묄러 산란

파인만도
t채널의
유채널의

묄러 산란은 양자장 이론에서 전자-전자 산란에 붙여진 이름으로, 덴마크의 물리학자 크리스티안 묄러의 이름을 따서 붙여졌습니다. 묄러 산란에서 이상화된 전자 상호작용은 헬륨 원자의 전자 반발과 같은 많은 친숙한 현상의 이론적 기초를 형성합니다. 이전에는 많은 입자 충돌기가 전자-전자 충돌을 위해 특별히 설계되었지만, 최근에는 전자-양전자 충돌기가 일반화되었습니다. 그럼에도 불구하고 묄러 산란은 입자 상호작용 이론 내에서 패러다임적인 과정으로 남아 있습니다.

우리는 입자물리학에서 자주 사용되는 일반적인 표기법으로 이 과정을 표현할 수 있습니다.

e^{-}e^{-}\longright 화살표 ^{-}e^{-}

양자전기역학에서는 전자가 광자를 교환하는 t채널 다이어그램과 유사한 u채널 다이어그램의 두 가지 트리 레벨 파인만 다이어그램이 있습니다. 파인만 다이어그램을 평가할 때 자주 사용되는 트릭 중 하나인 교차 대칭은 묄러 산란이 바하 산란(전자-양전자 산란)과 동일한 단면을 가져야 함을 의미합니다.

전기약력 이론에서 이 과정은 대신 네 개의 트리 수준 도표로 설명됩니다: QED의 두 개와 광자 대신 Z 보손이 교환되는 동일한 쌍. 약한 힘은 순수하게 왼손잡이이지만, 약한 힘과 전자기력은 우리가 관찰하는 입자 안으로 섞입니다. 광자는 구조에 따라 대칭이지만 Z 보손은 오른손 입자보다 왼손 입자를 선호합니다. 따라서 왼손잡이 전자와 오른손잡이 전자의 단면은 다릅니다. 이러한 차이는 1959년 러시아 물리학자 야코프 젤도비치에 의해 처음으로 발견되었지만, 당시 그는 비대칭성을 위반하는 패리티(억분의 몇 백 부분)가 너무 작아서 관찰할 수 없다고 믿었습니다. 비대칭성을 위반하는 이 패리티는 Stanford Linear Accelerator Center, SLAC-E158에서 실험한 바와 같이 편광되지 않은 전자 타겟(예를 들어 액체 수소)을 통해 전자의 편광 빔을 발사함으로써 측정할 수 있습니다.^[1] 묄러 산란에서의 비대칭성은

A_{\rm {PV}}=-m_{e}E{\frac {G_{\rm {F}}}{{\sqrt {2}}\pi \alpha }}{\frac {16\sin ^{2}\Theta _{\text{cm}}}{\left(3+\cos ^{2}\theta _{\text{cm}}\right)^{2}}\left({\frac {1}{4}}-\sin ^{2}\theta _{\rm {W}\right),

여기서 m은_e 전자 질량, E는 들어오는 전자의 에너지(다른 전자의 기준틀에서), $G_{\rm {F}}$ ${\$ 는 $G_{\rm {F}}$ 페르미 상수, $\alpha$ $\alpha$ 는 $\alpha$ 미세 구조 상수, $cm$ {\ $displaystyle \Theta$ _ ${\$ text{cm}}는 질량 $\theta _{\rm {W}}$ 의 산란 $\Theta _{\text{cm}}$ 이고, $θ$ W ${\displaystyle$ \theta _{\rm {W}}는 약한 혼합각으로 와인버그 각도라고도 합니다.

QED계산

묄러 산란은 이 페이지에 표시된 두 개의 다이어그램을 사용하여 트리 수준의 QED 시점에서 계산할 수 있습니다. 이 두 다이어그램은 QED 관점에서 선도적인 순서로 기여하고 있습니다. 만약 우리가 높은 에너지에서 전자기력과 통일되는 약한 힘을 고려한다면, 우리는 $Z^{0}$ $Z^{0}$ ${\$ 보손의 $Z^{0}$ 교환을 위해 두 개의 트리 레벨 다이어그램을 추가해야 합니다. 여기서는 단면에 대한 엄격한 트리 수준의 QED 계산에 초점을 맞출 것입니다. 이는 다소 유익하지만 물리적 관점에서 가장 정확한 설명은 아닙니다.

