슈뢰딩거 방정식

에 대한 일련의 기사의 일부
양자역학
${\displaystyle i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}} \psi(t)\rangle ={\hat {H} \psi(t)\rangle }$ 슈뢰딩거 방정식
서론 용어집 역사
배경 고전역학 구양자론 브라켓 표기법 해밀토니안 방해다
펀더멘털 상보성 디코히어런스 얽힘 에너지 준위 측정. 비국소성 양자수 주 중첩 대칭성 터널링 불확실성 파동함수 쓰러짐
실험 벨의 부등식 다비송-독일 더블슬릿 Elitzur–Vaidman 프랭크-헤르츠 레게트 – 가르기 등식 마하젠더 포퍼 양자지우개 지연선택 슈뢰딩거의 고양이 슈테른-게를라흐 휠러의 지연 선택
제형 개요 하이젠베르크 상호작용 매트릭스 위상공간 슈뢰딩거 이력 합계(경로 적분)
방정식 디랙 클라인고든 파울리 뤼드베르크 슈뢰딩거
해석 베이지안 일관 이력 코펜하겐 드브로이-봄 앙상블 숨은 변수 현지의 초결정론 다세계 대물붕괴 양자논리학 관계형 거래적 폰 노이만-비그너
고급주제 상대론적 양자역학 양자장이론 양자정보과학 양자전산 양자 혼돈 EPR 역설 밀도행렬 산란설 양자통계역학 양자기계학습
사이언티스트 아하로노프 벨 베테 블래킷 블로흐 봄 보어 태어난 보스 드브로이 콤프턴 디랙 데이비슨 데비 에렌페스트 아인슈타인 에버렛 포크 페르미 파인만 글라우버 구츠윌러 하이젠베르크 힐베르트 조던 크라머르스 파울리 새끼 양 란다우 라우에 모즐리 밀리칸 온네스 플랑크 라비 라만 뤼드베르크 슈뢰딩거 시몬스 소머펠트 폰 노이만 웨일 빈 위그너 지만 자일링거
v t

현대물리학
${\displaystyle {\hat {H}} \psi _{n}(t)\rangle =i\hbar {\frac {\partial }{\partial t} \psi _{n}(t)\rangle }$ ${\displaystyle G_{\mu \nu }+\Lambda g_{\mu \nu }={\kappa }T_{\mu \nu}}$ 슈뢰딩거와 아인슈타인 장방정식
창업자 맥스 플랑크 알베르트 아인슈타인 닐스 보어 맥스 본 베르너 하이젠베르크 에르빈 슈뢰딩거 파스쿠알 요르단 볼프강 파울리 폴 디랙 어니스트 러더퍼드 루이 드 브로이 Satyendra Nath Bose
컨셉트 위상 공간 시간을 에너지 문제 일하다. 임의성 정보 엔트로피 빛 입자 파도.
나뭇가지 응용의 실험적 이론적 수학적 물리학 철학 양자역학 양자장이론 양자정보 양자계산 전자기학 약한 상호작용 전기약 상호작용 강한 상호작용 원자 입자 핵 원자, 분자, 광학 응축물질 통계학적 복잡한 시스템 비선형 동역학 생물물리학 신경물리학 플라스마 물리학 특수 상대성 이론 일반 상대성 이론 천체물리학 우주론 중력 이론 양자중력 만물론
사이언티스트 위튼 뢴트겐 베크렐 로렌츠 플랑크 퀴리 빈 Skłodowska-Curie 소머펠트 러더퍼드 소디 온네스 아인슈타인 윌체크 태어난 웨일 보어 크라머르스 슈뢰딩거 드브로이 라우에 보스 콤프턴 파울리 월튼 페르미 판데르발스 하이젠베르크 다이슨 지만 모즐리 힐베르트 괴델 조던 디랙 위그너 호킹 P. W. 앤더슨 레마 î트레 톰슨 푸앵카레 휠러 펜로즈 밀리칸 남부 폰 노이만 힉스 한 파인만 양 이씨 레너드 살람 '호프' 벨트만 벨 겔만 J. J. 톰슨 라만 브래그 바딘 쇼클리 채드윅 로렌스 자일링거 고즈미트 울렌벡
분류 현대물리학
v t

슈뢰딩거 방정식은 양자역학계의 파동함수를 지배하는 선형 편미분 방정식입니다.^{[1]: 1–2} 그것의 발견은 양자역학 발전의 중요한 이정표였습니다. 에르빈 슈뢰딩거는 1925년 방정식을 가정하고 1926년에 발표하여 1933년 노벨 물리학상을 수상한 업적의 기초를 만든 에르빈 슈뢰딩거의 이름을 따서 명명되었습니다.^[2][3]

개념적으로 슈뢰딩거 방정식은 고전역학에서 뉴턴 제2법칙의 양자적 대응물입니다. 뉴턴의 제2법칙은 알려진 초기 조건들의 집합이 주어졌을 때, 주어진 물리계가 시간에 따라 어떤 경로를 택할 것인지에 대한 수학적 예측을 합니다. 슈뢰딩거 방정식은 고립된 물리적 시스템의 양자역학적 특성인 파동 함수의 시간에 따른 진화를 제공합니다. 이 방정식은 모든 물질이 연관된 물질파를 가지고 있다는 루이 드 브로이의 공식을 기반으로 슈뢰딩거에 의해 가정되었습니다. 방정식은 실험적 관찰과 일치하는 원자의 결합 상태를 예측했습니다.^{[4]: II:268}

슈뢰딩거 방정식은 양자역학계를 연구하고 예측하는 유일한 방법은 아닙니다. 양자역학의 다른 공식으로는 베르너 하이젠베르크가 소개한 행렬역학과 리처드 파인만이 주로 개발한 경로 적분 공식이 있습니다. 이러한 접근법을 비교할 때 슈뢰딩거 방정식을 사용하는 것을 "파동역학"이라고 부르기도 합니다. 폴 디랙은 특수 상대성 이론과 양자역학을 하나의 공식으로 통합하여 상대론적 효과가 크지 않을 때 슈뢰딩거 방정식으로 단순화했습니다.

정의.

예선전

물리학이나 화학의 입문 과정에서는 일반적으로 슈뢰딩거 방정식을 기본 미적분학, 특히 공간과 시간에 관한 도함수의 개념과 표기법만을 알고 이해할 수 있는 방식으로 소개합니다. 이러한 용어로 진술을 인정하는 슈뢰딩거 방정식의 특별한 경우는 하나의 차원에서 하나의 비상대론적 입자에 대한 위치 공간 슈뢰딩거 방정식입니다.

여기서${\displaystyle }$ψ (x$,$ t${\displaystyle )}$ ${\displaystyle \Psi$ (x, t)}는 파동 함수로$,$ 각 $시점$ t ${\displaystyle$t}에서 각$$점 $x {\displaystyle$ x}에 복소수를 할당하는 함수입니다. 매개 $변수{\displaystyle }$ m$${\$displaystyle$ m$}$은 입자의 질량이고 V${\displaystyle }$(${\displaystyle x,}$ t${\displaystyle )}$ ${\displaystyle V(x, t)}$는 입자가 존재하는 환경을 나타내는 전위입니다.^{[5]: 74} 상수 $i$ ${\displaystyle i}$는 가상 단위이고,$$ℏ ${\$displaystyle \hbar}는 작용 단위(에너지에 시간을 곱한 값)를 갖는 축소된 플랑크 상수입니다.

