체른-사이먼스 이론

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체른-사이먼스 이론은 에드워드 비튼이 개발한 슈바르츠 유형의 3차원 위상 양자장 이론입니다. 이것은 수학 물리학자 알버트 슈바르츠에 의해 처음으로 발견되었습니다. 수학자인 Shing-Shen Chern과 Chern-Simons 3-형태를 도입한 James Harris Simons의 이름을 따서 지어졌습니다. Chern-Simons 이론에서 작용은 Chern-Simons 3-형태의 적분에 비례합니다.

응축 물질 물리학에서 Chern-Simons 이론은 분수 양자 홀 효과 상태에서 위상 순서를 설명합니다. 수학에서는 매듭 불변량과 존스 다항식과 같은 3다항 불변량을 계산하는 데 사용되었습니다.^[1]

특히 Chern-Simons 이론은 이론의 게이지 군으로 알려진 단순한 Lie 군 G와 작용을 곱한 상수인 이론의 레벨로 불리는 숫자에 의해 지정됩니다. 작용은 게이지 의존적이지만, 레벨이 정수이고 게이지 필드 강도가 3차원 시공간의 모든 경계에서 사라지면 양자 이론의 분할 함수가 잘 정의됩니다.

위상 양자 컴퓨터(TQC)에 대한 이론 모델의 중심 수학적 대상이기도 합니다. 구체적으로, SU(2) Chern-Simons 이론은 TQC의 가장 간단한 비-아벨리안 애니온 모델인 양-리-피보나치 모델을 설명합니다.^[2][3]

3-매니폴드의 2차원 경계에 대한 Chern-Simons 이론의 역학은 등각장 이론, 특히 WZW 이론의 융합 규칙 및 등각 블록과 밀접한 관련이 있습니다.^[1][4]

고전이론

수학적 기원

1940년대에 S. S. S. Chern과 A. Weil은 미분기하학의 특성 클래스 이론에서 중요한 단계인 드 람 코호몰로지(Chern–Weil 이론)로서 매끄러운 다양체 M의 전역 곡률 특성을 연구했습니다. M 위의 평평한 G-원리 다발 P가 주어지면, g(G의 리 대수) 위의 G-접합 불변 다항식의 대수에서 $코호몰로지$ ${\displaystyle H}$∗${\displaystyle (}$M$,$ R) {\$displaystyle H$^{*}($M,\mathbb${R})}에 이르기까지 Chern-Weil 동형이라 불리는 고유한 동형이 존재합니다. 불변 다항식이 동차인 경우, 폐쇄 연결 ω의 모든 k-형태를 관련 곡률의 일부 2k-형태가 ω의 ω 형태로 적을 수 있습니다.

1974년 S. S. S. Chern과 J. H. Simons는 구체적으로 (2k - 1) 형태의 df(ω)를 건설했습니다.

${\displaystyle dTf(\omega )=f(\omega ^{k}),}$

여기서 T는 Chern-Weil 동형이다. 이 형태를 Chern-Simons 형태라고 합니다. df(ω)가 닫혀 있으면 위 식을 적분할 수 있습니다.

${\displaystyle Tf(\omega )=\int _{C}f(\omega ^{k}),}$

여기서 C는 M의 (2k - 1)차원 사이클입니다. 이 불변량을 Chern-Simons 불변량이라고 합니다. Chern-Simons 논문의 서론에서 지적한 바와 같이, Chern-Simons 불변 CS(M)는 어떤 순수한 조합 공식으로도 결정될 수 없는 경계 항입니다. 다음과 같이 정의할 수도 있습니다.

${\displaystyle \operatorname {CS}(M)=\int_{s(M)}{\tfrac {1}{2}}Tp_{1}\in \mathbb {R} /\mathbb {Z},}$

여기서 $p{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$ ${\$은 첫 번째 폰트랴긴 수이고 s(M)은 정규 직교 번들 P의 단면입니다. 또한 Chern-Simons 항은 Atiyah, Patodi 및 Singer에 의해 정의된 에타 불변량으로 설명됩니다.