Before the derivation, we write the 4-momenta as ( $p_{1}$ and $p_{2}$ for incoming electrons, $p_{3}$ and $p_{4}$ for outgoing electrons, and $m=m_{e}$ ):

p_{1}=(E,0,0,p),~p_{2}=(E,0,0,-p),

p_{3}=(E,p\sin \theta,0,p\cos \theta),~p_{4}=(E,-p\sin \theta,0,-p\cos \theta )

Mandelstam 변수는 다음과 같습니다.

s=(p_{1}+p_{2})^{2}=(p_{3}+p_{4})^{2}

t=(p_{1}-p_{3})^{2}=(p_{4}-p_{2})^{2}

u=(p_{1}-p_{4})^{2}=(p_{3}-p_{2})^{2}

$s+t+u\equiv \sum m_{j}^{2}=4m^{2}$ Mandelstam 변수는 항등식을 $s+t+u\equiv \sum m_{j}^{2}=4m^{2}$ 합니다 $s+t+u\equiv \sum m_{j}^{2}=4m^{2}$ $s+t+u\equiv \sum m_{j}^{2}=4m^{2}$ + t + u $s+t+u\equiv \sum m_{j}^{2}=4m^{2}$ ≡ ∑ $mj$ $s+t+u\equiv \sum m_{j}^{2}=4m^{2}$ = 4 m2 {\displaystyle s+t+u\equiv \sum m_{j}^{2} = 4m^{2}}.

이 페이지의 두 다이어그램에 따르면 t-채널의 행렬 요소는

i{\mathcal {M}}_{t}=(-ie)^{2}{\bar {u}}(p_{3})\gamma ^{\mu }u(p_{1}){\frac {-i}{t}}{\bar {u}}(p_{4})\gamma _{\mu }u(p_{2}),

u채널의 행렬요소는

i{\mathcal {M}}_{u}=(-ie)^{2}{\bar {u}}(p_{3})\gamma ^{\mu }u(p_{2}){\frac {-i}{u}}{\bar {u}}(p_{4})\gamma _{\mu }u(p_{1}).

그러니까 합계가.

{\begin{aligned}i{\mathcal {M}}&=i({\mathcal {M}}_{t}-{\mathcal {M}}_{u})\\&=-i(-ie)^{2}\left[{\frac {1}{t}}{\bar {u}}(p_{3})\gamma ^{\mu }u(p_{1}){\bar {u}}(p_{4})\gamma _{\mu }u(p_{2})-{\frac {1}{u}}{\bar {u}}(p_{3})\gamma ^{\mu }u(p_{2}){\bar {u}}(p_{4})\gamma _{\mu }u(p_{1})\right].\end{align}}

그러므로,

{\begin{aligned} {\mathcal {M}} ^{2}&=e^{4}{\biggl \{}{\frac {1}{t^{2}}[{\bar {u}}(p_{3})\gamma ^{\mu}u(p_{1})][{\bar {u}}(p_{1})\gamma ^{\nu }u(p_{3})][{\bar {u}}(p_{4})\gamma _{\mu }u(p_{2})][{\bar {u}}(p_{2})\gamma _{\nu }u(p_{4})]\\&\qquad +{\frac {1}{u^{2}}}[{\bar {u}}(p_{3})\gamma ^{\mu }u(p_{2})][{\bar {u}}(p_{2})\gamma ^{\nu }u(p_{3})][{\bar {u}}(p_{4})\gamma _{\mu }u(p_{1})][{\bar {u}}(p_{1})\gamma _{\nu }u(p_{4})]\\&\qquad -{\frac {1}{tu}}[{\bar {u}}(p_{3})\gamma ^{\mu }u(p_{1})][{\bar {u}}(p_{2})\gamma ^{\nu }u(p_{3})][{\bar {u}}(p_{4})\gamma _{\mu }u(p_{2})][{\bar {u}}(p_{1})\gamma _{\nu }u(p_{4})]\\&\qquad -{\frac {1}{tu}}[{\bar {u}}(p_{3})\gamma ^{\mu }u(p_{2})][{\bar {u}}(p_{1})\gamma ^{\nu }u(p_{3})][{\bar {u}}(p_{4})\gamma _{\mu }u(p_{1})][{\bar {u}}(p_{2})\gamma _{\nu }u(p_{4})]{\biggr \}}.\end{align}}

편광되지 않은 단면을 계산하기 위해 초기 스핀에 대해 평균을 내고 최종 스핀에 대해 합계를 계산하며 인수 1/4(각 들어오는 전자에 대해 1/2)를 사용합니다.