이 단순한 경우를 넘어 폴 디랙,^[6] 데이비드 힐베르트,^[7] 존 폰 노이만이 개발한 양자역학의 수학적 공식,^[8] 그리고 헤르만 바일은 양자역학계의 상태를 (분리 가능한) 힐베르트$공간$ H {\$displaystyle {\mathcal$H}}에 속하는 벡터$$ψ ⟩ {\displaystyle \$psi \$rangle}라고 정의합니다. 이 벡터는 힐베르트 공간의 내부 곱, 즉, 아래에서 정규화되는 것으로 가정됩니다. 디랙 표기법에서는${\displaystyle }$⟨ ψ ψ ⟩ = ${\displaystyle 1}$ ${\$displaystyle \lang \psi \rangle = 1}을 준수합니다. 이 힐베르트 공간의 정확한 성질은 계에 따라 달라집니다. 예를 들어, 위치와 운동량을 설명하기 위해 힐베르트 공간은 복소 제곱 적분 함수 ${\displaystyle {L2\mathrm{}}^{}}$ (${\displaystyle C\mathbb{})}$ ${\displaystyle$ L$^{2}(\mathbb {C$^[10] 단일 양성자의 스핀을 위한 힐베르트 공간은 단순히 일반적인 내부 생성물과$$ 함께 2차원 복소 벡터 ${\displaystyle {\mathrm{}}^{}}$ ${\$의 공간입니다.^{[5]: 322}

관심 있는 물리량(위치, 운동량, 에너지, 스핀)은 힐베르트 공간에 작용하는 에르미트 선형 연산자인 "관측량"으로 표시됩니다. 파동 함수는 관측 가능한 것의 고유 벡터가 될 수 있는데, 이 경우를 고유 상태라고 하며, 관련 고유 값은 해당 고유 상태에서 관측 가능한 것의 값과 일치합니다. 더 일반적으로 양자 상태는 양자 중첩으로 알려진 고유 상태의 선형 조합입니다. 관측치가 측정되면 결과는 Born 규칙에 의해 주어진 확률과 함께 고유값 중 하나가 됩니다. 가장 단순한 경우 고유값$$λ ${\$displaystyle$$\lambda }이(가) 퇴화되지 않고 ${\displaystyle 확률}$은$$⟨ λ ψ ⟩ 2 {\$displaystyle$ \lambda \psi \rangle ^{2${\displaystyle \},}$ 여기서$$λ ⟩ {\$displaystyle \$lambda$$\rangle }은(는) 관련 고유 벡터입니다. 더 일반적으로 고유값은 축퇴되고 확률은$$⟨ ψ${\displaystyle }$P λ ψ ⟩ ${\$displaystyle \$langle \psi$ P_${\lambda}$ \$psi$\rangle }에 의해 주어집니다$.$ 여기서 P λ${\displaystyle$ P_{\lambda }}는 해당 고유 공간에 대한 프로젝터입니다.

운동량 고유 상태는 무한한 범위의 완전한 단색파일 것이고, 이것은 제곱 적분이 되지 않습니다. 마찬가지로 위치 고유 상태는 디랙 델타 분포일 것이고, 제곱 적분이 아니며 기술적으로는 함수가 전혀 아닙니다. 따라서 둘 다 입자의 힐베르트 공간에 속할 수 없습니다. 물리학자들은 때때로 힐베르트 공간에 그 공간 밖의 원소들을 포함하는 가상의 "기저"를 소개합니다. 이것들은 계산상의 편의를 위해 발명된 것이며 물리적 상태를 나타내는 것이 아닙니다.^{[11]: 100–105} 따라서 위에서 사용한 위치 공간 파동 함수${\displaystyle }$ψ${\displaystyle }$ψ (x$,$ t) ${\displaystyle \Psi$ (x, t)}는 물리적이지 않지만 $편리$한 "위치 고유 상태" x ⟩${\$displaystyle \Psi (t)\rangle }를 갖는 시간 의존적 상태 ${\displaystyle \mathrm{벡터}}$⟩ ψ (t)의 내적으로 기록할 수 있습니다.

시간의존방정식

슈뢰딩거 방정식의 형태는 물리적 상황에 따라 달라집니다. 가장 일반적인 형태는 시간에 따라 진화하는 시스템을 설명하는 시간 의존적 슈뢰딩거 방정식입니다.^{[12]: 143}

where ${\displaystyle t}$ is time, ${\displaystyle \vert \Psi (t)\rangle }$ is the state vector of the quantum system (${\displaystyle \Psi }$ being the Greek letter psi), and ${\displaystyle {\hat {H}}}$ is an observable, the Hamiltonian operator.

"슈뢰딩거 방정식"이라는 용어는 일반적인 방정식 또는 특정한 비상대론적 버전을 모두 지칭할 수 있습니다. 일반적인 방정식은 해밀턴에 대한 다양한 표현을 연결함으로써 디랙 방정식에서 양자장 이론에 이르기까지 모든 것에 사용되는 양자역학 전반에 걸쳐 실제로 매우 일반적입니다. 특정한 비상대론적 버전은 많은 상황에서 정확한 결과를 산출하는 근사치이지만, 어느 정도만 가능합니다(상대론적 양자역학 및 상대론적 양자장 이론 참조).

슈뢰딩거 방정식을 적용하려면 계를 구성하는 입자의 운동 에너지와 퍼텐셜 에너지를 설명하는 계에 대한 해밀토니안을 적어 슈뢰딩거 방정식에 삽입합니다. 결과적인 편미분 방정식은 계에 대한 정보를 포함하는 파동 함수에 대해 해결됩니다. 실제로 각 지점에서 파동함수의 절대값의 제곱을 취하여 확률밀도함수를 정의합니다.^{[5]: 78} 예를 들어, 위와 같이 위치 공간${\displaystyle }$ψ$($x, t) ${\displaystyle$\Psi(x, t$)}$의 파동 함수가 주어졌을 때, 우리는 다음을 갖습니다.

시간독립방정식

위에서 설명한 시간 의존적 슈뢰딩거 방정식은 파동 함수가 정지 상태라고 불리는 정상파를 형성할 수 있다고 예측합니다. 이러한 상태는 개별 연구가 나중에 모든 상태에 대한 시간 의존적 슈뢰딩거 방정식을 푸는 작업을 단순화하기 때문에 특히 중요합니다. 정지 상태는 시간에 독립적인 슈뢰딩거 방정식인 슈뢰딩거 방정식의 더 간단한 형태로도 설명될 수 있습니다.

$여기$서 E ${\displaystyle$ E$}$는 시스템의 에너지입니다.^{[5]: 134} 이것은 해밀턴 자체가 시간에 명시적으로 의존하지 않을 때만 사용됩니다. 그러나 이 경우에도 총 파동 함수는 아래 선형성 섹션에서 설명한 대로 시간에 의존합니다. 선형대수학 언어에서 이 방정식은 고유값 방정식입니다. 따라서 파동함수는 대응하는 고유값 $E{\displaystyle }$ ${\displaystyle E}$를 갖는 해밀턴 연산자의 고유함수입니다$.$

특성.