게이지 불변성과 메트릭 불변성은 Chern-Weil 이론에서 인접한 Lie 그룹 작용 하에서 불변성으로 볼 수 있습니다. 물리학에서 필드 이론의 작용 적분(경로 적분)은 체른-사이먼스 형태와 윌슨 루프의 라그랑지안 적분, M의 벡터 다발의 홀로노미로 간주됩니다. 이것들은 Chern-Simons 이론이 위상장 이론과 밀접한 관련이 있는 이유를 설명합니다.

구성

Chern-Simons 이론은 경계가 있거나 없는 모든 위상 3-매니폴드 M에서 정의될 수 있습니다. 이 이론들은 슈바르츠 유형의 위상 이론이므로 M에 메트릭을 도입할 필요가 없습니다.

체른-사이먼스 이론은 게이지 이론으로, 게이지 군 G를 갖는 M에 대한 체른-사이먼스 이론의 고전적인 구성은 M에 대한 주 G-번들에 의해 기술된다는 것을 의미합니다. 이 번들의 연결은 리 군 G의 리 대수 g에서 값이 매겨진 연결 1-형태 A로 특징지어집니다. 일반적으로 연결 A는 개별 좌표 패치에서만 정의되며, 다른 패치의 A 값은 게이지 변환으로 알려진 맵과 관련이 있습니다. 이들은 외부 도함수 연산자 d와 연결 A의 합인 공변 도함수가 게이지 그룹 G의 인접 표현에서 변환된다는 주장을 특징으로 합니다. 공변 도함수의 제곱은 그 자체로 곡률 형태 또는 필드 강도라고 하는 g-값 2-형태 F로 해석될 수 있습니다. 또한 인접 표현에서 변형됩니다.

역학

Chern-Simons 이론의 작용 S는 Chern-Simons 3-형태의 적분에 비례합니다.

${\displaystyle S={\frac {k}{4\pi }}\int _{M}{\text{tr}}\,(A\wedge dA+{\tfrac {2}{3}}A\wedge A\wedge A).}$

상수 k를 이론의 수준이라고 합니다. Chern-Simons 이론의 고전 물리학은 레벨 k의 선택과 무관합니다.

고전적으로 시스템은 필드 A의 변화에 대한 작용의 극한인 운동 방정식으로 특징지어집니다. 필드 곡률의 관점에서

${\displaystyle F=dA+A\wedge A\,}$

필드 방정식은 명시적으로

${\displaystyle 0={\frac {\delta S}{\delta A}}={\frac {k}{2\pi }}F.}$

따라서 곡률이 모든 곳에서 사라지는 경우에만 고전적인 운동 방정식이 만족되며, 이 경우 연결은 평평하다고 합니다. 따라서 G Chern-Simons 이론에 대한 고전적인 해결책은 M 위의 주 G-다발의 평평한 연결입니다. 평면 연결은 전적으로 기저 M의 비계약 사이클 주위의 홀로노미에 의해 결정됩니다. 더 정확하게는, 그들은 M의 기본 그룹에서 결합까지의 게이지 그룹 G까지의 동형 사상의 동등한 클래스와 일대일 대응 관계에 있습니다.

M이 경계 N을 가지면 N에 대한 주 G-번들의 삼중화 선택을 설명하는 추가 데이터가 있습니다. 이러한 선택은 N에서 G까지의 지도를 특징으로 합니다. 이 지도의 역학은 Wess–Zumino에 의해 설명됩니다.레벨 k에서 N의 Witten(WZW) 모델.

양자화

Chern-Simons 이론을 표준적으로 정량화하기 위해 M의 각 2차원 표면 σ에 상태를 정의합니다. 어떤 양자장 이론에서와 마찬가지로, 상태들은 힐베르트 공간의 광선에 해당합니다. 슈바르츠형 위상장 이론에서는 선호되는 시간 개념이 없으므로 σ이 코시 표면이어야 한다고 요구할 수 있습니다. 사실 어떤 표면에서도 상태를 정의할 수 있습니다.

