연산자(물리학)

물리학에서 연산자는 물리적 상태의 공간을 넘어 다른 물리적 상태의 공간으로 이동하는 함수다. 연산자의 효용성에 대한 가장 간단한 예는 (이 맥락에서 그룹의 개념을 유용하게 만드는) 대칭에 대한 연구다. 이것 때문에, 그것들은 고전 역학에서 매우 유용한 도구들이다. 연산자는 양자역학에서 훨씬 더 중요한데, 양자역학은 이론의 형성의 본질적인 부분을 형성한다.

고전역학 연산자

In classical mechanics, the movement of a particle (or system of particles) is completely determined by the Lagrangian ${\displaystyle L(q,{\dot {q}},t)}$ or equivalently the Hamiltonian ${\displaystyle H(q,p,t)}$, a function of the generalized coordinates q, generalized velocities ${\displaystyle \dot{q}=}$${\displaystyle \mathrm{d}q}$ / ${\displaystyle d\mathrm{}}$ ${\displaystyle t}$ ${\dot${q$}=\mathrm$ {$d}$q/\$mathrm {d$} t$}$ 및 그 결합 모멘텀a:

${\displaystyle p={\frac {\partial L}{\partial {\dot{q}}}}$

L 또는 H 중 하나가 일반화된 좌표 q에 독립되어 있다면, 즉 q가 바뀌어도 L과 H가 변하지 않는다는 뜻이며, 이는 q가 바뀌어도 입자의 역학이 여전히 같다는 것을 의미하며, 해당 좌표에 대한 모멘텀은 보존될 것이다(이는 노에테르 정리의 일부분이며, 움직임의 불변성). 좌표 q에 대한 존중이 대칭이다). 고전역학에서 연산자는 이러한 대칭과 관련이 있다.

좀 더 기술적으로, H가 특정 변환 그룹의 작용에 따라 불변인 경우 G:

${\displaystyle S\in G,H(s)(q$$=H(q,p)}$.

G의 요소들은 그들 사이의 물리적 상태를 지도화하는 물리 연산자들이다.

고전역학 연산자 표

변환	연산자	포지션	모멘텀
변환 대칭	${\displaystyle X(\mathbf {a} )}$	${\displaystyle \mathbf {r} \rightarrow \mathbf {r} +\mathbf {a}}$	${\displaystyle \mathbf {p} \rightarrow \mathbf {p}$
시간 변환 대칭	${\displaystyle U(t_{0})}$	${\displaystyle \mathbf {r}(t)\오른쪽 화살표 \mathbf {r}(t+t_{0})$	${\displaystyle \mathbf {p}(t)\오른쪽 화살표 \mathbf {p}(t+t_{0})$
회전불변도	${\displaystyle R(\mathbf {\hat {n},\theta )}$	${\displaystyle \mathbf {r} \rightarrow R(\mathbf {\hat{n},\theta )\mathbf {r}}$	${\displaystyle \mathbf {p} \rightarrow R(\mathbf {\hat{n},\theta )\mathbf {p}}$
갈릴레이의 변형	${\displaystyle G(\mathbf {v} )}$	${\displaystyle \mathbf {r} \rightarrow \mathbf {r} +\mathbf {v}t}$	${\displaystyle \mathbf {p} \rightarrow \mathbf {p} +m\mathbf {v}}$
패리티	$P}$	${\displaystyle \mathbf {r} \rightarrow -\mathbf {r}$	${\displaystyle \mathbf {p} \rightarrow -\mathbf {p}$
T-대칭	$T}$	${\displaystyle \mathbf {r} \rightarrow \mathbf {r}(-t)}$	${\displaystyle \mathbf {p} \rightarrow -\mathbf {p}(-t)}$

여기서 $R{\displaystyle (n\stackrel{}{\mathit{}}}$ ${\displaystyle \stackrel{}{^}}$ ,${\displaystyle \theta }$) ${\displaystyle R({\hat {\boldsymbol{n}},\theta )}$은 단위 벡터 $n{\displaystyle \stackrel{}{\mathit{}}}$ ${\displaystyle \stackrel{}{^}}$ ${\$와 각도 θ에 의해 정의된 축에 대한 회전 행렬이다.

제너레이터

변환이 최소인 경우 운영자 작업은 형식이어야 함

$I+\epsilon A}$

여기서 $I{\displaystyle }$ ${\displaystyle I}$은(는) ID 연산자, $ϵ{\displaystyle }$ ${\displaystyle \epsilon }$은(는) 값이 작은 매개 변수이며$$, $A{\displaystyle }$ ${\displaystyle A}$은(는) 당면한 변환에 따라 달라지며$$ 그룹의 생성자라고 불린다. 다시, 간단한 예로, 우리는 1D 함수에 대한 공간 번역의 발생기를 도출할 것이다.