선형성

슈뢰딩거 방정식은 선형 미분 방정식으로, 두 상태 벡터$$ψ$1이${\$displaystyle$ \${$1}\rangle } $및$ψ$$2 ⟩이 {\displaystyle \psi_{2}\rangle }인 경우, 임의의 선형 조합도 마찬가지임을 의미합니다.

두 상태 벡터 중에서 a와 b는 임의의 복소수입니다.^{[13]: 25} 또한, 총합은 임의의 수의 상태 벡터에 대해 확장될 수 있습니다. 이 속성은 양자 상태의 중첩이 슈뢰딩거 방정식의 해가 될 수 있도록 합니다. 더 일반적으로, 슈뢰딩거 방정식에 대한 일반적인 해는 상태에 대한 가중합을 취함으로써 찾을 수 있다고 주장합니다. 종종 사용되는 선택은 에너지 고유 상태의 기초이며, 이는 시간에 독립적인 슈뢰딩거 방정식의 해입니다. 이 기준에서 시간 의존적 상태 벡터 ψ$$⟩${\displaystyle$ \Psi (t)\rangle }를 선형 조합으로 쓸 수 있습니다. where ${\displaystyle A_{n}}$ are complex numbers and the vectors ${\displaystyle \psi _{E_{n}}\rangle }$ are solutions of the time-independent equation ${\displaystyle {\hat {H}} \psi _{E_{n}}\rangle =E_{n} \psi _{E_{n}}\rangle }$.

통일성

해밀토니안 $H{\displaystyle \hat{}}${\$displaystyle {\hat$ {H$}}$ 상수를$$ 유지하면, 슈뢰딩거 방정식은 해를^[12] 갖습니다.

연산자 $U$ ${\displaystyle \stackrel{}{^}}$(${\displaystyle t)}$ = ${\displaystyle e^{}}$- i$$H ^ t / ℏ {\displaystyle {\hat {U}}(t) = e^{-i{\hat {H}t/\hbar }}는 시간 evolution 연산자로 알려져 있으며, 이는 힐베르트 공간의 벡터 사이에서 내적을 보존하는 유니터리입니다. 통일성은 슈뢰딩거 방정식 하에서 시간 진화의 일반적인 특징입니다. 초기 상태가 ψ$$⟩${\displaystyle \$Psi (0)\rangle }인 경우, 이후 시간$t${\displaystyle t}의 상태는 다음에 의해 제공됩니다. 어떤 유니터리 $연산자{\displaystyle \stackrel{}{}}$ U${\displaystyle \stackrel{}{^}}$(${\displaystyle t)}${\$displaystyle {\hat {U}}(t)}$에 대하여$,$ $U{\displaystyle \hat{}}$ (${\displaystyle t)}${\$displaystyle {\hat {U}}(t)}$가 $t{\displaystyle }${\$displaystyle t}$에 의해 매개변수화된 유니터리 연산자의 연속집합이라고 가정하자$.$ 일반성을 잃지 않고,^[14] ${\displaystyle \mathrm{매개}}$ 변수화는 U${\displaystyle ^}$(0) {\displaystyle ${\hat {U}}(0)}$가 ID 연산자이고 $U{\displaystyle \stackrel{}{^}}$ ${\displaystyle (t^{}}$/ N${\displaystyle {}^{}}$) N = U^ (t) {\displaystyle {U}(t/N)^{N} = {\hat {U}(t)}(t)} 중 임의의 N > 0 {\displaystyle N > 0에 대해 선택할 수 있습니다. $그러면{\displaystyle \stackrel{}{}}$ U${\displaystyle \stackrel{}{^}}$(${\displaystyle t)}$ ${\displaystyle {\hat {U}}(t)}$은 다음과$$ 같은 방식으로$매개{\displaystyle }$ $변수$ t {\$displaystyle$ t$}$에 의존합니다$$. 어떤 자기 인접 $연산자{\displaystyle \stackrel{}{}}$ G${\displaystyle \stackrel{}{^}}$ ${\$에 대하여 $U{\displaystyle \hat{}}$ ${\displaystyle (t)}$ ${\displaystyle {\hat {U}}(t)}$족의 생성자라고 합니다$.$ 해밀토니안은 (자연 단위로 1로 설정되는 플랑크 상수의 계수까지) 그러한 생성자입니다. $생성기$가 에르미트산인지 확인하려면 U^${\displaystyle \stackrel{}{}}$(δ${\displaystyle \stackrel{}{}}$t${\displaystyle )}$ ≈ U^ (${\displaystyle 0}$) - $iG$ ^$$δ${\displaystyle${\hat ${U}}(\delta)\proxy${\$hat$ {$U$0)-i{\hat {G}\delta}를 사용하면 다음과 같습니다. $따라서{\displaystyle \stackrel{}{}}$ U${\displaystyle \stackrel{}{^}}$(${\displaystyle t)}$ ${\displaystyle {\hat {U}}(t)}$은 첫 번째 순서로 그 도함수가 에르미트인 경우에만 단일입니다$$.^[15]

근거변경

슈뢰딩거 방정식은 종종 위치 함수로 다양한 양을 사용하여 제시되지만 벡터-연산자 방정식으로서 힐베르트 공간의 임의의 완전한 케트 기저에서 유효한 표현을 갖습니다. 위에서 언급한 바와 같이 물리적 힐베르트 공간 밖에 놓여 있는 "베이스"도 계산적인 목적으로 사용됩니다. 이는 비상대론적 스핀 없는 입자에 대한 위치-공간 및 운동량-공간 슈뢰딩거 방정식으로 설명됩니다.^{[11]: 182} 이러한 입자에 대한 힐베르트 공간은 3차원 유클리드 공간의 복소 제곱 적분 함수의 공간이며, 해밀턴은 운동량 연산자에서 2차인 운동 에너지 항과 퍼텐셜 에너지 항의 합입니다.

3차원 위치 벡터에 대해$$ $r{\displaystyle \mathbf{}}$ ${\$$$\$mathbf {r}$을(를) 그리고 3차원$$ $운동량{\displaystyle \mathbf{}}$벡터에 $대해$ p {\$displaystyle$ \mathbf ${p}$을(를) 쓰면 위치-공간 슈뢰딩거 방정식은 운동량-공간 대응물에는 파동함수와 퍼텐셜의 푸리에 변환이 포함됩니다. ψ${\displaystyle (}$r$,$ $t)$ ${\displaystyle \Psi$(\$mathbf$ {r$},$ t)} 및 ψ ~ (p, t) {\displaystyle {\Psi }}(\mathbf {p}, t)} 함수는 ψ(t) ⟩ {\displaystyle \Psi(t)\rangle }에서 파생되었습니다. 여기서 $r$⟩ ${\displaystyle \mathbf$ {r} \rangle } 및 p ⟩ {\displaystyle \mathbf {p} \rangle }은 힐베르트 공간 자체에 속하지 않고, 그 공간의 모든 원소와 함께 잘 정의된 내적을 가진다.