{\frac {aligned}{\frac {1}{4}}\sum _{\text{spins}} {\mathcal {M}} ^{2}&={\frac {e^{4}}{4}}\{\frac {1}{t^{2}}\mathrm {Tr} [\gamma ^{\mu}(\n)ot p_{1}+m)\ gamma ^{\nu}(\n)ot p_{3}+m)]\mathrm {Tr} [\gamma _{\mu }(\not p_{2}+m)\gamma _{\nu}(\n)otp_{4}+m)]\\&~~+{\frac {1}{u^{2}}}\mathrm {Tr} [\gamma ^{\mu }(\not p_{2}+m)\ gamma ^{\nu}(\n)ot p_{3}+m)]\mathrm {Tr} [\gamma _{\mu }(\not p_{1}+m)\gamma _{\nu}(\n)otp_{4}+m)]\\&~~-{\frac {2}{tu}}\mathrm {Tr} [(\not p_{3}+m)\gamma ^{\mu }(\not p_{1}+m)\ gamma ^{\nu}(\n)ot p_{4}+m)\gamma _{\mu }(\not p_{2}+m)\gamma _{\nu}]\}\}\end{align}

$\sum _{s}u^{s}(p){\bar {u}}^{s}(p)=\not p+m=\gamma ^{\mu }p_{\mu }+m$ 서 (p $\sum _{s}u^{s}(p){\bar {u}}^{s}(p)=\not p+m=\gamma ^{\mu }p_{\mu }+m$ $\sum _{s}u^{s}(p){\bar {u}}^{s}(p)=\not p+m=\gamma ^{\mu }p_{\mu }+m$ ¯ (p $\sum _{s}u^{s}(p){\bar {u}}^{s}(p)=\not p+m=\gamma ^{\mu }p_{\mu }+m$ = $\sum _{s}u^{s}(p){\bar {u}}^{s}(p)=\not p+m=\gamma ^{\mu }p_{\mu }+m$ ̸ + m = γ μ p μ + m {\displaystyle \sum _{s}u^{ $s$ }(p){\bar {u}}^{s}(p)=\n $ot p+m=\gamma ^{\mu }p_{\mu }+m}$ . 우리는 다음으로 흔적을 계산할 것입니다.

교정기의 첫 번째 용어는

{\begin{aligned}&~{\frac {1}{t^{2}}\mathrm {Tr}[\gamma ^{\mu}(\n)ot p_{1}+m)\ gamma ^{\nu}(\n)ot p_{3}+m)]\mathrm {Tr} [\gamma _{\mu }(\not p_{2}+m)\gamma _{\nu}(\n)otp_{4}+m)]\\&={\frac {16}{t^{2}}}(p_{1}^{\mu }p_{3}^{\nu}+p_{3}^{\mu }p_{1}^{\nu }+(-p_{13}+m^{2})g^{\mu \nu })(p_{2\mu }p_{4\nu }+p_{4\mu }p_{2\nu }+(-p_{24}+m^{2})g_{\mu \nu })\\&={\frac {32}{t^{2}}}{\big (}p_{12}p_{34}+p_{23}p_{14}-m^{2}p_{13}-m^{2}p_{24}+2m^{4}{\big )}\\&={\frac {32}{t^{2}}}{\big (}p_{12}^{2}+p_{14}^{2}+2m^{2}(p_{14}-p_{12}){\big )}\\&={\frac {8}{t^{2}}}(s^{2}+u^{2}-8m^{2}(s+u)+24m^{4})\end{aligned}}

$p_{ij}\equiv p_{i}\cdot p_{j}$ 서 $p_{ij}\equiv p_{i}\cdot p_{j}$ $p_{ij}\equiv p_{i}\cdot p_{j}$ ≡ pj ${\displaystyle p_{ij$ }\ $equiv$ p_ $p_{ij}\equiv p_{i}\cdot p_{j}$ i}\cdot p_{j}를 γ $하며$ {\displaystyle \gamma} -matrix identity라는 ⋅를 $\gamma$ 했습니다.