명시된 바와 같이 T ${\displaystyle a_{}}$ ${\displaystyle f}$( x${\displaystyle }$)${\displaystyle }$= f${\displaystyle }$( ${\displaystyle x}$- ${\displaystyle a}$) ${\displaystyle T_{a}f(x)=f(x-a$ $a{\displaystyle }$= ${\displaystyle ϵ}$ ${\displaystyle a=\epsilon }}$이(가) 미미하면 쓸 수 있다.

${\displaystyle T_{\epsilon }f(x)=f(x-\epsilon )\cHB(f(x)\epsilon f'(x)\cHB(x) 관련 f(x).}$

이 공식은 다음과 같이 다시 쓰일 수 있다.

${\displaystyle T_{\epsilon }f(x)=(I-\epsilon D)f(x)}$

여기서 $D{\displaystyle }$ ${\displaystyle D}$은 번역 그룹의 생성자로, 이 경우 파생 연산자가 된다. 따라서 번역의 발생기가 파생상품이라고 한다.

지수 지도

정상적인 상황에서 발전기로부터 지수 지도를 통해 그룹 전체를 복구할 수 있다. 번역의 경우 그 아이디어는 다음과 같이 작용한다.

${\displaystyle a}$의 유한 값에 대한 변환은 최소 변환을 반복적으로 적용하여 얻을 수 있다$$.

${\displaystyle T_{a}f(x)=\lim _{N\to \inft \{a/N}\cdots T_{a/N}f(x)}$

애플리케이션 $N{\displaystyle }$ ${\displaystyle$\cdots $}$이(가) 애플리케이션 N ${\displaystyle N}$번$$ 대기 상태임 $N{\displaystyle }$ ${\displaystyle N}$이(가) 크면 각 요인이 최소인 것으로 간주할 수 있다.

${\displaystyle T_{a}f(x)=\lim _{N\to \inflit }\왼쪽(I-{\prac {a}{N}D\right)^{N}f(x)}$

그러나 이 한계는 지수적으로 다시 쓰여질 수 있다.

${\displaystyle T_{a}f(x)=\exp(-aD)f(x)).}$

이 공식 표현의 타당성을 확신하기 위해, 우리는 파워 시리즈에서 지수화를 확장할 수 있다.

${\displaystyle T_{a(x)=\왼쪽(I-aD+{a^{2)}}D^{2} \over 2!}-{a^{3}}D^{3} \over 3!}+\cdots \right)f(x).}$

오른쪽은 다음과 같이 다시 쓰일 수 있다.

${\displaystyle f(x)-af'+{\frac {a^{2}}{2}}!}}}f(x)-{\frac {a^{3}}{3}{3!}}}{{(3)}(x)+\cdots }$

그것은 $단지{\displaystyle }$ F${\displaystyle }$( ${\displaystyle x}$- a${\displaystyle }$) ${\displaystyle f($${\displaystyle \mathrm{x-a}}$$)}$의 테일러 확장일 뿐인데$,$ ${\displaystyle {}_{}}$은 T ${\displaystyle a_{}}$( x${\displaystyle }$) ${\displaystyle T_{a}f(x)}$에 대한 우리의 원래 값이었다$.$

물리 연산자의 수학적 성질은 그 자체로 매우 중요한 주제다. 자세한 내용은 C*-알제브라 및 Gelfand-Naimark 정리를 참조하십시오.

양자역학 연산자

양자역학(QM)의 수학적 공식은 연산자의 개념에 기초하여 구축된다.

양자역학에서 물리적 순수 상태는 특수한 복합 힐버트 공간에서 단위규격 벡터(확률을 1로 정규화)로 표현된다. 이 벡터 공간에서 시간 진화는 진화 연산자의 응용에 의해 주어진다.

관측 가능한 모든 수량, 즉 물리적 실험에서 측정할 수 있는 모든 양은 자가 적응 선형 연산자와 연관되어야 한다. 운영자는 실제 고유값을 산출해야 하며, 이는 실험의 결과로 나타날 수 있는 값이기 때문이다. 수학적으로 이것은 운영자들이 에르미트인이어야 한다는 것을 의미한다.^[1] 각 고유값의 확률은 해당 고유값과 관련된 하위 공간의 물리적 상태 투영과 관련이 있다. 은둔자 연산자에 대한 수학적 자세한 내용은 아래를 참조하십시오.

