하이젠베르크 그림

물리학에서 하이젠베르크 그림^[1](Heisenberg 그림이라고도 함)은 연산자(관측 가능 및 기타)가 시간에 대한 의존성을 통합하지만 상태 벡터는 시간에 의존하지 않고 이론의 기초가 되는 임의의 고정 기반인 양자 역학의 공식이다.

이는 연산자가 일정하고 상태가 시간에 따라 진화하는 슈뢰딩거 그림과는 대조적이다.두 그림은 활성 변환과 수동 변환의 차이에 해당하는 시간 의존성에 관한 기본 변화에 의해서만 다르다.하이젠베르크 그림은 해밀턴이 반드시 대각선일 필요는 없는 임의의 기초에서의 행렬 역학의 공식화이다.

또한 세 번째 하이브리드 그림 상호 작용 그림을 정의하는 역할을 합니다.

수학적 상세

양자역학의 하이젠베르크 그림에서 상태 벡터 δ는 시간에 따라 변하지 않는 반면 $관측가능성$ A는 다음을 만족한다.

$(\displaystyle\frac{d}{dt})A_{\text{\text}H}}(t)=black {i}{\hbar}}[H_{\text{H}}, A_{\text{H}}(t)+\left({\frac {\partial A_{\text{\frac})S}}{\partial t}}\right)_{\text{H}},}$

여기서 "H"와 "S"는 하이젠베르크와 슈뢰딩거 그림에서 각각 관측 가능한 것으로 $표시$ 되며, H는 해밀턴이고 $[\cdot\cdot]$ 는 두 연산자의 정류자(이 $경우$ $H$ 와 A)를 나타낸다.기대치를 취하면 대응 원리에 포함된 에렌페스트 정리가 자동으로 생성됩니다.

스톤-본 노이만 정리에 따르면 하이젠베르크 그림과 슈뢰딩거 그림은 힐베르트 공간의 기저 변화일 뿐이다.어떤 의미에서 하이젠베르크 그림은 동등한 슈뢰딩거 그림보다 더 자연스럽고 편리하며, 특히 상대론적 이론에서 그러하다.상태 벡터는 시간이나 공간을 골라내지 않기 때문에 하이젠베르크 그림에서 로렌츠 불변성이 나타난다.

이 접근법은 또한 고전 물리학과 보다 직접적인 유사성을 가지고 있다: 위의 정류자를 단순히 포아송 괄호로 대체함으로써 하이젠베르크 방정식은 해밀턴 역학에서 방정식으로 환원된다.

하이젠베르크 방정식과 슈뢰딩거 방정식의 등가

교육학을 위해 하이젠베르크 그림은 슈뢰딩거 그림에서 소개되었다.

주어진 슈뢰딩거 상태 δ(t)에 대한 관측 가능한 선형 연산자인 A의 기대값은 다음과 같이 주어진다.

A\rangle _{t}=\displayle \psi (t) A \psi (t)\rangle .

슈뢰딩거 그림에서 $시간$ t에서의 상태 '(t)'는 시간 0에서의 상태 '(0)'과 단위시간 진화 $연산자$ U $(t)$ 에 의해 관련된다.

\displaystyle \psi (t)\rangle = U(t)\psi (0)\rangle .}

하이젠베르크 그림에서 모든 상태 벡터는 초기 값 δ(0)에서 일정하게 유지되는 것으로 간주되는 반면 연산자는 다음과 같이 시간에 따라 진화한다.

A(t):=U^{\dagger }(t)AU(t),

시간-진화 연산자에 대한 슈뢰딩거 방정식은 다음과 같다.

{d}{dt}U(t)=-{\frac {iH}{\hbar}}U(t)

여기서 H는 해밀턴이고 θ는 환원 플랑크 상수이다.

