와 같습니다.이것은 또한 등각성이 내부 산물을 보존한다는 것을 암시한다.

(\displaystyle \displaystyle Au, Av\rangle =\displayle u,A^{\dagger}Av\rangle =\displaystyle u,v\rangle )

그러나 선형 등각선은 V $V=W$ {\ $displaystyle$ V $=W}$ 및 $V=W$ $AA^{\dagger }=\operatorname {I} _{V}$ $AA^{\dagger }=\operatorname {I} _{V}$ $=$ $AA^{\dagger }=\operatorname {I} _{V}$ $AA^{\dagger }=\operatorname {I} _{V}$ {\ $displaystyle$ AA $^{\dagger$ }=\ $operatorname {I}$ _ ${V$ 가 $V=W$ 로 요구되므로 항상 단일 연산자는 아닙니다.

마주르-울람 정리에 따르면 R 위의 노름 벡터 공간의 등각은 아핀이다.

예

C에서ⁿ 그 자체까지의 선형 지도는 행렬이 ^[8]^[9]^[10]^[11]단일인 경우에만 등각도이다.

다지관

다지관의 등각도는 다지관을 그 자체로 매핑하거나 점 사이의 거리 개념을 보존하는 다른 다지관에 매핑하는 것입니다.등각계의 정의는 다양체에 대한 메트릭의 개념을 필요로 한다. (양-확정) 메트릭을 가진 다양체는 리만 다양체이고, 무한 메트릭을 가진 다양체는 의사 리만 다양체이다.그러므로 등각선은 리만 기하학에서 연구된다.

하나의 (의사) 리만 다양체에서 다른 다양체로 가는 국소 등각도는 두 번째 다양체의 메트릭 텐서를 첫 번째 다양체의 메트릭 텐서로 끌어당기는 지도이다.이러한 맵이 미분동형일 때, 그러한 맵은 등각도(또는 등각등형도)라고 불리며, 리만 다양체의 범주 Rm에서 등각도(samorphism)의 개념을 제공한다.

정의.

$R=(M,g)$ $R=(M,g)$ ( $R=(M,g)$ , $R=(M,g)$ g $R=(M,g)$ ) { $displaystyle$ R = ( $R=(M,g)$ $R'=(M',g')$ , $g$ ) $R'=(M',g')$ R $R'=(M',g')$ ( M $R'=(M',g')$ , $R'=(M',g')$ ) { $display style$ R' = ( $M$ ' , g ' ) be $R'=(M',g')$ 、 2 ( 의사- ) 리만 매니폴드로 $f:R\to R'$ f : $f:R\to R'$ $f:R\to R'$ $f:R\to R'$ $′$ \ $display style$ f $f:R\to R'$ : $R\to$ R $'$ 은 $f:R\to R'$ 미분 동형이다. $\displaystyle$ f는 $f$ 등각도(또는 등각도 등각도)라고 불립니다.

g=f^{*}g',,

$f^{*}g'$ 서 f $f^{*}g'$ g $f^{*}g'$ display { $displaystyle$ f^ { * } $g'$ 는 $f^{{*}}g'$ f{ $displaystyle$ f $f$ 에 의한 랭크(0, 2) $메트릭텐서$ g ${\$ { $display$ g $'$ 의 $g'$ 풀백을 나타냅니다.따라서 $f_{*}$ f ${\$ { $display$ $style$ $f_$ { * $f_{*}$ } } display display display、 $MYlstyl$ $M$ display displaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplay displaydisplaydisplaydisplaydisplay displaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplay2 displaydisplay2 displaydisplaydisplay2 display2개의 벡터 $필드$ v $, w displaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplay$ $e$ M $}$ (즉, $\mathrm {T} M$ $\mathrm {T} M$ T $\mathrm {T} M$ M의 섹션 \ $displaystyle \mathrm {T}$ M),

\displaystyle g(v,w)=g'\left(f_{*}v,f_{*}w\right).\,}

f{ $displaystyle$ f $}$ 가 $f$ $g=f^{*}g'$ $g=f^{*}g'$ f $g=f^{*}g'$ g $g=f^{*}g'$ {\ { $displaystyle$ g $=f^{*}g$ 와 $g=f^{*}g'$ 국소 미분 동형일 $경우$ $f$ {\ $displaystyle$ f $}$ 를 $f$ 국소 등각도라고 한다.