σ은 공차원 1이므로 σ을 따라 M을 자를 수 있습니다. 이러한 절단 후 M은 경계가 있는 매니폴드가 되며 특히 고전적으로 σ의 역학은 WZW 모델에 의해 설명됩니다. 위튼은 이 일치가 양자역학적으로도 성립한다는 것을 보여주었습니다. 보다 정확하게는 힐버트 상태 공간은 항상 유한 차원이며 레벨 k에서 GWZW 모델의 등각 블록 공간과 표준적으로 식별될 수 있음을 보여주었습니다.

예를 들어, σ가 2-구면일 때, 이 힐베르트 공간은 1차원이므로 상태는 하나뿐입니다. σ가 2-토러스일 때 상태는 k 수준에서 g에 해당하는 아핀 리 대수의 적분 가능한 표현에 해당합니다. 더 높은 속에서 등각 블록의 특성화는 Chern-Simons 이론의 Witten의 솔루션에 필요하지 않습니다.

관측 가능한 것

윌슨 고리

Chern-Simons 이론의 관측 가능한 것은 게이지 불변 연산자의 n점 상관 함수입니다. 게이지 불변 연산자 중 가장 자주 연구되는 종류는 윌슨 루프입니다. 윌슨 고리는 M의 고리를 둘러싼 홀로노미이며, G의 주어진 표현 R에서 추적됩니다. 우리는 윌슨 고리의 곱에 관심을 가질 것이므로, 일반성을 잃지 않고 우리의 관심을 축소할 수 없는 표현 R로 제한할 수 있습니다.

보다 구체적으로, 축소 불가능한 표현 R과 M의 루프 K가 주어졌을 때, 윌슨 루프 ${\displaystyle W_{}}$ (${\displaystyle K)}$ ${\displaystyle W_{R}(K)}$를 다음과$$ 같이 정의할 수 있습니다.

${\displaystyle W_{R}(K)=\operatorname {Tr}_{R}\,{\mathcal {P}}\exp \left(i\point_{K}A\right)}$

여기서 A는 연결 1-형태이고 우리는 윤곽 적분의 코시 주값을 취하고 $P{\displaystyle \mathcal{}}$ ${\displaystyle \exp }$ ${\displaystyle {\mathcal {P}}\exp}$는 경로 순서 지수입니다.

홈플라이와 존스 다항식

ℓ 서로소 고리들의 집합인 M의 링크 L을 생각해 보자. 특히 흥미로운 관찰 가능한 것은 각각 G의 기본적인 표현으로 추적되는 각 이산 루프 주위의 윌슨 루프의 곱으로부터 형성된 ℓ점 상관 함수입니다. 이 관측치를 0점 상관 함수인 분할 함수 Z(M)로 나누어 정규화된 상관 함수를 형성할 수 있습니다.

M이 3-구면인 특수한 경우에서 위튼은 이러한 정규화된 상관 함수가 알려진 매듭 다항식에 비례한다는 것을 보여주었습니다. 예를 들어, G = U(N) Chern-Simons 이론에서 k 수준에서의 정규화된 상관 함수는 위상까지, 다음과 같습니다.

${\displaystyle {\frac {\sin(\pi /(k+N))}{\sin(\pi N/(k+N))}}$

HOMFLY 다항식의 배. 특히 N = 2일 때 홈플라이 다항식은 존스 다항식으로 감소합니다. SO(N)의 경우, 카우프만 다항식과 유사한 표현식을 발견합니다.

위상 모호성은 위튼이 보여주었듯이 양자 상관 함수가 고전적인 데이터에 의해 완전히 정의되지 않는다는 사실을 반영합니다. 루프 자신과의 연결 수는 분할 함수의 계산에 들어가지만 이 수는 작은 변형에서 불변하지 않으며 특히 위상 불변이 아닙니다. 이 수는 각 루프에 대한 프레임을 선택하면 잘 정의될 수 있으며, 이는 루프를 변형하여 자기 연결 수를 계산하는 각 지점에서 선호되는 0이 아닌 정규 벡터를 선택합니다. 이 절차는 1934년 양자장 이론에서 겉보기에 발산하는 양을 정의하기 위해 폴 디랙과 루돌프 피어렐이 도입한 점 분할 정규화 절차의 한 예입니다.

