선미분방정식

수학에서 선형 미분 방정식(linear differential equation)은 미지수 함수의 선형 다항식과 그 미분에 의해 정의되는 미분 방정식으로, 다음과 같은 형태의 방정식입니다.

a_{0}(x)y+a_{1}(x)y'+a_{2}(x)y"\cdots +a_{n}(x)y^{(n)}=b(x)

여기서

a 0 (x),

...,

a n (x),

b (x)

는 선형일 필요가 없는 임의의 미분 가능 함수이고,

y', ...,

y

는⁽ⁿ⁾ 변수

x

의 미지

함수

의 연속 도함수입니다.

이러한 방정식은 보통의 미분 방정식(ODE)입니다.선형 미분 방정식은 또한 선형 편미분 방정식(PDE)일 수 있는데, 알려지지 않은 함수가 여러 변수에 의존하고 방정식에 나타나는 도함수가 편미분 방정식입니다.

솔루션의 종류

선형 미분 방정식 또는 연관된 동차 방정식이 일정한 계수를 갖도록 하는 선형 방정식 체계는 직교에 의해 해결될 수 있으며, 이는 해들이 적분으로 표현될 수 있음을 의미합니다.이것은 비 상수 계수가 있는 차수 1의 선형 방정식에도 적용됩니다.상수가 아닌 계수가 있는 2차 이상의 방정식은 일반적으로 직교 방정식으로 풀 수 없습니다.두 번째 순서에서는 Kovacic의 알고리즘을 사용하여 적분 측면에서 해가 있는지 여부를 결정하고, 있으면 계산할 수 있습니다.

다항식 계수를 갖는 동차 선형 미분 방정식의 해를 홀로노믹스 함수라고 합니다.이 함수 클래스는 합, 곱, 미분, 적분 하에서 안정적이며 지수 함수, 로그, 사인, 코사인, 역삼각 함수, 오차 함수, 베셀 함수 및 초기하 함수와 같은 많은 일반적인 함수와 특수 함수를 포함합니다.정의된 미분 방정식과 초기 조건에 의한 그들의 표현은 증명된 오차 한계를 가진 정확도로 원시함수의 계산, 한계, 점근 확장, 수치 평가와 같은 미적분학의 대부분의 연산을 알고리즘적으로 (이러한 함수에) 만들 수 있게 합니다.

기초용어

(선형) 미분 방정식에서 나타나는 유도의 가장 높은 차수는 방정식의 차수입니다.미지의 함수와 그 도함수에의존하지 않는 $용어$ $b ($ x)는 때때로 방정식의 상수항이라고 불립니다(대수 방정식과 유추하여).상수항이 영함수일 경우, 미분방정식은 미지의 함수와 그 도함수에서 동차 다항식이므로 동차방정식이라고 합니다.선형 미분 방정식에서 상수항을 영함수로 대체하여 얻은 방정식이 연관된 동차방정식입니다.미분 방정식은 상수 함수만 관련된 동차 방정식에 계수로 나타나는 경우 상수 계수를 가집니다.

미분 방정식의 해는 방정식을 만족시키는 함수입니다.균질한 선형 미분 방정식의 해는 벡터 공간을 형성합니다.보통의 경우, 이 벡터 공간은 방정식의 순서와 같은 유한 차원을 갖습니다.선형 미분 방정식의 모든 해는 연관된 동차 방정식의 해를 특정 해에 추가함으로써 발견됩니다.

선형미분연산자

차수 $i$ 의 기본 미분 연산자는 미분 가능한 함수를 i번째 도함수에 매핑하거나, 여러 변수의 경우 $차수$ i의 부분 도함수 중 하나에 매핑하는 매핑입니다.일반적으로 표시됩니다.

{\frac {d^{i}}{dx^{i}}

단변량 함수의 경우에는

{\frac {\partial ^{i_{1}+\cdots +i_{n}}{\cdots x_{1}^{i_{1}}\cdots \partial x_{n}^{i_{n}}}

n개

변수의 함수의 경우.기본 미분 연산자는 항등식 매핑인 차수 0의 도함수를 포함합니다.