3차원에서 1차원으로 제한될 때, 위치 공간 방정식은 위에서 주어진 슈뢰딩거 방정식의 첫 번째 형태일 뿐입니다. 양자역학에서 위치와 운동량 사이의 관계는 단일 차원에서 이해될 수 있습니다. 표준 양자화에서 고전 변수 $x{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ x$}$ $및{\displaystyle }$ p$$ ${\displaystyle$ p$}$는 표준 절단 관계를 만족하는$$ 자기 인접 $연산자{\displaystyle \stackrel{}{}}$ x ${\displaystyle \stackrel{}{^}}$ ${\$ 및$$ $p{\displaystyle \hat{}}$ ${\$로 승격됩니다$$.

이것은^{[11]: 190} 다음과 같은 것을 의미합니다. 따라서 위치 공간 표현에서 운동량 연산자 $p{\displaystyle \stackrel{}{^}}$ ${\displaystyle {\hat {p}}$의 작용은$$- $i$ℏ d x {\$textstyle -i\hbar {\frac${d$\}\{$dx}}입니다. $따라서$ p${\displaystyle {\stackrel{}{^}}^{}}$ ${\displaystyle 2^{}}$ ${\displaystyle {\hat {p}}^{2}}$는 2차 도함수가 되고, 3차원에서 2차 $도함수$는 ${\displaystyle {라플라시안}^{}}$ ∇ 2 {\displaystyle \n이 됩니다.$블라 ^{2$

또한 정준 정류 관계는 위치와 운동량 연산자가 서로 푸리에 켤레임을 의미합니다. 따라서 원래 위치 의존성 측면에서 정의된 함수는 푸리에 변환을 사용하여 운동량 함수로 변환할 수 있습니다. 고체 물리학에서 슈뢰딩거 방정식은 종종 운동량 함수에 대해 쓰입니다. Bloch의 정리는 주기적인 결정 격자 전위가${\displaystyle }$ψ ~$$(p) ${\displaystyle {\tilde {\Psi$ }}($p{\displaystyle )\}}$와$$ψ ~ (p + K) ${\displaystyle {\tilde$ {\Psi }}(p + K)를 결합하는 것을 보장합니다. 이산 상호$격자$ $벡터 K$displaystyle K}에 대해서만. 이를 통해 브릴루인 구역의 각 점에서 운동량-공간 슈뢰딩거 방정식을 브릴루인 구역의 다른 점들과 독립적으로 푸는 것이 편리해집니다.

확률전류

슈뢰딩거 방정식은 국소 확률 보존과 일치합니다.^{[11]: 238} 또한 시간 진화 후에도 정규화된 파동 기능이 정규화된 상태를 유지하도록 보장합니다. 행렬역학에서 이것은 시간 진화 연산자가 단일 연산자라는 것을 의미합니다.^[16] 예를 들어, Klein Gordon 방정식과 대조적으로, 파동 함수의 재정의된 내부 산물은 시간에 독립적일 수 있지만, 파동 함수의 모듈러스 제곱의 총 부피 적분은 시간에 독립적일 필요가 없습니다.^[17]

비상대론적 양자역학에서 확률에 대한 연속 방정식은 다음과 같이 표현됩니다.

어디에 는 확률 전류 또는 확률 플럭스(단위 면적당 흐름)입니다.

만약 파동함수가$$ψ$($x, t) =$$ρ$($x, t)$exp$$$⁡(is S (x, t) ℏ), {\textstyle \psi({\bf {x}}, t)={\sqrt {\rho({\bf {x}, t)}},\exp \frac {iS({\bf {x}, t)}, {\hbar },\right}, 여기서 S(x, t) {\displaystyle S(\mathbf {x},$t)}$는 파동함수의 복잡한 위상을 나타내는 실수함수이며, 확률 플럭스는 다음과 같이 계산됩니다.

따라서 파동함수의 위상의 공간적 변화는 파동함수의 확률적 플럭스를 특징짓는다고 합니다. $비록$∇ $Sm {\textstyle${\$frac$ {\n}이지만$abla S}{m}}$항은$$ 속도의 역할을 하는 것으로 보이지만 위치와 속도의 동시 측정이 불확정성 원리를 위반하므로 한 지점의 속도를 나타내지 않습니다.^[16]

변수분리

해밀토니안이 시간의 명시적 함수가 아니라면, 슈뢰딩거의 방정식은 다음과 같습니다.

왼쪽의 연산자는 시간에만 의존하고 오른쪽의 연산자는 공간에만 의존합니다. 변수를 분리하여 방정식을 푸는 것은 공간적, 시간적 부분의^[18] 곱의 형태의 해를 찾는 것을 의미합니다. 여기서$$ψ(r) ${\displaystyle \$psi$(\$mathbf {r})}는${\displaystyle \mathrm{시스템}}$을${\displaystyle }$구성하는 입자의 모든 공간 좌표의 함수이고$,$ τ$(t) {\$displaystyle \tau(t)}는 시간의 함수입니다. 이 식을$$ψ ${\$displaystyle \Psi }에 대입하면$$τ(t) {\displaystyle \tau(t))가 위상 ${\displaystyle \mathrm{인자임}}$을${\displaystyle }$알 수 있습니다. 이러한 유형의 해는 Born 규칙을 통해 확률 밀도가 계산될 때 취소되는 위상 요인만 있으므로 정지형 해라고 합니다.^{[12]: 143ff}

전체 파동 함수의 공간 부분은 ^[19]다음과 같이 해결합니다.

여기서 $E{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ E$}$ 에너지가 위상 계수에 나타납니다$$.

이는 (시간에 독립적인 전위에서) 임의의 수의 입자로 일반화됩니다. 시간에 의존하는 방정식의 정상파 해는 다른 에너지의 확률 분포 대신에 일정한 에너지를 가진 상태입니다. 물리학에서는 이러한 정상파를 "정지 상태" 또는 "에너지 고유 상태"라고 부르고, 화학에서는 "원자 궤도" 또는 "분자 궤도"라고 부릅니다. 에너지 고유 상태의 중첩은 에너지 수준 사이의 상대적인 단계에 따라 특성이 바뀝니다. 에너지 고유 상태는 기본을 형성합니다. 모든 파동 함수는 이산 에너지 상태에 대한 합 또는 연속 에너지 상태에 대한 적분으로, 또는 일반적으로 측정에 대한 적분으로 기록될 수 있습니다. 이것은 수학에서 스펙트럼 정리이며, 유한 차원 상태 공간에서는 에르미트 행렬의 고유 벡터의 완전성에 대한 진술일 뿐입니다.

변수 분리는 시간 독립적인 슈뢰딩거 방정식에도 유용한 방법이 될 수 있습니다. 예를 들어, 문제의 대칭성에 따라 데카르트 축이 분리될 수 있습니다.

또는 방사 좌표와 각도 좌표가 분리될 수 있습니다.

예

상자안의 입자

1차원 퍼텐셜 에너지 상자의 입자는 제한이 에너지 준위의 양자화로 이어지는 수학적으로 가장 간단한 예입니다. 상자는 특정 영역 내에서 위치 에너지가 0이고 외부에서 무한한 위치 에너지를 갖는 것으로 정의됩니다.^{[11]: 77–78} $x{\displaystyle }$ ${\displaystyle x}$ 방향의$$ 1차원 경우에 대해, 시간에 독립적인 슈뢰딩거 방정식은 다음과 같이 쓸 수 있습니다.

