에르미트어 부선

수학에서, 특히 연산자 이론에서, 유클리드 벡터 공간의 각 선형 $연산자{\displaystyle }$ A ${\displaystyle A}$은 규칙에 따라 그 공간에 대한$$ 은둔자 보조(또는 조정) 연산자 $A{\displaystyle {}^{}}$ $^{\$ A$^{*}$를 정의한다.

$\displaystyle \langle Ax,y\langle =\langle x,A^{*}y\rangle .}$

정의는 Hilbert 공간의 경계 선형 $연산자$까지 확장된다${\displaystyle .}$H. {\$displaystyle H.}$

조정 연산자의 정의는 토폴로지적으로 밀도가 높지만 반드시 ${\displaystyle .}$ ${\displaystyle$ H$.}$과 같지는 않은 경계되지 않은 조밀하게 정의된 연산자를 포함하도록 확장되었다.

연산자 A의 부호는 A의 은둔자 결합체, 은둔자 또는 은둔자 전치체^[1](Charles Hermite 후)라고도 불릴 수 있으며 A 또는^∗ A로^† 표시된다(특히 양자역학에서 브라켓 표기법과 함께 사용되는 경우 후자).

비공식적 정의

선형 연산자 $A{\displaystyle }$: ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$→ ${\displaystyle {H\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\$Hilbert 공간 $사이에 H_{1$}\$to$ H_${2}}.$세부사항을 고려하지 않고 조정 연산자는 (대부분의 경우 고유하게 정의된) 선형 연산자 $A{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {\ast }^{}}$: ${\displaystyle {H\mathrm{}}_{}}$ 2${\displaystyle {}_{}}$→ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$ ${\$$H_{2}\to H_{1$} 이행$$

${\displaystyle \left\langle Ah_{1},h_{2}\right\langle h_{H_{2}}=\left\langle h_{1},A^{*h_{2}\rigle _{H_{1},}$

여기서 ${\displaystyle ⟨}$ ,,$⋅$ ${\displaystyle {i_{}}_{}}$ H$$i {\$displaystyle$ \$langle$ \$cdot$ ,\$cdot \angle _{$H_${$i}}}}는 $힐버트{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {공간}_{}}$ H$$i {\$displaysty H_{$i$\}\}\}$의 내향 제품으로, 첫 번째 좌표에서는 선형이고 두 번째 좌표에서는 반선형이다.두 Hilbert 공간이 동일하고 $A{\displaystyle }$ ${\displaystyle A}$이(가) 해당 Hilbert 공간의 연산자인 특수한 경우를 참고하십시오.

이중 페어링을 위해 내부 제품을 교환할 때 연산자 $A{\displaystyle }$: ${\displaystyle E}$→ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle A:$의 transpose라고도 불리는 부선을 정의할 수 있다.$E\to F}$, where ${\displaystyle E,F}$ are Banach spaces with corresponding norms ${\displaystyle \ \cdot \ _{E},\ \cdot \ _{F}}$. Here (again not considering any technicalities), its adjoint operator is defined as ${\displaystyle A^{*}:$$F^{*}\to$ E$^{*}}$와(와) 함께

${\displaystyle A^{*}f=f\circ A:u\mapsto f(Au),}$

${\displaystyle {}^{}}$$,{\displaystyle }$ (${\displaystyle A{}^{}}$ ${\displaystyle {\ast }^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$) (${\displaystyle u}$)${\displaystyle }$= f (${\displaystyle u}$ )$$= ${\displaystyle f}$ ( u${\displaystyle }$) {\$displaystyle \left$(A^{*}$f\wright)(u)=f$(Au$)}},$${\displaystyle {}^{}u}$ ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystystyf\in F^{*},$u$$$\in E$

힐버트 공간 설정에서 위의 정의는 실제로 Banach 우주 사례를 적용하여 힐버트 공간을 이중으로 식별할 때 적용된다는 점에 유의하십시오.그렇다면 연산자 $A{\displaystyle }$: ${\displaystyle H}$→ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle A:$의 연관을 얻을 수 있는 것도 당연하다.$H\to E$ 여기서 $H{\displaystyle }$ ${\displaystyle H}$은(는) 힐버트 공간이고 $E{\displaystyle }$ ${\displaystyle E}$은(는) 바나흐 공간이다.그런 다음 이중은 $A{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {\ast }^{}}$: ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {\ast }^{}}$→ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle$ A$^{*}$로 정의된다.$E$$$$^{*}\to H}($$A$ ${\displaystyle {\ast }^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$= h ${\displaystyle f_{}}$ ${\$ A$^{*}f=h_{f}).$

