포커-플랑크 방정식

통계 역학에서 포커-플랑크 방정식은 브라운 운동에서와 같이 드래그 힘과 무작위 힘의 영향을 받아 입자 속도의 확률밀도함수의 시간 진화를 설명하는 부분 미분 방정식이다. 이 방정식은 다른 관찰대상에도 일반화될 수 있다.^[1]

1914년과 1917년에 그것을 묘사한 아드리안 포커와 막스 플랑크의 이름을 따서 지은 것이다.^[2][3] 1931년 독자적으로 발견한 안드레이 콜모고로프의 뒤를 이어 콜모고로프 전진 방정식으로도 알려져 있다.^[4] 입자 위치 분포에 적용하면 스몰루코프스키 방정식(마리안 스몰루코프스키 이후)으로 더 잘 알려져 있으며,^[5] 이 맥락에서 대류-확산 방정식과 동등하다. 확산이 제로인 경우는 연속성 방정식이다. Fokker-Planck 방정식은 Kramers-Moyal 확장을 통해 마스터 방정식에서 얻어진다.

고전 역학과 양자 역학의 단일 체계에서 포커-플랑크 방정식의 최초의 일관적인 미시적 파생은 니콜라이 보골류보프와 니콜라이 크릴로프가 수행했다.^[6][7]

원차원

하나의 공간 차원 x에서 표준 ${\displaystyle {Wener}_{}}$ 프로세스 $W{\displaystyle {}_{}}$ ${\$에 의해 구동되고$$ 확률적 미분 방정식(SSE)에 의해 설명되는 Itô 프로세스에 대해

${\displaystyle dX_{t}=\mu(X_{t},t)\,dt+\sigma(X_{t},t)\,dW_{t}}$

그 확률 밀도 p과 함께 드리프트 μ(Xt, t){\displaystyle \mu(X_{t},t)}및 확산 계수 D(Xt, t))σ 2(Xt, t)/2{\displaystyle D(X_{t},t)=\sigma ^{2}(X_{t},t)/2}, Fokker–Planck 방정식(x, t)은 확률 변수 X의{\displaystyle p(x,t)}t{\displaystyl.eX_{t}}은

${\displaystyle{\frac{\partial}{\partial지}}p(x,t)=-{\frac{\partial}{x\partial}}\left[\mu(x,t)p(x,t)\right]+{\frac{\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}\left[D(x,t)p(x,t)\right].}$^{[표창 필요한]}

포커-플랑크 방정식은 초기 분포를 알 수 있는 문제와 함께 사용되지만, 이전에 분포를 알고 있다면 파인만-카크 공식을 사용할 수 있는데, 이는 콜모고로프 역방정식의 결과물이다.

이타적 의미에서의 위에서 정의한 확률적 과정은 스트라토노비치 협정 내에서 스트라토노비치 SDE로 다시 쓰여질 수 있다.

${\displaystyle dX_{t}=\left[\mu (X_{t},t)-{\frac {1}{2}}{\frac {\partial }{\partial X_{t}}}D(X_{t},t)\right]\,dt+{\sqrt {2D(X_{t},t)}}\circ dW_{t}.}$

여기에는 소음이 주(州)에 의존하는 경우 확산 구배 효과로 인한 소음 유발 드리프트 항이 추가된다. 이 관습은 물리적 적용에서 더 자주 사용된다. 실제로 스트라토노비치 SDE에 대한 어떤 해결책도 Itô SDE에 대한 해결책이라는 것은 잘 알려져 있다.

일정한 확산이 있는 제로 드리프트 방정식은 고전적인 브라운 운동 모델로서 고려될 수 있다.

${\displaystyle {\frac {\frac}{\put t}p(x,t)=D_{0}{\frac {\partial ^{2}}:{\partial x^{2}}:}\왼쪽[p(x,t)\오른쪽]}$

${\displaystyle \mathrm{이}}$ 모델은 고정된 경계의 조건이${\displaystyle }${ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle ⩽}$ x ${\displaystyle ⩽}$ ${\displaystyle L\}}$ ${\displaystyle \{0\leqslant$ x$\leqslant L\}$에 추가될 경우 별도의 솔루션 스펙트럼을 가진다$.$

${\displaystyle p(0,t)=p(L,t)=0,}$

${\displaystyle p(x,0)=p_{0}(x).}$

이 경우 솔루션의 분석 스펙트럼이 좌표-속도 단계 볼륨에 대한 국지적 불확실성 관계를 도출할 수 있다는 것이 입증되었다^[9].