선형 미분 연산자(linear differential operator)는 미분 가능한 함수를 계수로 갖는 기본 미분 연산자의 선형 조합입니다.일변량 경우 선형 연산자는 다음과^[1] 같은 형태를 갖습니다.

a_{0}(x)+a_{1}(x){\frac {d}{dx}}+\cdots +a_{n}(x){\frac {d^{n}}{dx^{n}}}

여기서

a 0 (x), ...,

a n (x)

는 미분 가능한 함수이고, 음이 아닌 정수

n

은 연산자의 차수입니다(

a n (x)

가 영함수가 아닌 경우).

$L$ 을 선형 미분 연산자라고 합니다.변수를 지정해야 할 경우 함수 $f$ 에 $L$ 을 적용하는 것은 $일반적$ 으로 Lf $또는$ Lf $(X$ )로 표시됩니다 $($ 이는 곱셈과 혼동되어서는 안 됩니다).선형 미분 연산자는 합을 합에 매핑하고 곱을 스칼라로 곱을 동일한 스칼라로 곱에 매핑하기 때문에 선형 연산자입니다.

두 선형 연산자의 합이 선형 연산자일 뿐만 아니라 미분 가능한 함수에 의한 선형 연산자의 곱(왼쪽)이기 때문에 선형 미분 연산자는 실수 또는 복소수 위에 벡터 공간을 형성합니다(고려되는 함수의 성질에 따라).그들은 또한 미분 가능한 함수의 고리 위에 자유 모듈을 형성합니다.

연산자의 언어는 미분 가능한 방정식에 대한 콤팩트한 쓰기를 허용합니다.

L=a_{0}(x)+a_{1}(x){\frac {d}{dx}}+\cdots +a_{n}(x){\frac {d^{n}}{dx^{n}}}

는 선형 미분 연산자이고, 그 다음 방정식

a_{0}(x)y+a_{1}(x)y'+a_{2}(x)y"+\cdots +a_{n}(x)y^{(n)}=b(x)

고쳐 쓸지도 모릅니다

Ly=b(x)

이 표기법에는 여러 가지 변형이 있을 수 있습니다. 특히 미분의 변수는 $Ly (x)$ = $b (x)$ 또는 $Ly$ = $b$ 처럼 방정식의 $오른쪽$ 과 오른쪽에 명시적으로 나타나거나 나타나지 않을 수 있습니다.

선형 미분 연산자의 커널은 선형 매핑으로서의 커널, 즉 (균질) 미분 방정식 $Ly$ = $0$ 의 해들의 벡터 공간입니다.

차수 $n$ 의 일반적인 미분 연산자의 경우, 카라테오도리의 존재 정리는 매우 가벼운 조건에서 $L$ 의 핵은 차원 $n$ 의 벡터 공간이며, 방정식 $Ly (x)$ = $b (x)$ 의 해는 다음과 같은 형태를 가짐을 암시합니다.

S_{0}(x)+c_{1}S_{1}(x)+\cdots +c_{n}S_{n}(x),

여기서

c 1, ...,

c

는_n 임의의 숫자입니다.일반적으로, 카라테오도리 정리의 가설들은

구간

I에서 만족되는데, 만약

함수

b 0,

a,

...,

a

가_n I에서 연속이고,

모든

x

에

대하여 n

a

(x)

>

k

가 되는 양의

실수

k가 존재한다면,

상수 계수가 있는 동차 방정식

균질한 선형 미분 방정식이 다음과 같은 형태를 가질 경우 상수 계수를 갖습니다.

a_{0}y+a_{1}y'+a_{2}y"+\cdots +a_{n}y^{(n)}=0

여기서

a 1, ...,

a

는_n (실수 또는 복소수) 숫자입니다.즉, 계수가 일정한 선형 연산자에 의해 정의되면 계수가 일정합니다.

상수 계수를 갖는 이 미분 방정식들에 대한 연구는 레온하르트 오일러로 거슬러 올라가는데, 그는 $f (0)$ = $1$ 이 되도록 방정식 $f'$ = $f$ 의 유일한 해인 지수 함수 $e$ 를 도입했습니다. $e$ 의 n번째 도함수는 $얼음$ 이고, 이것은 오히려 균질한 선형 미분 방정식을 쉽게 풀 수 있게 합니다.