${\displaystyle \langle h_{f}h\rangele _{H}=f(Ah).}$

정규화된 공간 사이의 바인딩되지 않은 연산자에 대한 정의

$({\displaystyle E}$ ,$‖$ ${\displaystyle \cdot }$ ⋅ ${\displaystyle {}_{}}$ ‖$e$ ${\displaystyle E_{}}$ )${\displaystyle }$,${\displaystyle }$(F${\displaystyle }$,${\displaystyle \cdot }$ ⋅ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle F_{}}$) ${\$}\right$),\left(F,\cdot \{$F}\$right)}$을 바나흐 공간이 되게$$ 한다.Suppose ${\displaystyle A:D(A)\to F}$ and ${\displaystyle D(A)\subset E}$, and suppose that ${\displaystyle A}$ is a (possibly unbounded) linear operator which is densely defined (i.e., ${\displaystyle D(A)}$ is dense in ${\displaystyle E}$).그 후 보조 연산자 $∗{\$를 다음과 같이 정의한다$$.도메인은

$}$$=\\좌우\{g\in$ F$^{*}:~\exists$c\$geq$ 0$:~{\mbox{{{{}}모든 }}}}. g(Au) \leq c\cdot$\$u\ _{E}\right$

Now for arbitrary but fixed ${\displaystyle g\in D(A^{*})}$ we set ${\displaystyle f:D(A)\to \mathbb {R} }$ with ${\displaystyle f(u)=g(Au)}$. By choice of ${\displaystyle g}$ and definition of ${\displaystyle D(A^{*})}$, f is (uniformly) continuous on ${\displaystyle D(A)}$ as ${\displaystyle f(u) = g(Au) \leq c\cdot \ u\ _{E}}$. Then by Hahn–Banach theorem or alternatively through extension by continuity this yields an extension of ${\displaystyle f}$, called ${\displaystyle {\hat {f}}}$ defined on all of ${\displaystyle E}$. Note that this technicality is necessary to later obtain ${\displaystyle A^{*}}$ as an operator ${\displaystyle D\left(A^{*}\right)\to E^{*}}$ instead of ${\displaystyle D\left(A^{*}\right)\to (D(A))^{*}.}$ Remark also 이것이 $A{\displaystyle }$ ${\displaystyle A}$을(를) 모든 $E{\displaystyle }$ ${\displaystyle E}$에서 확장할 수 있다는$$ 것을 의미하지는 않지만$$, 확장은 특정 요소 $g{\displaystyle }$ D${\displaystyle ({}^{}}$ ${\$에 대해서만 작동했다$.$

$이제{\displaystyle }$ A ${\displaystyle A}$의 연관을 다음과$$ 같이 정의할 수 있다.

${\displaystyle {\reasoned}A^{*}:F^{*}\supset D(A^{*})&\to E^{*}\\g&\mapsto A^{*g={\f}\hat{f}\end}}}}}}}$

근본적인 정의 정체성은 다음과 같다.

${\displaystyle g}$ (${\displaystyle {}^{}}$ )${\displaystyle }$=${\displaystyle }$( ${\displaystyle A{}^{}}$ ${\displaystyle {\ast }^{}}$ g${\displaystyle }$)${\displaystyle }$= ( ${\displaystyle u}$) ${\displaystyle g(Au)=\left(A^{*}g\오른쪽$$)}$$$$u$ ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle D}$(${\displaystyle A).}$ ${\displaysty u\in D(A$)}.$}$

Hilbert 공간 사이의 경계 연산자에 대한 정의

H가 내부 제품${\displaystyle }$space, ${\displaystyle \cdot ,}$⋅, ${\displaystyle \backslash ,}$\$displaystyle \langle \cdot \cdot \angle }}$을(를) 가진 복잡한 Hilbert 공간이라고 가정하자$.$ 연속 선형 연산자 A : H → H(선형 연산자의 경우 연속성은 경계 연산자)를 고려한다.A의 부호는 연속 선형 연산자^∗ A : H → H 만족이다.