${\displaystyle \Delta x\,\Delta v\geqslant D_{0}.}$

여기서 $D{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {0\mathrm{}}_{}}$ ${\$${$$0$$\}\}$는 해당 확산 스펙트럼 D j {\$displaystyle D_{j}$의 최소값이며, Δ$$ $x{\displaystyle \mathrm{}}$ {\$displaystyle$ $\$$Delta$ x$}$ 및 $Δ$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle$ \$Delta v}$은 좌표-속도 정의의 불확실성을 나타낸다$$.

상위 치수

더 일반적으로, 만약

${\displaystyle d\mathbf {X} _{t}={\boldsymbol{x}_{t}t}\,dt+{\boldsymbol {\sigma}}}}}}(\mathbf {X} _{t})\d\mathbf {{{t}}}}}}}$

where ${\displaystyle \mathbf {X} _{t}}$ and ${\displaystyle {\boldsymbol {\mu }}(\mathbf {X} _{t},t)}$ are N-dimensional random vectors, ${\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}(\mathbf {X} _{t},t)}$ is an N${\displaystyle \times }$M matrix and ${\displa$$ystyle \mathbf {W}$ $_$${t}$은(는${\displaystyle )}$ $M차원{\displaystyle {\mathbf{}}_{}}$ 표준 Wiener 공정으로${\displaystyle ,}$$$X ${\displaystyle {}_{}}$ {\$displaystyle \mathbf {X}$_${$$t}$에 대한$$ $확률밀도$ $(\mathbf {x},t$)는 Fokker-Plank 방정식을 만족한다$$.

${\displaystyle {\frac {\partial p(\mathbf {x} ,t)}{\partial t}}=-\sum _{i=1}^{N}{\frac {\partial }{\partial x_{i}}}\left[\mu _{i}(\mathbf {x} ,t)p(\mathbf {x} ,t)\right]+\sum _{i=1}^{N}\sum _{j=1}^{N}{\frac {\partial ^{2}}{\partial x_{i}\,\partial x_{j}}}\left[D_{ij}(\mathbf {x} ,t)p(\mathbf {x} ,t)\right],}$

with drift vector ${\displaystyle {\boldsymbol {\mu }}=(\mu _{1},\ldots ,\mu _{N})}$ and diffusion tensor ${\displaystyle \mathbf {D} ={\frac {1}{2}}{\boldsymbol {\sigma \sigma }}^{\mathsf {T}}}$, i.e.

${\displaystyle D_{ij}(\mathbf {x},t)={\frac {1}{1}{1}:{k=1}^{M}\sigma _{ik}(\mathbf {x},t)\sigma _{jk}(\mathb {x},t).}$

Itô SDE 대신 Stratonovich SDE를 고려한다면,

${\displaystyle d\mathbf {X} _{t}={\boldsymbol{x}_{t}}\\\boldsymbol {\sigma}}}}}}(\mathbf {X} _{t}t})\circ\mathbf {W}_{{t}}}}}}}}$

Fokker-Planck 방정식은 다음을 읽을 것이다.^{[8]: 129}

${\displaystyle {\frac {\partial p(\mathbf {x} ,t)}{\partial t}}=-\sum _{i=1}^{N}{\frac {\partial }{\partial x_{i}}}\left[\mu _{i}(\mathbf {x} ,t)\,p(\mathbf {x} ,t)\right]+{\frac {1}{2}}\sum _{k=1}^{M}\sum _{i=1}^{N}{\frac {\partial }{\partial x_{i}}}\left\{\sigma _{ik}(\mathbf {x} ,t)\sum _{j=1}^{N}{\frac {\partial }{\partial x_{j}}}\left[\sigma _{jk}(\mathbf {x},t)\,p(\mathbf {x},t)\right]\right\}}}$

예

위너 공정

표준 스칼라 위너 공정은 확률적 미분방정식에 의해 생성된다.

