루프 양자 중력

루프 양자중력(LQG)은 양자역학과 일반상대성이론을 융합하는 양자중력 이론으로, 표준모형의 물질을 순수 양자중력 케이스에 대해 확립된 프레임워크에 통합한다.중력을 힘으로 다루는 것이 아니라 아인슈타인의 기하학적 공식에 직접 입각한 양자 중력 이론을 발전시키려는 시도다.이론적으로 LQG는 공간과 시간의 구조가 매우 미세한 직물이나 네트워크로 짜여진 유한한 루프로 구성되어 있다고 가정합니다.이러한 루프의 네트워크를 스핀 네트워크라고 부릅니다.스핀 네트워크의 진화, 즉 스핀 폼은 플랑크 길이보다 약⁻³⁵ 10미터 높은 눈금을 가지고 있으며 더 작은 눈금은 의미가 없습니다.결과적으로, 물질뿐만 아니라 우주 자체도 원자 구조를 선호한다.

전 ^[1]세계적으로 약 30개의 연구 그룹이 참여하는 연구 분야는 양자 공간에 대한 기본적인 물리적 가정과 수학적 기술을 공유한다.연구는 두 가지 방향으로 진화했습니다: 보다 전통적인 표준 루프 양자 중력과 스핀 폼 이론이라고 불리는 새로운 공변 루프 양자 중력입니다.루프 양자 중력의 직접적인 결과로 발전된 가장 잘 발달된 이론은 루프 양자 우주론(LQC)이라고 불린다.LQC는 빅뱅의 개념을 빅 바운스의 더 넓은 이론에 통합하면서 초기 우주의 연구를 진전시킵니다. 빅 바운스는 빅뱅을 빅 크런치라고 할 수 있는 수축기에 이은 팽창기의 시작이라고 생각합니다.

역사

1986년, Abhay Ashtekar는 아인슈타인의 일반 상대성 이론,^[2] 특히 Yang-Mills 이론에 가까운 언어로 재구성했습니다.얼마 후, 테드 제이콥슨과 리 스몰린은 새로운 애쉬테카 변수에 다시 쓰여졌을 때, 휠러-드윗 방정식이라고 불리는 양자 중력의 공식 방정식이 루프로 표시된 해답을 인정한다는 것을 깨달았다.Carlo Rovelli와 Smolin은 이러한 루프 솔루션의 관점에서 비교란적이고 배경에 의존적인 중력 양자 이론을 정의했습니다.Jorge Pullin과 Jerzy Lewandowski는 루프의 교차점은 이론의 일관성에 필수적이며, 이론은 교차 루프 또는 그래프로 공식화되어야 한다는 것을 이해했습니다.

1994년, Rovelli와 Smolin은 면적과 부피에 관련된 이론의 양자 연산자가 이산 스펙트럼을 가지고 있다는 것을 보여주었다.즉, 지오메트리가 양자화됩니다.이 결과는 양자 기하학의 상태에 대한 명시적 근거를 정의하며, Roger Penrose의 스핀 네트워크에 의해 라벨링된 것으로 판명되었으며, 스핀에 의해 라벨링된 그래프이다.

역학의 표준 버전은 토마스 티만(Thomas Tiemann)에 의해 확립되었으며, 그는 이상 없는 해밀턴 연산자를 정의했고 수학적으로 일관된 배경 독립 이론의 존재를 보여주었다.공변량 또는 "스핀 폼" 버전은 프랑스, 캐나다, 영국, 폴란드 및 독일의 연구 그룹에 의해 수십 년에 걸쳐 공동으로 개발되었다.2008년에 완성되어 전이 진폭 패밀리의 정의로 이어졌으며, 고전적 한계에서는 일반 상대성 ^[3]이론의 절단과 관련이 있는 것으로 나타날 수 있다.이 진폭의 미세도는 ^[4]^[5]2011년에 증명되었다.그것은 양의 우주 상수의 존재를 요구하는데, 이것은 우주의 팽창에서 관측된 가속도와 일치합니다.

백그라운드 독립성

LQG는 공식적으로 백그라운드에 의존하지 않습니다.즉, LQG의 방정식은 (불변 토폴로지를 제외하고) 공간과 시간에 포함되어 있지 않거나 이에 의존하지 않습니다.대신, 그들은 플랑크 길이의 10배 거리에서 시공을 발생시킬 것으로 예상된다.LQG의 백그라운드 독립성 문제는 아직 해결되지 않은 세부사항을 가지고 있다.예를 들어, 어떤 파생물은 토폴로지의 고정된 선택을 필요로 하는 반면, 일관된 양자 중력 이론은 동적 ^{[citation needed]}과정으로 토폴로지 변화를 포함해야 한다.

물리학이 일어나는 "컨테이너"로서의 시공간은 객관적인 물리적 의미가 없으며, 대신 중력 상호작용은 세계를 형성하는 분야 중 하나로 표현된다.이것은 시공간의 관계론적 해석으로 알려져 있다.LQG에서는 일반상대성이론의 이러한 측면이 심각하게 받아들여지며, 이 대칭은 미분형태의 생성기 하에서 물리적 상태가 불변하게 유지되도록 요구함으로써 보존된다.이 조건의 해석은 순수하게 공간적 미분 동형사상에 대해 잘 이해된다.그러나, 시간을 수반하는 미분 동형의 이해(해밀턴 제약)는 일반 상대성 ^[6]이론에서 역학 및 소위 "시간의 슬레이브 특성"과 관련이 있기 때문에 더 미묘하다.이 제약을 설명하기 위해 일반적으로 인정되는 계산 프레임워크는 아직 ^[7]^[8]발견되지 않았다.양자 해밀턴 제약 조건의 그럴듯한 후보는 ^[9]티만이 도입한 연산자이다.

제약 조건 및 포아송 괄호 대수

디랙 관측 가능량

구속조건은 원래 위상 공간에서 구속조건 표면을 정의합니다.구속조건의 게이지 동작은 모든 위상 공간에 적용되지만 구속조건 표면을 그대로 유지한다는 특징이 있으므로 게이지 변환 아래 초표면의 한 점의 궤도는 완전히 그 내부의 궤도가 됩니다.디랙 관측 가능은 구속 방정식이 적용될 때 포아송이 모든 구속조건과 함께 이동하는 위상 공간 함수 $(\displaystyle$ O $O$ 로 정의됩니다.

\{G_{j}_{G_{j}=C_{a}=H=0}={C_{a},O\}_{G_{a}=H=0}=\{H,O\}_{G_{j}={C=0A

즉, 이들은 이론의 게이지 변환에 따라 변하지 않는 구속 표면에서 정의된 양이다.

그런 다음 제약 $G_{j}=0$ $G_{j}=0$ $=$ {\ $displaystyle$ $G_{j$ }= $0}$ 만 $G_{j}=0$ 해결하고 이에 대한 Dirac 관측 가능량을 결정하면 제약 $H,C_{a}$ H $,$ $,$ $C_{a$ 가 있는 Arnowitt-Deser-Misner(ADM) 위상 공간으로 돌아갑니다.일반 상대성 이론의 역학은 제약조건에 의해 생성되며, 시간 진화를 설명하는 6개의 아인슈타인 방정식(실제로 게이지 변환)은 공간 미분 동형과 해밀턴 콘스트라이의 선형 조합으로 3미터의 포아송 괄호와 그것의 공역 운동량을 계산함으로써 얻을 수 있다는 것을 보여줄 수 있다.물리적 위상 공간을 주는 제약조건의 소멸은 다른 네 가지 아인슈타인 ^[10]방정식이다.

제약조건의 양자화 – 양자일반상대성이론의 방정식

역사 이전과 아슈테카 새 변수

정준 양자 중력의 많은 기술적 문제들은 제약조건 주변에서 일어난다.표준 일반상대성이론은 원래 계량 변수의 관점에서 공식화되었지만, 표준 변수에 대한 높은 비선형 의존성 때문에 양자 연산자에 대한 제약을 촉진하는 데 극복할 수 없는 수학적 어려움이 있는 것처럼 보였다.아슈테카르의 새로운 변수의 도입으로 방정식은 훨씬 단순화되었다.Ashtekar 변수는 게이지 이론과 더 가까운 새로운 표준 변수 쌍의 관점에서 표준 일반 상대성을 기술합니다.첫 번째 단계는 밀도화 ${\tilde {E}}_{i}^{a}$ E $({$ $E_{i}^{a}$ $E_{i}^{a}$ a { $displaystyle E_{i}^a}$ 는 $E_{i}^{a}$ 단순히 $i$ ${\textstyle {\tilde {E}}_{i}^{a}={\sqrt {\det(q)}}E_{i}^{a}}$ $i=1,2,3$ , $i=1,2,3$ , $i=1,2,3$ ({ $displaystyle$ i $=$ ${\textstyle {\tilde {E}}_{i}^{a}={\sqrt {\det(q)}}E_{i}^{a}}$ , 2, $i=1,2,3$ 3})로 $i=1,2,3$ 표시된 직교 벡터 필드입니다 ${\textstyle {\tilde {E}}_{i}^{a}={\sqrt {\det(q)}}E_{i}^{a}}$ ${\textstyle {\tilde {E}}_{i}^{a}={\sqrt {\det(q)}}E_{i}^{a}}$ 메트릭에 대한 정보를 인코딩하기 위해 E $(\$ q)}}) $_{i}^a$ 를 ${\textstyle {\tilde {E}}_{i}^{a}={\sqrt {\det(q)}}E_{i}^{a}}$ 합니다.

\det(q)q^{ab}=sqtilde {E}_{i}^{a}{\tilde {E}_{j}^{b}\delta ^{ij}.

(여기서 $\delta ^{ij}$ $\delta ^{ij}$ j \ $displaystyle$ \ $delta$ ^ { $ij$ }는 $\delta ^{ij}$ 평면 공간 메트릭이며, 위의 방정식은 $q^{ab}$ $q^{ab}$ b $q^{ab}$ a { $displaystyle$ q ^ { $ab$ 는 기초 E $E_{i}^{a}$ a $E_{i}^{a}$ { i $_$ { $i$ }^{ a $E_{i}^{a}$ } }로 로컬 평면임을 $q^{ab}$ ).(측정지표 대신 삼합법으로 일반상대성이론을 공식화한 것은 어제오늘의 일이 아니다.고밀도 삼합회로는 고유하지 않으며, 실제로 내부 $지수$ 에 대해 공간 회전을 로컬로 수행할 수 $있습니다$ 캐논 공역 변수는 ${\textstyle K_{a}^{i}=K_{ab}{\tilde {E}}^{ai}/{\sqrt {\det(q)}}}$ ${\textstyle K_{a}^{i}=K_{ab}{\tilde {E}}^{ai}/{\sqrt {\det(q)}}}$ i $=$ ${\textstyle K_{a}^{i}=K_{ab}{\tilde {E}}^{ai}/{\sqrt {\det(q)}}}$ a ${\textstyle K_{a}^{i}=K_{ab}{\tilde {E}}^{ai}/{\sqrt {\det(q)}}}$ E ~ ${\textstyle K_{a}^{i}=K_{ab}{\tilde {E}}^{ai}/{\sqrt {\det(q)}}}$ / ${\textstyle K_{a}^{i}=K_{ab}{\tilde {E}}^{ai}/{\sqrt {\det(q)}}}$ ( ${\textstyle K_{a}^{i}=K_{ab}{\tilde {E}}^{ai}/{\sqrt {\det(q)}}}$ ) { $textstyle$ K_ ${a}^{i$ }= $K_{ab}{E}^ai}/{\sqrt {det(q$ 에 ${\textstyle K_{a}^{i}=K_{ab}{\tilde {E}}^{ai}/{\sqrt {\det(q)}}}$ 외인성 곡률과 관련되지만, 계량화를 시도할 때 이와 유사한 문제가 발생한다.Ashtekar의 새로운 통찰력은 새로운 구성 변수를 도입하는 것이었습니다.

$A_{a}^{i}=\Gamma_{a}^i}-iK_{a}^{i$

$\operatorname {SU} (2)$ SU로 $\operatorname {SU} (2)$ 한다 $\operatorname {SU} (2)$ $displaystyle \operatorname {SU}$ (2) $접속$ (여기서 $\Gamma _{a}^{i}$ $\Gamma _{a}^{i}=\Gamma _{ajk}\epsilon ^{jki}$ $\Gamma _{a}^{i}=\Gamma _{ajk}\epsilon ^{jki}$ { \ $displaystyle$ $\Gamma _{a}^{i}=\Gamma _{ajk}\epsilon ^{jki}$ \ $Gamma$ _ { $a$ }^{ i $}$ ) $\operatorname {SU} (2)$ $\Gamma _{a}^{i}=\Gamma _{ajk}\epsilon ^{jki}$ $\Gamma _{a}^{i}=\Gamma _{ajk}\epsilon ^{jki}$ $\Gamma _{a}^{i}=\Gamma _{ajk}\epsilon ^{jki}$ $\Gamma _{a}^{i}=\Gamma _{ajk}\epsilon ^{jki}$ k $ki$ \ $Gamma =$ { i}^{i} )^{a $}$ ) $a}^{i}}$ 는 $A_{a}^{i}$ 키랄 스핀 연결이라고 불린다.이 예에서는 공변 ${\mathcal {D}}_{a}$ $(\displaystyle {D}_$ a})를 정의하고 있습니다 ${\tilde {E}}_{i}^{a}$ E ~ $(\displaystyle {E}_{$ i}^{ $a})$ 는 ${\tilde {E}}_{i}^{a}$ $A_{a}^{i}$ 의 공변수 A_ ${displaystyle A_{a}^i$ 의 공변수인 것으로 ${\tilde {E}}_{i}^{a}$ .

