리우빌 장론

Liouville field theory

물리학에서 리우빌 장론(Liouville field theory)은 2차원 등각 장론으로, 고전 운동 방정식리우빌 방정식의 일반화입니다.

리우빌 이론은 비라소로 대칭 대수중심 전하 의 모든 복소수 값에 대해 정의되지만, 다음과 같은 경우에만 유일합니다.

( +) ,

그리고고전적 한계는

+

비록 연속 스펙트럼을 갖는 상호작용 이론이지만, 리우빌 이론은 해결되었습니다.특히 구면에 대한 3점 함수는 분석적으로 결정되었습니다.

서론

리우빌 이론은 2차원 공간에서 정의되는 리우빌 장이라고 불리는 장 ϕ 의 역학을 설명합니다.지수 퍼텐셜이 존재하기 때문에 이 필드는 자유 필드가 아닙니다.

여기서 매개변수 결합 상수라고 합니다.자유장 이론에서 에너지 고유 벡터 ϕ 는 선형 독립적이며 운동량 는 상호 작용에서 보존됩니다.리우빌 이론에서는 운동량이 보존되지 않습니다.

Liouville 이론의 지수 퍼텐셜에서운동량 {\ \ 가진 에너지 고유 벡터의 반사

또한 퍼텐셜은 고유 벡터가ϕ = + ∞ \ = +\infty에 도달하기 전에 반영되며, 두 고유 벡터는 그들의 운동량이 반사에 의해 관련되면 선형으로 종속됩니다

배경 요금이 있는 곳에서

지수 퍼텐셜은 운동량 보존을 깨뜨리지만 등각 대칭을 깨뜨리지는 않으며, 리우빌 이론은 중심 전하를 가진 등각 장 이론입니다.

등각 변환 하에서 운동량 인 에너지 고유 벡터는 등각 δ가 1차 필드로 다음과 같이 변환됩니다.

중심 전하 및 등각 치수는 이중성 하에서 불변합니다.

리우빌 이론의 상관 함수는 이러한 이중성과 운동량의 반사 하에서 공변적입니다.그러나 리우빌 이론의 이러한 양자 대칭은 라그랑지안 공식에서 나타나지 않으며, 특히 지수 퍼텐셜은 이중성 하에서 불변하지 않습니다.

스펙트럼 및 상관 함수

스펙트럼

리우빌 이론의 스펙트럼 비라소로 대수베르마 모듈의 대각합,

여기서 δ ¯ δ 는 각각 좌/우 이동하는 비라소로 대수를 나타내는 것으로 간주되는 동일한 Verma 모듈을 나타냅니다.운동량으로 따지면,

에 해당하는

+ R+

반사 관계는 자유 이론의 완전한 선 대신 반 선의 값을 취하는 운동량에 책임이 있습니다.

리우빌 이론은 + +\인 경우에만 단일합니다리우빌 이론의 스펙트럼은 진공 상태를 포함하지 않습니다.진공 상태는 정의할 수 있지만 운영자 제품 확장에는 기여하지 못합니다.

필드와 반사관계

리우빌 이론에서, 1차 필드는 보통 등각 차원이 아닌 운동량에 의해 매개 변수화되며, V ( z}(를 나타냅니다 V ( 및 V - 는 모두 표현 δ ⊗ ¯ δ {}\ {및 반사 관계에 의해 연관됩니다.

여기서 반사 계수는[1]

( - {\c이면 부호는 +1 {\displaystyle (-\infty, 1)}이고, -1 {\이고, 변수 λ {\displaystyle \lambda은(는) 임의입니다.)

상관 함수 및 DOZZ 공식

( - 의 경우 3점 구조 상수는 DOZZ 공식으로 주어집니다 (Dorn-Otto 및 Zamolodchikov-Zamolodchikov의 경우).

여기서 특수 함수 υ _는 일종의 다중 감마 함수입니다.

- ) 의 경우 3점 구조 상수는

어디에

구면에 있는 - 점 함수는 3점 구조 상수 및 등각 블록으로 표현할 수 있습니다. -point 함수는 몇 가지 다른 표현을 가질 수 있습니다. 그들은 숫자로[3][4] 확인되고 분석적으로 증명된 4점 함수의 교차 대칭과 동일하다는 것에 동의합니다.[5][6]

리우빌 이론은 구면뿐만 아니라 속의 임의의 리만 표면 에도 존재합니다 기술적으로, 이것은 토러스 원 포인트 함수의 모듈식 불변성과 같습니다.등각 블록과 구조 상수의 현저한 동일성으로 인해, 이 모듈러 불변 특성은 구 4점 함수의 교차 대칭으로부터 추론될 수 있습니다.[7][4]

리우빌 이론의 유일성

등각 부트스트랩 접근법을 사용하면, 리우빌 이론은 다음과[1] 같은 독특한 등각 장 이론으로 보여질 수 있습니다.

