양자 미분학

양자 기하학 또는 비확장 기하학에서 $필드{\displaystyle }$ k ${\displaystyle k}$에 대한 $대수{\displaystyle }$ A ${\displaystyle A}$의 양자 미분학 또는 비확장 미분 구조는 대수 위에 있는 미분형 공간의 규격을 의미한다$$. 여기서$$ 대수 $A{\displaystyle }$ ${\displaystyle A}$은 좌표 링으로 간주되지만, 비확정적일 수 있고 따라서 실제 공간에서의 좌표 함수의 실제 대수일 수 없다는 것이 중요하므로, 이는 실제 공간에 대해 서로 다른 구조의 사양을 대체하는 관점을 나타낸다. 일반적인 미분 기하학에서는 미분 1-형식을 왼쪽과 오른쪽의 함수로 곱할 수 있으며, 외부 파생형이 존재한다. 이에 상응하여, 첫 번째 순서의 양자 미분학은 최소한 다음을 의미한다.

1. $A{\displaystyle }$ ${\$$displaystyle A}$- A ${\$$displaystyle$ A$}$ ${\displaystyle }$ $\Omega {\displaystyle {\mathrm{}}^{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}^{}}$ ${\$}에 대해$$${\displaystyle {\Omega \mathrm{}}^{}}$ 1${\$$Oomega$$^{1}$의 원소를$$ $연관성{\displaystyle }$ 방식으로$$ 곱할 수 있다.

${\displaystyle a}$ (${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle b}$)${\displaystyle }$= (${\displaystyle \Omega }$) b${\displaystyle }$, b${\displaystyle a}$ ${\displaystyle a}$ , ${\displaystyle ba}$A ,${\displaystyle }$Ω ${\displaystyle {\mathrm{}}^{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}^{}}${\$displaystyle a(\omega$ b$)=(a\omega )$b$, \$all $a,b\in$ A$,\\\\\\omegain \{1$

2. 선형지도 $d{\displaystyle \mathrm{}}$: ${\displaystyle A}$→ ${\displaystyle {\Omega \mathrm{}}^{}}$ 1 ${\$$A\to \Oomega ^{1$} 라이프니즈 규칙 준수$$

${\daystyle {\rm {d}(ab)=a({\rm {d}b)+({\rm {d}a)b,\\all a,b\in A}$

3. ${\displaystyle {\Omega \mathrm{}}^{}}$ 1${\displaystyle {}^{}}$=${\displaystyle }${ a ${\displaystyle (d}$ b${\displaystyle }$) a${\displaystyle }$, ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle \in }$ A${\displaystyle \}}$ ${\displaystyle \Oomega ^{1}=\{a({\rm{d}b)\$\$a,b\in A\}}$

4. (선택적 연결 조건) ${\displaystyle \ker \text{ker}\mathrm{}}$d = ${\displaystyle \mathrm{k}}$ 1 ${\displaystyle \ker \{\rm {d}=k1}$

마지막 조건은 다지관이 연결되었을 때 항상 부과되는 것은 아니지만 일반적인 기하학에서 유지된다. $d{\displaystyle \mathrm{}}$ ${\$에 의해 소멸되는 기능은 상수함수뿐이라고$$ 되어 있다.

$외부{\displaystyle }$ 대수 또는 차등 $등급$의 대수 $구조$가 A ${\$displaystyle A$}$에 걸쳐 있다는 것은 Ω ${\displaystyle {1\mathrm{}}^{}}$ ${\$}의 호환 가능한 확장을 의미하며$$$$, 차등 형식의 유사도를 포함한다.

${\displaystyle \Oba =\oplus _{n}\Oba ^{n}}\\rm {d}:\오메가 ^{n}\to \오메가 ^{n+1}$

$\Omega {\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle \Oomega}$의 연관 제품에 대해 등급이 지정된 Leibniz 규칙을 준수하고$$ d ${\displaystyle 2^{\mathrm{}}}$= ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle {\rm}^{$d}^{$2}=0}$. 여기서 $\Omega {\displaystyle {\mathrm{}}^{}}$ ${\displaystyle {0\mathrm{}}^{}}$= ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \Oomega ^{0}=A}$을(를) 생성하려면 일반적으로 $\Omega {\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle \Oomega }$이(가) $A{\displaystyle }$, ${\displaystyle {\mathrm{}}^{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}^{}}$ ${\$에 의해 생성되어야$$ 한다$.$ 미분형(美分形)의 산물은 외형(外形) 또는 쐐기( wedge wedge)라고 불리며, 흔히 $\wedge {\displaystyle }$ ${\displaystyle \wedge }$로 표기된다$.$ 비계산적 또는 양자 데 Rham cohomology는 이 콤플렉스의 코호몰로지로서 정의된다.