\mathrm {Tr} [\gamma ^{\mu}\gamma ^{\nu}\gamma ^{\rho}\gamma ^{\sigma }]=4\left(\eta^{\mu \nu }\eta ^{\rho \sigma }-\eta ^{\mu \rho }\eta ^{\nu \sigma }+\eta ^{\mu \sigma }\eta ^{\nu \rho }\right)

그리고 $\gamma ^{\mu }$ γ μ ${\displaystyle$ \gamma ^{\mu}}의 어떤 곱의 흔적도 0입니다.

마찬가지로 두 번째 항은

{\begin{aligned}&~{\frac {1}{u^{2}}\mathrm {Tr}[\gamma ^{\mu}(\n)ot p_{2}+m)\ gamma ^{\nu}(\n)ot p_{3}+m)]\mathrm {Tr} [\gamma _{\mu }(\not p_{1}+m)\gamma _{\nu}(\n)otp_{4}+m)]\\&={\frac {32}{u^{2}}}{\big (}p_{12}p_{34}+p_{13}p_{24}-m^{2}p_{23}-m^{2}p_{14}+2m^{4}{\big )}\\&={\frac {8}{u^{2}}}(s^{2}+t^{2}-8m^{2}(s+t)+24m^{4})\end{aligned}}

{\displaystyle $\gamma$ \gamma} $\gamma$ γ 사용 - 행렬 ID

\mathrm {Tr} [\gamma ^{\mu}\gamma ^{\nu}\gamma _{\mu}\gamma _{\nu}]=-32,

\mathrm {Tr} [\gamma ^{\rho }\gamma ^{\mu }\gamma ^{\sigma }\gamma ^{\nu}\gamma _{\mu}\gamma _{\nu}]=\mathrm {Tr} [\gamma ^{\rho}\gamma ^{\mu}\gamma ^{\nu}\gamma ^{\sigma }\gamma _{\mu}\gamma _{\nu}]=16g^{\rho \ sigma }

\mathrm {Tr} [\gamma ^{\rho }\gamma ^{\mu }\gamma ^{\sigma }\gamma ^{\nu}\gamma ^{\lambda }\gamma _{\mu}\gamma ^{\tau }\gamma _{\nu}]=-32g^{\rho \lambda }g^{\sigma \tau }

$s+t+u\equiv \sum m_{j}^{2}$ 만델스탐 변수의 항: $s+t+u\equiv \sum m_{j}^{2}$ + $s+t+u\equiv \sum m_{j}^{2}$ + $s+t+u\equiv \sum m_{j}^{2}$ ≡ ∑ $mj$ 2 {\ $displaystyle$ s+t+u\equiv \sum m_{j}^{2}, 세 번째 항을 얻습니다.

{\begin{aligned}&-{\frac {2}{tu}}\mathrm {Tr} \left[(\not p_{3}+m)\gamma ^{\mu }(\not p_{1}+m)\ gamma ^{\nu}(\n)ot p_{4}+m)\gamma _{\mu }(\not p_{2}+m)\gamma _{\nu}\right]\\={}&-{\frac {32}{tu}}\left(-2p_{12}p_{34}+2m^{2}(p_{12}+p_{13}+p_{14})-2m^{4}\right)\\={}&{\frac {16}{tu}}\left(s^{2}-8m^{2}s+12m^{4}\right)\end{aligned}}

그러므로,

{\begin{aligned}{\overline { {\mathcal {M}} ^{2}}}&\equiv {\frac {1}{4}}\sum _{\text{spins}} {\mathcal {M}} ^{2}\\&=2e^{4}{\Big \{}{\frac {1}{t^{2}}}{\big (}s^{2}+u^{2}-8m^{2}(s+u)+24m^{4}{\big )}\\&~~+{\frac {1}{u^{2}}}{\big (}s^{2}+t^{2}-8m^{2}(s+t)+24m^{4}{\big )}\\&~~+{\frac {2}{tu}}{\big (}s^{2}-8m^{2}s+12m^{4}{\big )}{\Big \}}\end{align}}.

여기에 설정한 모멘텀을 대체합니다.

s=4E^{2}=E_{CM}^{2}

t=2p^{2}(\cos \theta -1),

u=2p^{2}(-\cos \theta -1)

마침내 우리는 편광되지 않은 단면을 얻게 됩니다.