허락하다

a_{0}y+a_{1}y'+a_{2}y"+\cdots +a_{n}y^{(n)}=0

일정한 계수(

즉 0

, a,

...,

a

는_n 실수 또는 복소수)를 갖는 균일한 선형 미분 방정식입니다.

$형식$ 을^αx 가지는 이 방정식의 해를 검색하는 것은 다음과 같은 $상수$ α를 검색하는 것과 같습니다.

a_{0}e^{\alpha x}+a_{1}\alpha e^{\alpha x}+a_{2}\alpha ^{2}e^{\alpha x}+\cdots +a_{n}\alpha ^{n}e^{\alpha x}=0.

인수 αx

아웃(절대 0이 아님)은

α

가 특성 다항식의 근이어야 함을 보여줍니다.

a_{0}+a_{1}t+a_{2}t^{2}+\cdots +a_{n}t^{n}

특성 방정식의 왼쪽인 미분 방정식의

a_{0}+a_{1}t+a_{2}t^{2}+\cdots +a_{n}t^{n}=0.

이들 근이 모두 구별될 때, 방정식의 계수가 실수일지라도 반드시 실수가 아닌 별개의 $해$ 를 갖습니다. $x$ = $0, ...,$ $n$ – $1$ 에서 이러한 솔루션 값의 Vandermond 행렬식을 고려하면 이러한 솔루션은 선형적으로 독립적임을 알 수 있습니다.그들은 함께 미분 방정식의 해의 벡터 공간(즉, 미분 연산자의 커널)의 기초를 형성합니다.

예

y''-'2y'"+2y'+y=0

특징방정식을 갖습니다.

z^{4}-2z^{3}+2z^{2}-2z+1=0.

이것은 0,

i

,

-i

및

1

(다중성 2)을 갖습니다.따라서 솔루션 기반은

e^{ix},\;e^{-ix},\;e^{x},\;xe^{x}

따라서 해결책의 실질적인 기반은

\cos x,\;\sin x,\;e^{x},\;xe^{x}

특성 다항식이 단순한 근만을 갖는 경우, 앞의 내용은 해 벡터 공간의 완전한 기초를 제공합니다.여러 루트의 경우, 기반을 갖추기 위해서는 보다 선형적으로 독립적인 솔루션이 필요합니다.이것들은 형태를 갖습니다.

x^{k}e^{\alpha x}

여기서

k

는 음이 아닌 정수이고,

α

는 다중성

m

의 특성 다항식의 근이며,

k

<

m

. 이 함수들이 해임을 증명하기 위해,

α

가 다중성

m

의 특성 다항식의 근이라면, 특성 다항식은

P (t)(t

-

α

)로 인수분해될 수 있음을 언급할 수 있습니다

. m

따라서 방정식의 미분 연산자를 적용하는 것은 처음에

{\textstyle {\frac {d}{dx}}-\alpha }

d

{\textstyle {\frac {d}{dx}}-\alpha }

-

{\textstyle {\frac {d}{dx}}-\alpha }

α {\

textstyle {\frac

{d}{

dx}}-\alpha }

의 m배를 적용하고

{\textstyle {\frac {d}{dx}}-\alpha }

그 다음에 특성 다항식으로

P

를 갖는 연산자를 적용하는 것과 같습니다.지수 이동 정리에 의해,

\left ({\frac {d}{dx}}-\alpha \right)\left(x^{k}e^{\alpha x}\right)=kx^{k-1}e^{\alpha x}

${\textstyle {\frac {d}{dx}}-\alpha }$ d ${\textstyle {\frac {d}{dx}}-\alpha }$ - ${\textstyle {\frac {d}{dx}}-\alpha }$ α ${\textstyle {\frac {d}{$ dx $}}-\alpha }$ 을 $k$ + 1 $적용$ 한 후 0이 됩니다 ${\textstyle {\frac {d}{dx}}-\alpha }$

대수학의 기본 정리에 의해 다항식의 근의 곱셈의 합은 다항식의 차수와 같고, 위의 해의 수는 미분 방정식의 차수와 같으며, 이 해들은 해들의 벡터 공간의 기저를 형성합니다.