특성.

등각선 집합은 일반적으로 등각선 그룹을 형성한다.그룹이 연속 그룹일 경우 그룹의 최소 생성자는 Killing 벡터 필드입니다.

마이어스-스틴로드 정리는 연결된 두 리만 다양체 사이의 모든 등각도가 매끄럽다(미분 가능).이 정리의 두 번째 형태는 리만 다양체의 등각군이 리 군이라는 것이다.

모든 점에서 정의된 등각계를 갖는 리만 다양체를 대칭 공간이라고 합니다.

일반화

양의 실수 θ가 주어졌을 때, θ-등각계 또는 거의 등각선(하우스도르프 근사치라고도 함)은 다음과 같은 메트릭 공간 사이의 $f\colon X\to Y$ f : X $→$ $f\colon X\to Y$ {\ $style$ f $\display$ X $\to$ Y $}$ 이다 $f\colon X\to Y$ .
1. $x,x'\in X$ $x,x'\in X$ X { $displaystyle$ x , $x$ ' \ $in$ X }에는 $x,x'\in X$ $|d_{Y}(f(x),f(x'))-d_{X}(x,x')|<\varepsilon$ ( $|d_{Y}(f(x),f(x'))-d_{X}(x,x')|<\varepsilon$ ( $|d_{Y}(f(x),f(x'))-d_{X}(x,x')|<\varepsilon$ ) , $|d_{Y}(f(x),f(x'))-d_{X}(x,x')|<\varepsilon$ ( $|d_{Y}(f(x),f(x'))-d_{X}(x,x')|<\varepsilon$ ) $|d_{Y}(f(x),f(x'))-d_{X}(x,x')|<\varepsilon$ - $|d_{Y}(f(x),f(x'))-d_{X}(x,x')|<\varepsilon$ $|d_{Y}(f(x),f(x'))-d_{X}(x,x')|<\varepsilon$ ( $|d_{Y}(f(x),f(x'))-d_{X}(x,x')|<\varepsilon$ x ) < ${\$ {\ {\ （ \ $displaystyle$ d $_$ { $Y$ } ( $f$ , $f$ , f ( $x$ ) - f ( x ) - f _ f ( x ' ) - { x' ) - { x )\ $valepsilon$ $|d_{Y}(f(x),f(x'))-d_{X}(x,x')|<\varepsilon$ 가 $있습니다$ .
2. 임의의 $y\in Y$ $(\displaystyle$ y $\in$ Y $)$ 에 $y\in Y$ 대해 점 $d_{Y}(y,f(x))<\varepsilon$ (\ $displaystyle$ x $\in$ X $)$ 는 $x\in X$ d Y $d_{Y}(y,f(x))<\varepsilon$ ( $)<\varepsilon$ }(\ $displaystyle d_{Y}(y,f(x)<\$ varepsilon $d_{Y}(y,f(x))<\varepsilon$ $x\in X$ 가 있습니다.

즉, θ-등각은 θ 이내까지의 거리를 유지하며 도메인의 요소 이미지에서 θ 이상 떨어진 코도메인의 요소를 남기지 않는다.γ-등각은 연속적인 것으로 간주되지 않습니다.

제한된 등각 특성은 희박한 벡터에 대한 거의 등각 행렬의 특성을 나타낸다.
준등축은 또 다른 유용한 일반화이다.
추상 단수 C*-대수의 요소를 등각도로 정의할 수도 있다.
$a\in {\mathfrak {A}}$ $a^{*}\cdot a=1$ $a\in {\mathfrak {A}}$ A $a\in {\mathfrak {A}}$ \ $displaystyle$ a \ $in$ \ $mathfrak$ { $A$ } $a^{*}\cdot a=1$ a $a^{*}\cdot a=1$ 1 \ $displaystyle$ a^ { * $}$ \ $cdot$ a = $a^{*}\cdot a=1$ 1 인 $a^{*}\cdot a=1$ 에만 등각계입니다.

서문에서 언급한 바와 같이 왼쪽 역이 오른쪽 역이라는 것이 일반적으로 없기 때문에 이것이 반드시 단일 요소는 아니라는 점에 유의하십시오.