${\displaystyle dX_{t}=dW_{t}}$

여기서 표류항은 0이고 확산계수는 1/2이다. 따라서 해당 Fokker-Planck 방정식은 다음과 같다.

${\displaystyle {\frac {\frac(x,t)}{\frac t}={\frac {1}{1}:{2}}:{\frac {\p(x,t)}{\frac x^{2}},}$

확산 방정식의 가장 간단한 형태야 ${\displaystyle \mathrm{초기}}$ 조건이 $p{\displaystyle }$( ${\displaystyle \mathrm{x}}$, 0 )${\displaystyle }$= ${\displaystyle \Delta }$( x${\displaystyle }$) ${\displaystyle p(x,0)=\delta (x$인 경우 해결책은

${\displaystyle p(x,t)={\frac {1}{\sqrt {2\pi t}e^{-{x^{2}}/({2t}}).}$

올슈타인-울렌벡 공정

올슈타인-Uhlenbeck 공정은 다음과 같이 정의된다.

${\displaystyle d}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle t_{}}$=${\displaystyle }$- ${\displaystyle {}_{}}$ t ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle d}$ t +${\displaystyle d}$ d ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle t_{}}${\$displaystyle dX_{t}=-aX_{t}dt+\sigma dW_{t$

> ${\displaystyle$ a$>0}$과(와) 함께 물리적으로 이 방정식은 다음과 같이 동기를 부여할 수 있다: 속도 V ${\displaystyle t_{}}$ ${\$V_{$t}$를 가진$$ 질량 $m{\displaystyle }$ ${\displaystym m}$의 입자가 매체(예: 유체)로 이동하면$$ 입자의 속도에 비례하는 크기인 V ${\displaystyle {}_{}}$ ${\$)의 움직임에 저항하는 마찰력을 경험하게 된다$.{\displaystyle }$$a$= ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle o}$ n ${\displaystyle s}$ t ${\displaystyle n}$ {\displaystyle a$=$$constant}$을(를)$사용$하는 $aystyle$ -aV_${t$$\}.$ 매질의 다른 입자들은 입자와 충돌할 때 입자를 무작위로 차게 되며, 이 효과는 흰색 잡음 용어로 대략 추정할 수 있다; $\sigma {\displaystyle }$(${\displaystyle d_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ t${\displaystyle {}_{}}$/ d ${\displaystyle t}$) ${\displaystyle \sigma (dW_{t}/dt)}.$뉴턴의 두 번째 법칙은 다음과 같다.

${\dv_{t} \overdt}=-aV_{t}+\sigma {dW_{t} \overdt}.}$

Taking ${\displaystyle m=1}$ for simplicity and changing the notation as ${\displaystyle V_{t}\rightarrow X_{t}}$ leads to the familiar form ${\displaystyle dX_{t}=-aX_{t}dt+\sigma dW_{t}}$.

해당하는 포커-플랑크 방정식은

${\displaystyle {\frac {\frac(x,t)}{\property t}{\fract }{\frac }{\p(x,t)}}}}{\frac ^{2}}:{\p(x,t){{{2}p,t}{\p^{{}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}$

고정 솔루션${\displaystyle {\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle t_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$= ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle \partial _{t}p=0$은

${\displaystyle p_{ss}(x)={\sqrt {a}{\pi \pi \sigma ^{2}}:e^{-{\frac^{2}}:{\frac^{2}}.}$

플라즈마 물리학

플라즈마 물리학에서 입자종 s ${\displaystyle s},$ p${\displaystyle {}_{}}$s$($x → ,${\displaystyle v\stackrel{}{}\stackrel{}{}}$→${\displaystyle t}$ ) $displaystyle p_{s}({\$vec{$x},{\vec{v},t)$에 대한 분포 함수가 확률밀도함수를 대신한다$.$ 해당하는 볼츠만 방정식은 다음과 같다.