방정식의 계수가 실수인 일반적인 경우, 실수 값 함수로 구성된 해의 기초를 갖는 것이 일반적으로 더 편리합니다. $이러한$ 근거는 앞의 근거에서 특성 다항식의 근이면 a – $ib$ 도 동일한 다중성의 근이 된다는 것을 언급함으로써 얻을 수 있습니다.따라서 오일러 공식을 사용하여 $x^{k}e^{(a+ib)x}$ $x^{k}e^{(a+ib)x}$ ( $x^{k}e^{(a+ib)x}$ + $x^{k}e^{(a+ib)x}$ $x^{k}e^{(a+ib)x}$ $x^{k}e^{(a+ib)x}$ $x^{k}e^{(a+ib)x$ 와 $x^{k}e^{(a-ib)x}$ $x^{k}e^{(a-ib)x}$ $x^{k}e^{(a-ib)x}$ - $x^{k}e^{(a-ib)x}$ $x^{k}e^{(a-ib)x}$ $x^{k}e^{(a-ib)x}$ $x^{k}e^{(a-ib)x$ 를 x $x^{k}e^{ax}\cos(bx)$ $x^{k}e^{ax}\cos(bx)$ $x^{k}e^{ax}\cos(bx)$ ⁡ $x^{k}e^{ax}\cos(bx)$ ( $x^{k}e^{ax}\cos(bx)$ x $x^{k}e^{ax}\cos(bx)$ ${\displaystyle$ x $^{k}e^{ax}\cos(bx)}$ 와 x $x^{k}e^{ax}\sin(bx)$ $x^{k}e^{ax}\sin(bx)$ $x^{k}e^{ax}\sin(bx)$ $x^{k}e^{ax}\sin(bx)$ ⁡ $x^{k}e^{ax}\sin(bx)$ $x^{k}e^{ax}\sin(bx)$ ${\displaystyle$ x $^{k}e^{ax}\sin(bx)}$ 로 대체하면 실제 기저를 얻을 수 있습니다 $x^{k}e^{ax}\sin(bx)$

2차케이스

2차의 균질한 선형 미분 방정식을 쓸 수 있습니다.

y"+ay'+by=0,

특징 다항식은

r^{2}+ar+b.

$a$ 와 $b$ 가 실수인 경우 판별 $D$ = a - $4b$ 에 따라 세 가지 경우가 있습니다.세 가지 경우 모두 일반적인 해는 두 $개$ 의₁ 임의 상수 c와 $c$ 에₂ 의존합니다.

$D$ > $0$ 인 경우, 특성 다항식은 두 개의 구별된 실근 $α$ 와 $β$ 를 갖습니다.이 경우, 일반적인 해결책은 $c_{1}e^{\alpha x}+c_{2}e^{\beta x}$
$D$ = $0$ 인 경우, 특성 다항식은 이중근 $-a/2$ 을 가지며, 일반적인 해는 $(c_{1}+c_{2)}x)e^{-ax/2}$
$D$ < $0$ 인 경우, 특성 다항식은 2개의 복소수 켤레근 $α$ ± $βi$ 를 가지며, 일반적인 해는 $c_{1}e^{(\alpha +\beta i)x}+c_{2}e^{(\alpha -\beta i)x}$ 오일러 공식을 사용하여 실제 용어로 다시 쓸 수 있습니다. $e^{\alpha x}(c_{1}\cos(\beta x)+c_{2}\sin(\beta x))$

$해$ $y (x)$ 가 y $(0)$ = $d$ $및$ y'(0 $)$ = $d$ 를 만족하는 것을 발견하면, $0$ 에서의 상기 일반 해의 값과 그 도함수를 각각 d $및$ $d$ 와 동일시함.따라서 두 미지의 $c$ 와₁ $c$ 에서₂ 두 개의 선형 방정식의 선형 시스템이 생성됩니다.이 시스템을 해결하면 DEQ의 해와 그 도함수에 대한 $0$ 의 값이 지정되는 소위 코시 문제에 대한 해가 제공됩니다.