이제 라는 것을 알 수 있다

{\frac {d}{dt}A(t)&=flac {i}{\hbar}}U^{\dagger}(t)HAU(t)+U^{\dagger }(t)\left\frac {\frac A}{\partial t}\right)U(t)+{\frac {i}{\hbar}}U^{\dagger }(t)A(-H)U(t)\&frac {h}{\frac A}{\frac A}{\fraca}{\fraca}{\fraci}{\fr}{\fr}{\fright}{\fr}}{h}}}}{\fU^{\dagger }(t)\left({\frac {partial A}{\partial t}}\오른쪽)U(t)-{\frac {i}{\hbar }}U^{\dagger }(t)AU(t)U^{\dagger }(t)HU(t)\&=hbar frac {i}{\hbar}}\left(H(T)-A(T)\오른쪽)U^{\dagger }(t)\left({\frac {partial A}{\partial t}}\오른쪽)U(t),\end {aligned}

제품 규칙에 따라 차별화가 수행되었습니다.위의 마지막 줄에 나타나는 해밀턴이 하이젠베르크 해밀턴 H(t)이며, 이는 슈뢰딩거 해밀턴과 다를 수 있습니다.

해밀턴이 시간에 따라 변화하지 않는다면 위의 방정식의 중요한 특수한 경우를 얻을 수 있다.그러면 시간 진화 연산자는 다음과 같이 쓸 수 있습니다.

U(t)=e^{-iHt/\hbar}

그러므로,

\displaystyle A\rangle _{t}=\displayle \psi(0) e^{+iHt/\hbar}Ae^{-iHt/\hbar} \psi(0)\rangle.}

그리고.

{\displaystyle{\begin{정렬}{\frac{d}{dt}}A(t)&, ={\frac{나는}{\hbar}}He^ᆱAe^ᆲ+e^ᆳ\left({\frac{\partial A}{\partial t}}\right)e^{-iHt/\hbar}+{\frac{나는}{\hbar}}e^{+iHt/\hbar}A\cdot(-H)e^{-iHt/\hbar}\\&, ={\frac{나는}{\hbar}}e^ᆻ\left(HA-AH\right)e^{-iHt/\hbar}+e^{+iHt/\hbar}\left({\frac{\pa.(}{\har t}\right} e^{-iHt/\hbar}\\&=harfrac {i}{\hbar}}\left(HA(t)-A(t)H\right)+e^{+iHt/\hbar}\leftfrac\frac {\ht}\ht}{\ht}\ht}\ht}\ht}\ht}\ht}\ht}\ht}\ht}\fright)\end { aligned}}

여기서 $θA / θt$ 는 정의된 A(t) 연산자가 아닌 초기 A의 시간 도함수이다.exp $(- i$ H t $/ θ)$ 가 H와 일치하므로 $마지막$ $방정식$ 이 유지됩니다.

이 방정식은 위에서 정의한 A(t)에 의해 해결되며, 이는 표준 연산자 ID를 사용함으로써 알 수 있다.

{e^{B}Ae^{-B}}=A+[B,A]+{\frac {1}{2!}}[B,[B,A]+{\frac {1}{3!}}[B,[B,[B,A]]+\cdots,,

그 의미는

A(t)=A+{\frac {it}{\hbar}}}[H,A]+{\frac {1}{2!}\left({\frac {it}{\hbar }}\right)^{2}[H,A]+{\frac {1}{3!}}\left({\frac {it}{\hbar }}\오른쪽)^{3}[H,[H,A]]+\cdots

이 관계는 포아송 괄호와 정류자 사이의 대응관계를 고려할 때 위의 고전적 한계인 고전역학에도 적용된다.

[A,H]\quad 왼쪽 화살표\quad i\hbar\{A,H\

고전 역학에서, 명확한 시간 의존성이 없는 A의 경우,

(\displaystyle\{A,H\}=sq frac {dA}{dt}}~,}

따라서 A(t)에 대한 식은 t = 0 주위의 테일러 팽창이다.