그런 다음 Ashtekar 변수에서의 제약에 대한 표현은 다음과 같다: 가우스의 법칙, 공간 미분 동형 제약 및 (밀집화된) 해밀턴 제약:

G^{i}=mathcal {D}_{a}{\tilde {E}_{i}^{a}=0

({displaystyle C_{a}={tilde {E}_{i}^{b}) F_{ab}^{i}-A_{a}^i}({\mathcal {D}_{b}{\tilde {E}_{i}^{b})=V_{a}-A_{a}^{i}G^{i}=0,}

{H}=\epsilon _{ijk}{\tilde {E}{a}{\tilde {E}_{j}{b}F_{ab}^k}=0

여기서 $F_{ab}^{i}$ a $F_{ab}^{i}$ $($ 스타일 $F_{ab}^{$ i $})$ 는 연결 $A_{a}^{i}$ $($ A_ ${a}^i})$ 의 $A_{a}^{i}$ 전계 강도 텐서이고, $V_{a}$ $($ V_ ${a})$ 는 $V_{a}$ 벡터 구속조건이다.위의 국소 공간 회전 불변성은 가우스 법칙에 의해 표현되는 SU $\operatorname {SU} (2)$ ( $\operatorname {SU} (2)$ ) \ $displaystyle \operatorname {SU}$ (2) $게이지$ 불변성의 원본이다.이러한 제약조건은 메트릭 공식의 제약조건과 달리 기본변수에서는 다항식입니다.이러한 극적인 단순화는 제약조건을 수량화하는 길을 열어주는 것처럼 보였다.(Ashtekar의 형식주의의 파생은 Self-dual Palatini action 기사를 참조하십시오).

Ashtekar의 새로운 변수에서는 설정 $A_{a}^{i}$ $A_{a}^{i}$ $A_{a}^{i}$ ${\$ 에 따라 wavefunctions $\Psi (A_{a}^{i})$ ( $\Psi (A_{a}^{i})$ a $\Psi (A_{a}^{i})$ $){displaystyle \Psi (A_{a}^i$ 를 고려하는 것이 당연합니다.이것은 접속 표현입니다.이는 $구성$ 변수q\ $displaystyle$ q $\$ $\psi (q)$ ( ( $)\display\psi$ 를 가진 일반적인 양자역학과 유사합니다.구성 변수는 다음을 통해 양자 연산자로 승격됩니다.

{A}_{a}^i}\Psi(A)=A_{a}^{i}\Psi(A),

( ${\hat {q}}\psi (q)=q\psi (q)$ ^ ${\hat {q}}\psi (q)=q\psi (q)$ ^ ${\hat {q}}\psi (q)=q\psi (q)$ ) $=$ ${\hat {q}}\psi (q)=q\psi (q)$ $q$ ）（ displaystyle { hat { $q}\psi$ ( $q)=q\psi$ (q $)$ ） the the 、 adsads 、 adsads 、 adsadsads ）、 adsads ads 、 ads ads adsadsadsads ( ( ( ( ( ( (

({displaystyle {E_{i}^a}}}:\Psi(A)=-i{\delta\Psi(A)\over\displaystyle A_{a}^i}).}

( ${\hat {p}}\psi (q)=-i\hbar d\psi (q)/dq$ ( $q$ ) ${\hat {p}}\psi (q)=-i\hbar d\psi (q)/dq$ - ${\hat {p}}\psi (q)=-i\hbar d\psi (q)/dq$ ${\hat {p}}\psi (q)=-i\hbar d\psi (q)/dq$ diagnost d ${\hat {p}}\psi (q)=-i\hbar d\psi (q)/dq$ ) / ${\hat {p}}\psi (q)=-i\hbar d\psi (q)/dq$ q { $displaystyle$ {p $}\psi (q$ ) = - $i\hbar d\psi (q)$ / $dq$ ）。양자 이론으로 넘어가면 제약조건은 운동학적 힐버트 공간( $무제한$ SU $\operatorname {SU} (2)$ ( 2 $)\displaystyle$ \ $operatorname$ ${SU}$ (2) Yang-Mills Hilbert 공간)에서 연산자가 된다.A $(style$ A $A$ 와 E $($ $style$ E)의 순서가 다르면 E $(style A$ 와 E( $style$ $E)$ 를 파생 모델로 교체할 때 서로 다른 오퍼레이터가 발생한다는 점에 유의하십시오. 이러한 선택을 팩터 순서라고 하며 물리적 추론을 통해 선택해야 합니다.정식으로 그들은 읽는다.

{G}}_{j}\vert \psi \rangle = 0

{C}}_{a}\vert \psi \rangle = 0

(\displaystyle\hatde{H}}\vert\psi\rangle=0).}

이 모든 방정식을 적절하게 정의하고 푸는 데는 여전히 문제가 있다.예를 들어, Ashtekar가 사용한 해밀턴 제약은 원래 해밀턴이 아닌 고밀도 버전이었다. 즉, 그는 ${\textstyle {\tilde {H}}={\sqrt {\det(q)}}H}$ H ~ ${\textstyle {\tilde {H}}={\sqrt {\det(q)}}H}$ det ( ${\textstyle {\tilde {H}}={\sqrt {\det(q)}}H}$ ) ${\textstyle {\tilde {H}}={\sqrt {\det(q)}}H}$ H ( \ $textstyle$ { $H$ } = $sqrt \ det$ ( $q$ ) ${\textstyle {\tilde {H}}={\sqrt {\det(q)}}H}$ $H$ 。양자 연산자에게 이 양을 홍보하는 데 심각한 어려움이 있었다.게다가, 아슈테카 변수는 해밀턴을 단순화시키는 장점이 있었지만, 그것들은 복잡하다.이론을 양자화할 때 복잡한 일반 상대성 이론과 달리 실제 일반 상대성을 회복하는 것은 어렵다.

양자 일반 상대성 방정식으로서의 양자 제약

얼룩진 가우스의 ${\textstyle G(\lambda )=\int d^{3}x\lambda ^{j}(D_{a}E^{a})^{j}}$ G ( ${\textstyle G(\lambda )=\int d^{3}x\lambda ^{j}(D_{a}E^{a})^{j}}$ ) ${\textstyle G(\lambda )=\int d^{3}x\lambda ^{j}(D_{a}E^{a})^{j}}$ ${\textstyle G(\lambda )=\int d^{3}x\lambda ^{j}(D_{a}E^{a})^{j}}$ d ${\textstyle G(\lambda )=\int d^{3}x\lambda ^{j}(D_{a}E^{a})^{j}}$ ${\textstyle G(\lambda )=\int d^{3}x\lambda ^{j}(D_{a}E^{a})^{j}}$ ${\textstyle G(\lambda )=\int d^{3}x\lambda ^{j}(D_{a}E^{a})^{j}}$ j ( ${\textstyle G(\lambda )=\int d^{3}x\lambda ^{j}(D_{a}E^{a})^{j}}$ ${\textstyle G(\lambda )=\int d^{3}x\lambda ^{j}(D_{a}E^{a})^{j}}$ ${\textstyle G(\lambda )=\int d^{3}x\lambda ^{j}(D_{a}E^{a})^{j}}$ a ) ${\textstyle G(\lambda )=\int d^{3}x\lambda ^{j}(D_{a}E^{a})^{j}}$ \ $textstyle$ G ( \ $lambda$ ) = \ $int$ d $^{3}x\lambda$ ^{ $j}(D_{a}E^{a}$ a})의 고전적인 결과 $^{j$ 연결은

\displaystyle \{G(\lambda), A_{a}^{i}\}=\partial_{a}\partial_{a}\partial_{i}+g\ilon^{ijk}A_{a}^{j}\lambda^{k}=(D_{a}\lambda)^{i}}.

양자 가우스의 법칙은

{G}_{j}\Psi(A)=-iD_{a}{\delta\psi [A]\over \displaystyle A_{a}^{j}=0.

양자 가우스의 법칙을 왜곡하고 양자 상태에 대한 그 작용을 연구하면 양자 상태에 대한 제약의 작용은 $(파라미터$ $\lambda$ \ $displaystyle$ $\$ lambda $}$ small) 게이지 변환에 의해 δ(\displaystyle $\$ $Psi })$ 의 $\Psi$ $\lambda$ 인수를 극소수(\displaystyle\ $lambda$ } small)로 이동하는 것과 동등하다는 것을 알 수 있다.

\displaystyle \left [1+\int d^{3}x\lambda ^{j}(x){\hat {G}_{j}\right]\Psi (A)=\Psi [A+D\lambda]=\Psi [A],}

마지막 정체성은 제약이 국가를 전멸시킨다는 사실에서 비롯됩니다따라서 양자 연산자로서 제약조건은 고전적으로 소멸된 것과 동일한 대칭성을 부여하고 있습니다. 즉, 함수 $\Psi [A]$ [ $]$ \ $displaystyle \Psi [A]$ 는 $\Psi [A]$ 접속의 게이지 불변함수여야 합니다.다른 제약 조건에도 같은 생각이 적용됩니다.

따라서 $C_{I}=0$ $C_{I}=0$ I $C_{I}=0$ $(\displaystyle$ C_{)을 해결하기 위한 고전 이론의 두 단계 프로세스입니다. $I}=0}($ 초기 데이터에 대한 허용 조건 해결과 동일) 및 게이지 궤도 찾기('최초' 방정식 해결)는 양자 이론의 한 단계 프로세스, 즉 ${\hat {C}}_{I}\Psi =0$ $\Psi$ ${\hat {C}}_{I}\Psi =0$ $\Psi$ ^ ${\hat {C}}_{I}\Psi =0$ $=$ ${\hat {C}}_{I}\Psi =0$ {\ $style {C}}$ { $I$ } {\style} {\ $Psi}$ {I} {I} {I}의 $\Psi$ 해법을 찾는 것으로 대체됩니다.}\Psi $=0$ 입니다 $.$ 이는 양자 수준에서 제약을 분명히 해결하면서 동시에 게이지 불변 상태를 찾기 때문입니다. ${\hat {C}}_{I}$ C ${\hat {C}}_{I}$ ^ ${\hat {C}}_{I}$ {\ $displaystyle {C}} _$ {I $}}$ 는 ${\hat {C}}_{I}$ 게이지 변환의 양자 발생기입니다(게이지 불변 함수는 게이지 궤도를 따라 일정하므로 ^[11]특성이 있습니다).고전적인 수준에서 수용성 조건과 진화 방정식을 푸는 것은 아인슈타인의 모든 장 방정식을 푸는 것과 동등하다는 것을 기억하세요. 이것은 표준 양자 중력에서 양자 구속 방정식의 중심 역할을 강조합니다.

루프 표현 도입

특히 로벨리와 스몰린이 게이지 이론과 양자 ^[12]중력의 루프 표현을 고려하게 된 것은 가우스의 법칙과 공간 미분 동형 제약에 대한 해답의 공간을 잘 제어할 수 없었기 때문이다.

LQG에는 홀로노미의 개념이 포함되어 있습니다.홀로노미는 닫힌 루프를 중심으로 병렬 전송한 후 스피너 또는 벡터의 초기값과 최종값이 얼마나 다른지를 측정하는 것입니다.

h_{\gamma }[A]

[

]

{

displaystyle

h _ { \

gamma

} [ A

]

h_{\gamma }[A]

。

홀로노미에 대한 지식은 접속에 대한 지식과 동등하며, 게이지 등가까지는 동등합니다.홀로노미는 또한 모서리와 연관될 수 있습니다; 가우스의 법칙에 따라 이러한 변환은 다음과 같이 변환됩니다.

(h'_{e})_{\alpha \display }=U_{\alpha \display }{-1}(x)(h_{e})_{\display \sigma \display }(y)

폐쇄 $x=y$ x $x=y$ {\ $display$ x $=y}$ 이고 $x=y$ $\alpha =\beta$ $=$ β {\ $displaystyle \alpha$ =\ $display$ 로 $\alpha =\beta$ 할 경우, 다음과 같이 산출됩니다.

\displaystyle (h'_{e}_{\alpha \alpha }=U_{\alpha \alpha }{-1}(x)(h_{e})_{\alpha }(x)_{\sigma \ala }(x)=[U_{\sigma \alpha }(x)U_{\alpha \alpha }^{-1}(x)](h_{e})_{\alpha \alpha \alpha }(x)_{\alpha \alpha }(x)_{\alpha \alpha }_{e} =\alpha \alpha \alpha}

또는

{\displaystyle \operatorname {Tr} h'_{\display}=\operatorname {Tr} h_{\display}}.

닫힌 루프 주위의 홀로노미의 흔적은

\displaystyle W_{\gamma}[A]}

윌슨 루프라고 불립니다.따라서 윌슨 루프는 게이지 불변입니다.홀로노미의 명시적 형식은

h_{\display}[A]=parammathcal {P}\exp \left\{-\int_{\display_{0}^{1}ds(ds) 도트 {\displaystyle}^{a}A_{a}^{i}(\gamma(s))T_{i}\right\

$T_{i}$ 서 ${\$ { \ $displaystyle$ \ $gamma$ $}$ 는 홀로노미를 $s$ 하는 곡선,s {\ $displaystyle$ s}는 $s$ 곡선을 따른 파라미터 $,$ ${\mathcal {P}}$ {\ $T_{i}$ displaystyle { $P$ $}}$ 는 ${\mathcal {P}}$ 왼쪽에 표시되는 s{\ $displaystyle$ s $}$ 의 $s$ $작은$ 값에 대한 경로 순서 의미 계수를 $.$ SU $\operatorname {SU} (2)$ ( $\operatorname {SU} (2)$ ) $\operatorname {SU} (2)$ { $displaystyle \operatorname {SU}$ (2) 대수를 $\operatorname {SU} (2)$ $\operatorname {SU} (2)$ 시키는 행렬입니다.

(\displaystyle [T^{i})T^{j}=2i\epsilon^{ijk}T_{k}}

파울리 행렬은 위의 관계를 만족시킨다.이러한 관계를 만족시키는 행렬 집합의 예는 무한히 많은 것으로 밝혀졌습니다.여기서 각 집합은 N $(N+1)\times (N+1)$ $N=1,2,3,\dots$ , $N=1,2,3,\dots$ , $N=1,2,3,\dots$ , $N=1,2,3,\dots$ \ $N=1,2,3,\dots$ 인 $(N$ + $(N+1)\times (N+1)$ 1 $(N+1)\times (N+1)$ × ( $(N+1)\times (N+1)$ $)\times (N+1)$ 행렬로 $(N+1)\times (N+1)$ $(N+1)\times (N+1)$ 구성되며, 여기에는 'N $=1,$ 2, 3 $,$ $\dots$ 라고는 생각할 수 없습니다.저차원의이들은 SU $\operatorname {SU} (2)$ ( $\operatorname {SU} (2)$ ) $\operatorname {SU} (2)$ \ $displaystyle \operatorname {SU}$ (2) 대수의 $\operatorname {SU} (2)$ $\operatorname {SU} (2)$ 다른 불가역 표현이라고 불립니다.가장 기본적인 표현은 파울리 행렬이다.홀로노미는 사용된 환원 불가능한 표현에 따라 반정수 $N/2$ N/2 $(표시$ $N/2$ N/ $2)$ 로 $N/2$ 라벨이 지정됩니다.