${\displaystyle {\frac {\partial p_{s}}{\partial t}}+{\vec {v}}\cdot {\vec {\nabla }}p_{s}+{\frac {Z_{s}e}{m_{s}}}\left({\vec {E}}+{\vec {v}}\times {\vec {B}}\right)\cdot {\vec {\nabla }}_{v}p_{s}=-{\frac {\partial }{\partial v_{i}}}\left(p_{s}\langle \Delta v_{i}\rangle \right)+{\frac {1}{2}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial v_{i}\,\partial v_{j}}}\left(p_{s}\langle \Delta v_{i}\,\Delta v_{j}\angle \right),}$

여기서 세 번째 항은 로렌츠 힘에 의한 입자 가속을 포함하며 오른쪽의 Fokker-Planck 항은 입자 충돌의 영향을 나타낸다. The quantities ${\displaystyle \langle \Delta v_{i}\rangle }$ and ${\displaystyle \langle \Delta v_{i}\,\Delta v_{j}\rangle }$ are the average change in velocity a particle of type ${\displaystyle s}$ experiences due to collisions with all other particle species in unit time. 이 수량에 대한 표현은 다른 곳에 제시되어 있다.^[10] 충돌이 무시되면 볼츠만 방정식은 블라소프 방정식으로 줄어든다.

스몰루코프스키 확산식^[11]

스몰루코프스키 확산방정식은 외부 $힘{\displaystyle }$ F${\displaystyle }$( r${\displaystyle }$) ${\displaystyle F(r)}$에 의해 영향을 받는 브라운 입자로 제한된 포커-플랑크 방정식이다$.$

${\displaystyle \partial _{t}P(r,t r_{0},t_{0})=\nabla \cdot [D(\nabla -\beta F(r)]P(r,t r_{0},t_{0})}$

여기서 $D{\displaystyle }$ ${\displaystyle D}$은(는) 확산 상수이고 $\beta {\displaystyle }$= ${\displaystyle \frac{1k{}_{}}{}}$ ${\displaystyle \frac{B_{}}{}}$ ${\displaystyle \frac{{}_{}}{}}$ ${\$$T$ 이 방정식의 중요성은 입자계에 미치는 온도의 영향과 공간 의존적 확산 상수를 모두 포함시킬 수 있다는 것이다.

계산 고려사항

브라운의 운동은 란제빈 방정식을 따르며, 이 방정식은 평균화된 결과(분자 역학에서의 카논 앙상블)와 함께 여러 가지 확률론적 포쿠에 대해 해결할 수 있다. However, instead of this computationally intensive approach, one can use the Fokker–Planck equation and consider the probability ${\displaystyle p(\mathbf {v} ,t)\,d\mathbf {v} }$ of the particle having a velocity in the interval ${\displaystyle (\mathbf {v} ,\mathbf {v} +d\mathbf {v} )}$ when 0시에$$ v ${\displaystyle {\mathrm{}}_{}}$ ${\$로 운동을 시작한다.

1-D 선형 전위 예제^[11][12]

이론

$U{\displaystyle (}$ ${\displaystyle x}$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle U(x)=cx}$ 형식의 선형 전위로 시작하여 해당하는$$ 스몰루코스키 방정식이 된다.

${\displaystyle \partial _{t}P(x,t x_{0},t_{0})=\partial _{x}D(\partial _{x}+\beta c)P(x,t x_{0}t_{0}}}}}}}}}$

확산 상수인 $D{\displaystyle }$ ${\displaystyle D}$이$($가) 공간과 시간에 걸쳐 일정하게 유지되는 경우. The boundary conditions are such that the probability vanishes at ${\displaystyle x\rightarrow \pm \infty }$ with an initial condition of the ensemble of particles starting in the same place, ${\displaystyle P(x,t x_{0},t_{0})=\delta (x-x_{0})}$.

▼${\displaystyle }$= ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle \tau =Dt}$ 및$$ $b{\displaystyle }$= ${\displaystyle \beta }$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle b=\beta c}$ 정의 및 좌표 변환 적용$$

${\displaystyle y=x+\tau b,\ \ y_{0}=x_{0}+\tau _{0}b}$

$P{\displaystyle (x}$, ${\displaystyle t{}_{}}$, t ,${\displaystyle {}_{}x}$ 0 ,${\displaystyle }$t${\displaystyle }$) =${\displaystyle q}$ ${\displaystyle (}$ ${\displaystyle y}$ , ${\displaystyle {0\mathrm{}}_{}}$y ${\displaystyle {}_{}}$ , ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {0\mathrm{}}_{}}$ )$${\$displaystyle P(x,t,$ x_${0$}, $t)=q($y,\$tau y_{$0},\$tau _{0$})와$$ 함께 스몰루코우코우키 방정식은 다음과 같이 된다.