QM의 파동역학 제형에서 파동 기능은 공간과 시간에 따라 다르거나 모멘텀과 시간(자세한 내용은 위치 및 모멘텀 공간 참조)에 따라 다르므로 관측할 수 있는 것은 미분 연산자다.

행렬 역학 공식에서 물리적 상태의 규범은 고정된 상태를 유지해야 하므로 진화 연산자는 단일해야 하며 연산자는 행렬로 나타낼 수 있다. 물리적 상태를 다른 상태로 매핑하는 다른 대칭은 이 제한을 유지해야 한다.

파동함수

파동 기능은 정사각형으로 통합되어야 한다(L^p 공백 참조). 이는 다음을 의미한다.

${\displaystyle \iiint _{\mathbb {R} ^{3}} \psi (\mathbf {r} ) ^{2}\,d^{3}\mathbf {r} =\iiint _{\mathbb {R} ^{3}}\psi (\mathbf {r} )^{*}\psi (\mathbf {r} )\,d^{3}\mathbf {r} <\infty }$

그리고 정규화할 수 있으므로, 다음과 같이 한다.

${\displaystyle \iint _{\mathbb {R}^{3}} \psi(\mathbf {r} ) ^{2}\,d^{3}\mathbf {r} =1}$

고유상태(및 고유값)의 두 가지 경우는 다음과 같다.

• 이산 고유상태 ${\displaystyle for{}_{}}$ ${\displaystyle i_{}}$⟩ ${\displaystyle$\ \ $_{i}\rangele}}$의 경우, 따라서 모든 상태는 합이다.
  $$\displaystyle \rangele =\sum _{i}c_{i} \phi _{i}\rangele }$$

  
  여기서 c는_i c_i² = cc가_i^*_i 상태 ${\displaystyle \varphi {}_{}}$ ${\displaystyle i_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}${\$displaystyle \phi _${i$}\rangele$의 측정 확률과 같은 복잡한 숫자이며, 해당 고유값 a_i 집합도 이산형이다. - 유한하거나 카운트할 수 없이 무한하다. 이 경우 2개의 고유상태의 내향생산은${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle j_{}}$ j ${\displaystyle {}_{}}$ =${\displaystyle {\mathrm{\Delta i}}_{}}$ j ${\${j$}\rangele$ =\$delta _${ij$}$에 의해 주어지며$,$ 여기서 ${\displaystyle {\mathrm{\Delta m}}_{}}$ n$${\$delta_{mn}}$는 Kronecker Delta}를$$ 의미한다. 하지만
• 연속적인 기초를 형성하는$$ 일련의 고유상태 ${\displaystyle i_{}}$ i${\displaystyle {}_{}}${$${\$displaystyle$\ _$_{i}\rangele }$의 경우, 어떤 상태도 필수적이다.
  $$\displaystyle \rangele =\int c(\phi )\,d\phi \phi \rangele }$$

  
  여기서 c(c)는 c(c) = c(c)^*c(c)c(c)가 상태 ${\displaystyle measuring}$ is {\$displaystyle \phi \rangele$ $\}$의 측정 확률과 같은 복잡한 함수로서, 셀 수 없이 무한히 많은 고유값 a가 있다. In this case, the inner product of two eigenstates is defined as ${\displaystyle \langle \phi '\vert \phi \rangle =\delta (\phi -\phi ')}$, where here ${\displaystyle \delta (x-y)}$ denotes the Dirac Delta.

파동 역학의 선형 연산자

▼를 양자 시스템의 파동 함수로 하고, $A{\displaystyle \stackrel{}{}}$ ${\displaystyle \stackrel{}{^}}$ ${\$를 어떤 관측 가능한 A(위치, 모멘텀, 에너지, 각도 모멘텀 등)의 선형 연산자로 삼으십시오. ψ가 연산자 $A{\displaystyle \stackrel{}{}}$ ${\displaystyle \stackrel{}{^}}$ ${\$의 고유 기능인 경우$,$

${\displaystyle {\hat {A}\psi =a\psi ,}$

여기서 a는 관측 가능한 측정값에 해당하는 측정 시스템의 고유값이다. 즉, 관측 가능한 A는 측정된 값 a를 갖는다.