윌슨 루프를 사용하면 가우스 게이지 제약이 명확하게 해결됩니다.루프 표현은 공간 미분 동형 제약을 처리하는 데 필요합니다.윌슨 루프를 기본으로 하여 가우스 게이지 불변 함수는 다음과 같이 확장됩니다.

\Psi [A]=\sum _{\si }\Psi [\displaystyle ]W_{\gamma 。

이를 루프 변환이라고 하며 양자역학에서의 운동량 표현과 유사합니다(위치 및 운동량 공간 참조).QM 표현은 숫자 $k$ (\ $displaystyle$ k $)$ 로 라벨이 지정된 $\exp(ikx)$ exp $\exp(ikx)$ ( $\exp(ikx)$ x $\exp(ikx)$ )(\ $displaystyle$ $\exp(ikx))$ 의 $\exp(ikx)$ 기초가 있으며 다음과 같이 전개됩니다.

\displaystyle \psi [x]=\int dk\psi (k)\exp(ikx).}

확장 $\psi (k).$ ( ( $\psi (k).$ $\psi (k).$ \ $displaystyle \psi ($ k )로 동작합니다. $}$

역루프 변환은 다음과 같이 정의됩니다.

\displaystyle \Psi [\displays]=\int [dA]\Psi [A]W_{\gamma}[A]}

루프 표현을 정의합니다.연결 표현에 ${\hat {O}}$ O $^$ {\ $displaystyle {O}}$ 이 ${\hat {O}}$ (가) 지정되면

\Phi [A]=hat {O}}\Psi [A]\qquad Eq\;1,

$\Psi [\gamma ]$ [ $]$ \ $displaystyle$ \ $Psi$ [ \ gamma $\Psi [\gamma ]$ ]에 대응하는 연산자 O ${\$ { \ $displaystyle$ { O $}$ }를 ${\hat {O}}'$ $\Psi [\gamma ]$ 정의해야 $합니다$ .

\displaystyle \Phi [ \ phi ]= hat { O } ' \ Psi [ \ phi ]\ qquad Eq \ ; 2, }

여기서 $\Phi [\gamma ]$ [ $]{display \Phi$ [\ $gamma$ ]}는 $\Phi [\gamma ]$ 통상적인 역루프 변환에 의해 정의됩니다.

\displaystyle \Phi [\displays ]=\int [dA]\Phi [A]W_{\gamma}[A]\qquad Eq\;3.}

$다음$ 으로 $\Psi [A]$ $h$ [ A ${\hat {O}}'$ $]$ $\Psi [A]$ [ $\Psi [A]$ $\Psi [\gamma ]$ ${\hat {O}}$ [ \ $display$ ${\hat {O}}$ style $\ Psi$ [ \ $gamma ]$ 의 $\Psi [\gamma ]$ $\Psi [\gamma ]$ O $^$ { \ displaystyle \ $Psi$ [ A ]의 $\Psi [A]$ 작용에 ${\hat {O}}'$ 연산자 O $^$ { \ displaystyle \ $Psi$ [ A $\Psi [A]$ $]$ 의 ${\hat {O}}'$ ${\hat {O}}$ 작용을 부여하는 변환식을 구한다. $Eq\;3$ 3의 $Eq\;3$ .H.S.를 $Eq\;3$ $Eq\;3$ 하는 $Eq\;2$ $aystyle$ $Eq\;2$ Eq $\;2$ }( $1$ 을 $Eq\;3$ 으로 $Eq\;1$ 함 $Eq\;1$ )(\ $displaystyle Eq$ )

(\displaystyle\hat {O}}'\Psi [\pass]=\int [dA])W_{\gamma}[A]{\hat {O}}\Psi [A],}

또는

{O}'\Psi [\si]=\int [dA]({\hat {O}}^{\dagger}W_{\gamma}[A])\Psi [A],

${\hat {O}}^{\dagger }$ 서 O ${\hat {O}}^{\dagger }$ ^ $^$ ^ { $displaystyle { O }^{$ \ $dagger$ }}는 ${\hat {O}}^{\dagger }$ ${\hat {O}}$ ${\hat {O}}$ O $^$ { $style$ { $O$ }를 의미하지만 역순으로 정렬됩니다(단순 양자역학에서 연산자의 곱이 활용 하에서 반전되는 것을 기억하십시오).윌슨 루프에 대한 이 연산자의 작용은 연결 표현에서 계산으로 평가되고 결과는 순전히 루프의 관점에서 조작으로 재배열됩니다(윌슨 루프에 대한 작용에 관하여, 선택된 변환 연산자는 그것의 작용에 사용된 것과 비교하여 반대 요인 순서를 가진 연산자입니다).wavefunctions $\Psi [A]$ [ $]{$ $displaystyle \Psi$ [ $\Psi [A]$ A $]$ $\Psi [A]$ } 。이는 ${\hat {O}}'$ O ${\hat {O}}'$ ^ ^ $^$ ^ ^ { $O$ $}$ ${\hat {O}}'$ 의 물리적 의미를 부여합니다. 예를 들어 O $^ ^$ ${\hat {O}}^{\dagger }$ $^{\dagger }$ 이 ${\hat {O}}^{\dagger }$ 공간적 미분 동형상에 ${\hat {O}}^{\dagger }$ 한다면 $연결$ 필드 A{\ $displaystyle$ A $}$ 는 $A$ W $W_{\gamma }[A]$ $display$ style W $W_{\gamma }[A]$ 의 상태를 유지하는 것으로 간주할 수 있습니다. $\gamma$ $§(\displaystyle \gamma)$ 에서 $\gamma$ 공간 미분 동형을 수행하는 동안 감마 $}[A]}$ 가 $W_{\gamma }[A]$ 있는 위치.따라서 O $^$ ^ ${\hat {O}}'$ ^ ${\hat {O}}'$ ^ $display$ {\ displaystyle ${$ $O}}$ 의 ${\hat {O}}'$ 의미는 $\Psi [\gamma ]$ [ $]$ { \ $displaystyle$ \ $Psi$ [ \ $gamma$ 의 $인수인 {\$ { \ displaystyle \ Psi }의 공간미분형입니다.

루프 표현에서는 루프 ${\$ 의 공간미분모형 하에서 불변하는 루프 $ψ$ [ $\Psi [\gamma ]$ $\gamma$ $]$ \ \ \ \ \ \ $gamma$ 의 $\Psi [\gamma ]$ 함수를 고려하여 공간미분모형 구속조건을 해결한다. 즉, 매듭불변량을 이용한다.이것은 매듭 이론과 양자 중력 사이의 예상치 못한 연결고리를 열어줍니다.

교차하지 않는 윌슨 루프의 모든 집합은 애쉬테카의 양자 해밀턴 구속조건을 만족시킨다.특정 항의 순서를 사용하고 E ${\tilde {E}}_{i}^{a}$ ~ $({displaystyle {E}}_{i}^{a})$ 를 ${\tilde {E}}_{i}^{a}$ 도함수로 ${\tilde {E}}_{i}^{a}$ 하면 Wilson 루프에서 양자 해밀턴 구속조건의 작용은 다음과 같습니다.

{\hilde {H}^{\dagger}W_{\gamma}[A]=-\epsilon_{ijk}{\hat {F}{ab}^k}{\frac {{a}^i}{\frac}{\frac {\gamma}{{\g}^{\gamma}{{{{{}}}}}{\gamma}}{{\g}{\b}}}{\f}{{\gamma}}}}}W_{\gamma}[A]

도함수를 취하면 루프의 탄젠트 벡터 $\gamma$ $(\$ 가 내려갑니다(\ $displaystyle\gamma$

{F}_{ab}^i}{\dot {gamma}{a}{\dot {\gamma}}^{b}.

단, $F_{ab}^{i}$ $F_{ab}^{i}$ $(\$ 는 $F_{ab}^{i}$ $인덱스$ a(\ $displaystyle$ $b$ $)$ 및 b(\ $displaystyle$ b $)$ 에서 반대칭이므로 $F_{ab}^{i}$ 는 소실됩니다 $(\displaystyle \gamma$ }는 $\gamma$ $\gamma$ 불연속하지 않으므로 접선 벡터가 고유하다고 가정합니다).

루프 표현에 관해서는 루프가 불연속이고 매듭 불변일 때 파형 함수 $\Psi [\gamma ]$ [ $]$ \ $displaystyle$ \ $Psi$ [ \ $gamma ]$ 는 $\Psi [\gamma ]$ 사라진다.이러한 함수는 가우스의 법칙, 공간 미분 동형 제약 및 (공식적으로) 해밀턴 제약 조건을 해결한다.이것은 양자 일반 상대성 ^[12]이론의 모든 방정식에 대해 무한한 정확한 해답을 제공합니다.이는 접근법에 대한 많은 관심을 불러일으켰고 결국 LQG로 이어졌다.

기하학적 연산자, 윌슨 루프와 스핀 네트워크 상태를 교차시킬 필요성

가장 쉬운 기하학적 양은 면적이다.표면 $\Sigma$ (\ $displaystyle \Sigma)$ 가 $\Sigma$ x $x^{3}=0$ $=$ (\ $displaystyle$ x $^{3$ }= $0$ 이 $x^{3}=0$ 좌표를 선택합니다.표면 $\Sigma$ 의 작은 평행사변형 영역(\ $displaystyle \Sigma)$ 은 $\Sigma$ 각 변의 $(\displaystyle \sin \theta)$ 의 $\sin \theta$ 곱이다. 여기서 $\theta$ $\theta$ 는 $\theta$ 변 사이의 각도이다.한쪽 가장자리가 ${\vec {u}}$ ${\vec {v}}$ {{ $displaystyle$ ${\vec {v}}$ { $u}}$ 에 ${\vec {u}}$ 의해 주어지고 다른 한쪽 ${\vec {v}}$ 가장자리가 v→ ${{displaystyle$ {v $}}}$ 에 의해 주어졌다고 가정합니다.

{\displaystyle A=\\vec {u}\sin \theta=\vec {v}\{2}\{v}\{bec {v}\{2}\cos ^{2}\theta}}}}\colt {{\vc}\\\c}\\\\c}\celta{{\c}\\c}\c}\c}\c}\c}\\\\c}\c}\\\\\\c}\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\c

$x^{2}$ 1 $({$ $x^{2}$ x $^1})$ 과 x 2 $({$ displaystyle x $^{2$ })로 $x^{2}$ 구분된 공간에는 ${\vec {u}}={\vec {e}}_{1}dx^{1}$ ${\vec {u}}={\vec {e}}_{1}dx^{1}$ e ${\vec {u}}={\vec {e}}_{1}dx^{1}$ ${\vec {u}}={\vec {e}}_{1}dx^{1}$ ${\vec {u}}={\vec {e}}_{1}dx^{1}$ x ${\vec {u}}={\vec {e}}_{1}dx^{1}$ ${\vec {v}}={\vec {e}}_{2}dx^{2}$ $({display$ { $vec} =$ 1 ${\vec {v}}={\vec {e}}_{2}dx^{2}$ ${\vec {u}}={\vec {e}}_{1}dx^{1}$ vec {e $} =$ 1 d ${\vec {u}}={\vec {e}}_{1}dx^{1}$ $vc$ { ${\vec {v}}={\vec {e}}_{2}dx^{2}$ } $display$ ${\vec {v}}={\vec {e}}_{2}dx^{2}$ ${\vec {v}}={\vec {e}}_{2}dx^{2}$ v $→$ 2 displaystyle { $c v })$ 로 구분되는 극소 평행사변형이 있습니다. $q_{AB}^{(2)}={\vec {e}}_{A}\cdot {\vec {e}}_{B}$ $q_{AB}^{(2)}={\vec {e}}_{A}\cdot {\vec {e}}_{B}$ A B $q_{AB}^{(2)}={\vec {e}}_{A}\cdot {\vec {e}}_{B}$ ( $q_{AB}^{(2)}={\vec {e}}_{A}\cdot {\vec {e}}_{B}$ ) $q_{AB}^{(2)}={\vec {e}}_{A}\cdot {\vec {e}}_{B}$ $q_{AB}^{(2)}={\vec {e}}_{A}\cdot {\vec {e}}_{B}$ $q_{AB}^{(2)}={\vec {e}}_{A}\cdot {\vec {e}}_{B}$ A $q_{AB}^{(2)}={\vec {e}}_{A}\cdot {\vec {e}}_{B}$ e $q_{AB}^{(2)}={\vec {e}}_{A}\cdot {\vec {e}}_{B}$ B { $displaystyle q$ _ { $AB}^{(2)}=becvec$ { $e}_$ {A}\ $cdot {vec {e}}_{B}($ $여기$ 서 A(\ $displaystyle$ $A$ $)$ 및B(\ $displaystyle B)$ 인덱스는 $B$ 1에서 2까지 실행)는 다음과 $\Sigma$ 같은 $\Sigma$ 을 산출합니다 $.$

A_{\Sigma}=\int _{\Sigma }sigma^{1}sigma^{2}{\det \left(q^{(2)}\right}}}

$\det(q^{(2)})=q_{11}q_{22}-q_{12}^{2}$ 서 $\det(q^{(2)})=q_{11}q_{22}-q_{12}^{2}$ det ( $\det(q^{(2)})=q_{11}q_{22}-q_{12}^{2}$ ( $\det(q^{(2)})=q_{11}q_{22}-q_{12}^{2}$ ) $\det(q^{(2)})=q_{11}q_{22}-q_{12}^{2}$ $\det(q^{(2)})=q_{11}q_{22}-q_{12}^{2}$ 11 $\det(q^{(2)})=q_{11}q_{22}-q_{12}^{2}$ $\det(q^{(2)})=q_{11}q_{22}-q_{12}^{2}$ - $\det(q^{(2)})=q_{11}q_{22}-q_{12}^{2}$ 12 $\det(q^{(2)})=q_{11}q_{22}-q_{12}^{2}$ 2 { { $displaystyle$ $\det$ $\det(q^{(2)})=q_{11}q_{22}-q_{12}^{2}$ ( $q$ $\det(q^{(2)})=\epsilon ^{AB}\epsilon ^{CD}q_{AC}q_{BD}/2$ $^$ { (2) } $\Sigma$ $\det(q^{(2)})=\epsilon ^{AB}\epsilon ^{CD}q_{AC}q_{BD}/2$ $q_{11} q_{22}-q_{12}^{$ 2 $\det(q^{(2)})=q_{11}q_{22}-q_{12}^{2}$ }} 입니다. 후자는 $\det(q^{(2)})=\epsilon ^{AB}\epsilon ^{CD}q_{AC}q_{BD}/2$ ( $\det(q^{(2)})=\epsilon ^{AB}\epsilon ^{CD}q_{AC}q_{BD}/2$ ) B $\Sigma$ = $\det(q^{(2)})=\epsilon ^{AB}\epsilon ^{CD}q_{AC}q_{BD}/2$ $\det(q^{(2)})=\epsilon ^{AB}\epsilon ^{CD}q_{AC}q_{BD}/2$ a a a a a a a aϵ a a a $\det(q^{(2)})=\epsilon ^{AB}\epsilon ^{CD}q_{AC}q_{BD}/2$ detϵ $\det(q^{(2)})=\epsilon ^{AB}\epsilon ^{CD}q_{AC}q_{BD}/2$ where where where where where $\det(q^{(2)})=\epsilon ^{AB}\epsilon ^{CD}q_{AC}q_{BD}/2$ where where where where where where where where where where where where where where where where where where where where where where where where where where where where where where where where where where where where where where where where where where where where $}\epsilon ^{CD}q_{AC}$ q_ ${$ $BD$ $}/2$ $A\dots D$ 서 $A\dots D$ A $… D는$ 1부터2까지입니다.이것은, 다음과 같이 한층 더 고쳐 쓸 수 있습니다.