사실상 임의의 강성 힐버트 공간 베이스 「(0)」는 시야에서 멀어져, 관측 가능성의 특정 기대치 또는 매트릭스 요소를 취하는 최종 단계에서만 고려된다.

정류자 관계

정류자 관계는 연산자의 시간 의존성 때문에 슈뢰딩거 그림과 다르게 보일 수 있습니다.예를 들어 $연산자$ x $(t 1),$ $x (t 2),$ $p (t 1)$ $및$ p $(t 2)$ 를 고려합니다.이러한 연산자의 시간 진화는 시스템의 해밀턴에 따라 달라집니다.1차원 고조파 발진기를 고려하면

({displaystyle H=p^{2}}{2m}}+{\frac {m\Omega ^{2}x^{2}}{2}},

위치 및 운동량 연산자의 진화는 다음을 통해 알 수 있다.

{d}{dt}x(t)=sublicfrac {i}{\hbar}}[H,x(t)]=sublicfrac {p}{m}}

{d}{dt}p(t)=black {i}{\hbar}}[H,p(t)]=-m\obega ^{2}x.

두 방정식을 다시 한 번 미분하여 적절한 초기 조건으로 풀어보면

{p}}(0)=-m\obega ^{2}x_{0}

({displaystyle {dot {x}} (0) = flac {p_{0}} {m}} )

로 이어지다

x(t)=x_{0}\cos(\omega t)+{\frac {p_{0}}{\omega m}}\sin(\omega t),

\displaystyle p(t)=p_{0}\cos(\omega t)-m\omega x_{0}\sin(\omega t).}

직접 계산은 보다 일반적인 정류자 관계를 산출합니다.

\displaystyle [x(t_{1}),x(t_{2})]=sn frac {i\hbar}{m\obe }}\sin \left(\obe t_{2}-\obe t_{1}\right)

[p(t_{1}),p(t_{2})]=i\hbar m\Omega \sin \left(\omega t_{2}-\Omega t_{1}\right)

(\displaystyle [x(t_{1}),p(t_{2})]=i\hbar \cos \left(\omega t_{2}-\omega t_{1}\right).}

$t_{1}=t_{2}$ 1 $=$ $t_{1}=t_{2}$ 2 {\ $displaystyle t_{1$ }= $t_{2$ 의 $t_{1}=t_{2}$ 모든 그림에 유효한 표준 표준 정류 관계를 단순히 복구합니다.

모든 그림의 진화 요약 비교

시간 독립 해밀턴 H의_S 경우, 여기서_0,S H는 자유 해밀턴 H이다.

진화	그림 ( ) v t )
대상:	슈뢰딩거(S)	하이젠베르크(H)	상호 작용(I)
케트 상태	$\displaystyle \psi _{\rm {S}}(t)\rangle = e^{-iH_{\rm {S}}~t/\hbar} \psi _{\rm {S}}}(0)\rangle }$	일정한	$\displaystyle \psi _{\rm {I}}(t)\rangle = e^{iH_{0,\mathrm {S} }~t/\hbar} \psi _{\rm {S}}(t)\rangle }$
관찰 가능	일정한	$A_{\rm {H}(t)=e^{iH_{\rm {S}~t/\hbar}A_{\rm {S}}e^{-iH_{\rm {S}}~t/\hbar}$	$\displaystyle A_{\rm {I}(t)=e^{iH_{0,\mathrm {S}}~t/\hbar}A_{\rm {S}e^{-iH_{0,\mathrm {S}}~t/hbar}$
밀도 매트릭스	$\displaystyle \rm {S}(t)=e^{-iH_{\rm {S}~t/\hbar}\rho_{\rm {S}}(0)e^{iH_{\rm {S}~t/\hbar}}$	일정한	$\displaystyle \rho _{\rm {I}}(t)=e^{iH_{0,\mathrm {S}}~t/\hbar}\rho_{\rm {S}(t)e^{-iH_{0,\mathrm {S}}~t/hbar }$

「」를 참조해 주세요.

