방위 양자수

양자역학에서 방위 $양자수$ ℓ는 원자 궤도의 양자수로서 궤도 각운동량을 결정하고 궤도의 각 모양을 설명합니다. 방위 양자수는 전자의 고유한 양자 상태를 설명하는 양자수 집합 중 두 번째입니다(다른 것은 주요 양자수 $n$ , 자기 $양자수 ℓ$ m, 스핀 양자수 $m$ 입니다_s).

주양자수 $n$ (전자껍질)의 주어진 값에 $대해$ ℓ의 가능한 값은 $0$ 에서 n-1까지의 정수입니다. 예를 들어, $n$ = $1$ 셸에는 ℓ = $0 {\displaystyle$ \ $ell$ =0}인 오비탈만 $있고$ , $n$ =2 셸에는 ℓ =0 ${\displaystyle$ \ $\ell =1$ $\ell =0$ =0}, ℓ =1 {\ $displaystyle$ \ell =1}인 $\ell =0$ 만 있습니다.

방위 $양자수$ ℓ의 주어진 값에 대해 자기 $양자수$ m의 가능한 값은 0을 포함하여 $m$ =-ℓ에서 m=+ℓ까지의 $정수$ 입니다. 또한 스핀 양자수 $m$ 은_s 서로 다른 두 가지 값을 취할 수 있습니다. 특정 ℓ 값과 관련된 궤도의 집합을 서브쉘이라고 통칭하기도 합니다.

원래 고립된 원자에만 사용되었지만, 원자와 같은 궤도는 기체, 액체 및 고체를 포함한 화합물의 전자 구성에 중요한 역할을 합니다. 여기서 $양자수$ ℓ은 각 원자 주변의 서로 다른 궤도에 대한 구형 고조파의 각도 의존성에 대한 연결을 통해 중요한 역할을 합니다.

명명법

방위 양자수라는 용어는 1915년^[1]^{: II:132} 아놀드 조머펠트가 원자 스펙트럼의 에너지 구조에 대한 임시 설명의 일환으로 도입했습니다. 원자의 양자 모델이 나온 후에야 이 $숫자$ 인 ℓ은 궤도 각운동량의 양자화에서 발생한다는 것을 이해했습니다. $일부$ 교재와 ISO 표준 80000-10:2019에서는 ℓ을 궤도 각운동량 양자수라고 부릅니다.

외부 자기장에 있는 원자의 에너지 준위는 $m ℓ$ 값에 따라 달라지므로 때로는 자기 양자수라고 불립니다.^[4]^{: 240}

원자궤도와의 관계

고립된 원자의 전자의 에너지 상태와 관련된 네 가지 양자수, 즉 n, ℓ, m, m이 있습니다. 이 네 개의 숫자는 원자 안에 있는 어떤 단일 전자의 독특하고 완전한 양자 상태를 지정하고, 그들은 결합하여 전자의 파동함수, 즉 궤도를 구성합니다.

파동함수를 구하기 위해 풀면 슈뢰딩거 방정식은 처음 세 개의 양자수로 이어지는 세 개의 방정식으로 분해되는데, 이는 세 방정식이 상호 연관되어 있다는 것을 의미합니다. 방위 양자수는 구형 좌표계에 의존하여 파동 방정식의 극 부분을 풀 때 발생하며, 일반적으로 구형 대칭의 충분한 측면을 가진 모델에서 가장 잘 작동합니다.

전자의 각운동량 $L$ 은 다음 식에 의해 $양자수$ ℓ과 관련이 있습니다.

\mathbf {L} ^{2}\Psi =\hbar ^{2}\ell (\ell +1)\Psi ,

여기

서 ħ은 감소된 플랑크

상수

, L은 궤도 각운동량

,

ψ

{\displaystyle

\Psi}는 전자의 파동함수입니다.

양자수

ℓ는 항상 0, 1, 2, 3 등과 같은 음이 아닌 정수입니다(

특히

L은 각운동량 연산자로 사용되는 것 외에는 실질적인 의미가 없으므로 각운동량을 지칭할 때

양자수

ℓ를 사용하는 것이 표준 관행입니다).