${\displaystyle \property_{t}q(y,\tau y_{0},\tau _{0},\tau _{0},\y}^{2}q(y,\tau y_{0})$

용액과 자유확산방정식이랑

${\displaystyle q(y,\tau y_{0},\tau _{0}={\frac {1}{1}{\sqrt {4\pi(\tau -\tau_{0}}}}}}e^{-{\frac {(y-y_{0}}}}})}^{2}}:00}$

원래 좌표로 다시 변환한 후에

${\displaystyle P(x,t x_{0},t_{0}}={\frac {1}{\sqrt {4\pi D(t-t_{0}}}}}}}}}\exp {{\bigl [}{-{-frac {(x_{0}+D)\beta c(t_{0})}})}}})^{2}}:{4D(t-t_{0}}})}}}:{\Bigr ]}}}$

시뮬레이션^[13][14]

오른쪽의 시뮬레이션은 브라운 역학 시뮬레이션을 사용하여 완료되었다. 시스템을 위한 랜지빈 방정식부터 시작해서

${\displaystyle m{\ddot{x}=-\dot {\x}-c+\properma \xi(t)}$

여기서 $\gamma {\displaystyle }$ ${\displaystyle \gamma}$이(가) 마찰 용어인 경우, $\xi {\displaystyle }$ ${\displaystyle$ $\$$xi}$은 입자에 대한 변동 힘이며, $\sigma {\displaystyle }$ ${\displaystyle$ \$sigma}$은 변동 진폭이다. 평형상태에서 마찰력은 관성력 ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle x\stackrel{}{}}$ ${\displaystyle \gg }$ ${\displaystyle x\stackrel{}{}}$ ${\displaystyle \stackrel{}{¨}}$ { { { {${\displaystyle }$\\$displaystyle \vert \감마 {\dot{x}\ret \gg\$vert \ret$\ret$ m${\dot {x}\ret \ret$}보다 훨씬 크다$.$ 따라서 랭귀빈 방정식은 다음과 같다.

${\displaystyle \dot{x}=-c+\cfma \xi(t)}$

브라운 동적 시뮬레이션의 경우, 진폭이 시스템 온도에 따라 달라지는 상태에서 변동력 ${\displaystyle \xi }$( t${\displaystyle }$) ${\displaystyle \xi (t)}$은 가우스성으로 가정한다$$. $\sigma {\displaystyle }$= ${\displaystyle 2\sqrt{\mathrm{}}}$ ${\displaystyle \sqrt{\gamma }}$ ${\displaystyle \sqrt{{}_{}}}$ ${\displaystyle \sqrt{{}_{}}}$ ${\$$T}}}.$ 랜지빈 방정식을 다시 쓰는 중,

${\displaystyle {\frac {dx}{dt}=-D\beta c+{\sqrt{2D}\xi(t)}$

여기서 $D{\displaystyle }$= ${\displaystyle k\frac{{}_{}}{}}$ ${\displaystyle \frac{B_{}}{}}$ ${\displaystyle \frac{{}_{}}{}}$ ${\displaystyle \frac{}{}}$ ${\$ D$={\frac {k_{B}$$T}{\gamma }}}}$은(는) 아인슈타인 관계다$$. 이 방정식의 통합은 이 브라운 입자의 경로에 수치적으로 근사하게 하기 위해 오일러-마루야마 방법을 사용하여 수행되었다.