\det(q^{(2)}= ^{3ab}\ilon ^{3cd}q_{ac}q_{bc} \over 2.

역행렬의 표준 공식은 다음과 같습니다.

{\displaystyle q^{ab}= ilon^{bcd}\ilon^{aef}q_{ce}q_{df} \over 2!\det(q)}}.

이와 $\det(q^{(2)})$ ( $)$ \ $displaystyle \det($ q^{( $2$ 의 표현은 유사합니다.그러나 Ashtekar 변수에서는 E $=$ ${\tilde {E}}_{i}^{a}{\tilde {E}}^{bi}=\det(q)q^{ab}$ ${\tilde {E}}_{i}^{a}{\tilde {E}}^{bi}=\det(q)q^{ab}$ a ${\tilde {E}}_{i}^{a}{\tilde {E}}^{bi}=\det(q)q^{ab}$ { $tilde {E}_{i}^{a}{\tilde$ {E $}}{$ deti $}{q}{$ deti}{deti}{deti}{q}{deti}{q}{deti}{q}{detc}}{deti}}의 ${\tilde {E}}_{i}^{a}{\tilde {E}}^{bi}=\det(q)q^{ab}$ 입니다.그러므로,

A_{\Sigma}=\int _{\Sigma }sigma^{1}sigma^{2}{\tilde {E}_{i}{\tilde {E}}^{3i}}}}}}.

표준 양자화 규칙에 따라 3종류 ${\tilde {E}}_{i}^{3}$ ~ ${\tilde {E}}_{i}^{3}$ $({$ 은 ${\tilde {E}}_{i}^{3}$ 양자 연산자로 승격되어야 합니다.

(\displaystyle\hat {E}_{i}\sim\delta A_{3}^{i})}

$A_{\Sigma }$ A $A_{\Sigma }$ { $style$ A _ { \ $Sigma }$ 는 $A_{\Sigma }$ 2개의 함수 도함수와 제곱근의 ^[13]곱을 포함하고 있음에도 불구하고 잘 정의된 양자 연산자로 승격될 수 있다. $N=2J$ $N=2J$ $N=2J$ J (J\displaystyle N $=2J)$ ( $\displaystyle$ J $)$ - 번째 $J$ 표현),

\displaystyle \sum _{i}T^{i}T^{i}=J(J+1)1.}

이 양은 영역 스펙트럼의 최종 공식에서 중요하다.그 결과는

{A}_{\Sigma}W_{\gamma}[A]=8\pi\ell_{\text{Planck}^2}\beta\sum_{I}{\sqrt {j_{}I}(j_{I}+1)}}W_{\gamma}[A]

여기서 합계는 표면 $\Sigma$ (\ $displaystyle \Sigma$ 를 관통하는 윌슨 루프의 모든 $모서리$ I $(\displaystyle$ I $)$ 에 $I$ 걸쳐 있습니다.

$영역$ R $(\displaystyle$ R $)$ 의 $R$ 부피 공식은 다음과 같습니다.

{{displaystyle V=\int _{R}d^{3}x{\sqrt {det(q)}}=\int _{R}dx^{3}{\sqrt {\frac {1}{3!}}\epsilon _{abc}\epsilon ^{ijk}{\tilde {E}{a}{\tilde {E}_{j}{b}{\tilde {E}_{k}{c}}}}}.}

볼륨의 양자화는 면적과 같은 방식으로 진행됩니다.도함수를 취할 때마다 접선 벡터 $δ(\$ 가 내려오고 볼륨 연산자가 비교차 Wilson 루프에 작용하면 결과가 사라집니다.따라서 볼륨이 0이 아닌 양자 상태는 교차점을 수반해야 합니다.부피의 공식에서 반대칭 합계가 계승되는 것을 고려하면 적어도 3개의 비공평면 선과의 교차점이 필요합니다.볼륨 연산자가 사라지지 않으려면 적어도 4개의 값 정점이 필요합니다.

게이지 그룹이 SU $\operatorname {SU} (2)$ ( $\operatorname {SU} (2)$ ) $\operatorname {SU} (2)$ { $displaystyle \operatorname {SU}$ (2) $\operatorname {SU} (2)$ }인 경우 윌슨 루프는 서로 다른 윌슨 루프와 관련된 식별 정보가 존재하므로 지나치게 완전한 기준입니다.이러한 현상은 Wilson 루프가 행렬(홀로노미)을 기반으로 하고 이러한 행렬이 동일성을 충족하기 때문에 발생합니다.임의의 $\operatorname {SU} (2)$ 의 SU $\operatorname {SU} (2)$ ( $){$ $displaystyle$ $\operatorname {SU}(2$ $\mathbb {A}$ A $(\$ displaystyle $\mathbb {A})$ $\mathbb {B}$ B(\ $displaystyle \mathbb {B$ 가 있는 경우,

\displaystyle \operatorname {Tr}(\mathbb {A})\operatorname {Tr}(\mathbb {B})=\operatorname {Tr}(\mathbb {A} \mathbb {B})+\operatorname {Tr}(\mathbb {A} ^-1}).}

이는 교차하는 2개의 루프 $"\displaystyle \gamma"$ $\eta$ $"\displaystyle \eta"$ 가 $\eta$ 주어지면

$\displaystyle W_{\gamma}[A]W_{\eta }[A] =W_{\gamma \circ \eta }[A]+W_{\gamma \circ \eta ^{-1}} [A]}$

$\eta ^{-1}$ 서 1 $({$ ^{- $1})$ 은 $\eta ^{-1}$ 반대 방향으로 횡단하는 $\eta$ 루프 $\eta$ {\({ $displaystyle \eta})$ 를 의미하며, $see({$ displaystyle \ $gamma \circ$ \eta $})$ 는 $\gamma$ 루프 see $({displaystyle$ \gamma $\gamma$ $\eta$ })를 돌아 $\eta$ 루프를 의미합니다. $그림$ 행렬이 유니터리일 경우 W $W_{\gamma }[A]=W_{\gamma ^{-1}}[A]$ [ A $W_{\gamma }[A]=W_{\gamma ^{-1}}[A]$ ] $W_{\gamma }[A]=W_{\gamma ^{-1}}[A]$ $W_{\gamma }[A]=W_{\gamma ^{-1}}[A]$ $W_{\gamma }[A]=W_{\gamma ^{-1}}[A]$ - $W_{\gamma }[A]=W_{\gamma ^{-1}}[A]$ [ $]$ { $displaystyle W_{\gamma$ } [A] $=$ $W_{\gamma$ ^{- $1}}$ [ $A$ 매트릭스 트레이스의 주기적 속성(즉, $\operatorname {Tr} (\mathbb {A} \mathbb {B} )=\operatorname {Tr} (\mathbb {B} \mathbb {A} )$ $\operatorname {Tr} (\mathbb {A} \mathbb {B} )=\operatorname {Tr} (\mathbb {B} \mathbb {A} )$ ( A $\operatorname {Tr} (\mathbb {A} \mathbb {B} )=\operatorname {Tr} (\mathbb {B} \mathbb {A} )$ ) $\operatorname {Tr} (\mathbb {A} \mathbb {B} )=\operatorname {Tr} (\mathbb {B} \mathbb {A} )$ $\operatorname {Tr} (\mathbb {A} \mathbb {B} )=\operatorname {Tr} (\mathbb {B} \mathbb {A} )$ $\operatorname {Tr} (\mathbb {A} \mathbb {B} )=\operatorname {Tr} (\mathbb {B} \mathbb {A} )$ ( $\operatorname {Tr} (\mathbb {A} \mathbb {B} )=\operatorname {Tr} (\mathbb {B} \mathbb {A} )$ ) \ $displaystyle \operatorname {Tr}(\mathbb {A}$ \ $mathbb {B}$ \ $mathbb {A}$ ) $W_{\gamma \circ \eta }[A]=W_{\eta \circ \gamma }[A]$ \ $operatorname {Tr}(\$ mathbbb {A} ) $\operatorname {Tr} (\mathbb {A} \mathbb {B} )=\operatorname {Tr} (\mathbb {B} \mathbb {A} )$ $W_{\gamma \circ \eta }[A]=W_{\eta \circ \gamma }[A]$ $W_{\gamma \circ \eta }[A]=W_{\eta \circ \gamma }[A]$ [ $W_{\gamma \circ \eta }[A]=W_{\eta \circ \gamma }[A]$ A $W_{\gamma \circ \eta }[A]=W_{\eta \circ \gamma }[A]$ ] $W_{\eta \circ \gamma }[A$ 이러한 동일성은 더 많은 루프를 추가하는 복잡성 증가의 추가 동일성에 서로 결합할 수 있습니다.이 정체성들은 소위 만델스탐 정체성입니다.스핀 네트워크는 Mandelstam ID에 의해 도입된 과완전성을 다루기 위해 설계된 교차 윌슨 루프의 선형 조합(3가 교차점의 경우 과완전성을 완전히 제거함)이며, 실제로 모든 게이지 불변 함수의 기초를 구성합니다.

다양한 윌슨 루프와 관련된 가장 단순한 단순하지 않은 Mandelstam ID의 그래픽 표현.

위에서 언급한 바와 같이 홀로노미는 테스트 스핀 반입자를 전파하는 방법을 알려준다.스핀 네트워크 상태는 공간에서의 경로를 추적하고 합류 및 분할하는 스핀 반입자 세트에 진폭을 할당한다. $\gamma$ 사항은 스핀 네트워크 $©$ ${\display$ \ $gamma$ 에 의해 설명되어 있습니다.: 에지는 스핀이 재루팅되는 다양한 방법에 대한 처방인 정점의 '인터위너'와 함께 스핀으로 라벨링됩니다.합계 재루팅은 가우스 게이지 변환에서 인터위너의 형태를 불변하게 하기 위해 선택된다.

LQG의 해밀턴 제약

표준 양자 중력의 오랜 역사에서 수학적으로 엄격한 방식으로 양자 연산자(휠러-드윗 방정식)로서 해밀턴 제약 조건을 공식화하는 것은 만만치 않은 문제였다.수학적으로 잘 정의된 해밀턴 구속조건이 마침내 ^[9]1996년에 공식화된 것은 루프 표현이었다.우리는 LQG의 Hamiltonian 제약 기사에 그것의 구조에 대한 더 자세한 내용을 맡긴다.이것은 가우스 법칙의 양자 버전과 루프 표현에 쓰인 공간 미분형 제약 조건과 함께 LQG(현대 정준 양자 일반 상대성 이론)의 중심 방정식이다.

이러한 제약에 의해 소멸되는 상태(물리적 상태)를 찾아 대응하는 물리적 내부 산물과 관측 가능한 것을 찾는 것이 LQG의 기술적 측면의 주요 목표이다.

해밀턴 연산자의 매우 중요한 측면은 그것이 꼭지점에서만 작용한다는 것이다(그 결과 티만 연산자는 애쉬테카의 연산자처럼 교차하지 않는 루프를 말살한다). 단, 지금은 형식적이지 않고 엄격한 수학적 의미를 갖는다.보다 정확하게는, 그 작용은 적어도 원자가 3 이상의 정점에서는 0이 아니고, 원래의 그래프가 각 정점에서의 선과 ^{[citation needed]}정점의 인접 링크의 라벨의 변경에 의해 수정된 새로운 스핀 네트워크의 선형 결합을 초래한다.

스핀 폼

루프 양자 중력(LQG)에서 스핀 네트워크는 3차원 초서면에서 중력장의 "양자 상태"를 나타냅니다.가능한 모든 스핀 네트워크 집합(더 정확히는 "s-knots" 즉, 미분 동형 하에서의 스핀 네트워크의 등가 클래스)은 셀 수 있으며, LQG 힐버트 공간의 기초를 구성합니다.

물리학에서 스핀 폼은 양자 중력에 대한 파인만의 경로 적분(기능적 통합) 기술을 얻기 위해 합해야 하는 구성 중 하나를 나타내는 2차원 면으로 이루어진 위상 구조이다.이것은 루프 양자 중력과 밀접한 관련이 있다.