원자 궤도는 (분광학에서 유래한 규칙을 사용하여) 문자, s, p, d, f 등이 원자 궤도의 모양을 나타내는 독특한 모양을 가지고 있습니다. 이러한 궤도의 파동 함수는 구형 고조파의 형태를 취하므로 Legendre 다항식에 의해 설명됩니다. ℓ의 서로 다른 (정수) 값들과 관련된 여러 궤도들은 때때로 "방위 양자수에 대한 퀀텀 서브쉘" 표와 같이 역사적인 이유로 선택된 소문자 라틴 문자들에 의해 언급되는 서브쉘이라고 불립니다.

방위 양자수에 대한 양자 서브쉘
방위각 퀀텀 번호(ℓ)	히스토리컬 편지	히스토리컬 이름.	최대 전자	모양.
0	s	예리한	2	구면(구면 고조파 그림, 맨 위 행 참조).
1	p	교장의	6	3개의 덤벨 모양의 극 정렬 궤도; x, y, z 축의 각 극에 하나의 로브(+ 및 - 축 모두).
2	d	확산의	10	아홉 개의 아령과 하나의 도넛, 또는 "독특한 모양 #1"(구면 고조파, 세 번째 줄 중앙의 그림 참조).
3	f	근본적인	14	"고유한 모양 #2"(구형 고조파, 아래쪽 행 중앙의 그림 참조).
4	g	용맹한	18
5	h		22
6	i		26
g 하위 쉘 뒤의 문자는 문자 j와 이미 사용된 문자를 제외하고 알파벳 순서로 따릅니다.

서로 다른 각운동량 상태는 각각 2(2 ℓ + 1)개의 전자를 취할 수 있습니다. 세 번째 양자수 m은 정수 단위로 -ℓ부터 ℓ까지 진행되며, 따라서 2개의 ℓ + 1개의 가능한 상태가 존재하기 때문입니다. 각각의 뚜렷한 n, ℓ, m 오비탈은 서로 반대되는 스핀을 가진 두 개의 전자에 의해 점유될 수 있습니다(양자수 m = ±로 표시됨).1⁄2), 전체적으로 2개(ℓ 2개+1개)의 전자를 제공합니다. 표에 주어진 것보다 ℓ이 높은 궤도는 완벽하게 허용되지만 이 값들은 지금까지 발견된 모든 원자를 포괄합니다.

주양자수 n의 주어진 값에서 ℓ의 가능한 값은 $0$ ~ $n$ - 1이므로 $n$ = 1개의 껍질은 subshell만 가지고 2개의 $전자$ 만 취할 수 있으며, $n$ = 2개의 껍질은 s와 p subshell을 가지고 $전체적$ 으로 8개의 전자를 취할 수 있으며, $n$ = 3개의 껍질은 s, p, 그리고 d는 서브 쉘이고 최대 18개의 전자를 가지고 있습니다.

단순한 1전자 모델은 주수에만 의존하여 에너지 레벨을 생성합니다. 더 복잡한 원자에서 이러한 에너지 준위는 $모든$ n > $1$ 에 대해 분할되어 더 높은 ℓ의 상태를 더 낮은 ℓ의 상태보다 배치합니다. 예를 들어, 2p의 에너지가 2s보다 높고, 3d가 3p보다 높게 발생하고, 이는 다시 3s 이상이 됩니다. 이 효과는 결국 주기율표의 블록 구조를 형성합니다. 바닥 상태에서 ℓ이 3(f)보다 높은 전자를 가지고 있는 원자는 알려진 바가 없습니다.

각운동량 양자수, ℓ 및 해당 구형 고조파는 핵을 통과하는 평면 노드의 수를 지배합니다. 전자기파에서 평면 노드는 0의 크기를 가진 마루와 골 사이의 중간 지점으로 설명될 수 있습니다. 궤도에서는 핵을 통과하는 마디가 없으므로 이에 대응하는 방위 양자수 ℓ는 0의 값을 취합니다. p 오비탈에서 하나의 노드는 핵을 가로지르며 따라서 ℓ은 $1$ 의 값을 갖습니다. L ${\displaystyle$ L}에는 2 ℏ ${\sqrt {2}}\hbar$ sqrt {2}}\hbar} ${\sqrt {2}}\hbar$ 이 있습니다.

n의 값에 따라 각운동량 양자수 ℓ와 다음과 같은 급수가 있습니다. 나열된 파장은 수소 원자에 대한 것입니다.