레퍼런스

^ "Heisenberg representation". Encyclopedia of Mathematics. Retrieved 3 September 2013.

Cohen-Tannoudji, Claude; Bernard Diu; Frank Laloe (1977). Quantum Mechanics (Volume One). Paris: Wiley. pp. 312–314. ISBN 0-471-16433-X.
앨버트 메시아, 1966년양자역학(Vol.I) G.M. Temmer의 프랑스어 번역.North Holland, John Wiley & Sons.
Merzbacher E., Quantum Mechanics (제3판, John Wiley 1998) 페이지 430-1 ISBN 0-471-88702-1
L.D. Landau, E.M. Lifshitz (1977). Quantum Mechanics: Non-Relativistic Theory. Vol. 3 (3rd ed.). Pergamon Press. ISBN 978-0-08-020940-1. 온라인 복사
R. Shankar(1994); 양자역학의 원리, 플레넘 프레스, ISBN 978-0306447907.
J. J. 사쿠라이(1993); 현대 양자역학(개정판), ISBN 978-0201539295.

외부 링크

양자장 이론의 교육학 보조자 하이젠베르크 그림에 대한 광범위하고 간단한 소개를 찾으려면 2장 링크를 클릭하세요.
하이젠베르크 그림의 고조파 발진기의 몇 가지 확장파도와 예시 [1]
번역된 원본 하이젠베르크 종이(읽기 어렵지만, 비조화 진동자에 대한 예가 포함되어 있습니다):양자역학의 출처 B.L. 반 더 바덴 [2]
하이젠베르크 표현에서의 수소 원자에 대한 계산은 원래 파울리의 논문에서 비롯되었다[3].

[1] "Heisenberg representation". Encyclopedia of Mathematics. Retrieved 3 September 2013.

[1]

v t 양자역학
배경	서론 역사 타임라인 고전 역학 구 양자론 용어집
기초	타고난 규칙 브라켓 표기법 상보성 밀도 매트릭스 에너지 레벨 접지 상태 들뜬 상태 퇴화 수준 제로 포인트 에너지 얽힘 해밀턴식 방해다 데코히렌스 측정. 비국소성 양자 상태 중첩 터널링 산란 이론 양자역학에서의 대칭성 불확실성 파동 함수 접다 파동-입자 이중성
제제	제제 하이젠베르크 상호 작용 행렬 역학 슈뢰딩거 경로 적분 공식 위상 공간
방정식	디락 클라인-고든 파울리 리드버그 슈뢰딩거
해석	해석 베이지안 일관성 있는 이력 코펜하겐 브로이쾅 앙상블 숨김 변수 현지의 다세계 객관적 붕괴 양자 논리 관계형 트랜잭션 반 노이만 위그너
실험	벨 부등식 데이비슨-게르머 선택 지연 양자 지우개 더블 슬릿 프랑크-헤르츠 마하-젠더 간섭계 엘리추르-바이드만 포퍼 양자 지우개 스턴-게라크 Wheeler의 지연
과학	양자생물학 양자 화학 양자 카오스 양자 우주론 양자 미분학 양자역학 양자 기하학 양자 측정 문제 양자 확률 미적분 양자 시공간
테크놀로지	양자 알고리즘 양자 증폭기 양자 버스 양자 세포 오토마타 양자 유한 오토마타 양자 채널 양자 회로 양자 복잡도 이론 양자 컴퓨팅 타임라인 양자암호학 양자 전자 공학 양자 오차 보정 양자 이미징 양자 이미지 처리 양자 정보 양자 키 배포 양자 논리 양자 논리 게이트 양자 기계 양자 기계 학습 양자 메타물질 양자 도량형 양자 네트워크 양자 신경망 양자 광학 양자 프로그래밍 양자 감지 양자 시뮬레이터 양자 순간이동
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