계수가 일정한 비균등 방정식

일정한 계수를 갖는 $n차$ 의 비균질 방정식을 쓸 수 있습니다.

y^{(n)}(x)+a_{1}y^{(n-1)}(x)+\cdots +a_{n-1}y'(x)+a_{n}y(x)=f(x),

여기서

a 1, ...,

a

는_n 실수 또는 복소수이고,

f

는

x

의 주어진 함수이고,

y

는 알 수 없는 함수입니다(간단하기 위해, "

x "

는 다음에서 생략합니다).

그러한 방정식을 풀기 위한 몇 가지 방법이 있습니다.가장 좋은 방법은 방정식을 비균질하게 만드는 함수 $f$ 의 성질에 따라 달라집니다. $f$ 가 지수 함수와 정현 함수의 선형 조합이면 지수 반응 공식을 사용할 수 있습니다.일반적으로 $f$ 가 $xe n ax$ , $x n cos(ax$ )및 x $sin n (ax$ ) 형태의 함수의 선형 조합 $($ $n$ 은 음이 아닌 정수이고 $상수$ (각 항에서 동일할 필요는 없음)인 경우, 미결정 계수의 방법을 사용할 수 있습니다.더 일반적인 방법은 $f$ 가 균질한 선형 미분 방정식, 일반적으로 홀로노믹스 함수를 만족시킬 때 적용됩니다.

가장 일반적인 방법은 상수의 변동이며 여기에 나와 있습니다.

변수 계수가 있는 1차 방정식

차수 1의 선형 상미분 방정식의 일반적인 형태는 $y'(x$ )의 계수를 나눈 후 다음과 같습니다 $.$

y'(x)=f(x)y(x)+g(x)

만약 등식이 동차이면, 예를 들어 $g (x)$ = $0$ 이면 다음과 같이 다시 쓰고 적분할 수 있습니다.

{\frac {y'}{y}=f,\qquad \log y=k+F,

여기서

k

는 임의의 적분 상수이고

F=\textstyle \int f\,dx

= ∫

F=\textstyle \int f\,dx

F=\textstyle \int f\,dx

{\displaystyle

F =\

textstyle \int f\,

dx

}

는 임의의 미분

오프

입니다.따라서, 동차방정식의 일반적인 해는

y=ce^{F},

여기서

c

=

e

는 임의의 상수입니다.

일반적인 비균질 방정식의 경우 균질 방정식의 해의 $역수$ 를^−F 곱할 수 있습니다.^[2]이것은.

y'e^{-F}-yfe^{-F}=ge^{-F}

-

-fe^{-F}={\tfrac {d}{dx}}\left(e^{-F}\right),

-

-fe^{-F}={\tfrac {d}{dx}}\left(e^{-F}\right),

=

-fe^{-F}={\tfrac {d}{dx}}\left(e^{-F}\right),

-fe^{-F}={\tfrac {d}{dx}}\left(e^{-F}\right),

x (

-fe^{-F}={\tfrac {d}{dx}}\left(e^{-F}\right),

-

-fe^{-F}={\tfrac {d}{dx}}\left(e^{-F}\right),

-fe^{-F}={\tfrac {d}{dx}}\left(e^{-F}\right),

{\displaystyle -fe^{-F

}={\

tfrac {d}{dx}}\left(e^{-F}\right

), 제품

-fe^{-F}={\tfrac {d}{dx}}\left(e^{-F}\right),

규칙에서 방정식을 다음과 같이 다시 쓸 수 있습니다.

{\frac {d}{dx}}\left(예^{-F}\right)=ge^{-F}

따라서, 일반적인 해결책은

y=ce^{F}+e^{F}\intge^{-F}dx,

여기서

c

는 적분 상수이고,

F

는 임의의 미분 오프(적분 상수를 변화시키기 위한 미분량의 변화)입니다.

예

방정식 풀기

y'(x)+{\frac {y(x)}{x}}=3x.

y'(x)+{\frac {y(x)}{x}}=0

된 동차방정식

y'(x)+{\frac {y(x)}{x}}=0

(

y'(x)+{\frac {y(x)}{x}}=0

x

y'(x)+{\frac {y(x)}{x}}=0

+

y'(x)+{\frac {y(x)}{x}}=0

(

y'(x)+{\frac {y(x)}{x}}=0

y'(x)+{\frac {y(x)}{x}}=0

=

y'(x)+{\frac {y(x)}{x}}=0

{\displaystyle y'(x

) +

{\frac {y(x)}{x

}}=

0}

을(를) 제공합니다.