$n=1,L=0$ $=$ 1 $n=1,L=0$ $n=1,L=0$ = 0 ${\displaysty$ n $1,L=0$ Lyman $n=1,L=0$ ltra violet)
$n=2,L={\sqrt {2}}\hbar$ $=$ $n=2,L={\sqrt {2}}\hbar$ L $n=2,L={\sqrt {2}}\hbar$ $ℏ$ {\ $displaysty$ 2, $L={\sqrt$ {2 $n=2,L={\sqrt {2}}\hbar$ hbar}, 발머 $n=2,L={\sqrt {2}}\hbar$ ible)
$n=3,L={\sqrt {6}}\hbar$ $=$ $n=3,L={\sqrt {6}}\hbar$ $n=3,L={\sqrt {6}}\hbar$ $n=3,L={\sqrt {6}}\hbar$ $ℏ$ {\ $displaysty$ , $L={\sqrt$ {6 $n=3,L={\sqrt {6}}\hbar$ hbar}, Ritz-Paschen 시리즈(근적외선)
$n=4,L=2{\sqrt {3}}\hbar$ $=$ $n=4,L=2{\sqrt {3}}\hbar$ L = $ℏ$ {\ $displaysty$ 4, $L=2{\sqrt$ {3 $n=4,L=2{\sqrt {3}}\hbar$ hbar}, Bracket 시리즈(단파장 적외선)
$n=5,L=2{\sqrt {5}}\hbar$ $=$ $n=5,L=2{\sqrt {5}}\hbar$ $n=5,L=2{\sqrt {5}}\hbar$ = $ℏ$ {\ $displaysty$ 5, $L=2{\sqrt$ {5 $n=5,L=2{\sqrt {5}}\hbar$ hbar}, Pfund 계열(중파장 적외선).

양자화 각운동량 추가

두 개의 개별 양자화된 각운동량 ${\boldsymbol {\ell }}_{1}$ ℓ 1 ${\boldsymbol$ ${\boldsymbol {\ell }}_{2}$ ${$ ${\boldsymbol {\ell }}_{2}$ }} ${\boldsymbol {\ell }}_{2}$ 및 ℓ 2 {\ $displaystyle {\boldsymbol$ {2}}의 합인 양자화된 총 각운동량 $\mathbf {j}$ $\mathbf {j}$ 가 주어지면,

\mathbf {j} = {\bold 기호 {\ell }_{1}+{\bold 기호 {\ell }_{2}

the quantum number

j

associated with its magnitude can range from

\ell _{1}-\ell _{2}

to

\ell _{1}+\ell _{2}

in integer steps where

\ell _{1}

and

\ell _{2}

are 개별 각운동량의 크기에 해당하는 양자수.

원자 내 전자의 총 각운동량

원자의 스핀-궤도 상호작용으로 인해 궤도 각운동량은 더 이상 해밀턴과 상호작용하지 않으며, 스핀도 상호작용하지 않습니다. 따라서 이것들은 시간이 지남에 따라 바뀝니다. 그러나 총 각운동량 $J$ 는 1전자 해밀턴과 통근하며 일정합니다. $J$ 는 다음과 같이 정의됩니다.

\mathbf {J} =\mathbf {L} +\mathbf {S}

L

은 궤도 각운동량이고

S

는 스핀입니다. 총 각운동량은 궤도 각운동량과 동일한 정류 관계를 만족하며, 즉

[J_{i],J_{j}]=i\hbar \varepsilon _{ijk}J_{k}

이로부터 다음과 같은 결과가 나옵니다.

\left[J_{i},J^{2}\right]=0

여기서

J

는_i

J x

,

J y

,

J

의_z 약자입니다.

시간에 따라 일정한 계를 기술하는 양자수는 이제 파동함수 $\Psi$ ψ ${\displaystyle$ \Psi}에 대한 $J$ 의 작용을 통해 정의된 $j$ 와 $m$ 입니다.

{\begin{aligned}\mathbf {J}^{2}\Psi & =\hbar ^{2}j(j+1)\Psi \\[1ex]\mathbf {J} _{z}\Psi & =\hbar m_{j}\Psi \end{aligned}

$따라서$ j는 총 각운동량의 표준과 관련이 있고 $m$ 은_j 지정된 축을 따라 투영되는 것과 관련이 있습니다. j 수는 상대론적 양자 화학에서 특히 중요하며, 종종 스핀-궤도 결합이 중요한 코어 근처의 더 깊은 상태에 대한 첨자에 표시됩니다.

