분리 가능한 공간

수학에서 위상학적 공간은 셀 수 있고 밀도가 높은 부분집합을 포함하는 경우 분리 가능한 공간이라고 한다. 즉, 공간의 모든 비빈 부분집합이 적어도 하나 이상의 요소를 포함하도록 공간 요소의 순서$$${\displaystyle }${${\displaystyle {xn}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}{}_n^{}}$ ${\displaystyle {=}_{}^{}}$ ${\displaystyle 1_{}^{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{}}_{}^{}}$ ${\$\{$x_{n}\n=1}^{\infit}}}}}}$이 있다.

계수성의 다른 공리와 마찬가지로 분리성은 "크기에 대한 제한"으로, 카디널리티 측면에서는 반드시 (그러나, 하우스도르프 공리가 있는 곳에서는 이것이 사실로 판명된다; 아래를 참조)는 것이 아니라, 보다 미묘한 위상적 의미에서는 반드시 그러하다. 특히 이미지가 하우스도르프 공간의 부분 집합인 분리 가능한 공간의 모든 연속 기능은 계수 가능한 밀도 부분 집합의 값에 의해 결정된다.

일반적으로 더 강하지만 측정 가능한 공간의 클래스에 동등한 두 번째 계산 가능성의 관련 개념과 분리 가능성을 대조한다.

첫 번째 예

그 자체가 유한하거나 셀 수 없이 무한한 위상학적 공간은 분리할 수 있다. 전체 공간은 셀 수 있는 밀도 높은 부분집합이기 때문이다. 헤아릴 수 없는 분리 가능한 공간의 중요한 예는 실제 선으로, 합리적인 숫자가 카운트할 수 있는 밀도 하위 집합을 형성한다. Similarly the set of all vectors ${\displaystyle {\boldsymbol {r}}=(r_{1},\ldots ,r_{n})\in \mathbb {R} ^{n}}$ of which ${\displaystyle {\boldsymbol {r}}\in \mathbb {Q} ^{n}}$ is a countable dense subset; so for every ${\displaystyle n}$, ${\displaystyle n}$-di마멘탈 유클리드 공간은 분리할 수 있다.

분리할 수 없는 공간의 간단한 예는 헤아릴 수 없는 카디널리티의 이산 공간이다.

그 이상의 예는 아래와 같다.

분리성 대 두 번째 계수성

두 번째 카운트 가능한 공간은 모두 분리 가능:${\displaystyle }${${\displaystyle {Un}_{}}$ ${\displaystyle \{U_{n}\}}}}$이(가) 카운트 가능한 베이스인$$ 경우 비어 있지 않은 ${\displaystyle {Un}_{}}$ ${\$ $x_{n}\in$ $U_{n}}}}$에서 x${\displaystyle {}_{}{n}_{}}$을 선택하면 카운트 가능한 하위 집합이 제공됨$$. 반대로 측정 가능한 공간은 두 번째로 셀 수 있는 공간인 경우에만 분리가 가능하며, 이는 린델뢰프인 경우와 린델뢰프인 경우다.

다음 두 속성을 추가로 비교하려면:

• 두 번째 카운트 가능 공간의 임의 하위 공간은 두 번째로 계산할 수 있으며, 분리 가능한 공간의 하위 공간은 분리할 필요가 없다(아래 참조).
• 분리 가능한 공간의 모든 연속 이미지는 분리할 수 있다(Willard 1970, Th. 16.4a). 두 번째로 셀 수 있는 공간의 비율도 계산할 수 없다.
• 최대 연속적으로 많은 분리 가능한 공간의 산물은 분리할 수 있다(Willard 1970, 페이지 109, Th 16.4c). 2차 계산 가능한 공간은 2차 계산이 가능하지만 2차 계산이 불가능한 공간은 1차 계산조차 할 필요가 없다.