Michael Atiyah 경은 오늘날 문헌에서 일반적으로 사용되며 ^{[citation needed]}잘 정의된 연결 번호로 이어지는 2-프레임의 표준 선택이 있음을 보여주었습니다. 표준 프레이밍을 사용하면 위의 위상은 2 πi/(k + N)의 지수로 L과 자신의 연결 수를 곱합니다.

문제(Jones 다항식을 일반 3-다항식으로 확장)

"원래 존스 다항식은 3-구(3-볼, 3-공간 R3)의 1-링크에 대해 정의되었습니다. 어떤 3-매니폴드에서도 1-링크에 대한 존스 다항식을 정의할 수 있습니까?"

이 문제의 배경과 이력은 이 문서의^[5] 섹션 1.1을 참조하십시오. Kauffman은 닫힌 방향 표면과 닫힌 간격의 제품 매니폴드의 경우 가상의 1-knot을 도입하여 해결책을 제출했습니다.^[6] 다른 경우에는 열려 있습니다. 존스 다항식에 대한 위튼의 경로 적분은 형식적으로 모든 콤팩트한 3-매니폴드의 링크에 대해 쓰이지만, 미적분학은 3-구(3-공, 3-공간³ R)가 아닌 다른 경우에는 물리 수준에서도 수행되지 않습니다. 이 문제는 물리학 수준에서도 열려 있습니다. 알렉산더 다항식의 경우 이 문제가 해결됩니다.

다른 이론과의 관계

위상 끈 이론

끈 이론의 맥락에서, 6-매니폴드 X의 배향된 라그랑지안 3-서브매니폴드 M에 대한 U(N) Chern-Simons 이론은 X에 대한 A 모델 위상 끈 이론에서 D-브레인 래핑 X로 끝나는 열린 끈의 끈 필드 이론으로 발생합니다. D5-branes 스택의 공간 채우기 세계 부피에 대한 B-모델 위상 개방 끈 필드 이론은 홀로모픽 체른-사이먼스 이론으로 알려진 체른-사이먼스 이론의 6차원 변형입니다.

WZW 및 행렬 모형

Chern-Simons 이론은 다른 많은 분야 이론과 관련이 있습니다. 예를 들어, 경계가 있는 다양체에서 게이지 군 G를 갖는 체른-사이먼스 이론을 고려하면 모든 3차원 전파 자유도가 측정되어 G Wess-Zumino로 알려진 2차원 등각장 이론이 남게 될 수 있습니다.경계에 있는 위튼 모형입니다. 또한 큰 N에서 U(N) 및 SO(N) Chern-Simons 이론은 행렬 모델에 의해 잘 근사화됩니다.

체른-사이먼스 중력 이론

1982년, S. Deser, R. Jackiw 그리고 S. 템플턴은 3차원적으로 체른-시몬스 중력 이론을 제안했고, 아인슈타인-중력 이론에서 힐버트 작용은 Chern-Simons 용어를 추가하여 수정됩니다. (Deser, Jackiw & Templeton (1982))

2003년 R. Jackiw와 S. Y. Pi는 이 이론을 4차원으로 확장했으며(Jackiw & Pi (2003)), Chern-Simons 중력 이론은 기초 물리학뿐만 아니라 응축 물질 이론과 천문학에도 상당한 영향을 미칩니다.

4차원 케이스는 3차원 케이스와 매우 유사합니다. 3차원에서 중력 체른-사이먼스 항은

${\displaystyle \operatorname {CS} (\Gamma )={\frac {1}{2\pi ^{2}}}\int d^{3}x\varepsilon ^{ijk}{\biggl (}\Gamma _{iq}^{p}\partial _{j}\Gamma _{kp}^{q}+{\frac {2}{3}}\Gamma _{iq}^{p}\Gamma _{jr}^{q}\Gamma _{kp}^{r}{\biggr )}.}$

이 변화는 면 텐서를 제공합니다.

${\displaystyle =-{\frac {1}{2{\sqrt {g}}}}{\bigl (}\varepsilon ^{mij}D_{i}R_{j}^{n}+\varepsilon ^{nij}D_{i}R_{j}^{m}).$

그런 다음, 3차원 중력의 Chern-Simons 수정은 필드 방정식에 위의 Cotton 텐서를 추가함으로써 이루어지는데, 이 텐서는 아인슈타인을 변화시킴으로써 진공해로 얻을 수 있습니다.힐버트 액션.