해밀턴 구속조건 연산자에서 파생된 스핀 폼

이 절에 대해서는 을 참조해 주십시오.해밀턴 제약조건은 '시간' 진화를 생성한다.해밀턴 제약 조건을 해결하면 양자 상태가 초기 스핀 네트워크 상태에서 최종 스핀 네트워크 상태로 '시간' 동안 어떻게 진화하는지 알 수 있습니다.해밀턴 제약 조건을 해결하기 위한 한 가지 접근법은 디락 델타 함수라고 불리는 것으로 시작합니다.서로 다른 동작 시퀀스에 대한 합계는 최초 스핀 네트워크를 최종 스핀 네트워크로 보내는 '시간' 진화에서 '상호작용 정점'의 서로 다른 이력에 대한 합으로 시각화될 수 있다.해밀턴 연산자는 매번 정점에 새 에지를 추가하여 작업을 수행합니다.

그런 다음 스핀 폼 설명의 기초가 되는 두 개의 복합체(가장자리를 따라 결합하는 면의 조합 세트, 정점에서 결합하는 면)를 자연스럽게 발생시킵니다. 우리는 표면을 쓸어내는 초기 스핀 네트워크를 전진시켜, 해밀턴 구속 연산자의 작용은 정점에서 시작하는 새로운 평면 표면을 생성하는 것입니다.스핀 네트워크 상태의 정점에 대한 해밀턴 제약의 작용을 사용하여 각 "상호작용"에 진폭을 연결할 수 있습니다(파인만 다이어그램과 유사).아래 그림을 참조하십시오.이를 통해 표준 LQG를 경로 적분 설명에 직접 링크할 수 있습니다.스핀 네트워크가 양자 공간을 설명하는 것처럼, 이러한 경로 적분, 즉 역사에 대한 합계에 기여하는 각 구성은 '양자 시공간'을 나타냅니다.그것들은 비누 거품과 비슷하고 그들이 라벨로 표기되는 방식 때문에 존 배즈는 이러한 '양자 시공간'에 '스핀 거품'이라는 이름을 붙였다.

경로 적분 또는 이른바 스핀 폼 설명으로 변환된 해밀턴 제약 조건의 작용입니다.단일 노드가 세 개의 노드로 분할되어 스핀 폼 정점을 만듭니다.

)

{

displaystyle

N

(x_{n})

은

N(x_{n})

정점에서의 N

(\displaystyle

N)의

N

H_{nop}

이며,

H_{nop}

H_{nop}

p

(\

는

H_{nop}

해밀턴 제약

{\hat {H}}

H

{\hat {H}}

^(\

displaystyle {H

의 매트릭스 요소입니다.

그러나 이 특정 접근법에는 심각한 어려움이 있다. 예를 들어 해밀턴 연산자는 자가 인접하지 않으며, 실제로는 정규 연산자도 아니기 때문에(즉, 연산자는 인접으로 이동하지 않는다) 스펙트럼 정리는 일반적으로 지수를 정의하는 데 사용할 수 없다.가장 심각한 문제는 ${\hat {H}}(x)$ ( ${\hat {H}}(x)$ ) \ $displaystyle$ { $H$ } ${\hat {H}}(x)$ （ $x$ ） s commuting , [ d ${\textstyle \int [dN]e^{i\int d^{3}xN(x){\hat {H}}(x)}}$ ] ${\textstyle \int [dN]e^{i\int d^{3}xN(x){\hat {H}}(x)}}$ d ${\textstyle \int [dN]e^{i\int d^{3}xN(x){\hat {H}}(x)}}$ ${\textstyle \int [dN]e^{i\int d^{3}xN(x){\hat {H}}(x)}}$ ( ${\textstyle \int [dN]e^{i\int d^{3}xN(x){\hat {H}}(x)}}$ ) ${\textstyle \int [dN]e^{i\int d^{3}xN(x){\hat {H}}(x)}}$ ( ${\textstyle \int [dN]e^{i\int d^{3}xN(x){\hat {H}}(x)}}$ ) \ $textstyle \int$ [ $dN ]e$ ^ { $i$ \ $int d3X$ （ X ）{ $X$ } { Hat ${\textstyle \int [dN]e^{i\int d^{3}xN(x){\hat {H}}(x)}}$ { displaystyle } { n } { hat } { n } { n ）。마스터 제약 조건(아래 참조)은 이러한 문제를 겪지 않으며, 따라서 표준 이론을 경로 적분 공식에 연결하는 방법을 제공합니다.

BF 이론의 스핀 폼

경로 적분을 공식화하기 위한 대체 경로가 있는 것으로 밝혀졌지만, 해밀턴 형식주의와의 관련성은 명확하지 않습니다.한 가지 방법은 BF 이론부터 시작하는 것입니다.이것은 일반 상대성 이론보다 단순한 이론으로, 국소적인 자유도는 없으며, 따라서 필드의 위상적인 측면에만 의존합니다.BF 이론은 위상장 이론으로 알려진 것이다.놀랍게도 일반상대성이론은 제약을 ^[15]가함으로써 BF이론에서 얻을 수 있으며, BF이론은 B $B_{ab}^{IJ}$ $B_{ab}^{IJ}$ $B_{ab}^{IJ}$ J $($ B_ ${ab}^{$ B_{ab}^)를 포함하고 있다. $IJ}.$ 필드 $B_{ab}^{IJ}$ $(표시$ 스타일 B $)$ 를 $B$ 2개의 테트라드의 (반대칭) 곱으로 선택한 경우

B_{ab}^{IJ}={1 \over2}\left(E_{a}^{I}E_{b}-E_{b}^{I}E_{a}^{J}\right)

(테트라드는 삼합체와 같지만 4개의 시공간 차원에서는 일반상대성이론을 회복한다.2개의 4차원곱에 의해 B $(\displaystyle$ B $)$ $B$ 가 $B$ 주어지는 조건을 단순성 제약이라고 합니다.위상장 이론의 스핀 폼 역학은 잘 알려져 있습니다.이 간단한 이론의 스핀 폼 '상호작용' 진폭을 고려할 때, 일반 상대성 이론의 경로 적분을 얻기 위해 단순성 조건을 구현하려고 합니다.스핀 폼 모델을 구성하는 사소한 작업은 양자 이론에서 이 단순성 제약이 어떻게 부과되어야 하는지에 대한 문제로 축소된다.첫 번째 시도는 유명한 배럿-크레인 ^[16]모델이었다.그러나 이 모델은 문제가 있는 것으로 나타났습니다. 예를 들어 올바른 고전적 ^[17]한계를 보장할 수 있는 충분한 자유도가 없는 것으로 보입니다.단순성 제약은 양자 수준에서 너무 강하게 부과되었으며, 양자 전기 역학의 굽타-블렐러 형식론에서 로렌츠 게이지 $\partial _{\mu }{\hat {A}}^{\mu }$ A $\partial _{\mu }{\hat {A}}^{\mu }$ ^ $\partial _{\mu }{\hat {A}}^{\mu }$ \ $displaystyle \partial$ _{\mu $}{\hat$ {A $}}{\mu }$ 과 $\partial _{\mu }{\hat {A}}^{\mu }$ 같이 기대치의 의미에서만 부과되어야 한다는 주장이 제기되었다.새로운 모델이 제시되고 있으며, 때로는 더 약한 의미의 단순성 조건을 적용함으로써 동기를 부여하기도 한다.

여기서 또 다른 어려움은 스핀 폼이 시공간 이산화에 의해 정의된다는 것입니다.이것은 국소 자유도가 없기 때문에 위상장 이론에는 문제가 없지만, GR에는 문제가 있다.이를 문제 삼각화 의존이라고 합니다.

스핀 폼의 현대적 제조

고전적인 단순성 제약이 BF 이론에서 일반 상대성을 회복하듯이, 적절한 양자 단순성 제약이 양자 BF 이론에서 양자 중력을 회복할 것으로 예상한다.

이 문제와 관련하여 Engle, Pereira 및 Robelli,^[18] Freidel과 Krasnov^[19], Livine과 Speziale는^[20] 훨씬 더 나은 동작으로 스핀 폼 상호작용 진폭을 정의하는데 많은 진전을 이루었다.

EPRL-FK 스핀 폼과 LQG의 표준 제제 사이에 접촉하려는 시도가 이루어졌습니다.^[21]

마스터 구속조건 연산자에서 파생된 스핀 폼

이하를 참조해 주세요.

반고전적 한계와 루프 양자 중력

고전적 한계는 고전 역학을 근사하는 물리 이론의 능력이다.그것은 고전적이지 않은 ^{[citation needed]}행동을 예측하는 물리 이론과 함께 사용된다.양자 중력의 어떤 후보 이론도 아인슈타인의 일반 상대성 이론을 양자 이론의 고전적인 한계로 재현할 수 있어야 한다.서로 다른 섹터를 가진 양자장 이론의 특성 때문에 이것은 보장되지 않는다. 이는 통계 시스템의 열역학적 한계에서 발생하는 다른 위상과 유사하다.서로 다른 위상이 물리적으로 다르듯이, 양자장 이론의 다른 분야도 마찬가지입니다.LQG는 반고전적 한계에서 일반 상대성을 회복하지 못하는 비물리적 영역에 속할 수 있다(실제로 물리적 영역은 전혀 없을 수 있다).

게다가 물리 힐버트 $H_{phys}$ H $H_{phys}$ $H_{phys}$ $H_{phys}$ s {\ $displaystyle$ $H_$ ${$ phys}는 $H_{phys}$ $\hbar \to 0$ 양자 이론이 $θ$ 때 고전 이론으로 돌아갈 수 있도록 충분한 반고전적 상태를 포함해야 한다. 이를 보장하려면 양자 이상을 반드시 피해야 한다. 왜냐하면 그렇지 않기 때문이다.양자 이론이 고전 이론보다 자유도가 낮다는 것을 암시하는 고전 이론에는 대항할 만한 것이 없는 물리적인 힐버트 공간에는 제한이 있을 것이다.

Theorems 루프 표현의 고유성으로 Ashtekar에 의해 정의되는데(알.(는 힐베르트 공간 즉 정확한 구체적 실현과 관련된 기사들이 정확한 루프를 재현하는 대수학 모든 사람들이 사용하는 실현 –)두 그룹(레반 도프 스키, Okolow, Sahlmann과 Thiemann에 의해;[22], 크리스챤과 F을 받고 있어.leis챠크^[23])이 결과가 확립되기 전에는 동일한 루프 대수를 호출하는 연산자를 가진 힐버트 공간의 다른 예가 있을 수 있는지 아닌지는 알려지지 않았다.이러한 고유성 이론은 다른 어떤 것도 존재하지 않는다는 것을 의미하므로, LQG가 올바른 반고전적 한계를 가지지 않는 경우, 정리는 양자 중력의 루프 표현의 종료를 의미합니다.

반고전 한계 확인의 어려움과 진행 상황

LQG가 반고전적 한계에서 아인슈타인의 일반 상대성 이론을 제공한다는 것을 입증하는 데는 많은 어려움이 있다.

무한소 공간 미분 형상에 대응하는 연산자는 없다(공간 기하학이 응축 물질의 상황과 비교하여 이산적인 성격을 갖는다고 예측하기 때문에 이론이 무한소 공간 변환의 생성자를 가지지 않는 것은 놀라운 일이 아니다).대신에 그것은 유한한 공간 미분 동형에 의해 근사되어야 하며, 그래서 고전 이론의 포아송 괄호 구조는 정확하게 재현되지 않는다.이 문제는 이른바 마스터 제약 조건을 도입함으로써 회피할 수 있습니다(아래 ^[24]참조).
양자 상태의 이산 조합적 성질과 고전 이론의 연속적인 성질을 조화시키는 문제가 있다.
공간 미분 동형과 해밀턴 제약 조건을 포함하는 포아송 괄호 구조에서 심각한 어려움이 발생한다.특히, 해밀턴 제약 조건의 대수는 닫히지 않는다:그것은 비례 계수가 상수가 아니지만 사소한 위상 공간 의존성을 갖는 극소 공간 미분형(우리가 방금 언급했듯이 양자 이론에는 존재하지 않음)에 대한 합계에 비례합니다. 즉, Lie 대수를 형성하지 않습니다.그러나 마스터 ^[24]제약의 도입에 의해 상황은 크게 개선되었습니다.
지금까지 개발된 반고전적 기계는 그래프를 바꾸지 않는 연산자에게만 적합하지만, 티만의 해밀턴 제약 조건은 그래프를 바꾸는 연산자이며, 새로운 그래프가 생성하는 그래프는 일관성 있는 상태에 의존하지 않는 자유도를 가지므로 양자 변동이 억제되지 않는다.또한 지금까지 이러한 일관성 있는 상태는 Kinematic 레벨에서만 정의되며, 이제는 ${\mathcal {H}}_{Diff}$ $if(\displaystyle {H}}_{$ Diff ${\mathcal {H}}_{Diff}$ }) ${\mathcal {H}}_{Phys}$ ${\mathcal {H}}_{Phys}$ P H ${\mathcal {H}}_{Phys}$ y s(\ $displaystyle {H}_{$ Phys ${\mathcal {H}}_{Phys}$ ${\mathcal {H}}_{Diff}$ 으로 올려야 합니다.어떤 의미에서 문제 3을 해결하기 위해서는 티만의 해밀턴 제약조건이 그래프 변화해야 한다는 것을 보여줄 수 있다.그러나 마스터 제약 대수는 사소하기 때문에 그래프 변경이 필요하다는 요건은 해제될 수 있으며 실제로 그래프 변경이 없는 마스터 제약 연산자가 정의되었다.현재 알려진 바로는 이 문제는 아직 해결되지 않았습니다.
고전적 일반상대성이론을 위한 관측가능성을 공식화하는 것 자체가 비선형적 특성과 시차동형성 불변성 때문에 만만치 않은 문제이다.실제로 관측 가능량을 계산하기 위한 체계적인 근사 체계가 최근에야 ^[25]^[26]개발되었다.

이론의 반고전적 한계를 검토하는 데 어려움이 있다고 해서 잘못된 반고전적 한계를 갖는 것과 혼동해서는 안 된다.

상기 2번 이슈에 대해서는 이른바 위브 상태를 고려할 수 있다.기하학적 양의 통상적인 측정은 거시적이며 플랑크 불연속성은 평활된다.티셔츠의 직물은 비슷합니다.멀리서 보면 매끄러운 곡선의 2차원 표면이지만 자세히 보면 실제로는 수천 개의 1차원 연결 실로 구성되어 있습니다.LQG에서 주어진 공간의 이미지는 비슷합니다.플랑크 척도의 매우 많은 수의 노드와 링크로 구성된 매우 큰 스핀 네트워크를 생각해 보십시오.거시적 척도로 프로빙하면 3차원 연속 메트릭 지오메트리로 나타납니다.