{\frac {y'}{y}}=-{\frac {1}{x}},

그것은

y={\frac {c}{x}}

원래 방정식을 이 솔루션들 중 하나로 나누는 것은

xy'+y=3x^{2}

그것은

{\displaystyle(xy)'=3x^{2}}

xy=x^{3}+c,

그리고.

y(x)=x^{2}+c/x.

초기 조건의 경우

y(1)=\alpha,

특정한 해결책을 얻습니다.

y(x)=x^{2}+{\frac {\alpha -1}{x}}

일차 미분 방정식 체계

선형 미분 방정식 체계는 알려지지 않은 여러 함수를 포함하는 여러 선형 미분 방정식으로 구성됩니다.일반적으로 알 수 없는 함수의 수가 방정식의 수와 같도록 연구를 시스템으로 제한합니다.

임의의 선형 상미분 방정식과 그러한 방정식의 체계는 최고차 미분을 제외한 모든 것에 대한 변수를 추가함으로써 선형 미분 방정식의 1차 체계로 변환될 수 있습니다.즉, 방정식에 $y',y'',\ldots ,y^{(k)}$ $y',y'',\ldots ,y^{(k)}$ ″ $y',y'',\ldots ,y^{(k)}$ …, $y',y'',\ldots ,y^{(k)}$ y $y',y'',\ldots ,y^{(k)}$ $y', y'',\ldots,y^{(k)$ 가 나타나면 $y_{1},\ldots ,y_{k}$ $y_{1},\ldots ,y_{k}$ $y'=y_{1}$ = y' $y'=y_{1}$ = y $'$ {\ $displaystyle y_{1},\ldots,y_{k}$ 를 만족해야 하는 방정식 y $y_{1},\ldots ,y_{k}$ = $y_{i}'=y_{i+1},$ {\ $displaystyle$ y'= $y_{1},$ $y_{i}'=y_{i+1},$ = $i$ $y_{i}'=y_{i+1},$ + $y_{i}'=y_{i+1},$ i k $1,$ ..., k – $1$ 에 $대한$ {\ $displaystyle y_{i}$ +y_{i $+1}.$

$n개$ 의 미지의 함수와 $n개$ 의 미분 방정식을 갖는 1차 일차의 선형 시스템은 일반적으로 미지의 함수의 도함수에 대해 풀이될 수 있습니다.만약 그렇지 않다면 이것은 미분대수계이고 이것은 다른 이론입니다.따라서, 여기서 고려되는 시스템은 다음과 같은 형태를 갖습니다.

{\begin{aligned}y_{1}'(x)&=b_{1}(x)+a_{1,1}(x)y_{1}+\cdots +a_{1,n}(x)y_{n}\[1ex]&\;\vdots \[1ex]y_{n}'(x)&=b_{n}(x)+a_{n,1}(x)y_{1}+\cdots +a_{n,n}(x)y_{n},\end{aligned}

여기서

b_{n}

{\

와

b_{n}

a_{i,j}

{\

는

a_{i,j}

x

의 함수입니다. 행렬 표기법에서 이 시스템은 ((

x

)를 생략하고) 적을 수 있습니다.

\mathbf {y} '=A\mathbf {y} +\mathbf {b} .

해결 방법은 단일 1차 선형 미분 방정식과 유사하지만 행렬 곱셈의 비가환성에서 기인하는 합병증이 있습니다.

허락하다

\mathbf {u} '=A\mathbf {u} .

위의 행렬식과 연관된 동차 방정식입니다.그것의 해는 차원

n

의 벡터 공간을 형성하며

U(x)

따라서 결정인자가 영함수가 아닌 함수

U(x)

U(x)

의 정사각 행렬의 열입니다.

n

= 1

또는

A

가 상수의 행렬이거나, 더 일반적으로

A

가 그것의 원시

\textstyle B=\int Adx

= ∫

\textstyle B=\int Adx

\textstyle B=\int Adx

{\displaystyle B

=\

int Adx}

와 통근하는 경우, U를

B

의 지수와 동일하게 선택할 수 있습니다

\textstyle B=\int Adx

사실, 이런 경우에, 한 사람은

{\frac {d}{dx}}\exp(B)=A\exp(B)

일반적인 경우에는 동차 방정식에 대해 닫힌 형태의 해가 없으며, 수치적인 방법 또는 마그누스 확장과 같은 근사적인 방법을 사용해야 합니다.