${\displaystyle \langle Ax,y\langle =\left\langle x,A^{**}y\right\langle \quad{\mbox{}모든 }x,y\in.}$

이 연산자의 존재와 고유성은 리에즈 표현 정리로부터 따른다.^[2]

이는 표준 복합 내측 제품과 유사한 특성을 가진 정사각형 행렬의 조정 행렬을 일반화한 것으로 볼 수 있다.

특성.

경계 연산자의 은둔자 연관의 다음 특성은 즉시 다음과 같다.^[2]

1. 비자발성:A^∗∗ = A
2. A이(가) 변환 불가능한 경우$,{}^{}$ ${\mathrm{A}}^{}$도^∗ (${{}^{}}^{}$ ${{\ast }^{}}^{}$)${}^{}$- 1${}^{}$=${}^{}$( A${{}^{}}^{}$- ${1^{}}^{}$) ${}^{}$ ${\$와 함께 A도 변환 불가능한 경우, A도 마찬가지다.$^{*}}$
3. 반선형성:
   • (A + B)^∗ = A^∗ + B^∗
   • (λA)^∗ = λA^∗, 여기서 λ은 복합수 λ의 복합적 결합을 나타낸다.
4. "반분산성": (AB)^∗ = BA^∗∗

A의 연산자 규범을 정의한 경우

${\displaystyle \ A\ _{\text{op}:=\supp \left\{\Ax\ :\ \leq 1\right\}}}$

그때

${\displaystyle \left\A^{*}\right\ _{\text{op}=\A\{\text{op}}.}$^[2]

게다가

${\displaystyle \left\A^{*}A\right\{\\text{op}=\A\{\text{op}^{2}.}$^[2]

하나는 이 조건을 만족시키는 규범이 "가장 큰 값"처럼 작용한다고 말하는데, 이는 자기 적응 연산자의 사례에서 추론한 것이다.

복잡한 Hilbert 공간의 경계 선형 연산자 집합과 보조 연산자 및 연산자 표준은 C*-알지브라 프로토타입을 형성한다.

Hilbert 공간 간에 밀도 있게 정의된 무한 연산자 연결

정의

내부 제품 ${\displaystyle ⟨}$ ,${\displaystyle \cdot }$ ⟩${\displaystyle }${ ${$ {\$displaystyle$ \$langle$ \cdot ,\$cdot \angle }$을(를) 첫 번째 인수에 선형적이 되도록$$ 한다.복잡한 Hilbert 공간 H에서 그 자체로 조밀하게 정의된 연산자 A는 도메인 D(A)가 H의 조밀한 선형 하위공간이고 값이 H에 있는 선형 연산자다.^[3] 정의에 따르면, 그 부선 A의^∗ 도메인 D(A^∗)는 z ∈ H가 만족하는 모든 y ∈ H의 집합이다.

${\displaystyle \langle Ax,y\langle =\langle x,z\langle \quad{\mbox{모두 }x\in D(A).}$

$D{\displaystyle }$( ${\displaystyle A)}$ ${\displaystyle D(A)}$과 Riesz 표현 정리 밀도 때문에 $z{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ z$}$이(가$)$ 고유하게 정의되며$$, 정의상 $A{\displaystyle {}^{}}$∗ ${\displaystyle {}^{}}$= ${\displaystyle z.}$ ${\displaystyle$ A$^{*y=z$.$}$^[4]

속성 1.–5.는 도메인과 코도메인에 대한 적절한 조항으로 유지된다.^{[clarification needed]}예를 들어, A, B, AB가 조밀하게 정의된 운영자일 경우 (AB)^∗는^∗∗ BA의 연장선이라고 현재 마지막 재산에 명시되어 있다.^[5]

A^*=(임 A)^⊥

For every ${\displaystyle y\in \ker A^{*},}$ the linear functional ${\displaystyle x\mapsto \langle Ax,y\rangle =\langle x,A^{*}y\rangle }$ is identically zero, and hence ${\displaystyle y\in (\operatorname {im} A)^{\perp }.}$