우리는 두 번째로 셀 수 없는 분리 가능한 위상학적 공간의 예를 구성할 수 있다. 마운트할 수 없는 집합 $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$을$($를) 고려하고, ${\displaystyle {일부\mathrm{}}_{}}$ x $0{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ X$${\$displaystyle x_{$0}\$in$ X$}$을$($를) 선택한 다음, ${\displaystyle {토폴로지}_{}}$를$$x 0 {\$displaystyle$ x_${0}($또는 비어 있음)을 포함하는 모든 집합의 집합으로 정의하십시오. 그러면$$ x ${\displaystyle {0\mathrm{}}_{}}$ ${\$의 닫힘이 전체$$ 공간(${\displaystyle {X\mathrm{}}_{}}$ ${\$이지만,$$${\displaystyle }${${\displaystyle \mathrm{x0}\}}$ ${\displaystyle \{x_},x\}$ 형식의 모든 세트가 열려 있다. 따라서 공간은 분리가 가능하지만 셀 수 있는 기반이 있을 수는 없다.

카디널리티

분리성의 속성은 위상적 공간의 카디널리티에 제한을 두지 않는다. 즉, 사소한 위상이 부여된 세트는 분리할 수 있을 뿐 아니라 두 번째 계산 가능, 준 컴팩트 및 연결 가능하기 때문이다. 사소한 위상과의 "고난"은 그것의 빈약한 분리 특성이다: 그것의 콜모고로프 지수는 1점 공간이다.

첫 번째 카운트할 수 있는 분리 가능한 하우스도르프 공간(특히 분리 가능한 메트릭 공간)은 최대 연속 카디널리티 $c{\displaystyle \mathfrak{}}${\$displaystyle${\$mathfrak{c}$를 가지고 있다$.$ 이러한 공간에서는 시퀀스의 한계에 의해 폐쇄가 결정되고 어떤 수렴 시퀀스는 최대 한 개의 한계를 가지므로 수렴 시퀀스 집합에서 나오는 허탈한 지도가 있다. $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$ 지점까지 카운트 가능한 밀도 부분 집합의 값 포함$.$

분리 가능한 하우스도르프 공간은 최대 $2{\displaystyle {\mathrm{}}^{}}$ ${\displaystyle {c\mathfrak{}}^{}}$ ${\$ 2$^{\mathfrak{c}}$에서 카디널리티를 가지며$,$ $여기$서 c ${\$는 연속체의 카디널리티다. For this closure is characterized in terms of limits of filter bases: if ${\displaystyle Y\subseteq X}$ and ${\displaystyle z\in X}$, then ${\displaystyle z\in {\overline {Y}}}$ if and only if there exists a filter base ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ consisting of subsets of ${\display$$z{\displaystyle }$ ${\displaystyle z}$에 수렴하는 Y} 스타일$$$.$ 그러한 필터 베이스의$$ $세트{\displaystyle }$ S${\displaystyle }$( Y${\displaystyle }$) ${\displaystyle S(Y)}$의 카디널리티는 최대 $2{\displaystyle {\mathrm{}}^{}}$ 2 ${\displaystyle {Y^{}}^{}}$ $displaystyle$ 2$^{2^{ Y$ 더욱이 하우스도르프 공간에서는 모든 필터 베이스에 최대 1개의 제한이 있다. 따라서 $Y$의${\displaystyle }$= ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle {\Y}=X.}$일 때 ${\displaystyle S(Y)}$→ X ${\displaystyle S(Y)\오른쪽 화살표$ X$}$이(가) 있다.

The same arguments establish a more general result: suppose that a Hausdorff topological space ${\displaystyle X}$ contains a dense subset of cardinality ${\displaystyle \kappa }$. Then ${\displaystyle X}$ has cardinality at most ${\displaystyle 2^{2^{\kappa }}}$ and cardinality at most ${\di$처음$$ $계산$할 수 있는 경우 $splaystyle$2^{\kappa $}}.$

최대 연속적으로 많은 분리 가능한 공간의 산출물은 분리 가능한 공간이다(Willard 1970, 페이지 109, Th 16.4c). In particular the space ${\displaystyle \mathbb {R} ^{\mathbb {R} }}$ of all functions from the real line to itself, endowed with the product topology, is a separable Hausdorff space of cardinality ${\displaystyle 2^{\mathfrak {c}}}$. More generally, if ${\displaystyle \kappa }$ is any infinite cardinal, t$최대{\displaystyle }$ ${\displaystyle {2인치}^{}}$({\displaystyle $2^{\\$cappa $})$ 크기의$$ 밀도 하위 집합이 있는 공간은 최대 $2인치{\displaystyle }$$({\$displaystyle $\kappa })$의 촘촘한 부분집합이 있다$$.