익숙한 저에너지 물리학과 접촉하기 위해서는 물리적 내부제품과 Dirac 관측대상 모두에 대한 근사 스킴을 개발해야 한다. 집중적으로 연구된 스핀 폼 모델은 해당 물리적 내부제품에 대한 근사 스킴을 위한 수단으로 볼 수 있다.

theories[27][28]생각은 심지어는 표준 모델 LQG의 일부 버전에서 자유의 신생의 정도를 가지고(sectio을 확인될 경우의 문제의 흥미로운 가능성을 가져왔다 Markopoulou,(알. 시도 배경 독립적인 양자 중력의 낮은 에너지 한계의 해결해야 할 문제에 잡음 없는 하위 시스템의 아이디어를 채택했다.n아래:LQG 및 관련 연구 프로그램).

1950년대에 Wightman이 강조했듯이, Minkowski QFT에서는 n $n-$ - $n-$ {\ $displaystyle n-}$ 포인트 $n-$ 함수가 $n-$ 됩니다.

\displaystyle W(x_{1},\dots,x_{n})=\displayle 0 \phi (x_{n})\display \phi (x_{1} 0 \rangle ,}

이론을 완전히 결정하다특히, 이러한 양으로부터 산란 진폭을 계산할 수 있다.아래의 백그라운드 독립 산란 진폭 절에서 설명한 바와 같이 $n-$ 백그라운드 독립 $n-$ 에서 n - $n-$ {\ $displaystyle n-}$ 포인트 $n-$ 함수는 특정 지오메트리에 대한 정보를 자연스럽게 인코딩할 수 있는 상태 및 중력을 나타냅니다.이러한 값은 이러한 수량의 표현에 나타날 수 있습니다.LQG 계산은 유효 저에너지 양자 일반상대성 이론에서 계산된 $n-$ - $\\style n-}$ 지점 $n-$ 함수와 적절한 의미에서 일치하는 것으로 나타났다.

동적 및 마스터 제약 개선

마스터 제약 조건

루프 양자 중력에 대한 티만의 마스터 제약 프로그램(LQG)은 문제의 제약 조건의 제곱을 포함하는 단일 마스터 제약 조건의 관점에서 무한한 수의 해밀턴 제약 방정식을 부과하는 고전적으로 동등한 방법으로 제안되었다.마스터 제약 조건의 사용에 대한 첫 번째 반대는 첫눈에 관측 가능성에 대한 정보를 인코딩하는 것처럼 보이지 않았다; 마스터 제약 조건은 제약 조건 내에서 2차이기 때문에, 어떤 양으로도 포아송 괄호를 계산할 때, 결과는 제약 조건에 비례하므로, 따라서 항상 cons가 사라질 때 사라진다.트레인(traint)이 적용되므로 특정 위상 공간 함수를 선택하지 않습니다.그러나 조건이 Dirac 관측 가능과 동등하다는 것이 밝혀졌다.따라서 마스터 구속조건은 관측가능성에 대한 정보를 캡처합니다.그 중요성 때문에 이것을 마스터 ^[29]방정식이라고 한다.

그 푸아송 대수는 정직한 매복하여 대수는 마스터 제약 조건이 일정한 방법, 그룹 averaging으로 알려진 위해 해밀턴 제약 조건의 무한한 번호, 세련된 대수적 양자화, 또는 RAQ로 알려진 것을 통해 신체 내적을 가지고 디랙 하측치의 해결책을 세울 사용의 가능성을 드러냈다.[30]

양자 마스터 제약 조건

로 양자 물리학 마스터 제약 조건(regularisation 문제는 제외하구)을 정의 내린다.

{\displaystyle{\hat{M}}:=\int d^{3}x{\widehat{\left({\frac{H}{\sqrt[{4}]{\det(q())cm이다.}}}\right)}}^ᆫ()){\widehat{\left({\frac{H}{\sqrt[{4}]{\det(q()))}}}\right)}}()).}

물론. 뻔하지.

{\displaystyle{\widehat{\left({\frac{H}{\sqrt[{4}]{\det(q()))}}}\right)}}())\프사이에 관련 =0}

모든){\displaystyle)} 들어 의미를 내포하고 M^ Ψ)0{\displaystyle{\hat{M}}\Psi =0}. 반대로, 만약 M^ Ψ)0{\displaystyle{\hat{M}}\Psi =0}.

\displaystyle 0=\left\Psi, {\hat {M}\Psi\right\rangle =\int d^{3}x\left\left\\\wide hat {\sqrt[{4}{\det(x)}{\det(x)}}\right}}}(x)\Psi \right\^{2}\qquad Eq\;4}

암시하다

q

}}\right}}}(x)\

Psi

=

0

} 。

우선 ${\hat {M}}$ 지망자 ${\hat {M}}$ M $^{$ 의 매트릭스 요소를 계산할 수 있습니다. 즉, 2차 $Q_{M}$ $QM({$ Q_{ $M$ 을 계산하면 $({$ 은 $Q_{M}$ 그래프 변경이므로 $Q_{M}$ 불변 2차 형식이 존재할 수 없습니다. $마스터$ $H_{Kin}$ 연산자 $H_{Kin}$ $^$ $H_{Kin}$ ^ ^\ $displaystyle$ {M $}$ 은(는) $H_{Diff}$ $H_{Diff}$ $H_{Diff}$ 되어 있기 때문에 $H_{Diff}$ { $Displaystyle$ $H_{Diff$ $}$ 에 정의되어 ${\hat {M}}$ 합니다 $.$ 는 $(\$ 에서 양의 대칭 연산자이므로 M ${\hat {M}}$ ^(\ $displaystyle {M})$ 과 ${\hat {M}}$ ${\hat {M}}$ 된 $Q_{M}$ 2차 $Q_{M}$ $Q_{M}$ M $(\$ 은 닫힐 수 있습니다. $Q_{M}$ M $({$ $M$ $})$ 의 $Q_{M}$ ${\hat {M}}$ 은 고유한 자기접속 ${\hat {\overline {M}}}$ M의 ${\hat {\overline {M}}}$ 2차 $형식입니다. M$ 의 Friedrichs 확장자 $({$ displaystyle { $M$ ${\hat {\overline {M}}}$ ${\hat {\overline {M}}}$ ^ $^$ ^ style ${$ ${\hat {M}}$ } ^ ^ style {m} $^$ ^ $displaystyle$ { $M}$ ${\hat {\overline {M}}}$ ^ ^ ^ ^ } ^ ^ } ^ ^ ^ displaystyle {m } ^ ^ } ^ ^ ^ （（ $overline$ {mlaystyle $(\$ hat ${M})$ 은 ${\hat {M}}$ 단순함을 위해 사용합니다.

내부 제품인 viz Eq 4의 존재는 불필요한 솔루션이 없음을 의미합니다. 즉, 다음과 같은 $\Psi$ (\ $displaystyle \Psi)$ 가 $\Psi$ 없습니다.

{\displaystyle{\widehat{\left({\frac{H}{\sqrt[{4}]{\det(q()))}}\right}}}(x)\Psi \not =0,}

${\hat {M}}\Psi =0$ M ^ ^ $=$ ${\hat {M}}\Psi =0$ $(\ displaystyle {M}}$ \ $Psi = 0$ ）。

공간미동형 제약조건의 제곱의 가중적분을 $H_{Kin}$ 하는 확장 마스터 제약조건( $아래$ 에서 논의)에 $H_{{Kin}}$ 대한 $Q_{M_{E}}$ $Q_{M_{E}}$ $H_{Kin}$ $Q_{M_{E}}$ E $({$ $Displaystyle$ $Q_$ { $M_{$ E $})$ 를 $Q_{M_{E}}$ 생성할 수도 있다 $($ $Q_{M_{E}}$ 은 Q E $Q_{M_{E}}$ 에 가능하다). $Q_{M_{E}}$ {\ $displaystyle Q_{M_{E}}$ 은 $Q_{M_{E}}$ (는) 그래프가 변경되지 않습니다 $.$

주 구속조건의 스펙트럼은 0을 포함하지 않을 수 있는데, 이는 유한하지만 본질적으로 배경의존 양자장 이론의 무한 진공 에너지와 유사하다. ${\hat {M}}$ 경우 M $^$ ^ { $displaystyle$ { M } ^ ${\hat {M}}':={\hat {M}}-\min(spec({\hat {M}})){\hat {1}}$ : $=$ ${\hat {M}}':={\hat {M}}-\min(spec({\hat {M}})){\hat {1}}$ - ${\hat {M}}':={\hat {M}}-\min(spec({\hat {M}})){\hat {1}}$ ( ${\hat {M}}':={\hat {M}}-\min(spec({\hat {M}})){\hat {1}}$ p e ${\hat {M}}':={\hat {M}}-\min(spec({\hat {M}})){\hat {1}}$ ( M ${\hat {M}}':={\hat {M}}-\min(spec({\hat {M}})){\hat {1}}$ ) ) $1$ { $displaystyle { M }$ - \ $min$ ( $spec$ ( { \ $hat$ { M ${\hat {M}}':={\hat {M}}-\min(spec({\hat {M}})){\hat {1}}$ } ) ）。 ${\hat$ {1 $}}$ 은 ${\hat {M}}':={\hat {M}}-\min(spec({\hat {M}})){\hat {1}}$ (는) "정상 주문 상수"가 고전적 한계에서 사라지면 다음과 같은 조건을 충족합니다 $.$

(\displaystyle \lim _{\hbar \to 0}\min(스펙 {M}\hat {M}})= 0,}

${\hat {M}}'$ M ^ ${\hat {M}}'$ ^ ^ ${\hat {M}}'$ ${\ displaystyle {M}}'$ 은 ${\hat {M}}'$ M{\ $displaystyle$ M $M$ 의 $M$ 한 양자화입니다.

마스터 제약 조건 테스트

원시 형태의 제약조건은 다소 특이하며, 이것이 얼룩진 제약조건을 얻기 위해 테스트 함수를 통해 그것들을 통합한 이유입니다.그러나, 위에 주어진 마스터 제약에 대한 방정식은 (공간에 걸쳐 통합되기는 하지만) 두 개의 원시 제약 조건의 곱을 포함하는 훨씬 더 특이하게 보일 것이다.구속조건의 제곱은 해당 조작자의 자외선 거동이 악화될 수 있으므로 위험하므로 마스터 구속프로그램에 충분히 주의하여 접근해야 한다.

그렇게 함으로써 마스터 제약 프로그램은 비사소한 제약 대수를 가진 다수의 모델 시스템에서 만족스럽게 테스트되었고 자유롭고 상호작용하는 필드 ^[31]^[32]^[33]^[34]^[35]이론이 있다.LQG에 대한 마스터 구속조건은 진정한 양의 자기접합 연산자로 확립되었고 LQG의 물리적 힐버트 공간은 ^[36]비어있지 않은 것으로 나타났다. LQG는 양자 일반 상대성 이론의 실행 가능한 이론으로 통과되어야 한다.

마스터 제약 조건의 적용

마스터 제약조건은 물리적 내부 산출물을 근사하고 보다 엄격한 경로 ^[37]^[38]^[39]^[40]적분을 정의하기 위한 시도에 사용되었습니다.

LQG에 ^[41]^[42]대한 일관된 이산화 접근법은 표준 이론의 물리적 힐버트 공간을 구성하기 위한 마스터 제약 프로그램의 적용이다.

마스터 구속조건의 스핀 폼

마스터 제약조건은 다른 제약조건을 통합하기 위해 쉽게 일반화될 수 있습니다.그런 다음 확장 마스터 구속조건으로 언급되며, $M_{E}$ E(\ $displaystyle M_{$ E $M_{E}$ 로 $M_{E}$ 됩니다. 우리는 해밀턴 구속조건과 공간 미분동형 구속조건을 모두 단일 연산자로 적용하는 확장 마스터 구속조건을 정의할 수 있습니다.

M_{E}=\int _{\Sigma }d^{3}x{H(x)^{2}-q^{ab}V_{a}(x)V_{b}(x) \over {\sqrt {\det(q)}}}

E

=

d

M_{E}=\int _{\Sigma }d^{3}x{H(x)^{2}-q^{ab}V_{a}(x)V_{b}(x) \over {\sqrt {\det(q)}}}

M_{E}=\int _{\Sigma }d^{3}x{H(x)^{2}-q^{ab}V_{a}(x)V_{b}(x) \over {\sqrt {\det(q)}}}

H (

M_{E}=\int _{\Sigma }d^{3}x{H(x)^{2}-q^{ab}V_{a}(x)V_{b}(x) \over {\sqrt {\det(q)}}}

)

M_{E}=\int _{\Sigma }d^{3}x{H(x)^{2}-q^{ab}V_{a}(x)V_{b}(x) \over {\sqrt {\det(q)}}}

-

M_{E}=\int _{\Sigma }d^{3}x{H(x)^{2}-q^{ab}V_{a}(x)V_{b}(x) \over {\sqrt {\det(q)}}}

a

M_{E}=\int _{\Sigma }d^{3}x{H(x)^{2}-q^{ab}V_{a}(x)V_{b}(x) \over {\sqrt {\det(q)}}}

M_{E}=\int _{\Sigma }d^{3}x{H(x)^{2}-q^{ab}V_{a}(x)V_{b}(x) \over {\sqrt {\det(q)}}}

(

M_{E}=\int _{\Sigma }d^{3}x{H(x)^{2}-q^{ab}V_{a}(x)V_{b}(x) \over {\sqrt {\det(q)}}}

) V

M_{E}=\int _{\Sigma }d^{3}x{H(x)^{2}-q^{ab}V_{a}(x)V_{b}(x) \over {\sqrt {\det(q)}}}

(

M_{E}=\int _{\Sigma }d^{3}x{H(x)^{2}-q^{ab}V_{a}(x)V_{b}(x) \over {\sqrt {\det(q)}}}

)

M_{E}=\int _{\Sigma }d^{3}x{H(x)^{2}-q^{ab}V_{a}(x)V_{b}(x) \over {\sqrt {\det(q)}}}

(

M_{E}=\int _{\Sigma }d^{3}x{H(x)^{2}-q^{ab}V_{a}(x)V_{b}(x) \over {\sqrt {\det(q)}}}

){

display

style

M_{E

}=\

int

_ {\

Sigma }d^{3}x{H(x)-q^{ab}V_{A}(x

){V}(

x}

이 단일 구속조건을 0으로 설정하는 것은 $\Sigma$ \ $displaystyle$ \ $Sigma$ 의 $x$ $모든$ x {\ $displaystyle$ $V_{a}(x)=0}$ 에 $H(x)=0$ $V_{a}(x)=0$ 대해 H $H(x)=0$ $H(x)=0$ $V_{a}(x)=0$ 및 $V_{a}(x)=0$ a $V_{a}(x)=0$ ) $V_{a}(x)=0$ 0 $(x$ )에 해당합니다. 이 구속조건은 공간적 차이와 동시에 해밀턴을 구현합니다.rt 스페이스그런 다음 물리적 내부 제품은 다음과 같이 정의됩니다.