반대로 $y{\displaystyle }$ ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle (임}$ ${\displaystyle }$ A${\displaystyle {}^{}}$) ${\displaystyle {\perp }^{}}$ ${\$ y$\in (\operatorname {im}$ A$)^{\perp }}}}}}$의 $함수{\displaystyle }$ x ${\displaystyle ⟨}$ ${\displaystyle A}$ x${\displaystyle }$, y ${\displaystyle ⟩}$ ${\displaystyle x\mapstole$ x $\langle Ax,y\langle }$이 0이 동일하게$$ 된다$$.기능이 분명히 경계로 되어 있기 때문에, $A{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {\ast }^{}}$ ${\$ A$^{*}$의 정의는 ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle \in }$ D${\displaystyle }$(${\displaystyle {}^{}}$ )${\displaystyle }$. ${\displaystyle y\in D(A^{*})$를 보장한다$$.$}$ The fact that, for every ${\displaystyle x\in D(A),}$ ${\displaystyle \langle Ax,y\rangle =\langle x,A^{*}y\rangle =0}$ shows that ${\displaystyle A^{*}y\in D(A)^{\perp }={\overline {D(A)}}^{\perp }=\{0\},}$ given that${\displaystyle D}$( ${\displaystyle A}$) ${\displaystyle D(A)}$은(는) 밀도가 높다.

이 속성은 ${\displaystyle \mathrm{Ker}}$ ${\displaystyle }$ ${\displaystyle {}^{}}$∗ ${\$이(${\displaystyle {}^{)}}$ ${\displaystyle D(A^{*})$가 아닌 경우에도 위상학적으로 닫힌 하위 공간임을$$ 보여준다.

기하학적 해석

$H$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$ ${\$ ${\displaystyle {H\mathrm{}}_{}}$ 2 ${\$}}개가$$ 힐버트 공간이라면, ${\displaystyle {H\mathrm{}}_{}}$ 1${\displaystyle {}_{}{}_{}}$ H ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}}${\$displaystyle H_{1}\oplus H_{2$}}개는 내부 제품이 있는 힐버트 공간이다$$.

${\displaystyle {\bigl \langle }(a,b), (c,d){\bigr \bigr \angle }_{H_{1}\oplus H_{2}}:{\stackrel{def}}}}}{}}}}\stackrelangle _{{{{=}}\langle}}}}\langle }}\langle }}}}}\langle blangle_{{{{{{{{{{{{{{{{{$

여기서 $a{\displaystyle }$, ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle {H\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\$및 $b$ , ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}}$. ${\ddisplaystyle b,d\in H_{2}}$

$J{\displaystyle }$: ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle \oplus }$ ${\displaystyle H}$→ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle \oplus }$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle J\colon H\oplus H\to$ H$\oplus$ H\$to$ H\oplus $H}$을(를) 공통적인 매핑이 되게$$ 하라. 즉, $J{\displaystyle }$( ${\displaystyle \xi ,}$-, ${\displaystyle ,}$ )${\displaystyle }$=${\displaystyle }$( - $η$ ${\displaystyle )=}$ ${\displaysty$ J$(-\eta ,xi).$$$ 그 다음 그래프

${\displaystyle G(A^{*})=\{(x,y)\mid x\in D(A^{*}),\y=A^{*}x\subseteq H\oplus H}$

${{\$는 J ${\displaystyle G}$ (${\displaystyle }$A${\displaystyle }$)${\displaystyle }$: ${\displaystyle JG(A):}$의 직교보완물이다.

$(\displaystyle G(A^{*})=(JG(A))^{\perp }=\{(x,y)\in H\oplus H:{\bigl \langle }(x,y), (-A\xi ,\xi ){\bigr \bigr \rangle }_{H\oplus H}=0\;;;\all \xi \in D(A)\}}$

그 주장은 동격에서 비롯된다.

${\displaystyle {\bigl \langle }(x,y), (-A\xi ,\xi ){\bigr \bigr \angle }=0\quad \leftrightarrow \quad \langle A\xi\langle =\langle \xy\langle }}}$

그리고

${\displaystyle {\bigl [}\bigl [}\xi \in D(A)\\\langle A\xi,x\langle =\langle \xi,y\랑글 {\Bigr ]}\quad \leftrighrightarrow \quad \quad x\quad x\quad \quad \quad(A^{quad(A^{*{*{*{*})\*}\compin D(*}$

코롤러리

A이^* 폐업하다

An operator ${\displaystyle A}$ is closed if the graph ${\displaystyle G(A)}$ is topologically closed in ${\displaystyle H\oplus H.}$ The graph ${\displaystyle G(A^{*})}$ of the adjoint operator ${\displaystyle A^{*}}$ is the orthogonal complement of a subspace, and therefore is폐쇄적인

A는^* 밀도 있게 정의되어 있으며 A는 밀폐되어 있다.