해결책

부분 미분방정식이므로 Fokker-Planck 방정식은 특별한 경우에만 분석적으로 해결할 수 있다. Fokker-Plank 방정식과 Schrödinger 방정식을 형식적으로 비유하면 양자역학으로부터 알려진 고급 연산자 기법을 여러 가지 경우에 그 해법에 사용할 수 있다. 나아가 Fokker-Planck 방정식이 모든 공간 변수에 관한 두 번째 부분파생물을 포함할 때 과대 계상된 역학의 경우, 그 방정식을 숫자로 쉽게 풀 수 있는 마스터 방정식의 형태로 작성할 수 있다.^[15] 많은 애플리케이션에서 $\partial {\displaystyle \frac{\mathrm{}}{}}$ ${\displaystyle \frac{p}{}}$ (${\displaystyle {}_{}{x\mathrm{}}_{}}$) ${\displaystyle p_{0}(x)}$에만 관심이 있으며,$$∂ p${\displaystyle \frac{}{}}$( ${\displaystyle \frac{x}{}}$, t${\displaystyle \frac{}{}}$) ${\displaystyle \frac{\mathrm{}}{}}$ ${\displaystyle \mathrm{t}\frac{}{}}$= 0 ${\displaystyle {\frac {\partial p(x,t)}{\partial$ t$}=0}$에서 찾을 수 있다$.$ 평균 첫 번째 통과 시간과 분할 확률을 계산하면 Fokker-Planck 방정식과 밀접하게 관련된 일반적인 미분 방정식의 해법으로 줄일 수 있다.

알려진 솔루션과 역전이 있는 특정 사례

국지적 변동성을 통한 옵션의 변동성 스마일 모델링을 위한 수학 금융에서는 시장 옵션 견적을 통해 얻은 확률 밀도와 일치하는$$ 확산 계수 $\sigma {\displaystyle }$( ${\displaystyle {\mathbf{}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$, $){\displaystyle {\sigma }(\mathbf {X} _{t}t)$을 도출하는 문제가 있다. 따라서 문제는 Fokker-Planck 방정식의 반전이다: 옵션 시장에서 추론된 X 기본 옵션의 밀도 f(x,${\displaystyle t}$)를 감안할 때, f와 일치하는$$ 현지 변동성 $\sigma {\displaystyle }$(${\displaystyle {}_{},{}_{}}$t $){\displaystyle {\sigma }(\mathbf {X} _{t}t$}t$)$을 찾는 것을 목표로 한다. 이것은 듀피어(1994년, 1997년)가 비모수적 해법으로 대체적으로 해결한 역문제다.^[16][17] Brigo와 Mercurio(2002, ${\displaystyle \mathrm{2003}}$)는 혼합물 모델에 의해 주어진 Fokker-Plank 방정식의 솔루션과 일치하는$$ 특정 국부 변동성 $\sigma {\displaystyle }$(${\displaystyle {\mathbf{}}_{}}$,${\displaystyle {}_{}}$t $){\displaystyle {\sigma }(\mathbf {X} _{t}t$}t$)$을 통해 파라메트릭 형태로 솔루션을 제안한다.^[18][19] 더 많은 정보는 펑러(2008년),^[20] 게르말(2008년),^[21] 뮤시엘라와 러트코스키(2008년)에서도 이용할 수 있다.^[22]

Fokker-Planck 방정식과 경로 적분

모든 Fokker-Planck 방정식은 경로 적분과 동일하다. 경로 적분 제형은 자기장 이론 방법의 적용을 위한 훌륭한 출발점이다.^[23] 예를 들어, 이것은 비판적인 역학관계에서 사용된다.

경로 적분 도출은 양자역학에서와 유사한 방법으로 가능하다. 하나의 변수 $x{\displaystyle }$ ${\displaystyle x}$을(를) 갖는 Fokker-Planck 방정식의 파생은 다음과$$ 같다. 델타 함수를 삽입한 다음 부품별로 통합하십시오.