다음에 정의된 미분 연산자를 사용합니다.

이전 방정식은 고전적인 운동 에너지 아날로그를 연상시킵니다. 상태$$ψ ${\displaystyle$\psi}이면 에너지 E${\displaystyle$ E}가 입자의 운동 에너지와 일치합니다.

상자 안의 입자에 대한 슈뢰딩거 방정식의 일반적인 해는 다음과 같습니다.

아니면 오일러의 공식으로부터

상자의 무한 퍼텐셜 벽은$$ψ ${\$$displaystyle$\ psi }가 $0$이어야 $하는$ x = 0$${\$displaystyle x$=$0}$ $및{\displaystyle x}$ =$$L {\$displaystyle$ x= L$}$에서 C, D, {\displaystyle C,$D$,} 및 $k$ ${\displaystyle k}$ 값을 결정합니다. $따라서$ ${\displaystyle \mathrm{x}}$ = 0${\$displaystyle x = 0}에서,

그리고 $D$ = ${\$$displaystyle$ D = 0$}.$ x = L {\displaystyle x = L}에서, $C$ ${\displaystyle C}$이(가) 0이 될 수 없는 경우$$ψ${\$displaystyle \psi}이(가) norm 1이라는 가정과 충돌합니다. ${\displaystyle \mathrm{따라서}}$ $sin$⁡(kL) = 0 ${\$$displaystyle$ \sin(kL) = 0}이므로 kL {\displaystyle kL}은 π {\displaystyle \pi}의 정수배여야 합니다.

$k{\displaystyle }$ ${\displaystyle k}$에 대한 이 제약은 에너지 수준에 대한 제약을 의미하며$$, 이는 다음을 산출합니다.

유한 퍼텐셜 우물은 무한 퍼텐셜 우물 문제를 유한한 깊이를 갖는 퍼텐셜 우물로 일반화하는 것입니다. 유한 퍼텐셜 우물 문제는 파동 함수가 우물 벽에 0으로 고정되어 있지 않기 때문에 무한 입자 상자 문제보다 수학적으로 더 복잡합니다. 대신 파동함수는 우물 밖의 영역에서 0이 아니기 때문에 더 복잡한 수학적 경계 조건을 만족해야 합니다. 이와 관련된 또 다른 문제는 직사각형 전위 장벽의 문제로 플래시 메모리와 주사 터널링 현미경과 같은 현대 기술의 성능에 중요한 역할을 하는 양자 터널링 효과의 모델을 제공합니다.

고조파 발진기

이 상황에 대한 슈뢰딩거 방정식은

여기서 $x$ ${\displaystyle$ x$}$는 변위이고$$ω ${\displaystyle$\omega}는 각도 주파수입니다. 또한, 격자 내의 진동하는 원자, 분자,^[20] 원자 또는 이온을 ^[21]포함한 대략적으로 다양한 다른 시스템과 평형점 근처의 다른 전위를 설명하는 데 사용될 수 있습니다. 그것은 또한 양자역학에서 섭동 방법의 기초이기도 합니다.

위치 공간의 솔루션은 다음과 같습니다.

${\displaystyle \mathrm{여기}}$서 n ∈ {0${\displaystyle \mathrm{,}}$1${\displaystyle ,}$ 2$,$ …} ${\displaystyle n\in$\{0, 1, 2$,\backslash$ldots \}의 함수 $Hn {\displaystyle {H}$n}는 순서$$n ${\displaystyle$n}의 에르미트 다항식입니다. 솔루션 세트는 다음을 통해 생성될 수 있습니다.

고유값은

케이스 $n$ = ${\$displaystyle n = 0}을 접지 상태라고 하고, 그 에너지를 영점 에너지라고 하며, 파동 함수는 가우시안입니다.

상자의 입자와 마찬가지로 고조파 발진기는 결합된 고유 상태의 에너지가 이산화된다는 슈뢰딩거 방정식의 일반적인 특징을 보여줍니다.^{[11]: 352}

수소원자

수소 원자(또는 수소 같은 원자)의 전자에 대한 슈뢰딩거 방정식은

$여기$서$$q {\$displaystyle$q}는 전자 전하$,$ $r$ {\$displaystyle$ \$mathbf$ {$r}$은 핵에 대한 전자의 $위치$, ${\displaystyle r}$ =$$r {\displaystyle r = \mathbf {r}은 상대 위치의 크기, 전위항은 쿨롱 상호작용으로 인한 것입니다. 여기서$$ε 0 ${\displaystyle \varepsilon$_{0}}은 자유 공간의 유전율이고, 질량 ${\displaystyle {mp}_{}}$ ${\$의 수소 핵(단, 양성자)과 질량 ${\displaystyle {mq}_{}}$ ${\$의 전자의 2체 감소 질량입니다$.$ 음의 부호는 양성자와 전자가 반대로 전하를 띠기 때문에 퍼텐셜항에서 발생합니다. 전자와 양성자가 함께 공통의 질량 중심을 중심으로 서로 궤도를 돌고, 해결해야 할 2체 문제를 구성하기 때문에 전자 질량 대신 감소된 질량이 사용됩니다. 여기서 전자의 운동이 주된 관심사이므로, 등가의 한 몸 문제는 줄어든 질량을 이용한 전자의 운동입니다.

수소 원자에 대한 슈뢰딩거 방정식은 변수 분리로 풀 수 있습니다.^[23] 이 경우 구면 극좌표가 가장 편리합니다. 따라서,

여기서 R은 방사 함수이고 $($θ, φ) ${\displaystyle$Y_${l$}^{m$}(\$theta,\varphi )}는 $차수$m {\$displaystyle$\$ell$} 및$차수$ m {\displaystyle m}의 구면$조화$입니다. 이것은 슈뢰딩거 방정식이 정확히 풀린 유일한 원자입니다. 다중 전자 원자는 대략적인 방법이 필요합니다. 솔루션 제품군은 다음과 같습니다.^[24] 어디에

• ${\displaystyle {}_a}$ 0${\displaystyle {=}_{}4}$π${\displaystyle {}_{}}$ε 0 ℏ 2 m q 2 {\displaystyle ${\displaystyle a_{}}$_{0}={\frac {4\pi \varepsilon_{0}\hbar ^{2}}{m_{q}q^{2}}는 보어 반지름이고,
• $L$ -${\displaystyle {}_{}^{}}$$ℓ$${\displaystyle {}_{-}^{}}$ 12$ℓ$ ${\displaystyle {+}_{}^{}}$ 1$$$(\cdots )$ ${\displaystyle$L_{$n-$\ell$$-1}^{2\ell +1}(\cdots )}는${\displaystyle {}_{}^{}}$n -$ℓ$ - 1 {\displaystyle n-\ell -1}의 일반화된 $라게르$입니다.
• ${\displaystyle n,\ell ,m}$ are the principal, azimuthal, and magnetic quantum numbers respectively, which take the values ${\displaystyle n=1,2,3,\dots ,}$ ${\displaystyle \ell =0,1,2,\dots ,n-1,}$ ${\displaystyle m=-\ell ,\dots ,\ell .}$

근사해

일반적으로 물리적 관심 상황에 대한 슈뢰딩거 방정식을 정확하게 푸는 것은 불가능합니다. 따라서 변분법과 WKB 근사 등의 기법을 이용하여 근사해를 구할 수 있습니다. 또한 관심 있는 문제를 정확하게 해결할 수 있는 문제에 대한 작은 수정, 즉 섭동 이론으로 알려진 방법으로 취급하는 것이 일반적입니다.