${\displaystyle \mathrm{그래프}}$ $G{\displaystyle }$( A$){\displaystyle G(A)}$의 위상학적 폐쇄 G ${\displaystyle {\text{cl}}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}A}$ ${\displaystyle )}$⊆ $\$ ${\displaystyle H}$ {\$displaystyle G^{\cl}(A)\subseteq H\oplus H}$가 함수의 그래프인 경우$$ 연산자 $A{\displaystyle }$ ${\displaystystystyty$ A$}$이 닫힐 수 있다$$.$G{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {\text{cl}}^{}}$( ${\displaystyle A}$) ${\displaystyle G^{\text}}{cl}(A)}$이(가) (폐쇄) 선형 하위 공간이기 때문에 "기능"이라는 단어는 "선형 연산자"로 대체할 수 있다.동일한 이유로$,{\displaystyle }$ $v{\displaystyle }$ = ${\displaystyle 0.}$ ${\displaystyle v=0$이 아닌$$ 한 (${\displaystyle 0}$ , v${\displaystyle }$) ${\displaystyle \notin }$ G ${\displaystyle {\text{cl}}^{}}$(${\displaystyle A)}$ ${\displaystyle (0,v)\notin G^{\text{cl}}(A)}$인 경우에만 $A{\displaystyle }$ ${\displaystystystyle A}$을(를) 닫을(를)할 수 있다$$$.$$}$

부선 $∗{\$는 $A$ ${\$displaystyle A$}이($가) 닫힐$$ 수 있는 경우에만 조밀하게 정의된다.이는 모든 $v{\displaystyle }$ ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle H}$, ${\displaystyle v\in H,}$에 대한 사실에 따른 것이다.

${\displaystyle v\in D(A^{*})^{\perp }\\좌우 이동 \ (0,v)\in G^{\text{cl}(A),}$

이는 다음 등가성 체인을 통해 입증된다.

${\displaystyle {\begin}v\in D(A^{*})^{\perp }&\\long left rightarrow (v,0)\in (JG(A))^{\text{cl}}=JG^{\text{{\cl}\&\long leftrightarrow (0,-v)=J^{-1}(v,0)\in G^{\cl}\&\long leftrightarrow (0,v)\in G^{\cl}.\end{정렬}}}$

A^** = A^cl

연산자$A$의 폐쇄$$ $A{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {\text{cl}}^{}}$${\$$displaystyle A$${\displaystyle \}\{\backslash }$$text{cl}}$은${\displaystyle {}^{}}$는) G cl (A ){\$displaystyle G^{\text{cl}(A)$인 연산자다$.$위와 같이 "기능"이라는 단어는 "운영자"로 대체될 수 있다.더욱이 $A{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {\ast }^{}{\ast }^{}}$ =${\displaystyle {}^{}{\text{cl}}^{}}$, {\$displaystyle$ A$^{**}=A^{\text{$cl$},}$는 G${\displaystyle ({}^{}}$ ${\displaystyle {\ast }^{}}$${\displaystyle {\ast }^{}}$ )${\displaystyle }$= ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {\text{cl}}^{}}$(${\displaystyle A).}$ ${\displaystyle G(A^{*}}})=G^{\text}}}(A$)}.$}$

To prove this, observe that ${\displaystyle J^{*}=-J,}$ i.e. ${\displaystyle \langle Jx,y\rangle _{H\oplus H}=-\langle x,Jy\rangle _{H\oplus H},}$ for every ${\displaystyle x,y\in H\oplus H.}$ Indeed,

${\displaystyle {\begin{aligned}\langle J(x_{1},x_{2}),(y_{1},y_{2})\rangle _{H\oplus H}&=\langle (-x_{2},x_{1}),(y_{1},y_{2})\rangle _{H\oplus H}=\langle -x_{2},y_{1}\rangle _{H}+\langle x_{1},y_{2}\rangle _{H}\\&=\langle x_{1},y_{2}\rangle _{H}+\langle x_{2},-y_{1}\rangle _{H}=\langle (x_{1},x_{2}),-J(y_{1},y_{2})\rangle _{H\oplus H}.\end{정렬}}}$