건설수학

분리할 수 없는 공간에 대해 증명될 수 있는 많은 이론들이 분리할 수 있는 공간에 대해서만 건설적인 증거를 가지고 있기 때문에 분리 가능성은 수치 분석과 건설적인 수학에서 특히 중요하다. 그러한 건설적인 증명들은 수치 분석에 사용하기 위한 알고리즘으로 바뀔 수 있으며, 그것들은 건설적인 분석에서 허용되는 유일한 종류의 증명이다. 이런 종류의 정리의 유명한 예는 한-바나흐 정리다.

추가 예

분리 가능한 공간

• 모든 소형 미터법 공간(또는 미터법 공간)은 분리할 수 있다.
• 계수 가능한 수의 분리 가능한 하위 공간의 조합인 위상학적 공간은 분리할 수 있다. 이 두 예는 $n{\displaystyle }$ ${\displaystylen}$ -차원$$ 유클리드 공간이 분리 가능하다는 다른 증거를 제시한다.
• 콤팩트 서브셋 $K{\displaystyle }$ ${\displaystyle \subseteq }$ ${\displaystyle R\mathbb{}}$ ${\$에서 실제 라인 $R{\displaystyle \mathbb{}}$ ${\$까지 모든 연속함수의 $공간$ C${\displaystyle (K}$) ${\displaystystyle C(K)$는 분리할$$ 수 있다.
• The Lebesgue spaces ${\displaystyle L^{p}\left(X,\mu \right)}$, over a separable measure space ${\displaystyle \left\langle X,{\mathcal {M}},\mu \right\rangle }$, are separable for any ${\displaystyle 1\leq p<\infty }$.
• The space ${\displaystyle C([0,1])}$ of continuous real-valued functions on the unit interval ${\displaystyle [0,1]}$ with the metric of uniform convergence is a separable space, since it follows from the Weierstrass approximation theorem that the set ${\displaystyle \mathbb {Q} [x]}$ of polynom합리적인 계수를 가진 한 변수의 icals는 $C{\displaystyle ([}$ $0$ ${\displaystyle ])}$의 계수 $가능$한 밀집 $하위$ 집합이다$.$ $바나흐-마주르$ 정리는 모든 분리 가능한 바나흐 공간이 $C{\displaystyle }$(${\displaystyle }$[ 0${\displaystyle ,}$의 닫힌 선형 $아공간$과 등축적으로 이형화되어 $있다고$ 주장한다$.$
• 힐버트 공간은 계산 가능한 정형외과적 기초가 있는 경우에만 분리할 수 있다. 분리 가능한 무한 차원 Hilbert 공간은 제곱합성 ${\displaystyle {시퀀스}^{}}$의 {$$2 {\$displaystyle$\ell$$^{2}} 공간과 등축적이다.
• 두 번째 카운트할 수 없는 분리 가능한 공간의 예로는 하한 토폴로지가 장착된 실수의 집합인$$소르겐프리 라인 S {\$displaystyle$\mathb {S}이$(가)$ 있다$.$
• A separable σ-algebra is a σ-algebra ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ that is a separable space when considered as a metric space with metric ${\displaystyle \rho (A,B)=\mu (A\triangle B)}$ for ${\displaystyle A,B\in {\mathcal {F}}}$ and a given measure ${\displaystyle \mu }$ (대칭 차이 연산자$({\displaystyle \property })$와 함께$.{\displaystyle \mathrm{}}$^[1]

구분할 수 없는 공백

• 자연순서 위상이 장착된 최초의 비할 수 없는 서수 $\Omega {\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$ ${\$1}는 분리할 수 없다$.$
• 바나흐 공간 ${\$은(는) 모든 경계 실제 시퀀스 중$$ 최상 규범과 함께 분리할 수 없다. L $∞{\$도 같은 홀드 입니다$.$
• 바나흐 공간은 한정된 변동의 함수를 분리할 수 없다. 그러나 이 공간은 수학, 물리학, 공학에서 매우 중요한 응용을 가지고 있다.