{\begin{aligned}{\frac {d\sigma }{d\Omega}}&={\frac {1}{64\pi ^{2}E_{CM}^{2}}}{\frac { {\vec {p}}_{f} }{ {\vec {p}}_{i} }}{\overline { {\mathcal {M}} ^{2}}}\\&={\frac {\alpha ^{2}}{2E_{CM}^{2}}}{\Big \{}{\frac {1}{t^{2}}}{\big (}s^{2}+u^{2}-8m^{2}(s+u)+24m^{4}{\big )}\\&~~+{\frac {1}{u^{2}}}{\big (}s^{2}+t^{2}-8m^{2}(s+t)+24m^{4}{\big )}\\&~~+{\frac {2}{tu}}{\big (}s^{2}-8m^{2}s+12m^{4}{\big )}{\Big \}}\\&={\frac {\alpha ^{2}}{E_{CM}^{2}p^{4}\sin ^{4}\theta }}{\Big [}4(m^{2}+2p^{2})^{2}+{\big (}4p^{4}-3(m^{2}+2p^{2})^{2}{\big )}\sin ^{2}\theta +p^{4}\sin ^{4}\theta {\Big ]}.\end{align}}

$E^{2}=m^{2}+p^{2}$ $E^{2}=m^{2}+p^{2}$ = m $E^{2}=m^{2}+p^{2}$ + p $2$ {\displaystyle E^{2} = m^{2} + p^{2}} 및 EC M = 2 E {\displaystyle E_{CM} = 2E}를 사용합니다.

비상대론적 극한에서 $m$ ≫ p ${\displaystyle$ m\gp},

{\begin{aligned}{\frac {d\sigma }{d\Omega}}&={\frac {m^{4}\alpha^{2}}{E_{CM}^{2}p^{4}\sin ^{4}\theta }}{\Big (}4-3\sin ^{2}\theta {\Big )}\\&={\frac {m^{4}\alpha ^{2}}{E_{CM}^{2}p^{4}\sin ^{4}\theta }}{\Big (}1+3\cos ^{2}\theta {\Big )}.\end{align}}

초상대론적 극한에서 $m$ ≪ p ${\displaystyle$ m\ll p},

{\begin{aligned}{\frac {d\sigma }{d\Omega}}&={\frac {\alpha^{2}}{E_{CM}^{2}p^{4}\sin ^{4}\theta }}{\Big (}16p^{4}-8p^{4}\sin ^{2}\theta +p^{4}\sin ^{4}\theta {\Big )}\\&={\frac {\alpha ^{2}}{E_{CM}^{2}\sin ^{4}\theta }}{\Big (}3+\cos ^{2}\theta {\Big )}^{2}.\end{align}}

참고문헌

^ Anthony, P. L.; et al. (Aug 2005). "Precision Measurement of the Weak Mixing Angle in Møller Scattering". Phys. Rev. Lett. American Physical Society. 95 (8): 081601. arXiv:hep-ex/0504049. Bibcode:2005PhRvL..95h1601A. doi:10.1103/PhysRevLett.95.081601. PMID 16196849. S2CID 28919840.

외부 링크

SLACE158: 전자의 WAK 전하 측정

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[1] Anthony, P. L.; et al. (Aug 2005). "Precision Measurement of the Weak Mixing Angle in Møller Scattering". Phys. Rev. Lett. American Physical Society. 95 (8): 081601. arXiv:hep-ex/0504049. Bibcode:2005PhRvL..95h1601A. doi:10.1103/PhysRevLett.95.081601. PMID 16196849. S2CID 28919840.

[1]

v t 양자전기역학
형식주의	오일러-하이젠베르크 라그랑지안 파인만도 굽타-블레르 형식주의 경로적분공식
입자들.	이중광자 전자 파드디프-포포프 유령 광자 양전자 양전자 가상입자
컨셉트	비정상적인 자기 쌍극자 모멘트 털복숭이 정리 클라인-니시나 공식 란다우폴 QED 진공 자기 에너지 슈윙거 한계 유얼링 퍼텐셜 진공분극 꼭짓점 함수 워드-타카하시 아이덴티티
과정	바하산란 Breit-Wheeler 프로세스 브렘스트랄룽 콤프턴 산란 델브루크 산란 양고기 교대 묄러 산란 슈윙거 효과 광자-광자 산란
참고 항목: 템플릿:양자역학 토픽

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