In particular, for every ${\displaystyle y\in H\oplus H}$ and every subspace ${\displaystyle V\subseteq H\oplus H,}$ ${\displaystyle y\in (JV)^{\perp }}$ if and only if ${\displaystyle Jy\in V^{\perp }.}$ Thus, ${\displaystyle J[(JV)^{$$\perp }}=$$V$$^{\perp }}$ 및${\displaystyle }$[ ${\displaystyle J}$[ ${\displaystyle (\mathrm{JV}}$ )${\displaystyle {}^{}}$]${\displaystyle {}^{}}$] ]${\displaystyle {}^{}}$ = V ${\displaystyle {\text{cl}}^{}}$ .${\displaystyle {}^{}}${\$displaystyle$ [$J[(JV)^{\perp }]^{\$perp }^{}\$perp }=V^{\text}}.$$}$ $V{\displaystyle }$= ${\displaystyle G}$( ${\displaystyle A}$)${\displaystyle }$, ${\displaystyle V=G(A$),}을$($를) 대체하면$$ $G{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {\text{cl}}^{}}$( ${\displaystyle A}$)${\displaystyle }$= G (${\displaystyle {}^{}{\ast }^{}}$ ${\displaystyle {\ast }^{}}$)${\displaystyle }$. ${\displaystyle G^{\text{cl}}}}=G($A$^{*})$를 얻는다.$}$

A^* = (A^cl)^*

마감 가능한 $연산자{\displaystyle }$ A${\displaystyle }$, ${\displaystyle$ A$,}$${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {\ast }^{}}$=${\displaystyle {}^{}}$(${\displaystyle {{}^{}}^{}}$ ${\displaystyle {{\text{cl}}^{}}^{}}$) ${\displaystyle {}^{}}$, ${\displaystyle A^{*}=\left(A$^{\$text{cl}\right)$$^{*},$ 즉 $G{\displaystyle }$(${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$ )${\displaystyle }$= ${\displaystyle G}$( ${\displaystyle {{}^{}}^{}}$ ${\displaystyle {{\text{cl}}^{}}^{}}$)${\displaystyle {}^{}}$ )${\displaystyle }$. ${\displaystyle G (A^{*}}}}=G\left (A^{\text{cl}\$right$)$를 $의미$한다.$^{*}\right).$$}$ {그렇지$$.

${\displaystyle G\left(\왼쪽(A^{\text{cl}\오른쪽)^{*}\오른쪽)=\왼쪽(JG^{\text{cl}(A)\오른쪽)^{\perp }}=\perp }=\perp(왼쪽(JG(A)\오른쪽)^{\perp }=(JG)(A)^{\perp }=G(A^{*}).}$

보조점이 촘촘하게 정의되지 않은 경우 백색표본

$H{\displaystyle }$= ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}$( ${\displaystyle R}$, ${\displaystyle l\mathbb{}}$)${\displaystyle }$, ${\displaystyle H=L^{2}(\mathb {R},l)$로 두십시오. $여기$서 l ${\displaystyle l}$은(는) 선형 측정값입니다$$.측정 가능하고 경계가 지정되지 않은 비동일적으로 영점 함수 f${\displaystyle }f{\displaystyle }$ ${\displaystyle {L\mathrm{}}^{}}$ 2,${\displaystyle f\notin$ L$^{$2}를 선택하고 $and$ ${\displaystyle {0\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ L ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}$∖${\displaystyle }${ ${\displaystyle 0}$∖ . ${\displaystyle \varphi _{0}\in L^{0}\setminus \}}$을 선택하십시오.

${\displaystyle A\varphi =\langle f,\varphi \angle \varphi _{0}.}$

${\displaystyle 그}$ 뒤에 D${\displaystyle }$(${\displaystyle }$A )${\displaystyle }$= {${\displaystyle \phi {}^{}}$ ${\displaystyle {L\mathrm{}}^{}}$ 2${\displaystyle }$∣ ⟨ f${\displaystyle ,}$ ${\displaystyle \phi }$f f ${\displaystyle f}$ f${\displaystyle }$f } } } }${\displaystyle \mathrm{}}$} } } } } } } } ${\displaystyle \}}$ }$}.$ {\$displaysty D(A)=\\\\\\\\\varphi \langle \neq$\inftftept \in$$\inft $\ftonftonft.}}}}.$$$ 서브 스페이스 $D{\displaystyle }$( ${\displaystyle A}$) ${\displaystyle D(A)}$에는 콤팩트하게 지지되는 ${\displaystyle {L\mathrm{}}^{}}$ 2 ${\$ L$^{2}}$가지 $기능$이 모두$$ 포함되어$$ 있다.$1{\displaystyle {\mathbf{}}_{}}$[${\displaystyle {}_{}}$- ${\displaystyle n_{}}$, ${\displaystyle n_{}}$ ${\displaystyle {]}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}\stackrel{}{}\phi }$ → ${\displaystyle \stackrel{}{{}^{}}}$ ${\displaystyle \stackrel{}{{2\mathrm{}}^{}}}$ ${\displaystyle \phi \stackrel{}{{}^{}}}$, ${\$$displaystyle$ $\mathbf {$1$} _{[-n,n$]}\$cdot \varphi$\{\\\$l^{2}}:{\\varphi ,}$ $A가$ 촘촘하게 정의되어$$ 있다.모든$$ $\phi {\displaystyle }$ ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle D}$( ${\displaystyle A}$) ${\displaystyle \varphi \in D(A)}$ 및$\psi {\displaystyle }$ ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle D{}^{}}$∗) , {\$displaysty \psi \in D(A^{*}),}$에 대해

