면(지오메트리)

Face (geometry)

고체 기하학에서 얼굴은 고형 물체의 경계의 일부를 이루는 평평한 표면(평면 영역)이며,[1] 얼굴에만 의해 경계된 3차원 고형물은 다면체다.

다면체 및 고차원 다면체 기하학의 더 많은 기술적 처리에서, 용어는 보다 일반적인 다면체(어떤 치수의 다면체)의 어떤 차원의 요소를 의미하는데도 사용된다.[2]

폴리곤 면

기초 기하학에서 얼굴은 다면체의 경계에 있는 다각형이다[note 1].[2][3] 폴리곤 면의 다른 이름으로는 다면체와 유클리드 평면 타일이 있다.

예를 들어, 큐브를 묶은 6개의 사각형 중 어느 것도 큐브의 얼굴이다. 때때로 "얼굴"은 4-폴리토프의 2차원적 특징을 가리키는 데 쓰이기도 한다. 이러한 의미로 4차원 입체 테세락트는 24개의 사각형 면을 가지고 있으며, 각각 8입방세포 중 2개를 공유하고 있다.

Schléfli 기호에 의한 정규 예제
다면체 별다면체 유클리드 타일링 쌍곡선 타일링 4칸짜리
{4,3} {5/2,5} {4,4} {4,5} {4,3,3}
Hexahedron.png
큐브에는 꼭지점당 3개의 정사각형 면이 있다. 		Small stellated dodecahedron.png
작은 구멍이 뚫린 도데카헤드론은 꼭지점당 5개의 오각형 얼굴을 가지고 있다. 		Tile 4,4.svg
유클리드 평면의 사각형 타일링은 꼭지점당 4개의 정사각형 면을 가지고 있다. 		H2-5-4-primal.svg
오더-5 사각형 타일링은 꼭지점당 5개의 평방면을 가지고 있다. 		Hypercube.svg
테세락트는 가장자리당 3개의 정사각형 면을 가지고 있다.

다면체의 다각면 수

모든 볼록 다면체의 표면은 오일러 특성을 가지고 있다.

여기서 V는 정점의 수, E는 가장자리의 수, F는 면의 수입니다. 이 방정식은 오일러의 다면체 공식으로 알려져 있다. 따라서 면의 수는 정점 수에 대한 가장자리 수의 초과보다 2가 더 많다. 예를 들어, 큐브에는 12개의 가장자리와 8개의 정점이 있으며, 따라서 6개의 면이 있다.

k-face

고차원 기하학에서 폴리토프의 얼굴은 모든 차원의 특징이다.[2][4][5] 치수 k의 얼굴을 k면이라고 한다. 예를 들어, 일반 다면체의 다각형 면은 2-faces이다. 집합 이론에서, 폴리토프의 얼굴 집합은 폴리토프 그 자체와 빈 집합을 포함하는데, 여기서 빈 집합은 -1의 "차원"이 주어진 일관성을 위한 것이다. 모든 n-폴리토프(n차원 폴리토프)의 경우 -1 ≤ k ≤ n.

예를 들어, 큐브의 면은 큐브 자체(3-면), 큐브(사각형) 면(2-페이스), (선형) 에지(1-페이스), (점) 정점(0-페이스) 및 빈 세트로 구성된다. 다음은 4차원 폴리토프의 얼굴이다.

다면 결합술과 같은 수학의 일부 영역에서, 폴리토프는 정의적으로 볼록하다. 형식적으로, 폴리토프 P의 면은 P의 내부로부터 경계가 분리되는 닫힌 반공간과 P의 교차점이다.[6] 이 정의에서 폴리토프의 면 세트에는 폴리토프 자체와 빈 세트가 포함된다.[4][5]

추상 폴리토페스 이론과 별 폴리토페스 이론과 같은 수학의 다른 영역에서는 볼록한 부분의 요건이 완화된다. 추상 이론은 여전히 일련의 얼굴들이 폴리토프 그 자체와 빈 세트를 포함하도록 요구한다.