ψ이 주어진 연산자 $A{\displaystyle \stackrel{}{}}$ ${\displaystyle \stackrel{}{^}}$ ${\$의 고유함수인 경우,$$ψ 상태에서 관측 가능한 A의 측정이 이루어지면 한정 수량(유전값 a)이 관찰된다. 반대로 ψ이 $A{\displaystyle \stackrel{}{}}$ ${\displaystyle \stackrel{}{^}}$ ${\$의 고유 기능이 아닌 경우$,$${\displaystyle \stackrel{}{}}A{\displaystyle \stackrel{}{}}$ $^$ {\$displaystyle {\\hat {A}$에 대한 고유값이 없으며$,$ 이 경우 관측 가능한 값은 단 하나의 한정값이 없다. 대신 관측 가능한 A의 측정은 각 고유값을 일정한 확률로 산출한다($A{\displaystyle \stackrel{}{}}$ ${\displaystyle \stackrel{}{^}}$ ${\$의 정형외선 고유베이스에 상대적인 ψ의 분해와 관련).$$

브라-켓 표기법에는 위 사항을 기재할 수 있다.

${\displaystyle{\begin{정렬}{\hat{A}}\psi&={\hat{A}}\psi(\mathbf{r})={\hat{A}}\left\langle \mathbf{r}\mid \psi \right\rangle =\left\langle \mathbf{r}\left\vert{\hat{A}}\right\vert\psi\right\rangle \\a\psi&=a\psi(\mathbf{r})=a\left\langle \mathbf{r}\mid \psi \right\rangle =\left\langle \mathbf{r}\mida\mid \psi \rig.ht\rangle \\end{aigned}}$

${\displaystyle that}$ ${\$이(가) 관찰 가능한 A의 고유 벡터 또는 고유킷인 경우 동일한 값.

선형성 때문에 벡터의 각 성분이 함수에 개별적으로 작용하기 때문에 벡터는 임의의 수치로 정의할 수 있다. 한 가지 수학적인 예는 델 연산자인데, 그 자체가 벡터(아래 표에서 모멘텀 관련 양자 연산자에서 유용하다)이다.

n차원 공간의 연산자는 다음과 같이 쓸 수 있다.

${\displaystyle \mathbf {\a} =\sum _{j=1}^{n}\mathbf {e} _{j}{\hat{A}_{j}}}}$

여기서 e는_j 각 구성요소 연산자 A에_j 해당하는 기본 벡터다. 각 성분은 ${\displaystyle {해당}_{}}$ 고유값 $a{\displaystyle {}_{}}$ ${\$를 산출한다$.$ 파동함수에 작용하는 acting:

${\displaystyle \mathbf {\hat {A}} \psi =\left(\sum _{j=1}^{n}\mathbf {e} _{j}{\hat {A}}_{j}\right)\psi =\sum _{j=1}^{n}\left(\mathbf {e} _{j}{\hat {A}}_{j}\psi \right)=\sum _{j=1}^{n}\left(\mathbf {e} _{j}a_{j}\psi \right)}$

여기서 $A{\displaystyle {\stackrel{}{}}_{}}$ ${\displaystyle {\stackrel{}{^}}_{}}$ ${\displaystyle j_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$= ${\displaystyle j_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$. ${\displaystyle {\hat {\A}_{j}\psi =a_{j}\psi .}$을(를) 사용했다.

브라켓 표기법:

${\displaystyle{\begin{정렬}\mathbf{\hat{A}}}\psi(\mathbf{r})=\mathbf{\hat{A}}\left\langle \mathbf,=\left\langle \mathbf{r}\mid\psi \right\rangle 및{r}\left\vert \mathbf{\hat{A}}\right\vert\psi\right\rangle \\\left(\sum_{j=1}^{n}\mathbf{e}_{j}{\hat{A}}_{j}\right)\psi =\left(\sum _{j=1}^{n}\mathbf=\mathbf{\hat{A}\psi. {e} _{j}{\hat {A}}_{j}\right)\psi (\mathbf {r} )=\left(\sum _{j=1}^{n}\mathbf {e} _{j}{\hat {A}}_{j}\right)\left\langle \mathbf {r} \mid \psi \right\rangle &=\left\langle \mathbf {r} \left\vert \sum _{j=1}^{n}\mathbf {e} _{j}{\hat {A}}_{j}\right\vert \psi \right\rangle \end{aligned}}}$

ψ 연산자 정류

두 관측치 A와 B에 선형 연산자 $A{\displaystyle \stackrel{}{}}$ {\$displaystyle {\A}$ 및$$ $B{\displaystyle \stackrel{}{}}$ ${\displaystyle \stackrel{}{^}}$ ${\$이$($가) 있는 경우 정류자는 다음과 같이 정의된다.

${\displaystyle \left[{\hat {A},{\hat {B}\오른쪽]={\hat{A}{\hat{B}-{\hat{B}}{\hat{A}}}$

정류자는 그 자체로 (복합) 연산자다. ψ에서 정류자를 연기하면 다음과 같은 효과를 얻을 수 있다.