유사유클리드 공간에서 등각계라는 용어는 크기를 보존하는 선형 분사를 의미한다.자세한 내용은 2차 공간을 참조하십시오.

「」를 참조해 주세요.

레퍼런스

^ ^a ^b 콕서터 1969, 29페이지
"변환이라는 단어는 평면(또는 공간)의 모든 점 중 1대 $P\to P'$ $P\to P'$ P $P\to P'$ P ${\$ \ $displaystyle$ P\ $to$ P $'$ 의 $P\to P'$ 특별한 의미, 즉 각 쌍이 제1의 멤버 P와 제2의 $멤버$ P를 갖는다는 것을 이해하고 각 점의 쌍을 연관짓는 규칙에서 사용하는 것이 편리하다는 것을 알게 될 것입니다."한 쌍의 첫 번째 멤버로 발생하고 한 쌍의 두 번째 멤버로 발생합니다.
특히 등각도(또는 "일치 변환" 또는 "일치 변환")는 길이를 보존하는 변환입니다.."
^ 콕서터 1969, 페이지 46
3.51 직접 등각은 변환 또는 회전입니다.반대되는 등각은 반사 또는 활공 반사이다.
^ 콕서터 1969, 39페이지
3.11 어떤 두 개의 합동 삼각형이든 독특한 등각법으로 연관되어 있다.
^ Beckman, F. S.; Quarles, D. A., Jr. (1953). "On isometries of Euclidean spaces" (PDF). Proceedings of the American Mathematical Society. 4 (5): 810–815. doi:10.2307/2032415. JSTOR 2032415. MR 0058193.
Let $T$ be a transformation (possibly many-valued) of $E^{n}$ ( $2\leq n<\infty$ ) into itself.
Let $d(p,q)$ be the distance between points $p$ and $q$ of $E^{n}$ , and let $Tp$ , $Tq$ be any images of $p$ and $q$ , respectively.
If there is a length $a$ > 0 such that $d(Tp,Tq)=a$ whenever $d(p,q)=a$ , then $T$ is a Euclidean transformation of $E^{n}$ onto itself.
^ ^a ^b Narici & Beckenstein 2011, 페이지 275-339.
^ Wilansky 2013, 페이지 21-26.
^ Thomsen, Jesper Funch (2017). Lineær algebra [Linear algebra] (in Danish). Århus: Department of Mathematics, Aarhus University. p. 125.
^ Roweis, S. T.; Saul, L. K. (2000). "Nonlinear Dimensionality Reduction by Locally Linear Embedding". Science. 290 (5500): 2323–2326. CiteSeerX 10.1.1.111.3313. doi:10.1126/science.290.5500.2323. PMID 11125150.
^ Saul, Lawrence K.; Roweis, Sam T. (2003). "Think globally, fit locally: Unsupervised learning of nonlinear manifolds". Journal of Machine Learning Research. 4 (June): 119–155. Quadratic optimisation of $\mathbf {M} =(I-W)^{\top }(I-W)$ (page 135) such that $\mathbf {M} \equiv YY^{\top }$
^ Zhang, Zhenyue; Zha, Hongyuan (2004). "Principal Manifolds and Nonlinear Dimension Reduction via Local Tangent Space Alignment". SIAM Journal on Scientific Computing. 26 (1): 313–338. CiteSeerX 10.1.1.211.9957. doi:10.1137/s1064827502419154.
^ Zhang, Zhenyue; Wang, Jing (2006). "MLLE: Modified Locally Linear Embedding Using Multiple Weights". Advances in Neural Information Processing Systems. 19. It can retrieve the ideal embedding if MLLE is applied on data points sampled from an isometric manifold.

참고 문헌

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Narici, Lawrence; Beckenstein, Edward (2011). Topological Vector Spaces. Pure and applied mathematics (Second ed.). Boca Raton, FL: CRC Press. ISBN 978-1584888666. OCLC 144216834.
Schaefer, Helmut H.; Wolff, Manfred P. (1999). Topological Vector Spaces. GTM. Vol. 8 (Second ed.). New York, NY: Springer New York Imprint Springer. ISBN 978-1-4612-7155-0. OCLC 840278135.
Trèves, François (2006) [1967]. Topological Vector Spaces, Distributions and Kernels. Mineola, N.Y.: Dover Publications. ISBN 978-0-486-45352-1. OCLC 853623322.
Wilansky, Albert (2013). Modern Methods in Topological Vector Spaces. Mineola, New York: Dover Publications, Inc. ISBN 978-0-486-49353-4. OCLC 849801114.
Coxeter, H. S. M. (1969). Introduction to Geometry, Second edition. Wiley. ISBN 9780471504580.
Lee, Jeffrey M. (2009). Manifolds and Differential Geometry. Providence, RI: American Mathematical Society. ISBN 978-0-8218-4815-9.