양자역학의 모든 각운동량과 마찬가지로 다른 축을 따라 $J$ 를 투영하는 것은 통근하지 않기 때문에 $J$ 와_z 공동 정의될 수 없습니다. $해밀턴$ 의 고유 벡터이기도 한 j, $s$ , m $및$ 패리티의 고유 벡터는 ℓ, s, $m$ 및 m의 고유 벡터의 선형 조합입니다.

고립된 원자를 넘어서

각운동량 양자수는 엄격하게 고립된 원자를 말합니다. 그러나 고체, 액체 또는 기체의 원자에 대한 사용은 더 넓습니다. ℓ m 양자수는 특정 구형 고조파에 해당하며 일반적으로 X-선 광전자 분광법 및 전자 에너지 손실 분광법과 같은 분광법에서 관찰되는 특징을 설명하는 데 사용됩니다. (표기법은 약간 다르지만, $n=0,1,2$ = $n=0,1,2$ $n=0,1,2$ 2 ${\display$ n = 0, $1,$ $}$ 인 전자 상태로부터의 여기에 K, L, M이 사용되는 X선 표기법.)

각운동량 양자수는 전자 상태가 콘-샴 밀도 함수 이론과^[7] 같은 방법이나 가우시안 궤도와 같은 방법으로 설명될 때도 사용됩니다.^[8] 예를 들어, 실리콘에서 반도체 소자에 사용되는 전자 특성은 $l=1$ 원자를 중심으로 l = $l=1$ ${\displaystyle$ $l$ = $1}$ 인 p-like 상태에 기인하는 반면, 전이 금속의 많은 특성은 $l=2$ = $l=2$ ${\displaystyle$ l= $2}$ 인 d-like 상태에 의존합니다 $l=2$

역사

방위각 양자수는 원자의 보어 모형에서 이어졌고, 아놀드 조머펠트가 위치를 잡았습니다.^[10] 보어 모델은 러더퍼드 원자 모델과 결합하여 원자의 분광 분석에서 파생되었습니다. 가장 낮은 양자 준위는 각운동량이 0인 것으로 밝혀졌습니다. 각운동량이 0인 궤도는 1차원에서 진동하는 전하로 간주되어 "펜듀럼" 궤도로 설명되었지만 자연에서는 발견되지 않았습니다.^[11] 3차원에서 궤도는 하나의 큰 원에서 진동하는 줄넘기와 유사하게 (가장 낮은 에너지 상태에서) 핵을 가로지르는 마디 없이 구형이 됩니다.

참고 항목

참고문헌

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외부 링크

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[Schiff-2] Schiff, Leonard (1949). Quantum mechanics. McGraw-Hill.

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[7] Kohn, W.; Sham, L. J. (1965). "Self-Consistent Equations Including Exchange and Correlation Effects". Physical Review. 140 (4A): A1133–A1138. doi:10.1103/PhysRev.140.A1133. ISSN 0031-899X.

[8] Gill, Peter M.W. (1994), "Molecular integrals Over Gaussian Basis Functions", Advances in Quantum Chemistry, Elsevier, vol. 25, pp. 141–205, doi:10.1016/s0065-3276(08)60019-2, ISBN 978-0-12-034825-1, retrieved 2024-02-20

[9] Pettifor, D. G. (1996). Bonding and structure of molecules and solids. Oxford science publications (Reprint with corr ed.). Oxford: Clarendon Press. ISBN 978-0-19-851786-3.

[10] Eisberg, Robert (1974). Quantum Physics of Atoms, Molecules, Solids, Nuclei and Particles. New York: John Wiley & Sons Inc. pp. 114–117. ISBN 978-0-471-23464-7.

[11] R.B. Lindsay (1927). "Note on "pendulum" orbits in atomic models". Proc. Natl. Acad. Sci. 13 (6): 413–419. Bibcode:1927PNAS...13..413L. doi:10.1073/pnas.13.6.413. PMC 1085028. PMID 16587189.

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v t 전자구성
전자껍질 원자 궤도 양자역학 양자역학개론
양자수	주양자수( $n$ ) 방위양자수(ℓ) 자기양자수( $m$ ) $스핀양자수$
접지 상태 구성	주기율표(전자 구성) 요소의 전자 구성(데이터 페이지)
전자충전	파울리 배제 원리 훈드의 법칙 아우바우 원리
전자쌍	전자쌍 짝을 이루지 않은 전자
결합참여	원자가 전자 코어 전자
전자계산 규칙	옥텟 규칙 18 electron 규칙

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