${\displaystyle \left[{\hat {{A},{\hat {B}\오른쪽]\psi ={\hat {A}{\hat {B}\psi -{\b}{\hat {A}\psi .}$

관측용 A와 B의 고유값 a와 b가 각각 고유함수인 경우, 그리고 운영자가 통근하는 경우:

${\displaystyle \left[{\hat {A},{\hat {B}\right]\psi =0,}$

그런 다음 관측치 A와 B를 무한정 정밀도로 동시에 측정할 수 있다. 즉, 불확실성 $\Delta {\displaystyle \mathrm{}A}$ = ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle \Delta$A=$0$ $\Delta {\displaystyle \mathrm{}B}$ = ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle \Delta$B=$0$$}.$ 이때 then은 A와 B의 동시 고유함수라고 한다. 이를 설명하려면 다음을 수행하십시오.

${\displaystyle{\begin}\왼쪽[{\hat {B}\right]\psi &={\hat {A}{\b}\psi -{\b}\psi\&=a(b\psi )-b(a\psi )\&=0.\\end{aigned}}$

A와 B의 측정이 어떤 상태 변화도 일으키지 않는다는 것을 보여준다. 즉, 초기 상태와 최종 상태가 같다(측정에 의한 방해는 없다). 값 a를 얻기 위해 A를 측정한다고 가정합시다. 그리고 나서 우리는 B값을 얻기 위해 B를 측정한다. A를 다시 측정한다. 우리는 여전히 같은 가치의 a를 받는다. 분명히 시스템의 상태(상태)는 파괴되지 않고 있으므로 우리는 A와 B를 무한정 정밀하게 동시에 측정할 수 있다.

운영자가 통근하지 않는 경우:

${\displaystyle \left[{\hat {A},{\hat {B}\오른쪽]\psi \neq 0,}$

임의의 정밀도로 동시에 준비할 수 없고 관찰대상 사이에 불확실한 관계가 있다.

${\displaystyle \Delta A\Delta B\geq \왼쪽 {\frac {1}{1}}\langle [A,B]\angle \오른쪽}}$

ψ이 고유함수라도 위의 관계는 유지된다. 주목할 만한 쌍은 위치 및 모멘텀과 에너지 및 시간 불확실성 관계와 두 직교 축(L_x, L_y, 또는 s_z 등_y)에 대한 각도 모멘트(spin, 궤도 및 총계)이다.^[2]

ψ에서 연산자의 기대값

기대값(평균 또는 평균값)은 지역 R의 입자에 대한 관측 가능한 평균 측정값이다. 연산자 $^{\displaystyle$$\left\langle{\A}\right$$\rangele$ $}$의 기대값은 다음에서 계산한다$$.^[3]

${\displaystyle \left\langle {\hat {A}\right\angle =\int_{R}\psi ^{*}\left(\mathbf {r}\right){\hat{A}\psi \left(\mathbf {r}\right)\mathrm {d}^{3}\mathbf {r} =\left\langle \psi \왼쪽 {\\A}\오른쪽 \psi \right\psi\rangle .}$

이는 연산자의 모든 함수 F로 일반화할 수 있다.

${\displaystyle \left\langle F\left({\hat {A}}\right)\right\rangle =\int _{R}\psi (\mathbf {r} )^{*}\left[F\left({\hat {A}}\right)\psi (\mathbf {r} )\right]\mathrm {d} ^{3}\mathbf {r} =\left\langle \psi \left F\left({\hat {A}}\right)\right \psi \right\rangle ,}$

F의 예로는 ψ에 대한 A의 2배 작용, 즉 연산자를 짓누르거나 두 번 하는 것이다.

${\displaystyle {\reasoned}F\왼쪽({\hat{A}\오른쪽)&={\hat{A}^{2}\\\오른쪽 화살표 \왼쪽\langle {\A}^{2}\오른쪽\랑글 &=\int_{R}\psi ^{*}\mathbf {r}\right){\\hat{A}^{2}\psi \left(\mathbf {r}\right)\mathrm {d} ^{3}\mathbf {r} =\langle\psi \vert {\\\\hat{A}^{2}\right\psi \riged},\,\!}$

에르미트 연산자

은둔자 연산자의 정의는 다음과 같다.^[1]

${\displaystyle {\hat{A}={\hat {A}^{\daugger}}}}$

브라켓 표기법에서는 다음과 같이 표기한다.