${\displaystyle {\frac {\frac}{\flash t}{\flash t}p\!\left(x^{\prime },t\right)&=-{\frac {\partial }{\partial x'}}\left[D_{1}(x',t)p(x',t)\right]+{\frac {\partial ^{2}}{\partial {x'}^{2}}}\left[D_{2}(x',t)p(x',t)\right]\\[5pt]&=\int _{-\infty }^{\infty }dx\left(\left[D_{1}\left(x,t\right){\frac {\partial }{\partial x}}+D_{2}\left(x,t\right){\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}\right]\delta \left(x^{\prime }-x\right)\right)p\!\왼쪽(x, t\오른쪽).\end{정렬}}}$

$여기$서 x ${\displaystyle x}$ -deivates는$$ p (${\displaystyle x}$, t${\displaystyle }$) ${\displaystyle p(x,t)}$이 아닌 $\Delta {\displaystyle }$ ${\displaystyle \delta }$ - 함수에만$$ 작용함$.$ 시간 간격 $over{\displaystyle }$ ${\displaysty \varepsilon$

${\displaystyle p(x^{\prime },t+\varepsilon )=\int _{-\infty }^{\infty }\,dx\left(\left(1+\varepsilon \left[D_{1}(x,t){\frac {\partial }{\partial x}}+D_{2}(x,t){\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}\right]\right)\delta (x^{\prime }-x)\right)p(x,t)+O(\varepsilon ^{2}).}$

푸리에 적분 삽입

${\displaystyle \eft(x^{\premy }-x\right)=\int_{-i\inflit }{d{\tilde{x}{2\pi i}e^{}}{}}}}{\tilde^{}}}\x(x-x^{\primprime)\primeprimeprimeprig)=}오른쪽)}}$

$\Delta {\displaystyle }$ ${\displaystyle \ft$ \ft $}$ - 함수에$$ 대해,

${\displaystyle {\begin{aligned}p(x^{\prime },t+\varepsilon )&=\int _{-\infty }^{\infty }dx\int _{-i\infty }^{i\infty }{\frac {d{\tilde {x}}}{2\pi i}}\left(1+\varepsilon \left[{\tilde {x}}D_{1}(x,t)+{\tilde {x}}^{2}D_{2}(x,t)\right]\right)e^{{\tilde {x}}(x-x^{\prime })}p(x,t)+O(\varepsilon ^{2})\\[5pt]&=\int _{-\infty }^{\infty }dx\int _{-i\infty }^{i\infty }{\frac {d{\tilde {x}}}{2\pi i}}\exp \left(\varepsilon \left[-{\tilde {x}}{\frac {(x^{\prime }-x)}{\varepsilon }}+{\tilde {x}}D_{1}f(x,t)+{\tilde {x}}^{2}D_{2}(x,t)\right]\right)p(x,t)+O(\varepsilon ^{2}).\end{정렬}}}$

This equation expresses ${\displaystyle p(x^{\prime },t+\varepsilon )}$ as functional of ${\displaystyle p(x,t)}$. Iterating ${\displaystyle (t^{\prime }-t)/\varepsilon }$ times and performing the limit ${\displaystyle \varepsilon \rightarrow 0}$ gives a path inte행동으로 화내다.

${\displaystyle S=\intdt\왼쪽[{\tilde {{x}D_{1}(x,t)+{\tilde{2}D_{2}(x,t)-{\tilde{x}{x}{\frac{\partial x}{\partial t}\right].}$

$x{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ ${\tilde{x$$}} x$에 대한$$ 변수 $x$를 "반응 변수"^[24]라고 한다$$.

공식적으로는 등가물이지만 Fokker-Planck 방정식 또는 경로 적분 공식에서 다른 문제를 더 쉽게 해결할 수 있다. 예를 들어 평형 분포는 Fokker-Planck 방정식에서 더 직접적으로 얻을 수 있다.

참고 항목

참고 및 참조

추가 읽기

• Frank, Till Daniel (2005). Nonlinear Fokker–Planck Equations: Fundamentals and Applications. Springer Series in Synergetics. Springer. ISBN 3-540-21264-7.
• Gardiner, Crispin (2009). Stochastic Methods (4th ed.). Springer. ISBN 978-3-540-70712-7.
• Pavliotis, Grigorios A. (2014). Stochastic Processes and Applications: Diffusion Processes, the Fokker–Planck and Langevin Equations. Springer Texts in Applied Mathematics. Springer. ISBN 978-1-4939-1322-0.
• Risken, Hannes (1996). The Fokker–Planck Equation: Methods of Solutions and Applications. Springer Series in Synergetics (2nd ed.). Springer. ISBN 3-540-61530-X.