반고전적 극한

고전 역학과 양자 역학을 비교하는 한 가지 간단한 방법은 예상 위치와 예상 운동량의 시간 진화를 고려하는 것이며, 이는 고전 역학에서 일반 위치와 운동량의 시간 진화와 비교할 수 있습니다.^{[25]: 302} 양자 기대값은 에렌페스트 정리를 만족합니다. 퍼텐셜 $V{\displaystyle }$ ${\displaystyle V}$에서 움직이는 1차원 양자 입자에 대해$$에렌페스트 정리는 다음과 같이 말합니다.

이 방정식들 중 첫 번째 방정식은 고전적인 행동과 일치하지만, 두 번째 $방정식$은 그렇지 않습니다. $($⟨ $X$⟩$,$⟨$$P$$⟩$)$ {\$displaystyle (\langle$ X\rangle,\langle P\rangle )}이 뉴턴의 제2법칙을 만족한다면, 두 번째 방정식의 우변은 다음과 같습니다. ${\displaystyle \mathrm{일반적}}$으로$$⟨ V'($X$ ⟩${\displaystyle$ -$\left\langle$ V'(X$)\backslash$right\langle}$과$는 다릅니다. 따라서$일반적$인 V'$\{\backslash$displaystyle V'}의${\displaystyle {}^{}}$경우 양자역학은 기대치가 고전적인 동작을 모방하지 않는 예측으로 이어질 수 있습니다. 그러나 $양자{\displaystyle {}^{}}$ 고조파 발진기의 경우 V${\displaystyle {\text{'}}^{}}$ ${\$가 선형이고 이러한 구별이 사라지므로 매우 특별한 경우에는 예상 위치와 예상 운동량이 고전적 궤적을 정확히 따릅니다.

일반적인 계의 경우, 우리가 기대할 수 있는 최선은 예상되는 위치와 운동량이 대략 고전적 궤적을 따르는 것입니다. $파동$ 함수가 점 ${\displaystyle x_{}}$ 0 ${\displaystyle x_{0}}$ 주변에 고도로 집중되어 있는 경우$$${\displaystyle V}$$'($⟨ X$$⟩$)$ {\$displaystyle$ V$'\left(\left\langle$ X\right\rangle \right)} 및 ⟨ V'(X) ⟩ {\displaystyle \left\langle V'(X)\right\rangle }는 거의 같습니다. 둘 다 $V{\displaystyle {}^{}\text{'}({}_{}}$ ${\displaystyle {0\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle$ V$'(x_{0})}$와 거의 동일할 것이기 때문입니다$.$ 이 경우 파동 함수가 위치에 고도로 국소화된 상태를 유지하는 한 예상 위치와 예상 운동량은 고전적 궤적에 매우 가깝게 유지됩니다.

일반적인 형태의 슈뢰딩거 방정식

HJE(Hamilton-Jacobi equation)와 밀접한 관련이 있습니다. 여기서 $S{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ S$}$는 고전 동작이고 $H{\displaystyle }$ ${\displaystyle H}$는 해밀턴 함수(연산자가 아님)입니다.^{[25]: 308} Here the generalized coordinates${\displaystyle q_{i}}$ for ${\displaystyle i=1,2,3}$ (used in the context of the HJE) can be set to the position in Cartesian coordinates as ${\displaystyle \mathbf {r} =(q_{1},q_{2},q_{3})=(x,y,z)}$.

대체

여기서$$ρ ${\displaystyle$\rho}는 확률 밀도로 슈뢰딩거 방정식에 들어간 다음 결과 방정식에서 $한계$ℏ → 0 ${\displaystyle$\hbar \to 0}을 취하면 해밀턴-자코비 방정식이 생성됩니다.

밀도행렬

파동함수는 양자계와 그 행동을 설명하는 가장 편리한 방법은 아닙니다. 시스템의 준비가 불완전하게만 알려져 있거나 조사 중인 시스템이 더 큰 전체의 일부일 경우 밀도 행렬을 대신 사용할 수 있습니다.^{[25]: 74} 밀도 행렬은 추적이 1과 같은 양의 반정의 연산자입니다. (특히 기본 힐베르트 공간이 무한 차원일 때 밀도 연산자라는 용어도 사용됩니다.) 모든 밀도 행렬의 집합은 볼록하고 극한점은 힐베르트 공간의 벡터에 투영되는 연산자입니다. 이것들은 파동함수의 밀도행렬 표현입니다; 디랙 표기법으로, 그것들은 다음과 같이 기록됩니다.

파동함수에 대한 슈뢰딩거 방정식의 밀도행렬 아날로그는^[26][27]

괄호는 정류자를 나타냅니다. 이는 폰 노이만 방정식, 리우빌-본 노이만 방정식 또는 밀도 행렬에 대한 슈뢰딩거 방정식으로 다양하게 알려져 있습니다.^{[25]: 312} 해밀토니안이 시간에 독립적이라면, 이 방정식은 쉽게 풀려서 다음을 얻을 수 있습니다.

더 일반적으로, 단일 $연산자{\displaystyle \stackrel{}{}}$ U${\displaystyle \stackrel{}{^}}$(${\displaystyle t)}$ ${\displaystyle {\hat {U}}(t)}$가 어떤 시간 간격에 대한 파동 함수 진화를 설명하면$$, 같은 간격에 대한 밀도 행렬의 시간 진화는 다음과 같이 주어집니다.

밀도 행렬의 단일 진화는 폰 노이만 엔트로피를 보존합니다.^{[25]: 267}

상대론적 양자물리학과 양자장이론

위에서 설명한 일입자 슈뢰딩거 방정식은 본질적으로 비상대론적 영역에서 유효합니다. 한 가지 이유로, 그것은 본질적으로 뉴턴 역학의 대칭군을 구성하는 갈릴레이 변환 하에서 불변합니다.^{[note 2]} 또한 입자 수를 변화시키는 과정은 상대성 이론에서 자연스러운 것이므로 한 입자에 대한 방정식(또는 고정된 수의 방정식)은 제한적으로만 사용될 수 있습니다.^[29] 상대론적 상황에서도 적용되는 보다 일반적인 형태의 슈뢰딩거 방정식은 양자역학과 특수 상대성 이론의 결합을 허용하는 프레임워크인 양자장이론(QFT) 내에서 공식화될 수 있습니다. 두 가지가 동시에 적용되는 영역은 상대론적 양자역학에 의해 설명될 수 있습니다. 이러한 설명은 슈뢰딩거 함수법에서와 같이 해밀턴 연산자에 의해 생성된 시간 진화를 사용할 수 있습니다.^{[30][31][32][33]}

클라인-고든 방정식과 디랙 방정식

양자물리학과 특수상대성을 결합하려는 시도는 상대론적 에너지-운동량 관계에서 상대론적 파동 방정식을 구축하는 것에서 시작되었습니다.