${\displaystyle \left\langle \phi _{i}\왼쪽 {\a}\오른쪽 \phi _{j}\langle \langle \phi _{i}\right\langle \langle ^{*}}}$

은둔자 운영자의 중요한 특성은 다음과 같다.

• 실제 고유값,
• 고유값이 다른 고유 벡터는 직교,
• 고유 벡터는 완전한 정형외과적 기초가 되도록 선택할 수 있다.

행렬 역학의 연산자

연산자는 하나의 기본 벡터를 다른 기본 벡터에 매핑하기 위해 행렬 형태로 작성될 수 있다. 연산자가 선형이기 때문에 행렬은 베이스 사이의 선형 변환(전환 행렬이라고 함)이다. 각 기본 요소 $\varphi {\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle j_{}}$ ${\$는 다음 표현으로 다른 요소에 연결할 수 있다$$.^[3]

${\displaystyle A_{ij}=\left\langle \phi _{i}\왼쪽 {\hat {A}\오른쪽 \phi _{j}\rigle ,}$

행렬 요소:

${\displaystyle {\hat{A}={\begin{pmatrix}A_{11}&A_{12}&\cdots &A_{1n}\\A_{21}&A_{22}&\cdots &A_{2n}\\\vdots &\\vdots &\\\vdots &\\\\vdots \\\\\\\\\\nmatrix}\\\\cdots \\\\\\\a_{n1}$

은둔자 연산자의 또 다른 특성은 서로 다른 고유값에 해당하는 고유특성이 직교한다는 것이다.^[1] 매트릭스 형태에서 연산자는 측정에 해당하는 실제 고유값을 찾을 수 있도록 허용한다. 직교성은 적절한 기본 벡터 집합이 양자 시스템의 상태를 나타내도록 한다. 연산자의 고유값도 특성 다항식을 풀어서 제곱 행렬과 같은 방법으로 평가된다.

${\displaystyle \det \left({\hat {A}-a{\hat {I}\오른쪽)=0,}$

여기서 I는 n × n ID 매트릭스로, 연산자로서 ID 연산자에 해당한다. 이산형 기준의 경우:

${\displaystyle {\hat{I}=\sum _{i}\phi _{i}\langle \langle \langle \pi _{i}}}$

연속적으로 다음을 수행해야 한다.

${\displaystyle {\hat{I}=\int \phi \langle \langle \phi \mathrm {d} \phi }$

연산자의 역행

비노래 연산자 $A{\displaystyle \stackrel{}{}}$ ${\displaystyle \stackrel{}{^}}$ ${\$에는 역 $A{\displaystyle {\stackrel{}{}^}^{}}$ - ${\displaystyle 1^{}}${\$displaystyle {\hat{A}^{-1}$에 의해$$ 정의된 A ^ - 1이 있다$$.

${\displaystyle {\hat {A}{\hat {A}^{-1}={\hat {A}^{1}{\hat {I}}}$

연산자에 역이 없으면 단수 연산자다. 유한 차원 공간에서 연산자는 결정 인자가 0이 아닌 경우에만 비음영이다.

${\displaystyle \det \왼쪽({\hat {A}\오른쪽)\neq 0}$

단수 연산자에 대한 결정 인수는 0이다.

QM 연산자 표

양자역학에 사용되는 연산자는 아래 표에 수집된다(예: 참조).^[1][4] 원곡선이 있는 굵은 얼굴 벡터는 단위 벡터가 아니라 3 벡터 연산자로, 세 가지 공간 요소를 모두 합친 것이다.