고차 미적분은 외부 대수를 의미하거나, 어느 정도 높은 정도까지의 부분 명세를 의미할 수 있으며, 불특정 다수를 초과하는 정도의 결과를 초래할 수 있는 제품을 의미할 수 있다.

위의 정의는 비확정 기하학에 대한 두 가지 접근방식의 갈림길에 놓여 있다. Connes 접근방식에서 보다 근본적인 물체는 스펙트럼 트리플의 형태로 Dirac 연산자를 대체하는 것이며, 이 데이터로부터 외부 대수학을 구성할 수 있다. 양자 그룹에 접근하는 비확정 기하학에서는 대수학 및 첫 번째 순서 미적분학의 선택으로 시작하지만 양자 그룹 대칭 하에서 공분산에 의해 구속된다.

참고

위의 정의는 미미하며 대수 $A{\displaystyle }$ ${\displaystyle A}$이(가) 교호적이거나$$ 실제 공간에서 기능하는 경우에도 고전적인 미분학보다 더 일반적인 것을 준다. 우리가 그것을 요구하지 않기 때문이다.

${\rem a({\rm {d}b)=({\rm {d}b)a,\ \all a,b\in A}$

$이$는 d${\displaystyle }$( ${\displaystyle b}$- ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle a}$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle 0}$, b${\displaystyle \mathrm{}a}$ a${\displaystyle }$, ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle {\rm{d}(ab-ba)=0,\ for \all$ a$,b\in A$을 의미할 것이기 때문에, 이는 대수학이 비계산적이었을 때 공리법 4를 위반하게 된다. 부산물로서, 이 확대된 정의는 유한 집합과 유한 집단에 대한 유한 차이 캘커리와 양자 미분 캘커리를 포함한다(마인라이트 그룹 리 대수 이론).

예

1. $A{\displaystyle }$= ${\displaystyle C}$[ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle ]}$ ${\displaystyle$ A$={\mathb {C}}$}[$x]$의 경우$$, 변환 공변량 양자 미분 계산기는${\displaystyle \lambda \mathbb{}}$ C ${\$에 의해 파라메트리되어 형태를$$ 취한다.

${\displaystyle \Oomega ^{1}={\mathb {C} }.{\rm {d}x,\cHB({\rm {d}x)=f(x)(x+\fda))({\rm {d}x)\\rm {d}f={f(x+\f)-f(x) \rm{d}x}}\rm {d}}}$

이는 양자 기하학에서 얼마나 유한한 차이가 자연스럽게 발생하는지를 보여준다. 제한치 $\lambda {\displaystyle }$→ ${\displaystyle 0}$ ${\디스플레이스타일 \lambda \to 0}$만 1폼으로 통근하는 기능이 있어$$ 고교 미적분학의 특수한 경우다.

2. For ${\displaystyle A={\mathbb {C} }[t,t^{-1}]}$ the algebra of functions on an algebraic circle, the translation (i.e. circle-rotation)-covariant differential calculi are parametrized by ${\displaystyle q\neq 0\in \mathbb {C} }$ and take the form

${\displaystyle \Oomega ^{1}={\mathb {C} }.{\rm {{d}t,\cHB({\rm{d}t)=f(t)=f(qt)({\rm{d}t),\rem {d}f={f(qt)-f(t) \over q(t-1)}\,{\rm {dt}}}}}}}$

$이$는$$q {\$displaystyle q}$ -차이가 양자 기하학에서$$ 자연적으로 발생하는 방식을 보여준다.

3. 모든 대수 $A{\displaystyle }$ ${\displaystyle A}$에 대해 다음과$$ 같이 정의되는 범용 미분적분학을 가지고 있다.

${\displaystyle \Oomega ^{1}=\ker(m:A\ote A\to A),\quad {\rm {d}a=1\time a-a=1\time 1,\quad \all a\in A}$

$여기$서 m ${\displaystyle m}$은 대수 제품이다. 공리 3에 따르면, 어떤 첫 번째 순서 미적분학도 이것의 몫이다.

참고 항목

• 양자 기하학
• 비확정 기하학
• 양자 미적분학
• 양자군
• 양자 스페이스타임

추가 읽기

• Connes, A. (1994), Noncommutative geometry, Academic Press, ISBN 0-12-185860-X
• Majid, S. (2002), A quantum groups primer, London Mathematical Society Lecture Note Series, 292, Cambridge University Press, doi:10.1017/CBO9780511549892, ISBN 978-0-521-01041-2, MR 1904789