행렬 $U$ 를 알면, 비균질 방정식의 일반적인 해는

\mathbf {y}(x)=U(x)\mathbf {y_{0}} +U(x)\int U^{-1}(x)\mathbf {b}(x)\, dx,

여기서 열 행렬 y

\mathbf {y_{0}}

{\

은

\mathbf {y_{0}}

(

는) 임의의 적분 상수입니다.

초기 조건이 다음과 같이 주어질 경우

\mathbf {y}(x_{0})=\mathbf {y} _{0}

이러한 초기 조건을 만족시키는 해결책은

\mathbf {y}(x)=U(x)U^{-1}(x_{0})\mathbf {y_{0}} +U(x)\int_{x_{0}^{x}U^{-1}(t)\mathbf {b}(t)\,dt.

가변 계수가 있는 고차수

계수가 가변적인 1차 연립 방정식은 직교 방정식으로 풀 수 있으며, 이는 해들이 적분으로 표현될 수 있음을 의미합니다.이것은 최소 2개의 주문에 해당되지 않습니다.이것은 에밀 피카르와 어니스트 베시오에 의해 시작된 피카르-베시오 이론의 주요 결과이며, 최근의 발전은 미분 갈루아 이론이라고 불립니다.

직교에 의한 해결의 불가능성은 적어도 5도의 대수 방정식은 일반적으로 라디칼에 의해 해결될 수 없다는 아벨-루피니 정리와 비교될 수 있습니다.이 비유는 증명 방법으로 확장되며 미분 갈루아 이론의 명칭을 동기화합니다.

대수적인 경우와 마찬가지로, 이론은 어떤 방정식들이 직교에 의해 해결될 수 있는지를 결정하고 가능하다면 그것들을 해결할 수 있습니다.그러나 두 이론 모두 가장 강력한 컴퓨터를 사용하더라도 필요한 계산이 매우 어렵습니다.

그럼에도 불구하고, 합리적 계수를 갖는 차수 2의 경우는 Kovacic의 알고리즘에 의해 완전히 해결되었습니다.

코시-엘러 방정식

코시-엘러 방정식은 변수 계수를 사용하는 임의의 차수의 방정식의 예시이며, 명시적으로 풀 수 있습니다.이것들은 그 형태의 방정식입니다.

x^{n}y^{(n)}(x)+a_{n-1}x^{n-1}y^{(n-1)}(x)+\cdots +a_{0}y(x)=0,

여기서

a_{0},\ldots ,a_{n-1}

a_{0},\ldots ,a_{n-1}

a_{0},\ldots ,a_{n-1}

{\

는 상수 계수입니다

a_{0},\ldots ,a_{n-1}

.

홀로노믹스 함수

홀로노믹스 함수는 D-finite 함수라고도 불리며, 다항식 계수를 갖는 동차 선형 미분 방정식의 해입니다.

수학에서 흔히 고려되는 대부분의 함수는 홀로노믹스 또는 홀로노믹스 함수의 몫입니다.사실, 홀로노믹스 함수에는 다항식, 대수함수, 로그함수, 지수함수, 사인, 코사인, 쌍곡사인, 쌍곡코사인, 역삼각함수와 역쌍곡함수, 그리고 베셀함수, 초기하함수와 같은 많은 특수한 함수들이 포함됩니다.

홀로노믹스 함수는 몇 가지 닫힌 성질을 갖는데, 특히 홀로노믹스 함수의 합, 곱, 도함수 및 적분은 홀로노믹스입니다.또한 이러한 폐쇄 특성은 입력의 미분 방정식을 알고 이러한 연산 결과의 미분 방정식을 계산하는 알고리즘이 있다는 점에서 효과적입니다.^[3]

홀로노믹스 함수 개념의 유용성은 다음과 같은 제일베르거 정리의 결과로 나타난다.^[3]

홀로노믹스 수열은 다항식 계수와의 재발 관계에 의해 생성될 수 있는 수열입니다.홀로노믹 함수의 한 점에서 테일러 급수의 계수는 홀로노믹 시퀀스를 형성합니다.반대로 멱급수의 계수 수열이 홀로노믹스인 경우, 급수는 (수렴 반경이 0인 경우에도) 홀로노믹스 함수를 정의합니다.두 변환 모두에 효율적인 알고리즘이 있는데, 즉 미분 방정식에서 재발 관계를 계산하기 위한 것이고, 그 반대의 경우도 마찬가지입니다.