연산자(공통 이름/s)	데카르트 성분	일반적 정의	SI 단위	치수
포지션	${\displaystyle {\juffected}{\hat {x}&=x,&\hat {y}>y,&\hat {z}&=z\end}}}}$	${\displaystyle \mathbf {\r} =\mathbf {r} \,\!}$	m	[L]
모멘텀	일반 ${\displaystyle {\begin{aligned}{\hat {p}}_{x}&=-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x}},&{\hat {p}}_{y}&=-i\hbar {\frac {\partial }{\partial y}},&{\hat {p}}_{z}&=-i\hbar {\frac {\partial }{\partial z}}\end{aligned}}}$	일반 ${\displaystyle \mathbf {\p} =-i\hbar \nabla \,\!}$	J s m−1 = N s	[M] [L] [T]−1
	전자기장 ${\displaystyle {\begin{aligned}{\hat {p}}_{x}=-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x}}-qA_{x}\\{\hat {p}}_{y}=-i\hbar {\frac {\partial }{\partial y}}-qA_{y}\\{\hat {p}}_{z}=-i\hbar {\frac {\partial }{\partial z}}-qA_{z}\end{aligned}}}$	전자기장(운동 모멘텀 사용, A, 벡터 전위) ${\displaystyle {\begin{aigned}\mathbf {\p} &=\mathbf {\p} -q\mathbf {A}\&=i\hbar \nabla -q\mathbf {A}\\ended}\,\!}$	J s m−1 = N s	[M] [L] [T]−1
운동 에너지	번역 ${\displaystyle {\begin{aligned}{\hat {T}}_{x}&=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}\\[2pt]{\hat {T}}_{y}&=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial y^{2}}}\\[2pt]{\hat {T}}_{z}&=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial z^{2}}}\\\end{aligned}}}$	${\displaystyle {\begin{aligned}{\hat {T}}&={\frac {1}{2m}}\mathbf {\hat {p}} \cdot \mathbf {\hat {p}} \\&={\frac {1}{2m}}(-i\hbar \nabla )\cdot (-i\hbar \nabla )\\&={\frac {-\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}\end{aligned}}\,\!}$	J	[M] [L]2 [T]−2
	전자기장 ${\displaystyle {\begin{aligned}{\hat {T}}_{x}&={\frac {1}{2m}}\left(-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x}}-qA_{x}\right)^{2}\\{\hat {T}}_{y}&={\frac {1}{2m}}\left(-i\hbar {\frac {\partial }{\partial y}}-qA_{y}\right)^{2}\\{\hat {T}}_{z}&={\frac {1}{2m}}\left(-i\hbar {\frac {\partial }{\partial z}}-qA_{z}\right)^{2}\end{aligned}}\,\!}$	전자기장(A, 벡터 전위) ${\displaystyle {\begin{aligned}{\hat {T}}&={\frac {1}{2m}}\mathbf {\hat {p}} \cdot \mathbf {\hat {p}} \\&={\frac {1}{2m}}(-i\hbar \nabla -q\mathbf {A} )\cdot (-i\hbar \nabla -q\mathbf {A} )\\&={\frac {1}{2m}}(-i\hbar \nabla -q\mathbf {A} )^{2}\end{aligned}}\,\!}$	J	[M] [L]2 [T]−2
	회전(I, 관성 모멘트) ${\displaystyle {\begin{igned}{\hat {T}_{x}&={\frac {{\hat{J}}^{2}}I_{x}}\\\\hat {T}_{yy}&={\frac {{\hat {{J}_{y}^{2}}I_{yy}}\{\hat {T}_{z}&={\frac {{\hat{J}}^{2}}I_{z}}\\\end{aigned}\,\!}$	회전 ${\displaystyle {\hat{T}={\frac {\mathbf {\J}\cdot \mathbf {\j}{{}}{2}I}\,\!}$[필요하다]	J	[M] [L]2 [T]−2
전위 에너지	해당 없음	${\displaystyle {\v}=V\왼쪽(\mathbf {r}, t\오른쪽)=V\,\!}$	J	[M] [L]2 [T]−2
총에너지	해당 없음	시간 의존적 잠재력: ${\displaystyle {\hat}=i\hbar {\frac {\partial t}{\partial t}\,\!}$ 시간에 구애받지 않는: ${\displaystyle {\hat{E}=E\,\!}$	J	[M] [L]2 [T]−2
해밀턴어		${\displaystyle {\begin{aligned}{\hat {H}}&={\hat {T}}+{\hat {V}}\\&={\frac {1}{2m}}\mathbf {\hat {p}} \cdot \mathbf {\hat {p}} +V\\&={\frac {1}{2m}}{\hat {p}}^{2}+V\\\end{aligned}}\,\!}$	J	[M] [L]2 [T]−2
각운동량 연산자	${\displaystyle {\begin}{\hat {L}_{x}&=-i\hbar \left(y{\partial z}-z{\partial \over \partial y}\right)\\{{L}_{L}_{y}&=-i\hbar \왼쪽(z{\partial \over \partial x}-x{\partial \over \partial z}\오른쪽)\\{{{{L}_{z}&=-i\hbar \left(x{\partial \over \partial y}-y}-\partial \over \partial x}\right)\ended}}}}}}$	${\displaystyle \mathbf {\hat {L} =\mathbf {r}\time -i\hbar \nabla }$	J s = N s m	[M] [L]2 [T]−1
스핀 각도 운동량	${\displaystyle {\begin{aligned}{\hat {S}}_{x}&={\hbar \over 2}\sigma _{x}&{\hat {S}}_{y}&={\hbar \over 2}\sigma _{y}&{\hat {S}}_{z}&={\hbar \over 2}\sigma _{z}\end{aligned}}}$ 어디에 ${\displaystyle {\begin{aligned}\sigma _{x}&={\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}}\\\sigma _{y}&={\begin{pmatrix}0&-i\\i&0\end{pmatrix}}\\\sigma _{z}&={\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}}\end{aligned}}}$ Pauli 매트릭스는 회전하는 입자들을 위한 것이다.	${\displaystyle \mathbf {\hat {S} = {\hbar \over 2}{\boldsymbol {\sigma }\,\!}$ 여기서 σ은 구성 요소가 Pauli 행렬인 벡터다.	J s = N s m	[M] [L]2 [T]−1
총각운동량	${\displaystyle {\begin{aligned}{\hat {J}}_{x}&={\hat {L}}_{x}+{\hat {S}}_{x}\\{\hat {J}}_{y}&={\hat {L}}_{y}+{\hat {S}}_{y}\\{\hat {J}}_{z}&={\hat {L}}_{z}+{\hat {S}}_{z}\end{aligned}}}$	${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {\hat {J}} &=\mathbf {\hat {L}} +\mathbf {\hat {S}} \\&=-i\hbar \mathbf {r} \times \nabla +{\frac {\hbar }{2}}{\boldsymbol {\sigma }}\end{aligned}}}$	J s = N s m	[M] [L]2 [T]−1
전환 쌍극자 모멘트(전기)	${\dapplaystyle{\hat{d}_{x}}=q{x},&#{d}_{d}_{x},{d}_{d}}}=q{z}&#d}=q{z}===data{j}}}}.$	${\displaystyle \mathbf {\d} =q\mathbf {\hat}}}$	C m	[I] [T] [L]