특성.

• 분리 가능한 공간의 하위 공간은 분리할 필요가 없지만(소르겐프리 평면과 무어 평면 참조), 분리 가능한 공간의 모든 열린 하위 공간은 분리할 수 있다(Willard 1970, Th 16.4b). 또한 분리 가능한 메트릭 공간의 모든 하위 공간은 분리할 수 있다.
• 사실 모든 위상학적 공간은 동일한 카디널리티의 분리 가능한 공간의 하위 공간이다. 최대 개수로 많은 점을 추가하는 건축물은 (Sierpiński 1952, 페이지 49)에 주어진다. 만약 그 공간이 하우스도르프 공간이었다면, 그 공간이 내장되어 있는 그 공간도 하우스도르프 공간이다.
• 분리 가능한 공간의 모든 실제 값 연속 함수 집합은 연속체의 카디널리티인 $c$${\$ {$c}$과(와) 같다. 이러한 기능은 밀집 하위 집합에 대한 값에 의해 결정되기 때문에 다음과 같다.
• 위의 속성에서 다음과 같은 것을 추론할 수 있다. X가 탑재할 수 없는 닫힌 이산 하위 공간을 가진 분리 가능한 공간인 경우, X는 정상일 수 없다. 이는 소르겐프리 비행기가 정상이 아님을 보여준다.
• 콤팩트한 하우스도르프 공간 X의 경우, 다음과 같다.

(i) X는 두 번째로 셀 수 있다.

(${\displaystyle \mathrm{ii}}$) X에 대한 연속적인 실질 가치 함수의 $공간$ C${\displaystyle }$( X${\displaystyle }$, ${\displaystyle R\mathbb{}}$) ${\displaystyle {\mathcal{C}(X,\mathb {R} )$는 분리할 수 있다.

(iii) X는 측정가능하다.

분리 가능한 메트릭 공간 포함

• 모든 분리 가능한 메트릭스 공간은 힐버트 큐브 부분집합에 대해 동형이다. 이것은 우리손 메트리제이션 정리증명에 확립되어 있다.
• 모든 분리 가능한 메트릭 공간은 (분리할 수 없는) Barnach 공간^∞ l의 하위 집합에 대한 등축이며, 이는 Frechet 내장이라고 알려져 있다. (Heinonen 2003)
• 모든 분리 가능한 미터법 공간은 C([0,1])의 하위 집합에 대한 등축으로, 최고 수준의 규범과 함께 연속함수[0,1] → R의 분리 가능한 바나흐 공간이다. 스테판 바나흐 덕분이다.(헤이노넨 2003)
• 분리 가능한 모든 미터법 공간은 Uryson 범용 공간의 하위 집합에 등축적이다.

분리할 수 없는 공간의 경우:

• 무한 추기경 α에 해당하는 밀도 측정 공간은 단위 간격의 α 복사본의 곱에 대한 실제 연속 기능의 공간인 C([0,1],^α R)의 하위 공간에 대한 등축 공간이다. (Kleiber 1969) harv 오류: 대상 없음: CITREFKleiber1969 (도움말)

참조

• Heinonen, Juha (January 2003), Geometric embeddings of metric spaces (PDF), retrieved 6 February 2009

• Kelley, John L. (1975), General Topology, Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90125-1, MR 0370454
• Kleiber, Martin; Pervin, William J. (1969), "A generalized Banach-Mazur theorem", Bull. Austral. Math. Soc., 1 (2): 169–173, doi:10.1017/S0004972700041411
• Sierpiński, Wacław (1952), General topology, Mathematical Expositions, No. 7, Toronto, Ont.: University of Toronto Press, MR 0050870
• Steen, Lynn Arthur; Seebach, J. Arthur Jr. (1995) [1978], Counterexamples in Topology (Dover reprint of 1978 ed.), Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-486-68735-3, MR 0507446
• Willard, Stephen (1970), General Topology, Addison-Wesley, ISBN 978-0-201-08707-9, MR 0264581