비상대론적 에너지 방정식 대신에. 클라인-고든 방정식과 디랙 방정식은 그런 두 방정식입니다. 클라인-고든 방정식은 비상대론적 1입자 슈뢰딩거 방정식 이전에도 그러한 방정식을 처음으로 얻었으며, 거대한 스핀 없는 입자에 적용됩니다. 역사적으로 디랙은 상대론적 이론의 바람직한 성질인 시간과 공간 모두에서 1차일 미분방정식을 구함으로써 디랙 방정식을 얻었습니다. 이러한 방식으로 클라인-고든 방정식의 좌변의 "제곱근"을 취하려면 디랙이 4 × 4 행렬 α 1${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {3\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle \beta }$ ${\displaystyle \alpha_{1},\alpha_{2},\alpha_{3},\beta }$를 사용하여 작성한 두 연산자의 곱으로 인수분해해야 했습니다$.$ 결과적으로, 파동함수는 또한 자유 공간에서, 읽는 디랙 방정식에 의해 지배되는 4성분 함수가 되었습니다.

이것은 다시 슈뢰딩거 방정식의 형태를 가지며, 파동 함수에 작용하는 해밀턴 연산자에 의해 파동 함수의 시간 도함수가 주어집니다. 입자에 대한 영향을 포함하려면 해밀턴 연산자를 수정해야 합니다. 예를 들어, 전자기장에서 질량 m과 전하 q의 입자에 대한 디랙 해밀토니안은 다음과 같습니다(전자기퍼텐셜 φ과 A로 설명됨).

여기서 γ = (γ, γ, γ)와 γ는 입자의 스핀과 관련된 디랙 감마 행렬입니다. 디랙 방정식은 모든 스핀-1 ⁄2 입자에 대해 참이며, 방정식의 해는 입자에 해당하는 두 성분과 반입자에 대한 다른 두 성분이 있는 4성분 스피너 필드입니다.

클라인-고든 방정식의 경우, 슈뢰딩거 방정식의 일반적인 형태는 사용하기에 불편하며, 실제로 해밀턴은 디랙 해밀턴과 유사한 방식으로 표현되지 않습니다. 상대론적 양자장에 대한 방정식은 클라인-고든 방정식과 디랙 방정식이 두 가지 예이며, 예를 들어 라그랑지 밀도에서 시작하여 필드에 오일러-라그랑지 방정식을 사용하는 것과 같은 다른 방법으로 얻을 수 있습니다. 또는 특정 표현을 사용하여 주어진 스핀(및 질량)의 자유 입자에 대한 방정식을 고정할 수 있는 로렌츠 군의 표현 이론을 사용합니다.

일반적으로, 일반적인 슈뢰딩거 방정식에서 대체될 해밀토니안은 위치와 운동량 연산자(그리고 아마도 시간)의 함수일 뿐만 아니라 스핀 행렬의 함수이기도 합니다. 또한 거대한 스핀 입자에 대한 상대론적 파동 방정식의 해법은 복소 값 2(2s + 1) 성분 스피너 필드입니다.

포크스페이스

디랙 방정식은 원래 공식화된 바와 같이 파동함수${\displaystyle }$ψ ψ${\displaystyle (}$x$,$ t) ${\displaystyle \Psi$x, t)}를 갖는 단일 입자 슈뢰딩거 방정식과 마찬가지로 단일 양자 입자에 대한 방정식입니다. 이는 입자 수가 고정되지 않은 상대론적 양자역학에서 제한적으로 사용됩니다. 휴리스틱적으로 이 복잡성은 질량-에너지 등가성이 물질 입자가 에너지에서 생성될 수 있음을 의미한다는 점에 주목함으로써 동기를 부여할 수 있습니다. QFT에서 이를 해결하는 일반적인 방법은 기본 상태가 입자 번호로 표시되는 힐베르트 공간, 이른바 포크 공간을 도입하는 것입니다. 그런 다음 슈뢰딩거 방정식은 이 힐베르트 공간에서 양자 상태에 대해 공식화될 수 있습니다.^[29] 그러나 슈뢰딩거 방정식이 선호하는 시간축을 선택하기 때문에 이론의 로렌츠 불변성은 더 이상 나타나지 않으며, 그에 따라 이론은 종종 다른 방식으로 공식화됩니다.^[34]

역사

막스 플랑크의 빛의 양자화에 이어 알베르트 아인슈타인은 플랑크의 양자를 빛의 입자인 광자로 해석하고 광자의 에너지는 파동-입자 이중성의 첫 번째 징후 중 하나인 주파수에 비례한다고 제안했습니다. 에너지와 운동량은 특수 상대성 이론의 주파수와 파동수와 같은 방식으로 관련되어 있기 때문에 광자의 운동량 $p$ ${\displaystyle p}$는 파장$$λ $\{\backslash$displaystyle$$\lambda }에 반비례하거나 $k {\displaystyle$k}에 비례합니다.

여기서 $h$ ${\displaystyle$ h$}$는 플랑크 상수이고 ℏ = ${\displaystyle h}$ /$$2 π {\displaystyle \hbar = {h}/{2\pi}}는 감소된 플랑크 상수입니다. Louis de Broglie는 이것이 모든 입자, 심지어 전자와 같은 질량을 가진 입자에도 해당된다고 가정했습니다. 그는 물질파가 입자파와 함께 전파된다고 가정할 때, 전자는 정상파를 형성한다는 것을 보여주었고, 이는 원자핵에 대한 특정한 이산 회전 주파수만이 허용된다는 것을 의미합니다.^[35] 이러한 양자화된 궤도는 이산 에너지 수준에 해당하며 드브로이는 에너지 수준에 대한 보어 모델 공식을 재현했습니다. Bohr 모델은 다음과$$ 같이 $각운동량{\displaystyle }$ L ${\displaystyle L}$의 가정된 양자화를 기반으로 했습니다. 드브로이에 따르면, 전자는 파동으로 묘사되며, 전자의 궤도 둘레를 따라 전체 수의 파장이 맞아야 합니다.

이 접근법은 본질적으로 전자파를 반지름 $r{\displaystyle }$ ${\displaystyle r}$의 원형 궤도를 따라 1차원으로 제한합니다$.$

1921년 드브로이 이전에 아서 C. 시카고 대학의 룬은 상대론적 에너지-운동량 4-벡터의 완성에 기초하여 현재 우리가 드브로이 관계라고 부르는 것을 도출하기 위해 같은 주장을 사용했습니다.^[36][37] 드브로이와 달리 룬은 현재 슈뢰딩거 방정식으로 알려진 미분 방정식을 공식화하고 수소 원자에 대한 에너지 고유값을 해결하기 시작했습니다. 카멘에 따르면 이 논문은 물리적 검토에서 거부되었습니다.^[38]

드브로이의 아이디어에 이어 물리학자 피터 데비는 입자가 파동으로 행동한다면 일종의 파동 방정식을 만족시켜야 한다고 즉석에서 언급했습니다. 데비의 말에 영감을 받은 슈뢰딩거는 전자에 알맞은 3차원 파동 방정식을 찾기로 결심했습니다. 그는 윌리엄 로완 해밀턴의 역학과 광학의 비유를 통해 광학의 0파장 한계가 기계 시스템과 비슷하다는 관찰을 암호화했으며, 광선의 궤적은 페르마의 원리를 따르는 날카로운 궤도가 되며, 이는 최소 작용의 원리의 유사점입니다.^[39]

그가 찾은 방정식은^[40]

그 무렵 아놀드 소머펠트는 상대론적 수정으로 보어 모델을 개선했습니다.^[41][42] 슈뢰딩거는 상대론적 에너지-운동량 관계를 이용하여 쿨롱 퍼텐셜에서 클라인-고든 방정식으로 알려진 것을 찾았습니다.