양자 연산자 적용 예제

파동함수에서 정보를 추출하는 절차는 다음과 같다. 입자의 운동량 p를 예로 들어보자. 모멘텀 오퍼레이터는 한 치수에서 제자리에 기초한다.

${\displaystyle {\p}=-i\hbar {\frac {\reason{\reason x}}$

ψ에 대해 이 행위를 허용함으로써 다음을 얻는다.

${\displaystyle {\hat}\p}\cHbar =-i\hbar {\frac {\fract {}{\flash x}\propers,}$

ψ가 $p{\displaystyle \stackrel{}{}}$^ {\$displaystyle {\hat$$p}}$의 고유함수인 경우, 운동량 고유값 p는 입자의 운동량 값이며, 이 값은 다음과 같다.

${\displaystyle -i\hbar {\frac {\frac {\fract }{\\filency x}\filences =p\flense .}$

3차원 모멘텀 오퍼레이터는 나블라 오퍼레이터를 사용하여 다음과 같이 된다.

${\displaystyle \mathbf {\hat {p} =-i\hbar \cla .}$

데카르트 좌표(표준 데카르트 기반 벡터 e_x, e, e_yz)에는 이 내용이 기록될 수 있다.

${\displaystyle \mathbf {e} _{\mathrm {x} }{\hat {p}}_{x}+\mathbf {e} _{\mathrm {y} }{\hat {p}}_{y}+\mathbf {e} _{\mathrm {z} }{\hat {p}}_{z}=-i\hbar \left(\mathbf {e} _{\mathrm {x} }{\frac {\partial }{\partial x}}+\mathbf {e} _{\mathrm {y} }{\frac {\partial }{\partial y}}+\mathbf {e} _{\mathrm {z} }{\frac {\partial }{\partial z}}\right),}$

즉,

${\displaystyle {\hat {p}}_{x}=-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x}},\quad {\hat {p}}_{y}=-i\hbar {\frac {\partial }{\partial y}},\quad {\hat {p}}_{z}=-i\hbar {\frac {\partial }{\partial z}}\,\!}$

고유값을 찾는 과정도 같다. 이것은 벡터 방정식과 연산자 방정식이기 때문에 e이 고유함수인 경우, 모멘텀 연산자의 각 성분은 모멘텀의 해당 성분에 해당하는 고유값을 갖게 된다. p${\displaystyle \stackrel{}{\mathbf{}}}$^ ${\$에서 다음 정보를 얻으십시오.

${\displaystyle {\begin{aligned}{\hat {p}}_{x}\psi &=-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x}}\psi =p_{x}\psi \\{\hat {p}}_{y}\psi &=-i\hbar {\frac {\partial }{\partial y}}\psi =p_{y}\psi \\{\hat {p}}_{z}\psi &=-i\hbar {\frac {\partial }{\partial z}}\psi =p_{z}\psi \\\end{aligned}}\,\!}$

참고 항목

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