${\displaystyle \langle \varphi ,A^{*}\psi \rangle =\langle A\varphi ,\psi \rangle =\langle \langle f,\varphi \rangle \varphi _{0},\psi \rangle =\langle f,\varphi \rangle \cdot \langle \varphi _{0},\psi \rangle =\langle \varphi ,\langle \varphi _{0},\psi \rangle f\rangle .}$

Thus, ${\displaystyle A^{*}\psi =\langle \varphi _{0},\psi \rangle f.}$ The definition of adjoint operator requires that ${\displaystyle \mathop {\text{Im}} A^{*}\subseteq H=L^{2}.}$ Since ${\displaystyle f\notin L^{2},}$ this is only possible if ${\displaystyle ⟨{\phi }_{}}$${\displaystyle \langle \varphi _{0},\psi \rangle =0.}$ For this reason, ${\displaystyle D(A^{*})=\{\varphi _{0}\}^{\perp }.}$ Hence, ${\displaystyle A^{*}}$ is not densely defined and is identically zero on ${\displaystyle D(A^{*}).$$}$ ${\displaystyle A}$ 결과적으로 A {\displaystyle A}은(는) 닫을 수 없고$$ 두 번째 부선 $A{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle$ A$^{*}$가 없다$$.$}$

에르미트 연산자

경계 연산자 A : H → H는 은둔자 또는 자숙자(自 self子)라고 한다.

${\displaystyle A=A^{*}}$

에 해당하는

${\displaystyle \langle Ax,y\langle =\langle x,Aay\angle {\mbox{ }전체 }x,y\in H.}$^[6]

어떤 의미에서는 이들 연산자가 실수의 역할(자신의 '복잡한 결합체'와 동일)을 하고 실제 벡터 공간을 형성한다.그것들은 양자역학에서 실제 가치 관측 가능성의 모델 역할을 한다.완전한 치료는 자가 적응 연산자에 대한 기사를 참조하십시오.

반선형 연산자의 연결점

반선형 연산자의 경우 복잡한 결합을 보상하기 위해 조정의 정의를 조정할 필요가 있다.복잡한 Hilbert 공간 H에 있는 항이린 연산자 A의 부선 연산자는 다음과 같은 특성을 가진 항이린 연산자^∗ A : H → H이다.

${\displaystyle \langle Ax,y\langle ={\overline {\좌측\langle x,A^{*}y\우측\rangle }}}}}\쿼드 {\text{}{}모든 }x,y\in.}$

기타 조정자

방정식

$\displaystyle \langle Ax,y\langle =\left\langle x,A^{*}y\right\angle }$

범주 이론에서 조정형 펑커 쌍의 정의 특성과 공식적으로 유사하며, 조정형 펑커의 이름은 여기에서 유래한다.

참고 항목

• 수학적 개념
  • 에르미트 연산자
  • 표준(수학)
  • 선형 지도 전치
• 물리적 애플리케이션
  • 연산자(물리학)
  • †-algebra

참조

• Brezis, Haim (2011), Functional Analysis, Sobolev Spaces and Partial Differential Equations (first ed.), Springer, ISBN 978-0-387-70913-0.
• Reed, Michael; Simon, Barry (2003), Functional Analysis, Elsevier, ISBN 981-4141-65-8.
• Rudin, Walter (1991). Functional Analysis. International Series in Pure and Applied Mathematics. Vol. 8 (Second ed.). New York, NY: McGraw-Hill Science/Engineering/Math. ISBN 978-0-07-054236-5. OCLC 21163277.