셀 또는 3면

셀은 4차원 폴리토프 또는 3차원 테셀레이션 이상의 다면체 요소(3면)이다. 세포는 4-폴리탑과 3-허니컴의 면이다.

예:

Schléfli 기호에 의한 정규 예제
4각형 테두리 3-허니콤
{4,3,3} {5,3,3} {4,3,4} {5,3,4}
Hypercube.svg
큐빅은 가장자리당 3입방세포(3-faces)가 있다. 		Schlegel wireframe 120-cell.png
120세포는 가장자리당 3개의 도데카메랄세포(3-faces)를 가지고 있다. 		Partial cubic honeycomb.png
큐빅 벌집합은 유클리드 3공간을 정육면체로 채우며, 가장자리당 4개의 셀(3-faces)이 있다. 		Hyperbolic orthogonal dodecahedral honeycomb.png
order-4 도데카헤드럴 벌집모양은 가장자리당 4개씩 3차원 쌍곡선 공간을 채운다.

면 또는 (n - 1)-면

고차원 기하학에서 n-폴리토프의 면(하이퍼페이서라고도 함)[7]은 (n-1)-페이스(폴리토프 자체보다 1이 적은 차원)이다.[8] 폴리토프는 그 면에 의해 경계를 이룬다.

예를 들면 다음과 같다.

능선 또는 (n - 2)면

관련 용어에서, n-폴리토프의 (n - 2)-페이스를 능선(하부판)이라고도 한다.[9] 능선은 폴리토프나 벌집모양의 정확히 두 면 사이의 경계로 보인다.

예를 들면 다음과 같다.

피크 또는 (n - 3) 면

n-폴리토프의 (n - 3)-페이스를 피크라고 부른다. 봉우리에는 일반 폴리토프나 벌집형에서 면과 능선의 회전 축이 있다.

예를 들면 다음과 같다.

참고 항목

메모들

  1. ^ 얼굴이 아닌 다른 일부 폴리곤은 폴리헤드라와 틸팅에도 중요하다. 여기에는 페트리 폴리곤, 꼭지점 수치 및 면(다면체의 동일한 면에 놓여 있지 않은 동일선 정점에 의해 형성된 평평한 폴리곤)이 포함된다.

참조

  1. ^ Merriam-Webster's Collegiate Dictionary (Eleventh ed.). Springfield, MA: Merriam-Webster. 2004.
  2. ^ a b c Matoušek, Jiří (2002), Lectures in Discrete Geometry, Graduate Texts in Mathematics, vol. 212, Springer, 5.3 Faces of a Convex Polytope, p. 86, ISBN 9780387953748.
  3. ^ Cromwell, Peter R. (1999), Polyhedra, Cambridge University Press, p. 13, ISBN 9780521664059.
  4. ^ a b Grünbaum, Branko (2003), Convex Polytopes, Graduate Texts in Mathematics, vol. 221 (2nd ed.), Springer, p. 17.
  5. ^ a b Ziegler, Günter M. (1995), Lectures on Polytopes, Graduate Texts in Mathematics, vol. 152, Springer, Definition 2.1, p. 51, ISBN 9780387943657.
  6. ^ 마투셰크(2002)와 지글러(1995)는 약간 다르지만 동등한 정의를 사용하며, 이는 P의 내부 또는 전체 공간으로부터 오는 하이퍼플레인 이음매와 P를 교차시키는 양이다.
  7. ^ N.W. 존슨: 기하학과 변환, (2018) ISBN 978-1-107-10340-5 제11장: 유한대칭군, 11.1 폴리토페스와 허니컴, 페이지.225
  8. ^ 마투셰크(2002년), 페이지 87, 그룬바움(2003년), 페이지 27, 지글러(1995년), 페이지 17.
  9. ^ 마투셰크(2002년), 페이지 87, 지글러(1995년), 페이지 71.

외부 링크