\displaystyle \phi ,\psi \rangle _{\text{Phys}}=\lim _{T\to\infty}\left \phi,\int _{-T}^{T}dte^{it{\hat {M}}_{E}}\psi \right\rangle }

( ${\textstyle \delta ({\hat {M_{E}}})=\lim _{T\to \infty }\int _{-T}^{T}dte^{it{\hat {M}}_{E}}}$ ( ( ${\textstyle \delta ({\hat {M_{E}}})=\lim _{T\to \infty }\int _{-T}^{T}dte^{it{\hat {M}}_{E}}}$ E ${\textstyle \delta ({\hat {M_{E}}})=\lim _{T\to \infty }\int _{-T}^{T}dte^{it{\hat {M}}_{E}}}$ ) ${\textstyle \delta ({\hat {M_{E}}})=\lim _{T\to \infty }\int _{-T}^{T}dte^{it{\hat {M}}_{E}}}$ ${\textstyle \delta ({\hat {M_{E}}})=\lim _{T\to \infty }\int _{-T}^{T}dte^{it{\hat {M}}_{E}}}$ ${\textstyle \delta ({\hat {M_{E}}})=\lim _{T\to \infty }\int _{-T}^{T}dte^{it{\hat {M}}_{E}}}$ ${\textstyle \delta ({\hat {M_{E}}})=\lim _{T\to \infty }\int _{-T}^{T}dte^{it{\hat {M}}_{E}}}$ t - ${\textstyle \delta ({\hat {M_{E}}})=\lim _{T\to \infty }\int _{-T}^{T}dte^{it{\hat {M}}_{E}}}$ ${\textstyle \delta ({\hat {M_{E}}})=\lim _{T\to \infty }\int _{-T}^{T}dte^{it{\hat {M}}_{E}}}$ t ${\textstyle \delta ({\hat {M_{E}}})=\lim _{T\to \infty }\int _{-T}^{T}dte^{it{\hat {M}}_{E}}}$ ${\textstyle \delta ({\hat {M_{E}}})=\lim _{T\to \infty }\int _{-T}^{T}dte^{it{\hat {M}}_{E}}}$ ${\textstyle \delta ({\hat {M_{E}}})=\lim _{T\to \infty }\int _{-T}^{T}dte^{it{\hat {M}}_{E}}}$ M $^$ ${\textstyle \delta ({\hat {M_{E}}})=\lim _{T\to \infty }\int _{-T}^{T}dte^{it{\hat {M}}_{E}}}$ ( \ $textstyle$ \ $e$ ^ { \ $hat$ { $M$ _ { $E$ } ) = \ $lim$ _ { $T$ \ $to$ \ $infty$ } \ $int _$ { - T } $dTE$ ^ { { - $T }$ } } } } } ${\textstyle \delta ({\hat {M_{E}}})=\lim _{T\to \infty }\int _{-T}^{T}dte^{it{\hat {M}}_{E}}}$ → { $te$ $이$ 표현의 스핀 폼 표현은 t $\displaystyle$ t - 매개 $t$ 변수를 이산 단계로 분할하고 기록함으로써 얻을 수 있습니다.

$\textstyle e^{it{\hat {M}_{E}=\lim _{n\to \infty }\left [e^{ithathat {M}_{E}/n}\right]^{n}=\lim _{n\to \infty }[1+it}} {M}_{E}/n}^{n}}}}.}$

스핀 폼 설명은 스핀 네트워크에서 [ $[1+it{\hat {M}}_{E}/n]$ + $[1+it{\hat {M}}_{E}/n]$ $[1+it{\hat {M}}_{E}/n]$ M $[1+it{\hat {M}}_{E}/n]$ ^ $[1+it{\hat {M}}_{E}/n]$ / $]([1$ + i t M ^ E / n $[1+it{\hat {M}}_{E}/n]$ {displaystyle $[$ 1 $[1+it{\hat {M}}_{E}/n]$ + $it {\hat {M}}_{E}/n])$ 을 $[1+it{\hat {M}}_{E}/n]$ $[1+it{\hat {M}}_{E}/n]$ 적용하면 그래프와 라벨이 수정된 새로운 스핀 네트워크의 선형 조합이 생성됩니다.분명히 근사치는 n $\displaystyle$ n의 $n$ $n$ 을 유한한 정수로 잘라내는 것입니다.확장된 마스터 제약조건의 장점은 우리가 운동학적 수준에서 작업하고 있다는 것입니다. 그리고 지금까지는 여기서만 접근 가능한 세미클래식 코히런트 상태가 있습니다.더욱이, 이러한 일관성 있는 상태에 적합한 유일한 연산자 유형인 이 마스터 제약 연산자의 버전을 변경하는 그래프를 찾을 수 없다.

대수 양자 중력(AQG)

마스터 제약 프로그램은 대수 양자 중력(AQG)^[43]으로 알려진 중력의 완전 조합 처리로 발전했다.비그래프 변화 마스터 제약 연산자는 대수 양자 중력의 프레임워크에 적응된다.AQG는 LQG에서 영감을 얻었지만 AQG에서는 기본적으로 토폴로지나 차분 구조가 없기 때문에 크게 다릅니다.이는 보다 일반적인 의미에서 백그라운드에 의존하지 않기 때문에 토폴로지 변경에 대해 언급할 수 있습니다.양자 중력의 이 새로운 공식에서 AQG 반고전 상태는 항상 현재의 모든 자유도의 변동을 제어합니다.이를 통해 AQG의 반고전적 분석이 LQG의 반고전적 분석보다 우수하며, 정확한 반고전적 한계를 확립하고 익숙한 저에너지 ^[44]^[45]물리학과의 접촉을 제공하는 데 진전이 있었다.

LQG의 물리적 응용 프로그램

블랙홀 엔트로피

열역학의 법칙이 지켜지는 과정인 두 블랙홀이 합쳐지는 예술가의 묘사입니다.

블랙홀 열역학은 열역학의 법칙과 블랙홀 사건의 지평선의 존재를 조화시키는 연구 영역입니다.일반 상대성 이론의 털 없는 추측은 블랙홀은 질량, 전하, 각운동량만으로 특징지어지기 때문에 엔트로피가 없다고 말한다.따라서 엔트로피가 0이 아닌 물체를 블랙홀에 ^[46]떨어뜨리면 열역학 제2법칙을 위반할 수 있는 것으로 보인다.스티븐 호킹과 제이콥 베켄스타인의 연구는 블랙홀 엔트로피를 각 블랙홀에 할당함으로써 열역학 제2법칙을 보존할 수 있다는 것을 보여주었다.

\displaystyle S_{\text{B}H}}=param frac {k_{\text{B}}A}{4\ell_{\text{\text}P}} {{2}},}

$A$ 서 A $(\displaystyle$ A $)$ 는 $A$ 홀의 이벤트 수평선 $k_{\text{B}}$ 인 $(\$ 입니다. $B}}$ 는 $k_{\text{B}}$ 볼츠만 상수이며, ${\textstyle \ell _{\text{P}}={\sqrt {G\hbar /c^{3}}}}$ P ${\textstyle \ell _{\text{P}}={\sqrt {G\hbar /c^{3}}}}$ ${\textstyle \ell _{\text{P}}={\sqrt {G\hbar /c^{3}}}}$ / c ${\textstyle \ell _{\text{P}}={\sqrt {G\hbar /c^{3}}}}$ {\ $textstyle$ \ $ell$ _ ${\text{$ $P}}=sqrt {G\hbar /c^{3}}}}$ 는 ${\textstyle \ell _{\text{P}}={\sqrt {G\hbar /c^{3}}}}$ 플랑크 ^[47]길이이다.블랙홀 엔트로피가 베켄슈타인 결합(베켄슈타인 결합에서 균등이 됨)에 의해 얻을 수 있는 최대 엔트로피라는 사실이 홀로그램 원리로 ^[46]이어진 주요 관측이었다.

무모정리의 적용에 있어서 간과되는 것은 블랙홀의 엔트로피를 설명하는 관련 자유도가 본질적으로 고전적이어야 한다는 가정이다; 만약 그들이 순수하게 양자역학적이고 0이 아닌 엔트로피를 가졌다면?사실, 이것은 블랙홀 엔트로피의 LQG 유도에서 실현되고, 배경 독립의 결과로 볼 수 있습니다. 고전적인 블랙홀 시공간은 중력장의 양자 상태의 반고전적 한계에서 비롯되지만, 같은 반고전적 한계를 가진 많은 양자 상태가 있습니다.특히 LQG에서는^[48] 양자 기하학적 해석을 마이크로 상태에 연관시킬 수 있다.이는 블랙홀의 면적 $(\displaystyle$ A $A$ 및 지평선의 위상(구면)과 일치하는 지평선의 양자 기하학입니다.LQG는 엔트로피의 미세성 ^[49]^[50]및 수평 영역의 비례성에 대한 기하학적 설명을 제공합니다.이러한 계산은 회전하는 ^[51]블랙홀로 일반화되었습니다.

수평선의 양자 기하학적 표현입니다.벌크 내의 폴리머 들뜸은 수평선을 뚫어 정량화된 면적을 제공합니다.본질적으로 수평선은 양자화된 결손각 또는 양자화된 곡률의 양을 획득하는 펑크점을 제외하고 평평하다.이러한 결손 각도의

4\pi

는

({displaystyle

4

\pi

입니다.

완전 양자 이론(Spinfoam)의 공변 공식으로부터 에너지와 면적(1법칙), 언루 온도와 호킹 ^[52]엔트로피를 생성하는 분포 사이의 올바른 관계를 도출할 수 있다.계산은 동적 지평선의 개념을 사용하며 비극대 블랙홀에 대해 수행됩니다.

이 방향에서 이론의 최근 성공은 이론에서 직접 그리고 Imirzi ^[52]^[53]매개변수에 의존하지 않는 모든 비단수 블랙홀의 엔트로피 계산이다.결과는 예상 $S=A/4$ S $S=A/4$ $S=A/4$ / $S=A/4$ (\ $displaystyle$ S $= A/4$ 입니다. $S$ 서 S $(\displaystyle$ S $)$ 는 $S$ 엔트로피, $(\displaystyle$ A $)$ 는 $A$ 블랙홀의 면적이며, Bekenstein과 Hawking이 발견적 근거에서 도출한 것입니다.이것은 일반적인 비단수 블랙홀의 경우 기본 이론에서 이 공식의 유일한 파생입니다.이 계산의 이전 시도에는 어려움이 있었다.문제는 루프 양자 중력이 블랙홀의 엔트로피가 사건의 지평선 면적에 비례한다고 예측했지만, 그 결과는 이론의 중요한 자유 매개변수인 위에서 언급한 이미르지 매개변수에 의존했다는 것이었다.그러나, 이미르지 매개변수에 대한 알려진 계산은 없기 때문에, 베켄스타인과 호킹의 블랙홀 엔트로피 계산에 동의하도록 요구함으로써 수정되어야만 했다.

루프의 양자 중력에서의 호킹 복사

블랙홀 지평선의 양자 기하학에 대한 자세한 연구가 루프 양자 ^[50]중력을 이용하여 이루어졌다.루프 양자화는 유도 과정에서 발생하는 다른 상수를 상쇄하기 위해 이미르지 매개변수의 값을 선택하지 않는 한 베켄스타인과 호킹이 원래 발견한 블랙홀 엔트로피의 결과를 재현하지 않는다.그러나 이는 블랙홀의 엔트로피와 방사선에 대한 고차 보정 연산으로 이어졌다.

지평선 영역의 변동에 기초하여, 양자 블랙홀은 호킹의 스펙트럼에서 이탈을 나타내며, 만약 호킹이 증발하는 원시 블랙홀의 X선을 ^[54]관측한다면 관측할 수 있을 것이다.양자 효과는 호킹의 방사선 ^[55]스펙트럼 위에서 매우 뚜렷하게 나타나는 일련의 이산적이고 혼합되지 않은 주파수에서 집중된다.

플랑크 별

2014년 카를로 로벨리와 프란체스카 비도토는 모든 블랙홀 ^[56]안에 플랑크 별이 있다고 제안했다.LQG에 근거해, 이 이론은 별들이 블랙홀로 붕괴하면서 에너지 밀도가 플랑크 에너지 밀도에 도달하여 별을 만드는 반발력을 발생시킨다고 말한다.게다가 그러한 별이 존재하면 블랙홀 방화벽과 블랙홀 정보의 모순이 해결될 것이다.

루프 양자 우주론

대중적이고 기술적인 문헌은 루프 양자 우주론의 LQG 관련 주제에 대해 광범위하게 언급하고 있다.LQC는 주로 Martin Bojowald에 의해 개발되었으며,^[57] 빅뱅 이전에 빅 바운스를 예측하여 Scientific American에서 대중화되었습니다.루프 양자 우주론(LQC)은 수축과 팽창 사이의 "양자 다리"를 예측하는 루프 양자 중력(LQG)을 모방한 방법을 사용하여 양자화된 고전 일반 상대성 이론의 대칭 감소 모델이다.

LQC의 성과는 빅뱅 특이점 해결, 빅뱅 바운스의 예측, 인플레이션의 자연스러운 메커니즘이다.