  • 스펙트럼은 연속체이며, 1보다 높은 다중도는 없습니다.
  • 상관 함수는 운동량에 해석적으로 의존합니다.
  • 퇴화된 필드가 있습니다.

라그랑주 공식

작용 및 운동방정식

리우빌 이론은 지역 작용에 의해 정의됩니다.

여기서 ν 는 이론이 공식화되는 2차원 공간메트릭이고, 은 해당 공간의 리치 스칼라이며, ϕ 는 리우빌 필드입니다.때때로 우주 상수라고 불리는 매개 변수 λ ' \는) 다음과 같이 상관 함수에 나타나는 매개 변수λ {\ \lambda와 관련이 있습니다.

' (- ) (b ) b '=41 - b ^{

이 동작과 관련된 운동 방정식은

여기서 δ= - / 1 / g ν ∂ ν) \=g1/partial _partial _라플라스-벨트라미 연산자입니다. ν 유클리드 메트릭이면 이 방정식은 다음과 같이 줄어듭니다.

리우빌의 방정식과 맞먹습니다.

일단 원통 위에서 압축되면, 리우빌 장 이론은 세계선 이론으로 동등하게 공식화될 수 있습니다.[8]

등각대칭

복잡한 좌표계 유클리드 메트릭 사용

ν ¯ = dzd

에너지 momentum 텐서의 구성 요소가 복종함

사라지지 않는 구성 요소는

이 두 성분은 각각 중심 전하를 갖는 비라소로 대수를 생성합니다.

+ 6 = 1 +

이 두 비라소로 대수 모두에 대하여, 필드 ϕ 는 등각 차원을 갖는 1차 필드입니다.

( - ) \ (Q-

이론이 등각 불변성을 가지려면, 동작에 나타나는 필드 ϕ 변량이어야 합니다. 즉, 등각 차원을 가져야 합니다.

( )= \입니다.

이것이 관계로 이어집니다.

배경 전하와 커플링 상수 사이.만약 이 관계가 지켜진다면, ϕ e는 실제로 정확히 한계이고, 이론은 등각 불변입니다.

경로적분

{\ N - 필드의 점 상관 함수의 경로 적분 표현은

이 경로 적분을 정의하고 계산하기가 어려웠습니다.경로 적분 표현에서, 리우빌 이론이 정확한 등각 불변성을 가지고 있다는 것이 명확하지 않으며, 상관 함수가 - 하에서 불변하고 반사 관계를 따르는 것이 명확하지 않습니다.그럼에도 불구하고, 경로 적분 표현은 쿨롱 가스 형식주의에서 Dotsenko-Fateev 적분으로 일부 에서 상관 함수의 잔기를 계산하는 데 사용될 수 있으며, 이것이 DOZZ 공식이 1990년대에 처음 추정된 방법입니다.경로 적분의 엄격한 확률적 구성이 발견된 것은 2010년대뿐이며, 이는 DOZZ 공식과[9] 등각 부트스트랩의 증명으로 이어졌습니다.[6][10]

다른 등각장이론과의 관계

리우빌 이론의 몇가지 한계

중심 전하와 등각 차원이 관련 이산 값으로 보내질 때, 리우빌 이론의 상관 함수는 대각선 (A 시리즈) 비라소로 최소 모델의 상관 함수로 줄어듭니다.[1]

반면, 등각 차원이 연속적인 상태에서 중심 전하가 하나로 보내질 때, 리우빌 이론은 3점 함수가 운동량의 함수로 분석되지 않는 연속 스펙트럼을 가진 비사소적 등각 장 이론(CFT)인 런켈-와트 이론을 경향합니다.[11]렁켈-와트 이론의 일반화는 유형 → Q< b\not \{R b^{2 _{< 따라서 2 ∈ < {\ 대해 동일한 스펙트럼을 가진 두 개의 별개의 CFT가 알려져 있습니다: 리우빌 이론은 3개의 점이 있는함수는 분석적이고, 또 다른 CFT는 분석적이지 않은 3점 함수입니다.