그는 이 상대론적 방정식의 정상파를 발견했지만 상대론적 수정은 소머펠트의 공식과 일치하지 않았습니다. 낙담한 그는 1925년 12월에 계산을 내려놓고 산장에 여주인과 함께 은둔했습니다.^[43]

선실에 있는 동안 슈뢰딩거는 그의 초기 비상대론적 계산이 출판하기에 충분히 참신하다고 판단하고 미래를 위해 상대론적 수정 문제를 보류하기로 결정했습니다. 수소 미분 방정식을 푸는 데 어려움이 있었음에도 불구하고(그는 그의 친구인 수학자 헤르만 바일에게^{[44]: 3} 도움을 구했습니다) 슈뢰딩거는 1926년에 발표된 논문에서 그의 상대론적이지 않은 버전의 파동 방정식이 올바른 수소 스펙트럼 에너지를 생성한다는 것을 보여주었습니다.^{[44]: 1 [45]} 슈뢰딩거는 수소 원자의 전자를 양성자에 의해 생성된 $우물$ V ${\displaystyle$ V$\}$에서 움직이는 파동${\displaystyle }$ψ(x$,$ t${\displaystyle )}$ ${\displaystyle \Psi(\mathbf${x$\},$ t)}로 처리하여 수소 스펙트럼 시리즈를 계산했습니다. 이 계산은 보어 모델의 에너지 수준을 정확하게 재현했습니다.

슈뢰딩거 방정식은$$ψ${\displaystyle$ \Psi$}$의 동작을 자세히 설명하지만 그 성질에 대해서는 말하지 않습니다. 슈뢰딩거는 ψ$$∂ ψ ∗ ∂ t {\displaystyle \Psi {\partial \Psi ^{*}{\partial t}}의 실수 부분을 전하 밀도로 해석하려고 시도한 다음 다음 다음 논문에서 ψ {\displaystyle \Psi }의 모듈러스 제곱이 전하 밀도라고 말하며 이 제안을 수정했습니다. 그러나 이 방법은 성공하지 못했습니다.^{[note 3]} 이 논문이 발표된 지 불과 며칠 후인 1926년, Max Born은 모듈러스 제곱이 확률 밀도와 동일한 확률 진폭으로$$ψ${\displaystyle$ \Psi$}$를 해석하는 데 성공했습니다. 후에 슈뢰딩거 자신은 이러한 해석을 다음과 같이 설명했습니다.^[49]

이미 언급된 psi-함수는 이제 측정 결과의 확률을 예측하는 수단이 되었습니다. 이는 카탈로그에 정리된 것처럼 이론적 기반의 미래 기대의 순간적인 합을 구현합니다.

— Erwin Schrödinger

해석

슈뢰딩거 방정식은 계의 파동함수와 시간에 따라 어떻게 동적으로 변하는지를 계산하는 방법을 제공합니다. 그러나 슈뢰딩거 방정식은 파동함수가 정확히 무엇인지 직접적으로 말하지 않습니다. 슈뢰딩거 방정식의 의미와 그 안의 수학적 실체가 물리적 실체와 어떻게 연관되는지는 양자역학의 해석에 달려 있습니다.

코펜하겐 해석으로 함께 묶이는 견해에서, 시스템의 파동함수는 해당 시스템에 대한 통계적 정보의 집합입니다. 슈뢰딩거 방정식은 한 시점의 계에 대한 정보와 다른 시점의 계에 대한 정보를 연관시킵니다. 슈뢰딩거 방정식으로 대표되는 시간 진화 과정은 연속적이고 결정론적이지만, 파동 함수를 한 순간에 알면 원칙적으로 모든 미래 시간에 대해 계산하기에 충분하다는 점에서 파동 함수는 측정 중에 불연속적이고 확률적으로 변할 수도 있습니다. 새로운 정보를 얻을 수 있기 때문에 파동함수가 변한다는 것입니다. 측정 후 파동 함수는 일반적으로 측정 전에는 알 수 없지만 Born 규칙을 사용하여 여러 가지 가능성에 대한 확률을 계산할 수 있습니다.^{[25][50][note 4]} 다른 양자역학에 대한 보다 최근의 해석, 예를 들어 관계 양자역학과 QBism도 슈뢰딩거 방정식에 이런 종류의 상태를 제공합니다.^[53][54]

슈뢰딩거 자신은 1952년에 슈뢰딩거 방정식에서 진화하는 중첩의 다른 항들은 "대안이 아니라 실제로 모든 것이 동시에 일어난다"고 제안했습니다. 이것은 에버렛의 다세계 해석의 초기 버전으로 해석되었습니다.^{[55][56][note 5]} 1956년에 독립적으로 공식화된 이 해석은 양자 이론에 의해 설명된 모든 가능성이 대부분 독립적인 평행 우주로 구성된 다중 우주에서 동시에 발생한다고 주장합니다.^[58] 이 해석은 파동함수 붕괴의 공리를 제거하여 슈뢰딩거 방정식 아래에서 연속적인 진화만을 남겼으며, 따라서 측정된 시스템과 측정 장치의 모든 가능한 상태는 관찰자와 함께 실제 물리적 양자 중첩으로 존재합니다. 다중 우주는 결정론적이지만, 우리는 확률에 의해 지배되는 비결정론적 행동을 인식합니다. 왜냐하면 우리는 다중 우주를 전체적으로 관찰하는 것이 아니라 한 번에 하나의 평행한 우주만을 관찰하기 때문입니다. 이것이 정확히 어떻게 작동해야 하는지는 많은 논쟁의 대상이 되어 왔습니다. 왜 우리는 일부 세계에서 발생할 것이 확실한 결과에 확률을 할당해야 하며, 왜 그 확률이 Born 규칙에 의해 주어져야 합니까?^[59] 다세계의 틀에서 이러한 질문에 대답할 수 있는 몇 가지 방법이 제안되었지만 성공 여부에 대한 합의는 없습니다.^[60][61][62]

보미안 역학은 양자 역학을 재구성하여 결정론적으로 만들고, 명시적으로 비국소적(벨의 정리에 의해 정확하게 계산된 가격)으로 만듭니다. 그것은 파동 함수뿐만 아니라 비국소 안내 방정식 아래에서 결정론적으로 진화하는 실제 위치에 기인합니다. 물리적 시스템의 진화는 항상 유도 방정식과 함께 슈뢰딩거 방정식에 의해 주어집니다.^[63]

참고 항목

메모들

참고문헌

외부 링크

• "Schrödinger equation". Encyclopedia of Mathematics. EMS Press. 2001 [1994].
• Quantum Cook Book (PDF)과 Physics 201: Yale Open Courseware, Ramammurti Shankar의 물리학 II 기초
• 물리학의 현대 혁명 – 온라인 교과서.
• MIT 오픈코스웨어의 양자물리학 I