LQC 모델은 LQG의 특징을 공유하기 때문에 유용한 장난감 모델입니다.그러나 얻어진 결과는 완전 이론에서 큰 양자 변동을 가질 수 있는 자유도의 인위적인 억제로 인해 잘린 고전 이론이 완전 이론의 진정한 행동을 나타내지 못할 수 있다는 일반적인 제약을 받는다.LQC의 특이점 회피는 이러한 제한적 모델에서만 이용 가능한 메커니즘에 의해 이루어지며, 전체 이론에서 특이점 회피는 여전히 얻을 수 있지만 LQG의 ^[58]^[59]보다 미묘한 특징에 의해 얻어질 수 있다는 주장이 제기되어 왔다.

루프 양자 중력 현상학

양자 중력 효과는 플랑크 길이가 매우 작기 때문에 측정하기 어렵기로 악명 높다.그러나 최근 잭 파머와 같은 물리학자들은 주로 천체물리학적 관측과 중력파 검출기로 양자 중력 효과를 측정할 수 있는 가능성을 고려하기 시작했다.이렇게 작은 규모의 변동에 의한 에너지로 인해 더 높은 규모의 공간에서 볼 수 있는 동요가 발생합니다.

백그라운드에 의존하지 않는 산란

루프 양자 중력은 배경에 의존하지 않는 언어로 공식화된다.시공간은 선험적으로 간주되지 않고 오히려 이론 자체에 의해 구축된다. 그러나 산란 진폭은 n개의\\ $displaystyle$ n $}$ 개의 $n$ 점 함수(상관함수)에서 도출되며, 이는 기존의 양자장 이론에서 공식화된 시공간 점의 함수이다.주어진 시공간에서의 배경 의존적 형식주의와 양자장 이론의 전통적인 형식주의 사이의 관계는 명확하지 않으며, 완전한 배경 의존적 이론으로부터 낮은 에너지량을 회복하는 방법은 명확하지 않다.배경의존적 형식주의에서 $n$ 의 n $\style$ n-point $n$ 함수를 도출하여 양자일반상대성이론의 표준 섭동팽창과 비교하여 루프 양자중력이 정확한 저에너지 한계를 산출하는지 확인하고자 한다.

이 문제를 해결하기 위한 전략이 ^[60]제안되었습니다. 아이디어는 경계 진폭, 즉 ^[61]^[62]필드의 경계 값의 함수로 보이는 유한 시공간 영역에 걸친 경로 적분을 연구하는 것입니다.전통적인 양자장 이론에서, 이 경계 진폭은 잘 정의되고^[63]^[64] 이론의 물리적 정보를 코드화한다; 그것은 양자 중력에서도 그렇게 하지만 완전히 배경 독립적인 방식으로 그렇게 ^[65]한다. $그런$ 다음, n $\style$ n\display $style$ n\ 포인트 함수의 물리적 지점 간 거리 - n $\displaystyle$ n $\$ 포인트 $n$ 함수의 인수가 고려된 시공간 영역의 경계에 있는 중력장 상태에 의해 결정된다는 생각에 기초하여 일반적으로 공변적인 n $\display$ n 포인트 $n$ 함수의 $n$ 를 내릴 수 있다.

스핀 폼을 사용하여 이러한 방식으로 백그라운드 독립 산란 진폭을 계산하는 데 진전이 있었습니다.이것은 이론에서 물리적인 정보를 추출하는 방법이다.중력자 산란 진폭에 대한 올바른 행동을 재현하고 고전적 중력을 회복했다는 주장이 제기되었습니다."우리는 공간도 시간도 없는 세상에서 출발하는 뉴턴의 법칙을 계산했습니다." – 카를로 로벨리

중력자, 끈 이론, 초대칭, LQG의 추가 차원

일부 양자 중력 이론은 양자화된 스핀 2 양자장을 가정하여 중력자를 발생시킨다.끈 이론에서는 일반적으로 고전적으로 고정된 배경 위에 양자화된 들뜸으로 시작합니다.따라서 이 이론은 배경에 의존한다고 설명된다.광자와 같은 입자와 시공간 지오메트리(중력자)의 변화는 모두 스트링 월드시트에 들뜸으로 기술됩니다.끈 이론의 배경 의존성은 쿼크 생성의 수를 결정하는 것과 같은 중요한 물리적 결과를 가져올 수 있습니다.반대로 루프 양자 중력은 일반 상대성 이론과 마찬가지로 명백히 배경 독립적이며 끈 이론에서 요구되는 배경을 제거한다.끈 이론과 마찬가지로 루프 양자 중력은 양자장 이론의 비표준화 분산을 극복하는 것을 목표로 한다.

LQG는 이 배경에 존재하는 배경과 들뜸을 도입하지 않기 때문에 중력자를 빌딩 블록으로 사용하지 않습니다.대신, "중력"과 같은 것이 다시 나타날 수 있는 일종의 반고전적 한계나 약한 장 한계를 회복할 수 있을 것으로 예상한다.반대로, 중력자는 끈 이론에서 중요한 역할을 합니다. 끈 이론에서는 초끈의 첫 번째 들뜸 수준 중 하나입니다.

LQG는 초대칭 또는 칼루자-클레인 추가 차원이 없는 3차원과 4차원으로 공식화된다는 점에서 끈 이론과 다르다.초대칭성과 칼루자-클레인 추가 차원에 대한 끈 이론의 예측을 확인하는 실험적인 증거는 현재까지 없다.Carlo Rovelli는 2003년 논문 "^[66]양자 중력에 관한 대화"에서 LQG가 초대칭 없이 4차원으로 공식화되어 있다는 사실을 이론의 강점으로 간주했다. 이는 LQG가 경쟁 문자열/M이론에 대해 현재의 실험 결과와 일치하기 때문이다.끈 이론의 지지자들은 종종, 다른 것들 중에서, 그것이 양자 중력이 고리를 이루는 일반 상대성 이론과 양자장 이론의 확립된 이론을 적절한 한계에서 입증할 수 있게 재현한다는 사실을 지적할 것이다.그런 의미에서 끈 이론과 확립된 물리학의 연관성은 수학적인 차원에서 더 신뢰할 수 있고 덜 추측적인 것으로 여겨질 수 있다.루프 양자 중력은 우주의 물질(연기)에 대해 할 말이 없다.

LQG는 (초대칭 유무에 관계없이) 4차원으로 공식화되어 있으며, M이론은 초대칭과 11차원을 필요로 하기 때문에 두 가지 차원을 직접 비교할 수 없었다.주류의 LQG 형식주의를 고차원 초중력, 초대칭성과의 일반 상대성 이론 및 칼루자-클레인 추가 차원까지 확장할 수 있다.따라서 이러한 접근방식을 비교하기 위해서는 고차원 초중력 루프 정량화를 자유롭게 사용할 수 있는 것이 바람직하다.사실 ^[67]^[68]^[69]^[70]^[71]^[72]^[73]^[74]이것만 시도하는 일련의 논문이 발표되었습니다.가장 최근에, 티만(및 졸업생)은 고차원의 초중력에 대한 블랙홀 엔트로피를 계산하는 데 진전을 이루었다.이러한 결과를 대응하는 슈퍼 문자열 ^[75]^[76]계산과 비교하는 것은 흥미로울 것입니다.

LQG 및 관련 연구 프로그램

몇몇 연구 그룹을 다른 연구 프로그램과 LQG를 결합하기:요하네스 Aastrup, 예 스페 M.Grimstrup(알이다. 연구 정준 양자 중력과 Ashtekar variables,[77]로랑 Freidel, 시몬 Speziale,(알과 루프 양자 gravity,[78][79]과 spinors과 twistor 이론과 리 스몰린 e.noncommutative 기하학을 결합한 것 시도했다V로 t알.에린드 엔트로픽 중력과 루프 중력.^[80]스테폰 알렉산더, 안토니노 마르시아노, 리 스몰린은 중력을 ^[81]키랄로 묘사하는 애쉬케타의 변수와 양-밀스 이론의^[82] LQG의 관점에서 약한 힘의 키랄리티의 기원을 4차원으로 설명하려고 시도했다.Sundance Bilson-Thompson, Hackett et al.)^[83]^[84]은 LQGs 자유도를 통해 표준 모델을 도입하려고 시도했다(소음 없는 하위 시스템의 아이디어, Fotini Markopou-Kalamara et al.)^[85]

또한, LQG는 인과적 동적^[86] 삼각 측량 및 점근적 안전 중력,^[87] 그리고 군장 이론과 AdS/CFT ^[88]대응이 있는 스핀폼과 철학적 비교를 이끌어냈다.Smolin과 Wen은 LQG를 끈망 액체, 텐서, Smolin과 Fotini Markopou-Kalamara 양자 흑연도와 결합할 것을 제안했다.일관된 이산화 접근법이 있다.또한 Pullin과 Gambini는 양자 중력에 대한 경로 적분 및 표준 접근법을 연결하는 프레임워크를 제공합니다.스핀 폼과 표준 루프 표현 방식을 조화시키는 데 도움이 될 수 있습니다.Chris Duston과 Matilde Marcoelli의 최근 연구에서는 topspin ^[89]네트워크를 통한 토폴로지 변경이 도입되었습니다.

문제점과 대체 접근법과의 비교

물리학의 주요 미해결 문제들 중 일부는 이론이며, 이는 기존의 이론들이 특정한 관찰된 현상이나 실험 결과를 설명할 수 없는 것처럼 보인다는 것을 의미한다.다른 것들은 실험적인 것으로, 제안된 이론을 테스트하거나 현상을 더 자세히 조사하기 위한 실험을 만드는 데 어려움이 있다는 것을 의미합니다.

LQG에는 다음과 같은 문제가 많이 발생합니다.

양자역학과 일반상대성이론이 완전히 일관된 이론으로 실현될 수 있을까요?
시공간은 기본적으로 연속형입니까, 아니면 이산형입니까?
일관된 이론은 가상의 중력자에 의해 매개되는 힘을 포함할 것인가, 아니면 (루프 양자 중력에서처럼) 시공간 자체의 이산 구조의 산물이 될 것인가?
매우 작거나 매우 큰 규모의 일반 상대성 이론의 예측이나 양자 중력 이론에서 나오는 다른 극단적인 상황에서 편차가 있는가?

LQG 이론은 끈 이론과 마찬가지로 양자 중력 문제에 대한 가능한 해결책 중 하나입니다.그러나 상당한 차이가 있다.예를 들어 끈 이론은 또한 추가 차원 및 지금까지 관찰되지 않은 추가 입자와 대칭을 가정함으로써 통일, 모든 알려진 힘과 입자를 단일 실체의 표현으로 이해하는 것을 다룬다.이와 반대로 LQG는 양자이론과 일반상대성이론에만 기초하고 있으며 그 범위는 중력 상호작용의 양자적 측면을 이해하는 데 한정되어 있다.반면, LQG의 결과는 근본적으로 시공간 특성을 바꾸고 양자 시공간에서 잠정적이지만 상세한 물리적, 수학적 그림을 제공하기 때문에 급진적이다.

현재 일반상대성을 회복하는 반고전적 한계는 존재하지 않는 것으로 나타났다.이는 플랑크 척도의 LQG가 올바른 연속체 한계를 가지고 있다는 것이 증명되지 않았다는 것을 의미한다(양자 보정이 가능한 일반 상대성 이론으로 설명된다.구체적으로, 이론의 역학은 해밀턴 제약조건으로 부호화되지만, 해밀턴 ^[90]후보는 없다.다른 기술적 문제로는 제약대수와 물리적 내부곱 벡터 공간의 오프셸 폐쇄의 발견, 양자장 이론의 물질장과의 결합, 2-루프를 넘어 자외선을 발산시키는 섭동 이론의 중력자 재규격화의 운명 등이 있다.^[90]

보이고 있는 반면에 제안을 벌거벗고 두배로 특수 상대성 프로그램 루프 양자 우주론이라고 불리는 일환으로 singularities,[91]의 관찰과 관련된,에 그러한 루프 양자 중력을 예측 그 표준 모델 혹은 일반 상대성 모든 현재 theori을 괴롭힌 문제에 의해서 만들어지지 않게 하지 않실험 관찰은.에스 제일의 것이다f 양자 중력).위에서 언급한 반고전적 한계가 없기 때문에, LQG는 아직 일반 상대성 이론의 예측조차 재현하지 못했다.

또 다른 비판은 일반상대성이론이 효과적인 장 이론일 수 있고, 따라서 양자화는 기본적인 자유도를 무시한다는 것이다.

ESA의 INTELTIONAL 위성은 서로 다른 파장의 광자의 편광도를 측정해 플랑크 규모보다 10m⁻⁴⁸ 이하 또는 13배 낮은 공간의^[92] 입도에 한계를 둘 수 있었다.

「」를 참조해 주세요.

시간 문제 – 일반 상대성 이론과 양자 역학 간의 개념적 충돌
Ashtekar 변수 – 일반 상대성 이론에서 사용되는 변수
C*-대수 – 위상 복소 벡터 공간
범주 이론 – 수학적 구조 개념의 공식화
이중 특수상대성이론 – 특수상대성이론의 일반화
Gelfand-Naimark-Segal 구조 – 기능 분석에서의 대응 관계
군장 이론 – Lie 군 기저 다지관을 가진 양자장 이론
헤이팅 대수
해밀턴 제약 조건 – 해밀턴 공식을 인정하는 일부 이론의 핵심 제약 조건
LQG의 해밀턴식 구속조건 – 루프 양자 중력의 구속조건
Imirzi 파라미터 – 루프 양자 중력의 수치 계수
매듭 불변성 – 등가 매듭에 대해 동일한 값을 취하는 매듭의 함수
Kodama 상태 – 루프 양자 중력에서의 슈뢰딩거 방정식에 대한 제로 에너지 솔루션
루프 양자 중력의 로렌츠 불변성 – 루프 양자 중력의 양상
비가환 기하학 – 수학 분야
레지 미적분
S노트 – 스핀 네트워크의 등가 클래스
스핀 폼 – 양자 중력을 설명하는 데 사용되는 위상 구조
String-net 액체 – 닫힌 루프만을 포함하는 응집 물질 물리학 모델
끈 이론 – 물리학의 이론 프레임워크
초대칭성 – 보손과 페르미온의 대칭성
토포스 이론 – 수학적 범주

메모들

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양자 거품 및 루프 양자 중력
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양자 중력 루프:리 스몰린.
Lee Smolin의 양자 중력 강의 온라인
스핀 네트워크, 스핀 폼 및 루프 양자 중력
와이어드 매거진, 뉴스: Moving Beyond String Theory
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