[CoxeterIsometryDef-1] 콕서터 1969, 29페이지
"변환이라는 단어는 평면(또는 공간)의 모든 점 중 1대 $P\to P'$ $P\to P'$ P $P\to P'$ P ${\$ \ $displaystyle$ P\ $to$ P $'$ 의 $P\to P'$ 특별한 의미, 즉 각 쌍이 제1의 멤버 P와 제2의 $멤버$ P를 갖는다는 것을 이해하고 각 점의 쌍을 연관짓는 규칙에서 사용하는 것이 편리하다는 것을 알게 될 것입니다."한 쌍의 첫 번째 멤버로 발생하고 한 쌍의 두 번째 멤버로 발생합니다.
특히 등각도(또는 "일치 변환" 또는 "일치 변환")는 길이를 보존하는 변환입니다.."

[2] 콕서터 1969, 페이지 46
3.51 직접 등각은 변환 또는 회전입니다.반대되는 등각은 반사 또는 활공 반사이다.

[3] 콕서터 1969, 39페이지
3.11 어떤 두 개의 합동 삼각형이든 독특한 등각법으로 연관되어 있다.

[4] Beckman, F. S.; Quarles, D. A., Jr. (1953). "On isometries of Euclidean spaces" (PDF). Proceedings of the American Mathematical Society. 4 (5): 810–815. doi:10.2307/2032415. JSTOR 2032415. MR 0058193.
Let $T$ be a transformation (possibly many-valued) of $E^{n}$ ( $2\leq n<\infty$ ) into itself.
Let $d(p,q)$ be the distance between points $p$ and $q$ of $E^{n}$ , and let $Tp$ , $Tq$ be any images of $p$ and $q$ , respectively.
If there is a length $a$ > 0 such that $d(Tp,Tq)=a$ whenever $d(p,q)=a$ , then $T$ is a Euclidean transformation of $E^{n}$ onto itself.

[FOOTNOTENariciBeckenstein2011275–339-5] Narici & Beckenstein 2011, 페이지 275-339.

[FOOTNOTEWilansky201321–26-6] Wilansky 2013, 페이지 21-26.

[Thomsen_2017_p125-7] Thomsen, Jesper Funch (2017). Lineær algebra [Linear algebra] (in Danish). Århus: Department of Mathematics, Aarhus University. p. 125.

[8] Roweis, S. T.; Saul, L. K. (2000). "Nonlinear Dimensionality Reduction by Locally Linear Embedding". Science. 290 (5500): 2323–2326. CiteSeerX 10.1.1.111.3313. doi:10.1126/science.290.5500.2323. PMID 11125150.

[9] Saul, Lawrence K.; Roweis, Sam T. (2003). "Think globally, fit locally: Unsupervised learning of nonlinear manifolds". Journal of Machine Learning Research. 4 (June): 119–155. Quadratic optimisation of $\mathbf {M} =(I-W)^{\top }(I-W)$ (page 135) such that $\mathbf {M} \equiv YY^{\top }$

[10] Zhang, Zhenyue; Zha, Hongyuan (2004). "Principal Manifolds and Nonlinear Dimension Reduction via Local Tangent Space Alignment". SIAM Journal on Scientific Computing. 26 (1): 313–338. CiteSeerX 10.1.1.211.9957. doi:10.1137/s1064827502419154.

[11] Zhang, Zhenyue; Wang, Jing (2006). "MLLE: Modified Locally Linear Embedding Using Multiple Weights". Advances in Neural Information Processing Systems. 19. It can retrieve the ideal embedding if MLLE is applied on data points sampled from an isometric manifold.

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목차

서론

등각정의

표준 공간 사이의 등각도

선형등각법

다지관

정의.

특성.

일반화

「」를 참조해 주세요.

레퍼런스

참고 문헌

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