WZW 모델

리우빌 이론은 ( })} Wess-Zumino-양자 드린펠트-소콜로프 환원에 의한 위튼 모델.또한 H + 모델( WZW 모델의 유클리드 버전)의 상관 함수는 리우빌 이론의 상관 함수로 표현할 수 있습니다.[12][13]이는 2d 블랙홀 / U / 코셋 모델의 상관 함수에서도 마찬가지입니다.[12]또한, Liouville 이론과 H + 모델 사이에 지속적으로 보간하는 이론이 존재합니다.[14]

등각 토다 이론

리우빌 이론은 카르탄 행렬과 관련된 토다이론의 가장 간단한 예입니다.보다 일반적인 등각 토다 이론은 라그랑지안이 하나의 보손 ϕ 가 아닌 여러 보손을 포함하고 대칭 대수가 비라소로 대수가 아닌 W 대수인 리우빌 이론의 일반화로 볼 수 있습니다

초대칭 리우빌 이론

리우빌 이론은 = }}=개의 초대칭 리우빌 이론과 = N}}=개의 초대칭 리우빌 이론이라고 불리는 두 개의 다른 초대칭 확장을 인정합니다.

통합 모델과의 관계

신고든 모형

평평한 공간에서 sinh-Gordon 모형은 로컬 작용에 의해 정의됩니다.

대응하는 고전적 운동 방정식은 sinh-Gordon 방정식입니다.이 모델은 리우빌 이론의 섭동으로 볼 수 있습니다.모델의 정확한 S-행렬은 약한 결합 0< <1 {\< < 에서 알려져 있으며 → b - 에서 형식적으로 불변합니다 그러나 모델 자체는 불변하지 않다고 주장되어 왔습니다.

적용들

리우빌 중력

2차원에서, 아인슈타인 방정식리우빌 방정식으로 환원되고, 리우빌 이론은 리우빌 중력이라고 불리는 중력의 양자 이론을 제공합니다.CGHS 모델이나 Jackiw와 혼동해서는[17][18] 안 됩니다.테이텔보임 중력.

끈이론

리우빌 이론은 경로 적분 공식에서 이론의 중요하지 않은 버전을 공식화하려고 할 때 끈 이론의 맥락에서 나타납니다.[19]이 이론은 또한 선형 확장과 타키온 배경을 가진 두 개의 시공간 차원에서 보손이론의 설명으로 나타납니다.선형 확장 배경에서 타키온 장 운동 방정식은 지수 해를 취해야 합니다.그렇다면 이 배경의 폴리아코프 작용은 리오빌 장 이론과 동일하며, 선형 확장은 배경 전하 항을 담당하고 타키온은 지수 퍼텐셜을 기여합니다.[20]

랜덤 에너지 모델

인 리우빌 이론과특정 로그 상관 랜덤 에너지 모델 사이에는 정확한 매핑이 있습니다.이 모형은 대수적으로 상관된 랜덤 퍼텐셜의 열 입자를 설명합니다.2차원에서 이러한 전위는 가우스 자유장과 일치합니다.그 경우, 리우빌 이론에서 1차 장들 사이의 특정 상관 함수는 입자의 깁스 측정의 상관 함수에 매핑됩니다.이것은 2차원 가우스 자유장의 극단치 통계에 적용되며 로그 상관 랜덤 에너지 모델의 특정 보편적 특성을 예측할 수 있습니다(2차원 이상).

기타 어플리케이션

리우빌 이론은 음의 곡선 공간에서의 3차원 일반 상대성 이론, 리만 표면균일화 문제, 등각 매핑의 다른 문제와 같은 물리학 및 수학의 다른 주제와 관련이 있습니다.또한 AGT 대응에 의한 특정 4차원 초적합 게이지 이론에서의 인스턴트온 파티션 함수와 관련이 있습니다.

c<=1의 이름 지정 혼란

c인 리우빌 이론은 리우빌 이론과 같이 시간에 의존하는 끈 이론의 모델로 처음 등장했습니다.[22]일반화된 미니멀 모델이라고 불리기도 합니다.[23]그것이 실제로 존재하고, 시간적이라기 보다는 우주적인 것으로 밝혀졌을 때, 그것은 리우빌 이론이라고 처음 불렸습니다.[4]2022년 현재 이 세 가지 명칭 중 어느 하나도 보편적으로 통용되지 않습니다.

참고문헌

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외부 링크