만약 어떤 함수가 정의된 미분 방정식과 초기 조건에 의해 홀로노믹스 함수를 나타낸다면, 대부분의 미적분 연산은 테일러 급수의 도함수, 부정적분 및 정적분, 빠른 계산과 같은 함수에 대해 자동으로 수행될 수 있습니다 (계수에 대한 반복 관계 덕분에)., 근사 오차, 한계, 특이점의 국소화, 무한대 및 특이점 근처에서의 점근적 행동, 동일성의 증명 등을 통해 높은 정밀도로 평가합니다.^[4]

참고 항목

참고문헌

^ 게르셴펠트 1999, p.9
^ 동기부여:제곱 기법을 완성하는 것에 비유하여 우리는 $방정식$ 을 $y$ ' - $fy$ = $g$ 로 쓰고, 그것이 도함수가 되도록 왼쪽을 수정하려고 노력합니다.구체적으로, 그것을 곱하면 $왼쪽$ 이 hy의 도함수, 즉 $hy'$ - $hfy$ = ( $hy)'$ 와 같아지는 "적분인자" $h$ = $h (x$ )를 찾습니다 $.$ 이것은 $h'$ = $-f$ 를 의미하므로 본문에서와 같이 $h$ = e = $e$ 가 됩니다.
^ ^a ^b ^c 제일버거, 도론.홀로노믹스 시스템은 특수 함수 아이덴티티에 접근합니다.계산 및 응용 수학 저널. 32.3 (1990): 321-368
^ Benoit, A., Chyzak, F., Darrasse, A., Gerhold, S., Mezarobba, M., & Salvy, B. (2010, 9월).수학적 함수의 동적 사전(DDMF).수학 소프트웨어에 관한 국제 회의(pp. 35-41)에서.스프링거, 베를린, 하이델베르크

Birkhoff, Garrett & Rota, Gian-Carlo (1978), Ordinary Differential Equations, New York: John Wiley and Sons, Inc., ISBN 0-471-07411-X
Gershenfeld, Neil (1999), The Nature of Mathematical Modeling, Cambridge, UK.: Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-57095-4
Robinson, James C. (2004), An Introduction to Ordinary Differential Equations, Cambridge, UK.: Cambridge University Press, ISBN 0-521-82650-0

외부 링크

http://eqworld.ipmnet.ru/en/solutions/ode.htm
수학적 함수의 동적 사전.여러 홀로노믹스 함수의 자동 및 상호작용 연구.

[1] 게르셴펠트 1999, p.9

[2] 동기부여:제곱 기법을 완성하는 것에 비유하여 우리는 $방정식$ 을 $y$ ' - $fy$ = $g$ 로 쓰고, 그것이 도함수가 되도록 왼쪽을 수정하려고 노력합니다.구체적으로, 그것을 곱하면 $왼쪽$ 이 hy의 도함수, 즉 $hy'$ - $hfy$ = ( $hy)'$ 와 같아지는 "적분인자" $h$ = $h (x$ )를 찾습니다 $.$ 이것은 $h'$ = $-f$ 를 의미하므로 본문에서와 같이 $h$ = e = $e$ 가 됩니다.

[zeilberger-3] 제일버거, 도론.홀로노믹스 시스템은 특수 함수 아이덴티티에 접근합니다.계산 및 응용 수학 저널. 32.3 (1990): 321-368

[4] Benoit, A., Chyzak, F., Darrasse, A., Gerhold, S., Mezarobba, M., & Salvy, B. (2010, 9월).수학적 함수의 동적 사전(DDMF).수학 소프트웨어에 관한 국제 회의(pp. 35-41)에서.스프링거, 베를린, 하이델베르크

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