체른-사이먼 물질 이론

2013년 Kenneth A. Intriligator와 Nathan Seiberg는 이러한 3d Chern-Simons 게이지 이론과 그 위상을 여분의 자유도를 가진 모노폴을 사용하여 해결했습니다. 발견된 많은 바쿠아의 위튼 지수는 질량 매개변수를 켜서 공간을 압축한 다음 지수를 계산하여 계산되었습니다. 어떤 진공상태에서는 초대칭이 깨지는 것으로 계산되었습니다. 이러한 단극은 응축된 물질 소용돌이와 관련이 있습니다. (Intriligator & Seiberg(2013))

N = 6 Chern-Simons matter 이론은 ${\displaystyle \mathrm{Ad}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle 4_{}}$× ${\displaystyle S_{}}$ 7 ${\displaystyle AdS_{4}\times S_{7}$의 M-이론의 홀로그래픽 이중입니다$.$

4차원 체른-사이먼스 이론

2013년 케빈 코스텔로(Kevin Costello)는 2차원 '위상 평면'과 2차원(또는 하나의 복잡한 차원) 복소 곡선의 곱으로 구성된 4차원 다양체에 정의된 밀접한 관련 이론을 정의했습니다.^[7] 그는 후에 위튼, 마사히토 야마자키와 함께 이 이론을 더 자세히 ^[8][9][10]연구하여 게이지 이론이 정확하게 풀 수 있는 격자 모델(6개의 꼭짓점 모델이나 XXZ 스핀 체인과 같은), 적분 가능한 양자장 이론(그로스-네베우 모델과 같은)을 포함하여 적분 가능한 시스템 이론의 많은 개념과 어떻게 연관될 수 있는지 보여주었습니다. 주 카이랄 모델 및 대칭 공간 코세트 시그마 모델), 양-박스터 방정식 및 앞서 언급한 시스템의 통합성을 뒷받침하는 대칭을 설명하는 양안과 같은 양자 그룹.

$4-$manifold $M$ =$$σ × C {\displaystyle $M$=$\Sigma$\times $}$에서 σ {\displaystyle \Sigma}는 $매니폴드이고 C${\displaystyle C}는 복소 곡선입니다.

여기서$$ω ${\displaystyle$\omega}은(는) C${\$displaystyle$$C}의 메로모픽$형식$입니다.

다른 이론에서의 Chern-Simons 항

Chern-Simons 항은 위상 양자장 이론이 아닌 모델에도 추가될 수 있습니다. 3D에서 이 용어가 맥스웰의 전기역학 이론의 작용에 추가되면 거대한 광자가 생성됩니다. 이 용어는 대규모로 충전된 디랙 장에 적분함으로써 유도될 수 있습니다. 예를 들어 양자 홀 효과에서도 나타납니다. 다양한 이론에 Chern-Simons 용어를 추가하면 소용돌이 또는 솔리톤 유형의 솔루션이^[11][12] 생성됩니다. Chern-Simons 용어의 10차원 및 11차원 일반화는 모든 10차원 및 11차원 초중력 이론의 작용에 나타납니다.

레벨의 원루프 재규격화

체른-사이먼스 게이지 이론에 물질을 추가하면 일반적으로 더 이상 위상적이지 않습니다. 그러나 패리티 이상으로 인해 n개의 마요라나 페르미온을 추가하면 통합하면 -n/2만큼 Chern-Simons 레벨의 1루프 재규격화를 갖는 순수한 Chern-Simons 이론으로 이어집니다. 즉, n개의 페르미온을 갖는 레벨 k 이론은 페르미온이 없는 레벨 k - n/2 이론과 동등합니다.

참고 항목

• 게이지 이론(수학)
• Chern–Simons form
• 위상양자장론
• 알렉산더 다항식
• 존스 다항식
• 2+1D 위상 중력
• 스커미온

참고문헌

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특정한

외부 링크

• "Chern-Simons functional". Encyclopedia of Mathematics. EMS Press. 2001 [1994].